专题2 微培优2 三角形中的特殊线段问题（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

微培优2　三角形中的特殊线段问题 三角形的中线、角平分线、高线这三种特殊线段在解三角形问题中出现频率较高,也是一个比较重要的知识交汇点,与正弦、余弦定理,面积公式,平面向量等都有联系,以下通过例题介绍这类问题的常见解法. 类型一　三角形的中线问题 例1　记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC中点,且AD=1.【一题多解】 (1)若∠ADC=,求tan B; (2)若b2+c2=8,求b,c. 解 (1)(方法一)在△ABC中,因为D为BC中点,∠ADC=,AD=1, 则S△ADC=AD·DCsin∠ADC=1aa=S△ABC=,解得a=4. 在△ABD中,∠ADB=, 由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=4+1-2×2×1×(-)=7, 解得c=, 则cos B=, sin B=, 所以tan B= (方法二)在△ABC中,因为D为BC中点,∠ADC=,AD=1, 则S△ADC=AD·DCsin∠ADC=1aa=S△ABC=,解得a=4. 在△ACD中,由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC, 即b2=4+1-2×2×1=3,解得b= 因为AC2+AD2=4=CD2,则∠CAD=,C= 过点A作AE⊥BC于点E, 于是CE=ACcos C=,AE=ACsin C=,BE=, 所以tan B= (2)(方法一)在△ABD与△ACD中, 由余弦定理得 整理得a2+2=b2+c2. 又b2+c2=8,则a=2 又S△ADC=1×sin∠ADC=, 所以sin∠ADC=1. 又0<∠ADC<π,于是∠ADC=, 所以b=c==2. (方法二)在△ABC中,因为D为BC中点,所以2 又, 所以4=()2+()2=2(b2+c2)=16, 即4+a2=16,解得a=2 又S△ADC=1×sin∠ADC=, 所以sin∠ADC=1. 又0<∠ADC<π,于是∠ADC=, 所以b=c==2. 【对点训练1】(1)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acos B =2c-b. ①求A的大小; ②若△ABC的面积为,点D在线段BC上,且BD=CD,求AD的最小值. 解 ①因为2acos B=2c-b, 所以由正弦定理得2sin Acos B=2sin C-sin B=2sin(A+B)-sin B =2(sin Acos B+cos Asin B)-sin B, 所以2cos Asin B-sin B=0. 又sin B≠0,所以2cos A-1=0,即cos A= 因为0<A<π,所以A= ②由①知,sin A=, 所以S△ABC=bcsin A=bc=,所以bc=9. 又点D在线段BC上,且BD=CD, 所以)=, 则c2+b2+bc·cos A=b2+c2+bc≥2bc=bc=6, 当且仅当b2=c2,bc=9,即b=3,c=时,等号成立, 所以AD故AD的最小值为 (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin Bcos C+csin Bcos A =,c>b.【一题多解】 ①求cos B; ②若c=3,AC边上的中线BD=,求△ABC的面积. 解 ①由正弦定理得,sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B. 因为sin B≠0,所以sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B= 因为c>b,所以cos B>0,所以cos B= ②(方法一)在△ABC和△ABD中,cos A= 因为c=3,BD=,整理得,b2=2a2+6. 因为cos B=, 所以a=1,所以S△ABC=acsin B=1×3 (方法二)因为cos∠ADB+cos∠CDB=0, 所以=0,整理得,b2=2a2+6. 因为cos B=, 所以a=1,所以S△ABC=acsin B=1×3 类型二　三角形的角平分线问题 例2　(1)在△ABC中,AB=2,∠BAC=60°,BC=,D为BC上一点,AD为∠BAC的角平分线,则AD=　　　　　.【一题多解】 2 解析 如图,记AB=c,AC=b,BC=a. (方法一)由余弦定理得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6, 解得b=1+(负值舍去). 由S△ABC=S△ABD+S△ACD, 可得2×b×sin 60°=2×AD×sin 30°+AD×b×sin 30°, 整理得AD==2. (方法二)由余弦定理得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6, 解得b=1+(负值舍去). 由正弦定理可得, 解得sin B=,sin C= 因为1+,所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°. 又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,则AD=AB=2. (2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(acos C+ccos A-2a)cos C-ccos(A+C)=0. ①求角C的大小; ②若∠ACB的平分线交AB于点D,且CD=1,求3a+b的最小值. 解 ①由正弦定理得,(sin Acos C+sin Ccos A-2sin A)·cos C-sin Ccos(A+C)=0, 整理得(sin B-2sin A)cos C+sin Ccos B=0, 即sin Bcos C-2sin Acos C+sin Ccos B=0, 则sin(B+C)-2sin Acos C=0, 故sin A-2sin Acos C=0. 