专题2 第1讲 平面向量（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题二　三角函数与解三角形 基础自测　思维引航 考点进阶　素养淬炼 目 录 索 引 第1讲　平面向量 基础自测　思维引航 基础自测 1.(2024上海,5)已知向量a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k=　　　　　.  15 解析 由a∥b,得,即5×6=2×k,解得k=15. 2.(2024新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 D 解析 ∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4). ∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2. 3.(人A必二6.2.4节练习)已知|a|=,|b|=1,且a-b与a+2b互相垂直,求证:a⊥b. 证明 根据题意,因为a-b与a+2b互相垂直,所以(a-b)·(a+2b)=0, 即a2+a·b-2b2=0. 又a2=|a|2=2,-2b2=-2|b|2=-2,所以a·b=0,因此a⊥b. 4.(人A必二6.2节习题)已知△ABC的外接圆圆心为O,且2, ||=||,则向量在向量上的投影向量为(　　) A. B. C.- D.- A 解析 设D为BC的中点,则=2=2,故△ABC外接圆圆心O为BC的中点,所以∠BAC=90°.又||=||=||,所以∠ABC=60°,因此向量在向量上的投影向量为 思维引航 1.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.两非零向量a,b平行的充要条件:a∥b⇔x1y2=x2y1. 2.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)a+b=(x1+x2,y1+y2); (2)a-b=(x1-x2,y1-y2); (3)λa=(λx1,λy1); (4)两非零向量a,b垂直的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. 3.对于向量a,b,c和实数λ,有 (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 4.投影向量:非零向量a在非零向量b上的投影向量为 |a|cos<a,b>. 考点进阶　素养淬炼 考点一　平面向量的线性运算 例1　(1)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n B 解析 因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,即=2(),所以=3-2=3n-2m=-2m+3n.故选B. (2)(2025天津,14)在△ABC中,D为AB中点,.记=a,=b,则用 a,b表示为　　　　;若||=5,且AE⊥CB,则=　　　　　.  a+b -15 解析 =-b+a, =-b+a, 则=b+a-b=a+b. ∵AE⊥CB,则=0,得(a+b)(a-b)=0,整理得a2+3a·b-4b2=0.① 又||=5,∴(a+b)2=a2+a·b+b2=25,整理得a2+8a·b+16b2=900.② 由①②得,a·b=-4b2+180,a2=16b2-540, =(a+b)(a-b)==-=-15. 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减法 求两个向量差的运算   三角形法则 a-b=a+(-b) 数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb 2.共线向量定理 (1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa. (2)=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线(O不在直线BC上),则λ+μ=1. 【对点训练1】(1)如图,等腰梯形ABCD中,AB=BC=CD=3AD,点E为线段CD上靠近C的三等分点,点F为线段BC的中点,则=(　　) A.- B.- C.- D.- A 解析 由题意,得 )+) ==-故选A. (2)已知平面向量a,b不共线,=4a+6b,=-a+3b,=a+3b,则(　　) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 D 解析 对于A,=-a+3b+(a+3b)=6b,与不共线,故A不正确;对于B,=4a+6b,=-a+3b,则不共线,故B不正确; 对于C,=-a+3b,=a+3b,则不共线,故C不正确; 对于D,=4a+6b+(-a+3b)=3a+9b=3,即 又线段AC与CD有公共点C,所以A,C,D三点共线,故D正确.故选D. 