专题1 第1讲 集合、复数、常用逻辑用语（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题一　必备知识 基础自测　思维引航 考点进阶　素养淬炼 目 录 索 引 第1讲　集合、复数、常用逻辑用语 基础自测　思维引航 基础自测 1.(2024新高考Ⅰ,1)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(　　) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} A 解析 因为A={x|-<x<},B={-3,-1,0,2,3},且注意到1<<2, 从而A∩B={-1,0}.故选A. 2.(人A必一习题1.2改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　　.  [2,+∞) 解析 因为A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},且B⊆A,所以a≥2. 3.(2024新高考Ⅱ,1)已知z=-1-i,则|z|=(　　) A.0 B.1 C. D.2 C 解析 因为z=-1-i,所以|z|=故选C. 4.(人B必四习题10-1B组改编)若复数z1=4-3i,z2=4+3i所对应的向量分别为,则△OZ1Z2的周长等于(　　) A.58 B.56 C.18 D.16 D 解析 设z1,z2在复平面内的对应点分别为Z1,Z2, 依题意,||=|4-3i|=5,||=|4+3i|=5, ||=||=|(4-3i)-(4+3i)|=|-6i|=6, 因此△OZ1Z2的周长为5+5+6=16.故选D. 5.(2024新高考Ⅱ,2)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 B 解析 对于命题p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,¬p是真命题;对于命题q而言,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,¬q是假命题.综上,¬p和q都是真命题.故选B. 思维引航 1.A∩B={x|x∈A,且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B}. 2.可以借助数轴分析求解,注意端点值的取舍. 3.若复数z=a+bi(a,b∈R),则|z|=. 4.复数z=a+bi 点Z(a,b),|z1-z2|表示Z1,Z2两点间的距离. 5. 命题 类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,¬p(x) ∀x∈M,¬p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 考点进阶　素养淬炼 考点一　集合 例1　(1)(2025全国2,3)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=(　　) A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} D 解析 由题意得B={-1,0,1},所以A∩B={0,1}.故选D. (2)(2025江苏南京模拟)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|x+a≤0},若A⊆B,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-∞,-2) D.(-∞,-2] D 解析 由x2-4≤0可得-2≤x≤2,所以A=[-2,2]. 由x+a≤0可得x≤-a,所以B=(-∞,-a].又A⊆B,所以2≤-a,即a≤-2.故选D. (3)(2025湖北鄂州模拟)已知全集U={x|x∈N,x≤9},A={1,2,6},B={6,7,8},则{1,2}可以表示为(　　) A.(∁UA)∩B B.(∁UB)∩A C.∁U(A∩B) D.∁U(A∪B) B 解析 因为全集U={x|x∈N,x≤9}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,6},B={6,7,8},则1∈A,2∈A,且1∉B,2∉B,且(∁UB)∩A={0,1,2,3,4,5,9}∩{1,2,6}={1,2}.故选B. (4)(2025江苏南通模拟)已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|cos=0},那么集合A∩B的子集的个数为(　　) A.2 B.4 C.7 D.8 D 解析 由cos=0,得=kπ+(k∈Z),解得x=2k+1.因为k∈Z,所以集合B是所有奇数构成的集合,则A∩B={-1,1,3},因此A∩B的子集一共有23=8个.故选D. 考点二　复数 例2　(1)(2025全国2,2)已知z=1+i,则=(　　) A.-i B.i C.-1 D.1 A 解析 由z=1+i,得=-i.