又A∈(0,π),则sin A≠0,所以cos C= 又C∈(0,π),所以C= ②因为∠ACB=,∠ACB的角平分线交AB于点D,所以∠ACD=∠BCD= 由三角形的面积公式可得absina×1×sinb×1×sin, 化简得ab=a+b. 又a>0,b>0,所以, 则3a+b=(3a+b)()=(4+)(4+2)=+2, 当且仅当b=a且时,等号成立, 故3a+b的最小值为+2. 【对点训练2】(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足a= 2cos B·(bcos C+ccos B). ①求角B的大小; ②已知点D在边AC上,且BD是∠ABC的平分线,BD=2,求a+c的最小值. 解 ①由正弦定理得sin A=2cos B(sin Bcos C+sin Ccos B) =2cos B·sin(B+C)=2cos Bsin A. 因为sin A≠0,所以cos B= 又B∈(0,π),所以B= ②因为BD是∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠CBD= 又S△ABC=S△BCD+S△ABD, 所以acsina×2×sinc×2×sin, 化简得ac=a+c,所以, 所以a+c=)(a+c)=(2+)(2+2)=, 当且仅当a=c=时,等号成立,所以a+c的最小值为 (2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A,B,C成等差数列,且 sin C=3sin A. ①求cos C; ②若角B的平分线交AC于点D,BD=2,求△ABC的面积. 解 ①由A,B,C成等差数列且A+B+C=π,得A+C=2B=,所以A=-C, 故sin C=3sin A=3sin(-C)=cos C+sin C,且C∈(0,), 所以cos C+sin C=0,则tan C=-3,故C∈(). 由得cos C=- ②如图,由①知,B=,则∠CBD=∠ABD=, 而BD=2,故D到BC,BA的距离h=1, 所以S△ABC=S△BCD+S△ABD=h(AB+BC)=h(c+a). 又sin C=3sin A,即c=3a,所以S△ABC=2a. 又S△ABC=acsin∠ABC=a2, 所以a2=2a,解得a=, 所以S△ABC=()2= 类型三　三角形的高线问题 例3　(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos C=. ①求角B的大小; ②若边AB上的高为,求cos C的值. 解 ①由余弦定理得, 所以a2+b2-c2=2a(a-csin B), 所以b2=a2+c2-2acsin B. 又因为b2=a2+c2-2accos B, 所以sin B=cos B,则tan B=1. 因为B∈(0,π),所以B= ②因为△ABC的面积S=acsin B=ac=,所以a=c. 由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=(c)2+c2-2c×cc2, 所以b=c,所以cos C==- (2)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. ①求sin A; ②设AB=5,求AB边上的高. 解 ①因为A+B=3C,所以π-C=3C,即C= 又2sin(A-C)=sin B=sin(A+C), 所以2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, 所以sin Acos C=3cos Asin C, 所以sin A=3cos A,即tan A=3,所以0<A< 又sin2A+cos2A=1,得sin A= ②由①知,cos A=, 所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=()= 由正弦定理得,可得b==2 又AB·h=AB·AC·sin A, 所以h=b·sin A=2=6. 【对点训练3】(1)(2025江苏南通高三调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(2b-c)cos A=acos C. ①求A; ②若△ABC的面积为,BC边上的高为1,求△ABC的周长. 解 ①由正弦定理得(2sin B-sin C)cos A=sin Acos C, 整理得2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 即2sin Bcos A=sin B. 因为在△ABC中,sin B≠0,所以cos A= 又0<A<π,所以A= ②因为△ABC的面积为,所以a×1=,得a=2 由bcsin A=,得bc,则bc=4. 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,得12=b2+c2-bc, 所以(b+c)2=3bc+12,所以(b+c)2=24,即b+c=2, 所以△ABC的周长为a+b+c=2+2 (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,2cos A=3-acos B. ①求c; ②若AH为BC边上的高,且AH=,求∠BAC的大小. 解 ①由b=2及2cos A=3-acos B,得bcos A=3-acos B, 即bcos A+acos B=3. 由余弦定理得,b+a=3,得c=3. ②由于AH为BC边上的高, 在Rt△BAH中,BH2=AB2-AH2=9-,所以BH= 在Rt△CAH中,CH2=AC2-AH2=4-, 所以CH=,所以BC=BH+CH= 由余弦定理得,cos∠BAC==- 又因为∠BAC∈(0,π),所以∠BAC= $