专题2 第2讲 三角函数的化简与求值（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

第2讲　三角函数的化简与求值 基础自测　思维引航 考点进阶　素养淬炼 目 录 索 引 基础自测　思维引航 基础自测 1.(人A必一5.5.1节练习)求下列各式的值: (1)sin 15°cos 15°; 解 原式=2sin 15°cos 15°=sin 30°= (2)cos2-sin2; 解 原式=cos (3); 解 原式=tan 45°= (4)2cos222.5°-1. 解 原式=cos 45°= 2.(人A必一5.5.2节例题)求下列函数的周期、最大值和最小值: (1)y=sin x+cos x; 解 y=sin x+cos x=2(sin x+cos x)=2(sin xcos+cos xsin)=2sin(x+). 因此,所求周期为2π,最大值为2,最小值为-2. (2)y=3sin x+4cos x. 解 设3sin x+4cos x=Asin(x+φ),则3sin x+4cos x=Asin xcos φ+Acos xsin φ. 于是Acos φ=3,Asin φ=4,于是A2cos2φ+A2sin2φ=25, 所以A2=25.取A=5,则cos φ=,sin φ= 由y=5sin(x+φ)可知,所求周期为2π,最大值为5,最小值为-5. 3.(2024全国甲,理8)已知,则tan(α+)=(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- B 解析 由,得,则tan α=1-, 所以tan(α+)==2-1.故选B. 4.(2024新高考Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　) A.-3m B.- C. D.3m A 解析 ∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β. ∵cos(α+β)=m, 即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m, ∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m. 思维引航 1.sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan 2α=. 2.asin α+bcos α=·sin(α+β),tan β=. 3.tan(+α)=. tan(-α)=. 4.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. tan(α+β)=. tan(α-β)=. 考点进阶　素养淬炼 考点一　同角三角函数基本关系、诱导公式的应用 例1　(1)(2024新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β =4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　　.【一题多解】 - 解析 (方法一)tan(α+β)==-2 又2kπ+π<α+β<2kπ+2π,k∈Z,所以α+β为第四象限角. 由sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,得sin2(α+β)+sin2(α+β)=1,所以sin2(α+β)= 又sin(α+β)<0,所以sin(α+β)=- (方法二)设tan α=m,tan β=n,m>0,n>0, 则sin α=,cos α=,sin β=,cos β=, 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==- (2)在平面直角坐标系Oxy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若α∈[],则cos β的最大值为　　　　　.  - 解析 由题意知,β=α+π+2kπ,k∈Z,则cos β=cos(α+π+2kπ)=-cos α. 因为α∈[],所以cos α的取值范围是[],则cos β的取值范围是[-,-], 故当且仅当α=,即β=+2kπ,k∈Z时,cos β取得最大值,且最大值为- 【对点训练1】(1)已知cos(33°+α)=,且0°<α<90°,则tan(33°+α)sin(57°-α)-cos(147°-α)=(　　) A. B.- C. D.- A 解析 由0°<α<90°,可得33°<α+33°<123°. 因为cos(33°+α)=,则sin(33°+α)= 又sin(57°-α)=sin[90°-(33°+α)]=cos(33°+α), cos(147°-α)=cos[180°-(33°+α)]=-cos(33°+α), 所以tan(33°+α)·sin(57°-α)-cos(147°-α) =cos(33°+α)+cos(33°+α) =sin(33°+α)+cos(33°+α)=故选A. (2)若α∈(),6tan(+α)+4cos(-α)=5cos 2α,则sin 2α=(　　) A. B. C. D. C 解析 令t=+α,t∈(,π),得α=t-,则6tan t+4cos(-t)=5cos(2t-), 即6tan t+4sin t=5sin 2t=10sin tcos t, 整理得(5cos t+3)(cos t-1)=0,得cos t=-或cos t=1. 又cos t<0,则cos t=-,则sin 2α=sin(2t-)=-cos 2t=1-2cos2t=故选C. 考点二　三角函数式的化简与求值 例2　(1)(2024上海,14)下列函数中,f(x)的最小正周期是2π的是(　　) A.f(x)=sin x+cos x B.f(x)=sin xcos x C.f(x)=sin2x+cos2x D.f(x)=sin2x-cos2x A 解析 对于A,f(x)=sin x+cos x=sin x+cos x)=sin(x+),则T=2π,满足条件,故A选项符合题意; 对于B,f(x)=sin xcos x=sin 2x,则T=π,不满足条件,故B选项不符合题意; 对于C,f(x)=sin2x+cos2x=1,为常函数,则不存在最小正周期,不满足条件,故C选项不符合题意; 对于D,f(x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,则T=π,不满足条件,故D选项不符合题意. 故选A. (2)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(　　) A. B. C. D. A 解析 由3cos 2α-8cos α=5,得3(2cos2α-1)-8cos α=5,即3cos2α-4cos α-4=0, 解得cos α=-或cos α=2(舍去). 又因为α∈(0,π),所以sin α>0,所以sin α= 【对点训练2】(1)函数y=与x2+y2=1的图象交于点A,O为坐标原点,设直线OA的倾斜角为θ,则cos 2θ+2cos θ=(　　) A.1 B. C. D.2 A 解析 由题意可知,A(cos θ,sin θ). 又点A在y=上,所以sin θ=,整理得cos2θ+cos θ=1. 所以cos 2θ+2cos θ=2cos2θ-1+2cos θ=2-1=1.故选A. (2)(2024全国甲,文13)函数f(x)=sin x-cos x在区间[0,π]的最大值是 　　　　　.  2 解析 由题可得,f(x)=sin x-cos x=2sin(x-). 因为x∈[0,π],则x-[-],故x-,即x=时,f(x)取得最大值2. 考点三　三角恒等变换的综合应用 例3　(1)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,且tan(B-)tan(C-)=1,若sin B=,则cos(2B+C)=(　　) A.- B.- C.- D.- A 解析 由tan(B-)tan(C-)=1,得cos(B-)cos(C-)-sin(B-)sin(C-)=0, 则cos(B+C-)=0,故B+C-,即B+C=,则A= 因为cos(2B+C)=cos(B+C+B)=cos(B+C)cos B-sin(B+C)sin B, 且sin B=<sin A,则B是锐角,所以cos B= 又cos(B+C)=-cos A=-,sin(B+C)=sin A=, 故cos(2B+C)=-=-故选A. (2)设β∈(0,),若sin α=3sin(α+2β),tan β=,则tan(α+2β)=(　　) A.- B. C.- D. A 解析 因为sin α=3sin(α+2β),则sin[(α+2β)-2β]=3sin(α+2β), 所以sin(α+2β)cos 2β-cos(α+2β)sin 2β=3sin(α+2β), 即sin(α+2β)(cos 2β-3)=cos(α+2β)sin 2β,得tan(α+2β)= 因为β∈(0,),tan β=,所以tan 2β==2, 则解得所以tan(α+2β)=-故选A. 【对点训练3】(1)(2025全国2,8)已知0<α<π,cos,则sin(α-)=(　　) A. B. C. D. D 解析 由0<α<π可知0<,因为cos,所以sin, 所以sin α=2sincos=2,cos α=2cos2-1=2×()2-1=- 所以sin(α-)=sin αcos-cos αsin-(-)故选D. (2)(2021新高考Ⅰ,6)若tan θ=-2,则=(　　) A.- B.- C. D. C 解析 =sin θ(sin θ+cos θ) =sin2θ+sin θcos θ=故选C. $