高考数学填空题的解法与技巧 课件-2026届高三数学二轮复习

第2讲　填空题的解法与技巧 方法一 直接法 ●核心知识 直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法． 【分析】　利用双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线、椭圆的定义，结合矩形的条件列式求出a即得离心率． 方法二 特例法 ●核心知识 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例． ●典例研析 3．(2025·永州三模)已知函数f(x)＝x(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝___. 【分析】　根据偶函数性质可解． 【答案】　1 方法三 正反互推法 ●核心知识 多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论． ●典例研析 5．设函数y＝f(x)的定义域为R，给出下列命题： ①若对任意x∈R，均有|f(x)|＝1，则f(x)一定不是奇函数； ②若对任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，则f(x)为奇函数或偶函数； ③若对任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)必为偶函数； ④若对任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，且f(x)为R上增函数，则f(x)必为奇函数； 其中为真命题的序号为________(请写出所有真命题的序号)． 【分析】　根据函数奇偶性的定义一一判断求解． 【答案】　①③ 6．(2025·辽宁二模)命题P：“∃x∈[－1,3]，x2－2x－m≤0”是假命题，则m的取值范围是________. 【答案】　(－∞，－1) 【解析】　因为p：∃x∈[－1,3]，x2－2x－m≤0是假命题，所以∀x∈[－1,3]，x2－2x－m＞0是真命题，即m＜x2－2x在[－1,3]上恒成立，根据二次函数的性质可知，当x＝1时，函数取得最小值－1，故m＜－1. 方法四 数形结合法 ●核心知识 一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形． ●典例研析 7．(2025·朝阳区一模)已知函数f(x)是R上的奇函数当x＞0时，f(x)＝x＋e2－x，则f(－2)＝________；若存在a，b，c∈R(a≠b)，使得f(a)＝f(b)＝c，则c的一个取值为________. 【分析】　根据函数f(x)是R上的奇函数，结合题意求出f(2)的值，即可得出f(－2)；利用导数判断函数的单调性，求出x＞0时f(x)的取值范围，画出f(x)的大致图象，结合函数的图象即可求出c的取值范围． 【答案】　－3　4 【解析】　因为函数f(x)是R上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋e2－x，所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋e0)＝－3；由f(x)＝x＋e2－x，得f′(x)＝1－e2－x，令f′(x)＝0，得x＝2，所以0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；且f(2)＝3，x→0时，f(x)→e2，x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以x＞0时，f(x)的取值范围是[3， ＋∞)；又因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，x＜ 0时，f(x)的取值范围是(－∞，－3]；画出函数f(x)的 大致图象，如图所示：由函数的图象知，c的取值范 围是(－e2，－3)∪(3，e2)，所以c的一个取值为4(答 案不唯一)． 方法五 构造法 ●核心知识 构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、不等式、数列、向量等具体的数学模型，从而转化为自己熟悉的问题，达到快速解题的目的． 【分析】　(1)根据题意，构造等比数列{an＋1}，由其通项公式，即可求得an； (2)由{an}的通项公式，结合等比数列的前n项和公式，求得Sn，利用指数函数的单调性求解函数最值，即可求得参数的最值． 【答案】　(1，＋∞) ●典例研析 1．(2025·黄浦区校级三模)如图，F1、F2是椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－y2＝1的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C1的离心率是________. 【答案】　 【解析】　由四边形AF1BF2为矩形，得∠F1AF2＝90°，|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，由双曲线C2：－y2＝1，得F1(－，0)，F2(，0)，且|AF2|－|AF1|＝2，由椭圆C1：＋＝1，得|AF2|＋|AF1|＝2a，解得|AF2|＝a＋，|AF1|＝a－，即(a＋)2＋(a－)2＝(2)2，解得a＝2，所以C1的离心率e＝. 2．(2025·金水区校级四模)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________. 【答案】　x2＋y2＝1 【解析】　由题意，F1(－c,0)，F2(c,0)，AF2⊥x轴，∴|AF2|＝b2，∴A点坐标为(c，b2)，设B(x，y)，∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，∴(－c－c，－b2)＝3(x＋c，y)，∴B，代入椭圆方程可得2＋＝1，∵1＝b2＋c2，∴b2＝，c2＝，∴x2＋y2＝1. 【解析】　已知函数f(x)＝x(a·2x－2－x)是偶函数，则f(－1)＝f(1)，则－＝，可得a＝1. 4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，若过F1的直线和圆2＋y2＝c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________. 【分析】　不妨假设c＝2，根据图形可知，sin∠PF1F2＝，再根据同角三角函数基本关系即可求出k＝tan∠PF1F2＝；再根据椭圆的定义求出a，即可求得离心率． 【答案】　　 【解析】　如图所示：不妨假设c＝2，设切点为B，sin∠PF1F2＝sin∠BF1A＝＝，tan∠PF1F2＝＝，所以k＝， 由k＝，|F1F2|＝2c＝4，所以|PF2|＝，|PF1|＝|PF2| ×＝，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝4， 即a＝2，所以e＝＝＝. 【解析】　对于①，对任意x∈R，均有|f(x)|＝1，则|f(0)|＝1，但与奇函数中f(0)＝0，矛盾，所以f(x)一定不是奇函数，①正确；对于②， |f(－x)|＝|f(x)|等价于[f(x)－f(－x)][f(x)＋f(－x)]＝0，若x∈[－1,1]时满足f(x)－f(－x)＝0，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数在x∈R上为非奇非偶函数，②错误；对于③，对任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)＝|f(－x)|＝|f(x)|，所以f(－x)＝|f(x)|＝f(x)，所以函数必为偶函数，③正确；对于④，存在f(x)＝满足题意，但f(x)不是奇函数，④错误． 8．(2025·喀什地区校级三模)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，高为，AB1⊥B1C，AB1＝2，则该正四棱台的体积为 ________. 【分析】　根据勾股定理求得AC＝4，从而得A1B1＝，再利用正四棱台体积公式即可． 【答案】　 【解析】　如图，连接AC，BD，B1D1，设AC∩BD＝O，连接B1O，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB1＝B1C＝2，因为AB1⊥B1C，所以AC＝＝4，则AB＝BC＝2，B1O＝2， 因为该正四棱台的高为，所以在等腰梯形D1B1BD 中，B1D1＝4－2×＝2，所以A1B1＝B1C1＝， 则该正四棱台的体积V＝×(2＋8＋)×＝. 利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如f′(x)<f(x)构造g(x)＝，f′(x)＋f(x)<0构造g(x)＝exf(x), xf′(x)<f(x)构造g(x)＝， xf′(x)＋f(x)<0构造g(x)＝xf(x)等． ●典例研析 9．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－，an＝2an＋1＋1(n∈N*)，则an＝________；若Sn＋n<k(k∈N*)恒成立，则k的最小值为________. 【答案】　n－1　1 【解析】　因为a1＝－，an＝2an＋1＋1，则an＋1＝2(an＋1＋1)， 故为首项a1＋1＝，公比为的等比数列，则an＋1＝n， 则an＝n－1； 又Sn＝＋2＋3＋…＋n－n＝－n＝1－n－n，则Sn＋n<k(k∈N*)，即1－n<k，n>1－k， 又n∈，故只需1－k≤0，即k≥1，又k∈N*，故k的最小值为1. 10．已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)恒成立，则不等式x2f－f(x)>0的解集为________. 【解析】　设g(x)＝，则g′(x)＝，又因为f(x)>xf′(x)，所以g′(x)＝<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g(x)＝为(0，＋∞)上的减函数，又因为x2f－f(x)>0⇔>⇔g>g(x)，则有<x，解得x>1. $