考点二　平面向量的数量积及其运算 例2　(1)已知向量a=(1,0),b=(0,1),a·c=b·c=1,则向量a在向量c上的投影向量为(　　)【一题多解】 A.() B.() C.(-) D.(-) A 解析 设c=(x,y),因为a=(1,0),b=(0,1),a·c=b·c=1,所以x=y=1,即c=(1,1). (方法一)画出向量a,c,向量a在向量c上的投影向量,如图.过(1,0)点向c=(1,1)作垂线,易得垂足坐标为(),所以投影向量坐标为(). (方法二)因为a·c=1,|c|=, 所以向量a在向量c上的投影向量为=(). (2)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=(　　) A.- B.- C. D. D 解析 ∵|a|=5,|b|=6,a·b=-6,∴a·(a+b)=|a|2+a·b=52-6=19. 又|a+b|==7, 故cos<a,a+b>=故选D. 【对点训练2】(1)(2025湖北名校高三模拟)已知单位向量e1与e2的夹角为,则2e1+e2与e1-3e2的夹角为(　　) A. B. C. D. C 解析 设2e1+e2与e1-3e2的夹角为θ, 则(2e1+e2)(e1-3e2)=2-5e1·e2-3=2--3=- 因为(2e1+e2)(e1-3e2)=|2e1+e2||e1-3e2|cos θ =cos θ=cos θ=7cos θ, 所以7cos θ=-,故cos θ=-故C=故选C. (2)(2025全国2,12)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　 . 解析 由题意a-b=(1,1-2x), 又a⊥(a-b),所以x·1+1×(1-2x)=0,解得x=1,即a=(1,1),所以|a|= 考点三　平面向量最值范围问题 考向1　极化恒等式 例3　已知圆C的圆心是坐标原点,半径是4,直线l:xcos α+ysin α-2=0与圆C交于A,B两点,M为圆上一动点,则的最大值是(　　) A.16 B.12 C.24 D.16 C 解析 由题可得,圆C的方程:x2+y2=16,圆心O(0,0),则圆心到直线l的距离d==2. 设AB的中点为N(图略),则ON=d=2,AN=2 由极化恒等式知,[()2-()2] =[(2)2-(2)2]=||2-||2=||2-12. ∵M在圆C上,N为弦AB中点, ∴MNmax=OM+ON=6,的最大值是24.故选C. 考向2　函数思想解决平面向量最值范围 例4　已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·()的最小值是(　　)【一题多解】 A.-2 B.- C.- D.-1 B 解析 (方法一)以O为原点,OC,OA所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.A(0,),B(-1,0),C(1,0). 设P(x,y),连接OP, 则=(0,),=(-1,0),=(1,0),=(-x,-y),=(-x,-y), =(-x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-y=x2+(y-)2-,- 又=2,()=2-,故其最小值为- (方法二　极化恒等式)=2, ()=2==-, 当且仅当P位于OA中点时,等号成立,故其最小值为- 考向3　等和线 例5　(2025山东滨州高三一模)在△ABC中,M为BC边上任意一点,N为线段AM上任意一点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是(　　) A.[0,] B.[] C.[0,1] D.[1,2] C 解析 由题意,设=t(0≤t≤1),当t=0时,=0,所以+=0, 所以λ=μ=0,则λ+μ=0; 当0<t≤1时,因为=+(λ,μ∈R), 所以t=+,即 因为M,B,C三点共线,所以=1,即λ+μ=t∈(0,1]. 综上,λ+μ的取值范围是[0,1]. 【对点训练3】(1)在△ABC中,M为边BC上的任意一点,点N在线段AM上,且满足,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　) A. B. C.1 D.4 A 解析 设=t(0≤t≤1). 因为,所以)=t()=(t) 又=+,所以λ+μ=(t)+t= (2)(2025山东潍坊高三期末)边长为1的正方形内有一内切圆,MN是内切圆的一条弦,点P为正方形四条边上的动点,当弦MN的长度最大时,的 取值范围是　　　　　.  [0,] 解析 设正方形ABCD的内切圆为圆O,当弦MN的长度最大时,MN为圆O的一条直径,=()·()=当P为正方形ABCD的某边的中点时,;当P与正方形ABCD的任一顶点重合时,||max=,即||,故=||2-[0,]. (3)在边长为1的正方形ABCD中,点E为线段CD的三等分点,CE=DE, =λ+μ,则λ+μ=　　　　　;F为线段BE上的动点,G为线段AF中点, 则的最小值为　　　　.【一题多解】 　 - 解析 (方法一)因为CE=DE,即,则,可得λ=,μ=1,所以λ+μ=由题意可知,||=||=1,=0. 