专题2 第3讲 三角函数的图象与性质（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

第3讲　三角函数的图象与性质 基础自测　思维引航 考点进阶　素养淬炼 目 录 索 引 基础自测　思维引航 基础自测 1.(人A必一5.4节习题)已知函数f(x)=sin(2x-),x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[-]上的最大值和最小值. 解 (1)由题意可得,f(x)=sin(2x-),x∈R,则f(x)的最小正周期为T==π. (2)令u=2x-,x∈[-],则u∈[-], 故sin u∈[-1,],因此f(x)=sin u∈[-]. 即函数f(x)的最大值为,最小值为- 2.(人A必一5.6节习题)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内 的图象如图所示,此函数的解析式为　　　　　　　　　.  y=2sin(2x+) 解析 由图象可知A=2,, ∴T=π,故ω=2, ∴函数的解析式是y=2sin(2x+φ). ∵函数的图象过(-,2),∴2=2sin[2(-)+φ],得φ-=2kπ+,k∈Z. 又0<φ<π,∴φ=,故此函数的解析式是y=2sin(2x+). 3.(2024新高考Ⅰ,7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)的交点个数为 (　　) A.3 B.4 C.6 D.8 C 解析 在同一平面直角坐标系中,画出区间[0,2π]上的曲线y=sin x与y=2sin(3x-),如图所示. 由图可知,在区间[0,2π]上,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)有6个交点. 4.(2025全国1,4)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x-)的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　) A. B. C. D. B 解析 由题意知,a-,k∈Z,所以a=,k∈Z. 又a>0,所以当k=0时,a取最小值.故a的最小值为故选B. 思维引航 1.函数y=Asin(ωx+θ),A>0,ω≠0的最小正周期T=. 2.由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)中参数的值 (1)最值定A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为M,最小值为m,则M=A+B,m=-A+B,解得B=,A=. (2)特殊点定φ:代入特殊点求φ,一般代入最高点或最低点,代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势. 3.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法. 4.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的性质 (1)单调性:由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递增区间; 由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递减区间. (2)对称性:由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得对称中心; 由ωx+φ=kπ+(k∈Z)可得对称轴. 考点进阶　素养淬炼 考点一　三角函数的图象与解析式 例1　(1)(2024天津,7)已知函数f(x)=sin[3(ωx+)](ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)在区间[-]上的最小值是(　　) A.- B.- C.0 D. A 解析 f(x)=sin[3(ωx+)]=sin(3ωx+π)=-sin 3ωx. 由T==π,得ω=,则f(x)=-sin 2x. 当x∈[-]时,2x∈[-], 因为函数y=sin x在区间[-]上单调递增, 所以f(x)=-sin 2x 在区间[-]上单调递减, 所以当x=时,f(x)min=-sin=-故选A. (2)(多选题)(2020山东,10)下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(　　)【一题多解】 A.sin B.sin C.cos D.cos BC 解析 (方法一)依题意得,则最小正周期T=π, 所以|ω|==2,所以ω=±2. 又函数图象的最低点为,即(,-1),当ω=2时,则sin(+φ)=-1, 所以+φ=2kπ-,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z,此时y=sin(2x+2kπ-). 