专题3 第1讲 等差数列、等比数列（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题三　数列 基础自测　思维引航 考点进阶　素养淬炼 目 录 索 引 第1讲　等差数列、等比数列 基础自测　思维引航 基础自测 1.(2025全国2,7)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=(　　) A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 B 解析 当n为奇数时,由Sn=n有S3=3a2=6,S5=5a3=-5,解得a2=2,a3=-1, 所以公差d=-3.则a6=a2+4d=-10,所以S6=S5+a6=-15,故选B. 2.(2023全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1, S5=5S3-4,则S4=(　　) A. B. C.15 D.30 C 解析 由题知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)-4,即q3+q4=4q+4q2,即q3+q2-4q-4 =0,即(q-2)(q+1)(q+2)=0.由题知q>0,所以q=2.则S4==15. 3.(2024新高考Ⅱ,12)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　.  95 解析 设等差数列{an}的公差为d,由条件得 解得所以S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95. 4.(人B选必三5.2.2例3)已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2-30n. 【一题多解】 (1)求出数列的通项公式,并判断这个数列是否是等差数列; (2)求Sn的最小值,并求Sn取得最小值时n的值. 解 (1)当n=1时,有a1=S1=2-30=-28. 当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32. 又因为4×1-32=-28,所以当n=1时,an=4n-32也成立, 因此数列的通项公式为an=4n-32. 因为an+1-an=4(n+1)-32-(4n-32)=4,所以{an}是等差数列. (2)(方法一)因为Sn=2n2-30n=2(n2-15n)=2(n-)2-,且n是正整数, 所以当n=7或n=8时,Sn最小,最小值是2×72-30×7=-112. (方法二)由an=4n-32可知数列{an}是递增的等差数列,而且首项a1=-28<0. 令an≤0,可得4n-32≤0,解得n≤8,而且a8=0. 由此可知,当n=7或n=8时,Sn最小,最小值是=-112. 思维引航 1.基本量运算. 2.根据等比数列的通项公式及前n项和公式,直接求出. 3.根据等差数列的通项公式及前n项和公式,直接求出. 4.求等差数列前n项和的最值,方法一是配方法,要注意n只能取正整数;方法二是找数列中变号的邻项. 考点进阶　素养淬炼 考点一　等差数列、等比数列的基本量运算 例1　(1)(多选题)(2025全国2,9)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则(　　) A.q= B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 AD 解析 由S3=7,a3=1,得S2=6,即a1(1+q)=6①, 又a1q2=1②,①÷②,得=6,即6q2-q-1=0,解得q=-(舍去)或q=, 所以a1=4,A正确; a5=a3q2=1,B错误; S5=,C错误; Sn==2(4-an)=8-an,所以Sn+an=8,D正确.故选AD. (2)(多选题)(2025广东茂名模拟)在等差数列{an}中,a2+a3=-12,a5+a7=2.记数列{an}的前n项和为Sn,下列选项正确的有(　　) A.数列{an}的公差为2 B.Sn取最小值时,n=6 C.S4=S7 D.数列{|an|}的前10项和为50 AD 解析 设等差数列{an}的公差为d, 则由题意知解得故A正确; 因为an=-9+2(n-1)=2n-11,Sn=-9n+2=n2-10n=(n-5)2-25, 则当n=5时,Sn取最小值-25,故B错误; 因为S4=42-10×4=-24,S7=72-10×7=-21,则S4≠S7,故C错误; 因为数列{|an|}的前10项和为|-9|+|-7|+|-5|+|-3|+|-1|+1+3+5+7+9=50, 故D正确.故选AD. (3)(2025北京房山模拟)某书中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”由以上条件,该女子第 5天织布　　　　尺;若要织布50尺,该女子所需的天数至少为　　　　.  　 9 解析 由题意可得,该女子每天织布的尺数构成一个等比数列,且数列的公比为2,前5项的和为5,设首项为a1,前n项和为Sn, 则由题意得S5==31a1=5, 所以a1=,所以a5=24=,即该女子第5天所织布的尺数为 令Sn=50,解得2n≥311,所以n≥9. 所以若要织布50尺,该女子所需的天数至少为9. 知识提炼 基本公式 等差数列 等比数列 通项 公式 an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d an=a1(q≠0) an=am(q≠0) 前n 项和 公式 Sn==na1+d Sn= 【对点训练1】(1)(2025广东广州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=11,S10=4a4,则an+Sn取最大值时n的值是(　　) A.4 B.5 C.6 D.10 B 解析 设等差数列{an}的公差为d,则S10==4a4=4(a1+3d),化简得2a1+11d=0.又a1=11,所以d=-2,所以an=11-2(n-1)=13-2n,Sn==12n-n2,则an+Sn=-n2+10n+13=-(n-5)2+38,所以当n=5时,an+Sn取最大值,最大值为38.故选B. (2)(2025全国1,13)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于　　　　　.  2 解析 由题意知公比q≠1,前4项的和S4==4,① 前8项的和S8==68.② ②÷①,得1+q4=17,所以q4=16,所以q=2(负值舍去). 考点二　等差数列、等比数列的性质 考向1　等差数列的性质 例2　(1)(2024全国甲,理4)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S5=S10,a5=1,则a1=(　　) A. B. C.- D.- B 解析 由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0,则a8=0,则等差数列{an}的公差d==-,故a1=a5-4d=1-4×(-)=故选B. (2)已知数列{an}与{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn与Tn,若,则=　　　　　.  　 解析 一题多变 若例2(2)的条件不变,求的值. 