因为F为线段BE上的动点,设=k+k,k∈[0,1], 则+k=(k-1)+k 又因为G为线段AF中点, 则=-k-1)+(k-1), 可得=[(k-1)+k]·[k-1)+(k-1)] =k-1)2+k(k-1)=(k-)2- 又因为k∈[0,1],则当k=1时,取到最小值- (方法二)以B为原点,BA,BC所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(0,0),C(0,1),D(-1,1),E(-,1),=(-1,0),=(0,1), =(-,1).因为=+=(-λ,μ), 则得λ=,μ=1,所以λ+μ= 因为点F在线段BE:y=-3x,x∈[-,0]上,设F(a,-3a),a∈[-,0],则=(a+1,-3a).因为G为AF中点,则G(,-a),可得=(,-a-1),则+ (-3a)(-a-1)=5(a+)2-,且a∈[-,0],所以当a=-时,取到最小值为- 考点四　平面向量的综合应用 例6　(1)(2025河南焦作高三模拟)已知△ABC内一点D满足=0,则△ABC的面积是△ABD面积的(　　) A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 A 解析 由=0,结合奔驰定理可得S△ABD=S△ABC=S△ABC, 所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.故选A. (2)(2023全国乙,理12)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=,则的最大值为(　　) 【一题多解】 A. B. C.1+ D.2+ A 解析 (方法一)设∠DPO=α,由题可知α∈[0,). ∵||=,||=1,∴∠OPA=, ∴||=||cos α=cos α. ①当在PO两侧时, =||||cos(α+)=cos α·cos(α+) =cos α(cos α-sin α)=cos2α-sin αcos α =sin 2α=-sin(2α-)+ ∵α∈[0,),∴-2α-, ∴-sin(2α-)<,∴0<-sin(2α-)+1,∴0<1. ②当在PO同侧时,=||||cos(α-)=cos αcos(α-) =cos2α+sin αcos α=sin 2α=sin(2α+)+ α∈[0,), 2α+,sin(2α+)≤1,∴1 综上,最大值为故选A. (方法二)连接OA,由题可知|OA|=1,OA⊥PA,因为|OP|=,所以在Rt△PAO中,由勾股定理可得|PA|==1,则∠POA=设直线OP绕点P按逆时针方向旋转θ后与直线PD重合,则-<θ<,∠APD=+θ,且|PD|=cos θ,所以=||||cos(+θ)=cos θcos(+θ)=cos(2θ+)(利用结论cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)])故选A. (方法三)以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),设圆O:x2+y2=1,令点P(,0),因为|OA|=1,且OA⊥PA,所以∠POA=,不妨令A().设直线 PD的方程为y=k(x-),B(x1,y1),C(x2,y2),由得(k2+1)x2-2k2x +2k2-1=0.由Δ=8k4-4(k2+1)(2k2-1)=4-4k2>0,解得-1<k<1,则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-2)=-,所以D(,-),于是=(-), =(-,-),所以设t=1-k,则0<t<2,,当且仅当t=时,等号成立. 故选A. 【对点训练4】(1)(多选题)(2025广东深圳外国语学校期中)点O在△ABC内,以下说法正确的有( 　　) A.若=0,则点O为△ABC的重心 B.若||=||=||,则点O为△ABC的外心 C.若()·=()·=()·=0,则点O为△ABC的内心 D.若,则点O为△ABC的垂心 ABD 解析 设BC,AC,AB的中点分别为D,E,F,连接OD,OE,OF. 对于A,=2,则+2=0,所以=-2, 所以A,O,D三点共线,即点O在中线AD上.同理可得, 点O在中线BE,CF上,所以点O是△ABC的重心,故A正确. 对于B,若||=||=||,则点O为△ABC的外心,故B正确.对于C,()=0,则2=0,所以直线OF为线段AB的垂直平分线.同理可得,直线OE,OD分别为线段AC,BC的垂直平分线,所以O为△ABC三边垂直平分线的交点,所以点O为△ABC的外心,故C错误.对于D,由已知可得()==0,即OB⊥CA,所以点O在AC边上的高线所在直线上.同理可得O在AB边上的高线所在直线上,O在BC边上的高线所在直线上,所以点O是△ABC的垂心,故D正确.故选ABD. (2)设△ABC的内心为I,且满足2+5+6=0,则cos B的值是　　　　.  解析 设△ABC中角A,B,C所对边长分别为a,b,c, 由a+b+c=0,得a∶b∶c=2∶5∶6,所以cos B= $