集合与常用逻辑用语 课件-2026届高三数学三轮复习

第4讲　集合与常用逻辑用语 1．集合是高考必考内容，常与不等式、函数相结合考查集合的运算，偶尔出现集合的新定义问题． 2．常用逻辑用语主要考查命题真假的判断或命题的否定，考查充要条件的判断． 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 1．(2025·新课标全国Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,3,5}，则∁UA中元素个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】　C 【解析】　因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁UA＝{2,4,6,7,8}，∁UA中的元素个数为5，故选C. 高考二轮总复习 • 数学 2．(2025·新课标全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　) A．{0,1,2} B．{1,2,8} C．{2,8} D．{0,1} 【答案】　D 【解析】　B＝{x|x3＝x}＝{0，－1,1}，故A∩B＝{0,1}，故选D. 高考二轮总复习 • 数学 3．(2025·天津高考)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{2,3,5}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1,2,3,4} B．{2,3,4} C．{2,4} D．{4} 【答案】　D 【解析】　由A＝{1,3}，B＝{2,3,5}，则A∪B＝{1,2,3,5}，集合U＝{1,2,3,4,5}，故∁U(A∪B)＝{4}，故选D. 高考二轮总复习 • 数学 4．(2025·北京高考)集合M＝{x|2x－1>5}，N＝{1,2,3}，则M∩N＝(　　) A．{1,2,3} B．{2,3} C．{3} D．∅ 【答案】　D 【解析】　因为M＝{x|2x－1>5}＝{x|x>3}，所以M∩N＝∅，故选D. 高考二轮总复习 • 数学 5．(2025·北京高考)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　A 高考二轮总复习 • 数学 【解析】　若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，充分性成立；取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立；所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件．故选A． 高考二轮总复习 • 数学 6．(2025·天津高考)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　A 【解析】　由x＝0⇒sin 2x＝sin 0＝0，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分条件；又当x＝π时，sin 2x＝sin 2π＝0，可知sin 2x＝0 x＝0，故“x＝0”不是“sin 2x＝0”的必要条件，综上可知，“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A． 高考二轮总复习 • 数学 7．(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3， －1,0,2,3}，则A∩B＝(　　) A．{－1,0} B．{2,3} C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2} 【答案】　A 高考二轮总复习 • 数学 8．(2023·新课标全国Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 【答案】　B 【解析】　对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，綈p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，綈q是假命题，综上，綈p和q都是真命题．故选B. 高考二轮总复习 • 数学 9．(2024·全国甲卷数学文)集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1,2,3,4} B．{1,2,3} C．{3,4} D．{1,2,9} 【答案】　A 【解析】　依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1,2,3,4,5,9，则x可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B＝{0,1,2,3,4,8}，于是A∩B＝{1,2,3,4}．故选A． 高考二轮总复习 • 数学 A．{1,4,9} B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5} 【答案】　D 高考二轮总复习 • 数学 11．(2023·全国甲卷理科)“sin2α＋sin2β＝1”是“sin α＋cos β＝0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】　B 【解析】　sin2α＋sin2β＝1，可知sin α＝±cos β，可得sin α±cos β＝0，所以“sin2α＋sin2β＝1”是“sin α＋cos β＝0”的必要不充分条件，故选B. 高考二轮总复习 • 数学 12．(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} 【答案】　C 【解析】　∵x2－x－6≥0，∴(x－3)(x＋2)≥0，∴x≥3或x≤－2，N＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则M∩N＝{－2}．故选C. 高考二轮总复习 • 数学 13．(2023·新课标全国Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a －2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 【答案】　B 【解析】　依题意，a－2＝0或2a－2＝0，当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合题意；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合题意．故选B. 高考二轮总复习 • 数学 14．