令k=1,则y=sin(2x+)=cos(2x+). 当ω=-2时,则sin(-+φ)=-1,所以-+φ=2kπ-,k∈Z,即φ=2kπ+,k∈Z, 此时y=sin(-2x+2kπ+). 令k=0,则y=sin(-2x+).故选BC. (方法二)由题图可知,,所以T=π, 因为=π,所以|ω|=2,故A错误; 当ω=-2时,因为图象过点(,0),所以sin(-2+φ)=0, 即-+φ=π+2kπ(k∈Z), 所以φ=+2kπ(k∈Z),当k=-1时,φ=,y=sin(-2x),故B正确; 因为y=sin(-2x)=sin[-(+2x)]=cos(2x+),故C正确; 因为cos(-2x)=cos[π-(2x+)]=-cos(2x+),故D错误.故选BC. 【对点训练1】(1)(2024北京,6)已知f(x)=sin ωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1, |x1-x2|min=,则ω=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 解析 ∵f(x)在x1,x2处分别取得最小值与最大值,|x1-x2|min=, ∴最小正周期为2=π,∴ω==2.故选B. (2)(多选题)(2025浙江宁波高三月考)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0,|ω|<)部分图象如图所示,则下列说法正确的有(　　) A.f(x)的图象关于直线x=对称 B.f(x)的图象关于点(,0)对称 C.将函数y=sin 2x-cos 2x的图象向左平移个 单位长度得到函数f(x)的图象 D.若方程f(x)=m在区间[-,0]上有两个不相等的 实数根,则实数m的取值范围是[-2,-] AB 解析 由题图得,A=2.又,则T=π.由=T,得ω==2.当x=时,2+φ=kπ,k∈Z,则φ=-+kπ,k∈Z.又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2cos(2x-). 对于A,当x=时,f(x)=2cos()=2cos π=-2,故A正确;对于B,当x=时,f(x)=2cos()=2cos=0,故B正确;对于C,易知,函数y=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),将函数y=2sin(2x-)的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin[2(x+)-]=2sin(2x+)的图象,故C错误;对于D,当x∈[-,0]时,2x-[-,-].当2x-[-,-π]时,f(x)单调递减;当2x-[-π,-]时,f(x)单调递增,因为2cos(-)=-,2cos(-π)=-2,2cos(-)=,所以方程f(x)=m在区间[-,0]上有两个不相等的实数根时,m的取值范围是(-2,-],故D错误.故选AB. 考点二　三角函数的图象与变换 例2　(1)把函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可以得到函数y=sin(x+)的图象,则函数y=f(x)+x的零点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B 解析 将函数y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,可得函数y=sin(x+)的图象,再将y=sin(x+)的图象向左平移个单位长度,可得y=sin[(x+)+]=sin(x+π)=-sin x的图象,即f(x)=-sin x. 令g(x)=f(x)+x=x-sin x,则g'(x)=1-cos x,所以g'(x)≥0对任意x∈R恒成立, 所以函数y=g(x)在R上单调递增. 又因为g(0)=0,所以函数y=f(x)+x有唯一零点,即零点的个数为1.故选B. (2)(2023全国甲,文12)函数y=f(x)的图象由y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 解析 由题意知f(x)=cos[2]=cos2(x+)=-sin 2x. 在平面直角坐标系中画出y=-sin 2x与y=x-的图象草图,如图所示. 由图可知,两函数图象有3个交点.故选C. 【对点训练2】(1)(2025湖北七市州高三模拟)函数f(x)=sin(4x+φ)(-<φ<)的图象向右平移个单位长度后,其图象关于y轴对称,则φ=(　　) A.- B.- C. D. B 解析 由题可得,y=si[4(x-)+φ]=sin(4x-+φ). 因为函数图象关于y轴对称,所以-+φ=+kπ,k∈Z,则φ=+kπ,k∈Z. 又-<φ<,所以φ=- (2)(2025四川乐山三模)函数f(x)=sin 2x+cos 2x-1在区间[0,m]上有且仅 有3个零点,则m的取值范围是　　　　　　　.  [π,) 解析 由题可得,f(x)=sin 2x+cos 2x-1 =2(sin 2x+cos 2x)-1=2(sin 2xcos+cos 2xsin)-1=2sin(2x+)-1. 又x∈[0,m],则(2x+)∈[,2m+]. 因为f(x)=2sin(2x+)-1在区间[0,m]上有且仅有3个零点, 即sin(2x+)=在区间[0,m]上有且仅有3个解. 结合y=sin x与y=的图象,可知2m+, 解得π≤m<,故m的取值范围为[π,). 考点三　三角函数的性质 例3　(1)(多选题)(2022新高考Ⅱ,9)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点对称,则(　　) A.f(x)在单调递减 B.f(x)在有两个极值点 C.直线x=是曲线y=f(x)的一条对称轴 D.直线y=-x是曲线y=f(x)的一条切线 AD 解析 由题意得,f()=sin(+φ)=0,所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z.又0<φ<π,所以k=2,φ=故f(x)=sin(2x+). 选项A,当x∈(0,)时, 2x+(),所以f(x)在区间(0,)内单调递减,故选项A正确; 选项B,当x∈(-)时,2x+(),由函数f(x)的图象(图略),易知y=f(x)只有一个极值点,由2x+,可得极值点为x=,故选项B错误; 选项C,当x=时,2x+=3π,f()=0,所以直线x=不是曲线y=f(x)的对称轴,故选项C错误; 选项D,结合该选项,若f'(x)=2cos(2x+)=-1,得cos(2x+)=-,解得2x++2kπ或2x++2kπ,k∈Z,从而得x=kπ或x=+kπ,k∈Z,所以函数y=f(x)的图象在点(0,)处的切线斜率为y'|x=0=2cos=-1,切线方程为y-=-(x-0),即y=-x,故选项D正确.故选AD. (2)(2025北京,8)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在区间[0,]上存在零点,则ω的最小值为(　　) A.8 B.6 C.4 D.3 C 解析 f(x)=sin(ωx+),当x∈[0,]时,ωx+[+]. ∵f(x)在[0,]上存在零点,+,解得ω≥3. 又f(x+π)=f(x),∴π为f(x)的一个周期.设f(x)的最小正周期为T,则π=kT,k∈N*. 又T=,∴π=k,k∈N*,∴2k=ω,k∈N*,∴ω的最小值为4.故选C. 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 单调递 减区间 [2kπ+,2kπ+],k∈Z [2kπ,2kπ+π],k∈Z — 对称 中心 (kπ,0),k∈Z (kπ+,0),k∈Z (,0),k∈Z 对称轴 方程 x=kπ+,k∈Z x=kπ,k∈Z — 2.(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=kπ(k∈Z)),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=+kπ (k∈Z)),求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=(k∈Z),求x即可. 【对点训练3】(1)(多选题)已知函数f(x)=sin x+cos 2x,则下列结论正确的有(　　) A.函数f(x)的图象不关于原点对称 B.函数f(x)在区间[-π,0]上的值域为[-2,] C.函数f(x)在区间[-2π,-]上单调递减 D.函数f(x)在区间[-π,π]上有3个零点 AD 解析 f(x)的定义域为R.因为f(-x)=sin(-x)+cos(-2x)=-sin x+cos 2x,所以f(-x) ≠-f(x),则函数f(x)的图象不关于原点对称,故A正确.f(x)=sin x+cos 2x= -2sin2x+sin x+1,故当x∈[-π,0],即sin x∈[-1,0]时,令sin x=t,t∈[-1,0],则问题转化为函数y=-2t2+t+1在区间[-1,0]上的值域,且y=-2t2+t+1图象的对称轴方程为t=,故函数y=-2t2+t+1在区间[-1,0]上单调递增,最大值为1,最小值为-2,故B错误.当x∈[-2π,-],y=sin x在区间[-2π,-]上单调递增,即sin x∈[0,1], t∈[0,1]时,函数y=-2t2+t+1在区间[0,]上单调递增,在区间[,1]上单调递减,根据复合函数单调性,知C错误.令f(x)=sin x+cos 2x=0,即-2sin2x+sin x+1=0,解得sin x=1或sin x=-,当x∈[-π,π]时,x=或x=-或x=-,故函数f(x)在区间[-π,π]上有3个零点,故D正确.故选AD. (2)(2025江苏南京高三模拟)若函数f(x)=sin x+acos x的图象关于直线x=对称,则实数a的值是　　　　.  解析 因为函数f(x)=sin x+acos x=sin(x+θ)的图象关于直线x=对称,则f()=sin+acosa=±,整理得(a-)2=0,故a= $