解 ∵数列{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn, ∴可设Sn=An(4n+2),Tn=An(3n-1), 则 考向2　等比数列的性质 例3　(1)(2025湖北七市州调研)在正项等比数列{an}中,a3,a7是方程 x2-10x+16=0的两个根,则=(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 B 解析 因为a3,a7是方程x2-10x+16=0的两个根,所以a3a7==16. 又因为在等比数列{an}中,a2a8==a3a7=16,且{an}是正项等比数列, 所以a5=4,所以=4. (2)(2023新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　) A.120 B.85 C.-85 D.-120 C 解析 若q=1,则S6=6a1,S2=2a1,不满足S6=21S2,所以q≠1. 若q=-1,则S4=0≠-5,所以q≠-1. 由S6=21S2得=21, 所以1-q6=(1-q2)(1+q2+q4)=21(1-q2),则q4+q2-20=0,解得q2=4或q2=-5(舍去). 由已知S4==-5,得S8==-85.故选C. (3)(2025广东珠海模拟)已知等比数列{an}共有2n项,其和为240,且奇数项 的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　.  　 解析 设等比数列{an}的奇数项的和、偶数项的和分别为S奇,S偶. 由题意可得解得所以q= 知识提炼 性质 等差数列{an} 等比数列{an} 下标和 性质 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q, 则am+an=ap+aq 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq 前n项片 段和性质 Sm,-Sm,,…仍成等差数列 Sm,-Sm,,…仍成等比数列(Sm≠0) 性质 等差数列{an} 等比数列{an} 奇、偶项 和的性质 若项数为偶数2m,公差为d,则S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,; 若项数为奇数2m+1,则S2m+1=(m+1)am+1, S奇-S偶=am+1, (1)若项数为偶数2m, 公比为q(q≠0),则=q. (2)若m,p∈N*,则Sm+p=Sm+qmSp 【对点训练2】(1)(2024全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7=(　　)【一题多解】 A. B. C. D. B 解析 (方法一　利用等差数列的基本公式)由S9=1,根据等差数列的前n项和公式,S9=9a1+d=1,得9a1+36d=1.故a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=(9a1+36d)= (方法二　利用等差数列的性质)根据等差数列的性质,a1+a9=a3+a7,由S9=1,根据等差数列的求和公式,S9==1,故a3+a7= (2)(2025广东佛山模拟)已知正项等比数列{an}的前3项和为14,且,则a2=(　　) A. B. C.6 D.4 D 解析 由正项等比数列{an}的前3项和为14,得a1+a3=14-a2,则,因此,而a2>0,所以a2=4.故选D. (3)(2025浙江杭州模拟)已知数列{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,满足(2n+3)Sn=(3n-1)Tn,则=(　　) A.2 B.3 C.5 D.6 A 解析 因为数列{an},{bn}均为等差数列,所以a7+a8+a9=3a8=15a8=S15,且b6+b10=b1+b15.又由T15=,可得b6+b10=T15. 因此=2.故选A. 考点三　等差、等比数列的证明 例4　(2025山东青岛模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an (n∈N*). (1)证明:数列{an+1-an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若数列{bn}满足·…·=(an+1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列. (1)证明 ∵an+2=3an+1-2an,∴an+2-an+1=2(an+1-an), =2(n∈N*). ∵a1=1,a2=3,∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列. (2)解 由(1)得an+1-an=2n(n∈N*), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N*). (3)证明 …=(an+1, , ∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn,① 2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1.② ②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn, 即(n-1)bn+1-nbn+2=0.③ nbn+2-(n+1)bn+1+2=0.④ ④-③,得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,即bn+2-2bn+1+bn=0, ∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),∴{bn}是等差数列. 知识提炼 等差数列、等比数列的判断与证明 方法 {an}是等差数列 {an}是等比数列 定义法 an+1-an=d(常数)(n∈N*) =q(q是不为0的常数,n∈N*) 通项法 an=pn+q(p,q为常数,n∈N*) an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*) 中项法 2an+1=an+an+2(n∈N*) =an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*) 前n项 和法 Sn=An2+Bn (A,B为常数,n∈N*) Sn=Aqn-A(A为非零常数,q≠0,且q≠1) 【对点训练3】(2021全国甲,理18)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1. 证明 若选①②⇒③ 设数列{an}的公差为d1,数列{}的公差为d2. ∵当n∈N*时,an>0,∴d1>0,d2>0. ∴Sn=na1+n2+n. 又+(n-1)d2, ∴Sn=a1+(n-1)2+2d2(n-1)=n2+(2d2-2)n+-2d2+a1, ,a1-=2d2-2-2d2+a1=0, ,d2=,即d1=2a1,∴a2=a1+d1=3a1. 若选①③⇒② 设等差数列{an}的公差为d. 因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,则d=2a1, 所以Sn=na1+d=na1+n(n-1)a1=n2a1, 所以=n-(n-1) 所以{}是首项为,公差为的等差数列. 若选②③⇒① 设数列{}的公差为d,则=d, 即=d. ∵a2=3a1,=d,即d=, +(n-1)d=+(n-1)=n,即Sn=n2a1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1, 当n=1时,a1=S1=a1,符合式子an=(2n-1)a1, ∴an=(2n-1)a1,n∈N*,即数列{an}是等差数列. $