(2023·全国甲卷理科)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 【答案】　A 【解析】　∵A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，∴A∪B＝{x|x＝3k＋1或x＝3k＋2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A． 高考二轮总复习 • 数学 15．(2023·全国乙卷理科)设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 【答案】　A 【解析】　由题意：M∪N＝{x|x＜2}，又U＝R，∴∁U(M∪N)＝{x|x≥2}．故选A． 高考二轮总复习 • 数学 16．(2023·全国甲卷文科)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪∁UM＝(　　) A．{2,3,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5} 【答案】　A 【解析】　因为U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，所以∁UM＝{2,3,5}，则N∪∁UM＝{2,3,5}．故选A． 高考二轮总复习 • 数学 ●解题技法 1．集合运算中的常用方法 (1)数轴法：若已知集合是不等式的解集，用数轴法求解． (2)数形结合法：若已知集合是点集，用图象法求解． (3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解． (4)间接法：根据选项的差异性，选取特殊元素进行验证． 【提醒】谨防“两个误区” (1)化简集合时注意元素的特定范围(如集合中x∈N.x∈Z)． (2)在解决含参数的集合问题时，注意几何元素的互异性． 高考二轮总复习 • 数学 2．判断充分、必要条件的方法 (1)定义法：利用定义转化为两个简单命题“若p，则q”与“若q，则p”的真假判断． (2)集合法：转化为与p，q对应的两个集合之间的关系进行判断． 【提醒】谨防“一个误区” 充分、必要条件的判断要注意区分两种表述：“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”． 高考二轮总复习 • 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2025·滨州二模)集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x∈N|x＜2}，则A∩B＝(　　) A．{1} B．{0,1} C．{0,1,2} D．{x|0≤x＜2} 【答案】　B 【解析】　A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x∈N|x＜2}＝{0,1}，则A∩B＝{0,1}．故选B. 高考二轮总复习 • 数学 2．(2025·丽江校级二模)满足M⊆{1,2,3}的集合M共有(　　) A．6个 B．7个 C．8个 D．15个 【答案】　C 【解析】　∵M⊆{1,2,3}，∴集合M为{1,2,3}的子集，∴集合M的个数为23＝8.故选C. 高考二轮总复习 • 数学 3．(2025·扬州校级模拟)命题“∃x＞0，x2－ax＋b＞0”的否定是(　　) A．∃x＞0，x2－ax＋b≤0 B．∃x≤0，x2－ax＋b＞0 C．∀x≤0，x2－ax＋b≤0 D．∀x＞0，x2－ax＋b≤0 【答案】　D 【解析】　因为命题“∃x＞0，x2－ax＋b＞0”为特称命题，其否定为全称命题，即为：∀x＞0，x2－ax＋b≤0，故选D. 高考二轮总复习 • 数学 4．(2025·和平区三模)设全集U＝Z，集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，∁U(A∪B)＝(　　) A．∅ B．{x|x＝3k＋1，k∈Z} C．{x|x＝3k＋2，k∈Z} D．{x|x＝3k＋3，k∈Z} 【答案】　B 【解析】　A∪B＝{x|x＝3k，或x＝3k－1，k∈Z}；∵AU，BU；∴∁U(A∪B)＝{x|x＝3k－2＝3(k－1)＋1，k∈Z}．故选B. 高考二轮总复习 • 数学 5．(2025·甘肃校级三模)已知集合A＝{x|2x－3＞a}，B＝{x|3x－1＞－4}，若－2∈A，则(　　) A．B⊆A B．A∩B＝A C．A＝B D．A∪B＝B 【答案】　A 高考二轮总复习 • 数学 A．{x|2＜x≤4} B．{x|2＜x≤4或x＝0} C．{0,3,4} D．{0,2,3,4} 【答案】　C 【解析】　A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x＞2或x≤0}，∴A∩B＝{0,3,4}．故选C. 高考二轮总复习 • 数学 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　B 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 8．(2025·丰台区二模)已知关于x的方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)的两实根为x1，x2，则“|x1|＝|x2|”是“关于x的不等式x2＋bx＋c＜0的解集为∅”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　B 高考二轮总复习 • 数学 【解析】　若|x1|＝|x2|，则x1＝x2或x1＝－x2，当x1＝x2时，关于x的方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则Δ＝b2－4c＝0，不等式x2＋bx＋c＜0的解集为∅；当x1＝－x2时，关于x的方程x2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，不妨设x1＜－x2，关于x的不等式x2＋bx＋c＜0的解集为(x1，－x2)．所以，由“|x1|＝|x2|”不能推出“关于x的不等式x2＋bx＋c＜0的解集为∅”，充分性不成立．若关于x的不等式x2＋bx＋c＜0的解集为∅，因为二次函数y＝x2＋bx＋c开口向上，所以Δ＝b2－4c≤0，又因为关于x的方程x2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，则x1＝x2，则|x1|＝|x2|，必要性成立．综上，“|x1|＝|x2|”是“关于x的不等式x2＋bx＋c＜0的解集为∅”的必要不充分条件．故选B. 高考二轮总复习 • 数学 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(2025·江西模拟)已知集合A＝{x|ax≤6}，B＝{2,3}，下列结论正确的是(　　) A．