故选A. (2)(2025湖南岳阳模拟)已知复数z1在复平面内所对应的点位于第一象限,且,则复数z2在复平面内所对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 解析 因为复数z1在复平面内所对应的点位于第一象限,所以可设z1=a+bi(a>0,b>0),因为=-i,所以z2=-iz1=b-ai,由于b>0,-a<0,因此复数z2在复平面内所对应的点位于第四象限.故选D. (3)(多选题)(2025安徽蚌埠模拟)若为纯虚数,则复数z可以为(　　) 【一题多解】 A. B. C. D. AD 解析 (方法一)设复数z=x+yi(x,y∈R),则i,因为为纯虚数,所以=0,0,即x2+3x+y2=0且y≠0.对于A,x=-,y=-满足题意;对于B,x=-,y=1不满足题意;对于C,x=-,y=不满足题意;对于D,x=-,y=满足题意.故选AD. (方法二)依题意可设=ai(a∈R,且a≠0),则z(1-ai)=3ai,所以z==-i. 对于A,由-i=,可得解得a=-2,符合题意; 对于B,由-i=,可得此时a不存在,不符合题意; 对于C,由-i=,可得此时a不存在,不符合题意;对于D,由-i=,可得解得a=1,符合题意.故选AD. 一题多变 本例(3)中,若将条件改为“若z为纯虚数,且||=”,则z=　　　　　.  ±3i 解析 因为z为纯虚数,所以可设z=bi(b∈R,且b≠0),则 又因为||=,所以||=,解得b=±3,于是z=±3i. 【对点训练1】(1)(2025北京石景山模拟)在复平面内,复数z=对应的点的坐标为(1,-2),则实数a=(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 D 解析 因为z==1+ai,所以复数z在复平面内对应的点为(1,a). 又复数z=对应的点的坐标为(1,-2),所以a=-2.故选D. (2)(多选题)(2025浙江杭州模拟)已知复数ω=cos 120°+isin 120°(i是虚数单位),则(　 　) A.|ω|=1 B.ω2= C.ω2+ω+1=0 D.=1 ABC 解析 因为ω=cos 120°+isin 120°=-i,所以|ω|=|-i|=1,所以A正确;因为ω2=(-i)2=-i=,所以B正确;因为ω2+ω+1=(-i)+(-i)+1=0,所以C正确;因为=-i=ω,所以=ω+ω2=-1,所以D错误.故选ABC. 考点三　常用逻辑用语 例3　(1)(2025江西宜春模拟)已知命题p:∀x∈R,2x>x2,命题q:∃x,y∈R, x+y<2,则下列说法正确的是(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 B 解析 当x=-1时,2x>x2显然不成立,所以p是假命题,¬p是真命题.当x=y=-1时, x+y<2显然成立,所以q是真命题,¬q是假命题.故选B. (2)(2025天津,2)已知x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 当x=0时,sin 2x=0,而当sin 2x=0时,2x=kπ,x=,k∈Z,所以“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.故选A. 2.全称量词命题与存在量词命题的真假判断: 命题类型 方法一 方法二 真假结论 全称量 词命题 所有对象都 使结论成立 原命题的 否定为假 原命题为真 存在对象使 结论不成立 原命题的 否定为真 原命题为假 存在量 词命题 存在对象使 结论成立 原命题的 否定为假 原命题为真 所有对象都使 结论不成立 原命题的 否定为真 原命题为假 【对点训练2】(1)(2025北京朝阳模拟)已知曲线C:mx2-ny2=1,则“n>m>0”是“C为焦点在x轴上的双曲线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 若n>m>0,则0<,所以C:mx2-ny2=1,即=1,所以C为焦点在x轴上的双曲线;若C为焦点在x轴上的双曲线,则对于C:mx2-ny2=1,即=1,可得>0,>0,即m>0且n>0,不一定得到n>m>0.综上,“n>m>0”是“C为焦点在x轴上的双曲线”的充分不必要条件.故选A. (2)(2025湖南邵阳模拟)已知命题p:∀x∈R,x2+mx+4≥0;命题q:∃x0∈(0,+∞), -mx0=0.若p和q都是真命题,则实数m的取值范围是　　　　　.  [e,4] 解析 若命题p为真命题,则Δ=m2-16≤0,解得-4≤m≤4.若命题q为真命题,则方程ex-mx=0在区间(0,+∞)上有解,即m=在区间(0,+∞)上有解.设f(x)=,则f'(x)=,当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,1)内单调递减;当x>1时, f'(x)>0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.所以当x>0时,f(x)min=f(1)=e,当x→+∞时,f(x)→+∞,故当x∈(0,+∞)时,f(x)的值域为[e,+∞),所以要使m=在区间(0,+∞)上有解,则m∈[e,+∞).故若p和q都是真命题,则e≤m≤4,即m∈[e,4]. $