专题4 微培优5 与球切、接有关的最值问题（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

微培优5　与球切、接有关的最值问题 例题　(2025全国2,14)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为 　　　　　 cm.  　 解析 作出轴截面ABCD,如图所示.由题意,两球半径相等,所以图中两圆的切点M到AD的距离为4,到DC的距离为,过点M作AD平行线与过点O1作DC的平行线相交于点N,在Rt△MO1N中,由MN2+O1N2=O1M2,设两球的半径为r,得(4-r)2+(-r)2=r2,即4r2-68r+145=0,解得r=或r=(舍).所以最大值为 【对点训练】(1)(2025湖南长沙高三模拟)一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上,且该球的半径为1,当圆锥的体积取最大值时,圆锥的底面半径为(　　) A. B. C. D. B 解析 如图,根据题意,设圆锥的高为h,底面圆半径为r,外接球球心为O,半径R=1,则球心O到圆锥底面圆心O1距离d=OO1=|1-h|,0<h<2. 由d2+r2=R2,得r2=2h-h2,圆锥的体积V=r2h=(2h2-h3), 求导,得V'=(4h-3h2)=πh(-h). 当0<h<时,V'>0,函数V=(2h2-h3)在区间(0,)上单调递增, 当<h<2时,V'<0,函数V=(2h2-h3)在区间(,2)上单调递减, 则当h=时,圆锥的体积最大,此时底面圆半径r= (2)(2022新高考Ⅰ,8)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3,则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)【一题多解】 A. B. C. D.[18,27] C 解析 (方法一)记正四棱锥高与侧棱的夹角为θ,高为h,底面中心到底面各顶点的距离为m.∵正四棱锥外接球的体积为36π,∴外接球的半径R=3. 又3≤l≤3,∴cos θ=, ∴l=6cos θ,m=l·sin θ=6sin θcos θ,h==6cos2θ, 正四棱锥的底面积S底=2m×2m=2m2. 故该正四棱锥的体积V=S底·h=2m2h=144sin2θcos4θ. 令x=cos2θ.∵cos , ∴x=cos2sin2θcos4θ=(1-cos2θ)·cos4θ=(1-x)·x2,x 令y=(1-x)·x2=-x3+x2,x,则y'=-3x2+2x.故当x时,y'>0,函数y= -x3+x2单调递增;当x时,y'<0,函数y=-x3+x2单调递减. 于是当x=时,y取最大值,且ymax=-, 当x=时,y=-,当x=时,y=-, 故当x=时,y取最小值 因而V的最大值Vmax=144,V的最小值Vmin=144 故该正四棱锥体积的取值范围为 (方法二)因为该球的体积为36π,所以球的半径R=3.设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,则32=2a2+(h-3)2,l2=2a2+h2,则2a2=6h-h2,l2=6h. 因为四棱锥体积为V=a2h=(6h-h2)h=(12-2h)h×h[]3=,当且仅当h=4时,等号成立.当h=时,得a=, 则Vmin=a2h=()2 当l=3时,球心在正四棱锥高线上, 此时h=+3=a=,得a=,则正四棱锥体积V1=a2h=()2,故该正四棱锥体积的取值范围是[]. $