若a＝0，则A＝R B．若a＝0，则A＝∅ C．若B⊆A，则a≤2 D．若B⊆A，则a可以取3 高考二轮总复习 • 数学 【答案】　AC 高考二轮总复习 • 数学 10．(2025·泰安校级模拟)下列四个结论中正确的是(　　) A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．命题“任意x＜1，则x2＜1”的否定是“存在x＜1，则x2≥1” D．“a＞b”是“a＞b＋1”的必要不充分条件 【答案】　CD 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 11．(2025·河南模拟)已知全集U＝{x||x|＜4，x∈Z}，集合M＝{－1,2，a2}，N＝{－1,1,2，a}，P＝{－3，－1,2,3}，若M⊆N，则(　　) A．a的取值有3个 B．M∩P＝{－1,2} C．P∪N＝{－3，－1,0,1,2,3} D．(∁UM)∩(∁UP)所有子集的个数为4 【答案】　BCD 高考二轮总复习 • 数学 【解析】　若M⊆N，则a2＝1或a2＝a，解得a＝0,1或－1，当a＝1或－1时，不满足元素的互异性，舍去，所以a＝0，故A错误；由A可知，集合M＝{－1,2,0}，N＝{－1,1,2,0}，又因为P＝{－3，－1,2,3}，所以M∩P＝{－1,2}，故B正确；由A可知，集合M＝{－1,2,0}，N＝{－1,1,2,0}，又因为P＝{－3，－1,2,3}，所以P∪N＝{－3，－1,0,1,2,3}，故C正确；由A可知，集合M＝{－1,2,0}，N＝{－1,1，2,0}，又全集U＝{x||x|＜4，x∈Z}＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，因为P＝{－3，－1,2,3}，所以∁UM＝{－3，－2,1,3}，∁UP＝{－2,0,1}，所以(∁UM)∩(∁UP)＝{－2,1}，所以(∁UM)∩(∁UP)所有子集的个数为22＝4，故D正确．故选BCD. 高考二轮总复习 • 数学 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 12．(2025·西峰区校级二模)已知集合A＝{1，|a－1|，a＋2}，且2∈A，则实数a的值为________. 【答案】　3 【解析】　由集合A＝{1，|a－1|，a＋2}，且2∈A，得|a－1|＝2或a＋2＝2，解得a＝0或a＝3或a＝－1.当a＝－1时，A＝{1,2,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．当a＝0时，A＝{2,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a＝3时，A＝{1,2,5}，符合题意．故实数a的值为3. 高考二轮总复习 • 数学 13．(2025·焦作三模)已知集合A＝{x|0≤x≤1}，非空集合B＝{x|b＜x＜1－b}，若A∩B＝B，则b的取值范围是________. 高考二轮总复习 • 数学 14．已知命题p：∃x∈(0,3)，x2－a－2ln x≤0.若p为假命题，则a的取值范围为________. 【答案】　(－∞，1) 高考二轮总复习 • 数学 15．(2025·开封模拟)已知p：|2－3x|≤7；q：x2－4x＋4－9m2≤0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________. 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 【解析】　因为A＝{x|－<x<}，B＝{－3，－1,0,2,3}，且注意到1<<2，从而A∩B＝{－1,0}．故选A． 10．(2024·全国甲卷数学理)集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) 【解析】　因为A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1,4,9,16,25,81}，则A∩B＝{1,4,9}，∁A(A∩B)＝{2,3,5} .故选D. C． D．－1 【解析】　易知A＝，B＝{x|x＞－1}，由－2∈A得＜－2，则B⊆A，所以A∩B＝B，A∪B＝A．故选A． 6．(2025·临沂校级模拟)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝，则A∩B＝(　　) 7．(2025·武清区校级模拟)“x＞y”是“ln x＞ln y”的(　　) 【解析】　由x＞y得x＞y，由ln x＞ln y得x＞y＞0，若x＞y成立，则x＞y＞0不一定成立，充分性不成立，若x＞y＞0成立，则x＞y一定成立，必要性成立，即“x＞y”是“ln x＞ln y”的必要不充分条件．故选B. 【解析】　若a＝0，则任意实数x均满足0·x≤6，因此A＝R，故A正确，B错误；若B⊆A，得解得a≤2，即a的取值范围为 (－∞，2]，所以a不可以取3，故C正确，D错误．故选AC. B．若ab≠0且a＜b，则＞ 【解析】　取a＝1，b＝0，c＝－1，d＝－2，满足a＞b，c＞d，但不满足ac＞bd，故A错误；取a＝－1，b＝1，满足ab≠0且a＜b，但＜，故B错误；全称命题的否定：任意改存在，则后改否定，故C正确；若a＞b，则a＞b＋1不一定成立，例如a＝2，b＝1；若a＞b＋1，则a＞b成立，故D正确．故选CD. 【答案】　 【解析】　因为A∩B＝B，所以B⊆A，又A＝{x|0≤x≤1}，非空集合B＝{x|b＜x＜1－b}，所以解得0≤b＜，即b的取值范围是. 【解析】　∵p为假命题，∴¬p：∀x∈(0,3)，x2－a－2ln x＞0为真命题，故a＜x2－2ln x，令f(x)＝x2－2ln x，x∈(0,3)，则f′(x)＝2x－＝，x∈(0,3)，令f′(x)＞0解得1＜x＜3，令f′(x)＜0解得0＜x＜1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝1，所以a＜1. 【答案】　 【解析】　由|2－3x|≤7可得－≤x≤3，由x2－4x＋4－9m2≤0可得2－3m≤x≤2＋3m，m＞0，若q是p的充分不必要条件，则q⇒p，但是p推不出q，所以解得0＜m≤. 16．(2025·普陀区二模)设k≥1，k∈N,0＜φ＜，函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝2sin(kx＋φ)，则对任意的实数a，皆有{f(x)|a＜x＜a＋2}＝{f(x)|x∈R}成立的一个充分条件是________. 【答案】　f(x)＝2sin(答案不唯一) 【解析】　任意的实数a，皆有{f(x)|a＜x＜a＋2}＝{f(x)|x∈R}成立，等价于f(x)的最小正周期小于2，即T＝＜2，解得k＞π，因为k∈N，所以可取k＝4，又因为0＜φ＜，所以可取f(x)＝2sin(答案不唯一)． $