专题3 微培优4 子数列与增减项问题（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

微培优4　子数列与增减项问题 类型一　数列公共项问题 类型二　数列增减项问题 目 录 索 引 数列的增减项问题在高考数学中占有重要地位,这类题目主要考查学生对数列结构的深入理解以及灵活运用知识的能力.通过在原数列中插入、删除或重组项来构造新数列,并在此基础上研究其性质或求和问题,是命题的常见形式.掌握这类问题的解法,不仅能提升数列知识的综合运用水平,更能培养数学思维的灵活性和创造性. 类型一　数列公共项问题 例1　(1)(2020新高考Ⅰ,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　　.【一题多解】 3n2-2n 解析 (方法一)数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数,并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列得到的新数列{an}是以1为首项,6为公差的等差数列,所以{an}的前n项和为n·1+6=3n2-2n. (方法二)因为数列{2n-1}是以1为首项,2为公差的等差数列,数列{3n-2}是以1首项,3为公差的等差数列, 所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项,6为公差的等差数列, 所以{an}的前n项和为n·1+6=3n2-2n. (2)(2025浙江丽水高三模拟)已知数列{an}为公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,a5=S9,a4a6=a4-a6.设数列{bn}是以4为首项,4为公比的等比数列,若数列{an}和{bn}的公共项为am,记m从小到大构成数列{cn},则{cn}的前n项 和Rn=　　 　　　.  4n+5n- 解析 设{an}的首项为a1,公差为d,因为a5=S9,a4a6=a4-a6, 则 解得(舍去). 则an=a1+(n-1)d=-8+2(n-1)=2n-10. 由题意得bn=4·4n-1=4n,因为am=2m-10, 所以2m-10=4n,即m= 又N*,因此cn=+5, 所以Rn=(41+42+…+4n)+5n=+5n=4n+5n- 【对点训练1】(多选题)(2025湖北黄冈高三模拟)设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an},所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn},把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则下列选项正确的有 (　　) A.a3+b5=c3 B.a46=c10 C.a5b2<c8 D.c9-b9=a26 BC 解析 根据题意,结合余数的相关性质,数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,an=2+3(n-1)=3n-1.数列{bn}是首项为2,公差为5的等差数列, bn=2+5(n-1)=5n-3.数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}, 故数列{cn}是首项为2,公差为15的等差数列,则cn=2+15(n-1)=15n-13. 因为a3+b5=8+22=30,c3=45-13=32,a3+b5≠c3,故A错误; 因为a46=3×46-1=137,c10=15×10-13=137,a46=c10,故B正确; 因为a5=15-1=14,b2=10-3=7,c8=120-13=107,a5b2=98<107=c8,故C正确; 因为c9=135-13=122,b9=45-3=42,a26=78-1=77,c9-b9=80≠77=a26,故D错误. 故选BC. 类型二　数列增减项问题 例2　(2025陕西西安高三模拟)已知数列{an}是等差数列,且a2=4,2a4-a5=7. (1)求数列{an}的通项公式; (2)在ak和ak+1(k∈N*)之间插入k个相同的数(-1)k+1·k,构成一个新数列{bn}:a1,1,a2,-2,-2,a3,3,3,3,a4,…,求{bn}的前100项和T100. 解 (1)因为数列{an}是等差数列,设首项为a1,公差为d, 依题意,a2=4,2a4-a5=7, 即解得 所以等差数列{an}的通项公式为an=1+3(n-1)=3n-2. (2)设ak和插入的k个数(-1)k+1·k构成一组数, 则前k组共有k+(1+2+…+k)=k+个数. 令100,因为k∈N*,解得k≤12. 当k=12时,=90<100,所以{bn}的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个, 所以T100=(a1+1)+(a2-22)+(a3+32)+…+(a11+112)+(a12-122)+(a13+13×9) =(a1+a2+…+a13)+(1-22+32-42+…+112-122)+117 =-(3+7+11+15+19+23)+117 =247-+117=247-78+117=286. 【对点训练2】若数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,若bn=2an+1(n∈N*),抽去数列{bn}的第3项、第6项、第9项、…、第3n项、…,余下的项的顺序不变, 构成一个新数列{cn},则数列{cn}的前100项的和为　　　　 　　.  (3150-1) 解析 由an+1=3an+1,得an+1+=3(an+), 又a1+,所以数列{an+}是以为首项,3为公比的等比数列, 所以an+3n-1=,所以an=,所以bn=2an+1=3n. 设数列{cn}的前n项的和为Sn, 则S100=c1+c2+c3+c4+…+c99+c100 =b1+b2+b4+b5+…+b145+b146+b148+b149 =(b1+b4+…+b145+b148)+(b2+b5+…+b146+b149) =(3+34+…+3145+3148)+(32+35+…+3146+3149) =(3150-1). $