复数、平面向量 课件-2026届高三数学三轮复习

第5讲　复数、平面向量 1．复数是高考必考内容，主要考查复数的概念与四则运算．多为选择题、填空题，难度为中低档． 2．高考对平面向量的考查主要有三个方面：①考查平面向量的基本定理及基本运算，多以考生熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档；②考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；③向量作为工具，还可能与三角函数、解三角形、不等式等知识结合考查． 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 1．(2025·新课标全国Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 【答案】　C 【解析】　因为(1＋5i)i＝i＋5i2＝－5＋i，所以其虚部为1，故选C. 高考二轮总复习 • 数学 A．－i B．i C．－1 D．1 【答案】　A 高考二轮总复习 • 数学 3．(2025·北京高考)已知复数z满足i·z＋2＝2i，则|z|＝(　　) 【答案】　B 高考二轮总复习 • 数学 A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 【答案】　C 高考二轮总复习 • 数学 5．(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 【答案】　C 高考二轮总复习 • 数学 A．－i B．1 C．－1 D．2 【答案】　D 高考二轮总复习 • 数学 A．10i B．2i C．10 D．－2 【答案】　A 高考二轮总复习 • 数学 8．(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】　D 【解析】　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D. 高考二轮总复习 • 数学 9．(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) 【答案】　B 高考二轮总复习 • 数学 10．(2024·全国甲卷数学理)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 【答案】　C 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 A．－i B．i C．0 D．1 【答案】　A 高考二轮总复习 • 数学 12．(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 【答案】　D 【解析】　∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a＋λb＝(λ＋1,1－λ)，a＋μb＝(μ＋1,1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，得(λ＋1)(μ＋1)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得：2λμ＋2＝0，即λμ＝－1.故选D. 高考二轮总复习 • 数学 13．(2023·新课标全国Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】　A 【解析】　(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i＋3＝6＋8i，则在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．故选A． 高考二轮总复习 • 数学 14．(2023·全国甲卷理科)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】　C 高考二轮总复习 • 数学 【答案】　D 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 16．(2025·新课标全国Ⅱ卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(x－1,2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝________. 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 ●解题技法 1．复数相关概念与运算技巧 (1)待定系数法：设z＝a＋bi(a，b∈R)，解决与复数的模、共轭复数、复数相等有关的代数式的运算． (2)运算法则：复数的运算法则本质等同于多项式的运算法则，充分利用复数与其共轭复数之积等于模的平方进行化解． (3)几何法：解决复数模的最值问题，利用复数的几何意义转化为平面图形中的最值问题求解． 【提醒】谨防“两个误区” (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部是b，注意区分虚数与纯虚数． (2)求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模不要忘记开方． 高考二轮总复习 • 数学 2．用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)基向量法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【提醒】谨慎“一个问题” 向量m，n夹角为锐角(钝角)是m·n>0(m·n<0)的充分不必要条件． 高考二轮总复习 • 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2025·乌兰察布校级三模)已知iz＝1＋i，则z的虚部为(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 【答案】　B 高考二轮总复习 • 数学 【答案】　B 高考二轮总复习 • 数学 A．4＋3i B．4－3i C．－4－3i D．－4＋3i 【答案】　B 高考二轮总复习 • 数学 4．(2025·温州二模)若向量a，b满足|b|＝3，a·b＝－6，则a在b上的投影向量是(　　) 【答案】　D 高考二轮总复习 • 数学 【答案】　C 高考二轮总复习 • 数学 6．(2025·西城区校级三模)已知向量a，b满足a＋b＝(3,5)，a－b＝(－1,1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．2 B．－2 C．0 D．6 【答案】　A 【解析】　由题意，|a|2－|b|2＝a2－b2＝(a＋b)·(a－b)＝3×(－1)＋5×1＝2.故选A． 高考二轮总复习 • 数学 7．(2025·南通模拟)已知两个不相等的向量a＝(2，m＋1)，b＝(2－4m,1)，若a∥(2a－b)，则m＝(　　) 【答案】　C 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】　C 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． A．z＝3＋i B．z－3为纯虚数 C．复数z在复平面内对应的点位于第四象限 D．|z－2|＝2 高考二轮总复习 • 数学 【答案】　AB 高考二轮总复习 • 数学 10．(2025·菏泽一模)已知平面向量a＝(2，sin θ)，b＝(cos θ，1)，则下列说法正确的有(　　) A．向量a，b不可能垂直 B．向量a，b不可能共线 C．|a＋b|不可能为3 【答案】　BD 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 【答案】　BCD 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12．(2025·黄浦区校级三模)复数z满足(1＋i)z＝－i(i是虚数单位)，则在复平面内，z对应的点在第_____象限． 【答案】　三 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 14．(2025·浦东新区校级三模)已知复数z1＝2－i，复数z2满足|z2|＝2，则|z2－z1|的最大值为________. 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 2．(2025·新课标全国Ⅱ卷)已知z＝1＋i，则＝(　　) 【解析】　因为z＝1＋i，所以＝＝＝＝－i.故选A． A． B．2 C．4 D．8 【解析】　由i·z＋2＝2i可得，z＝＝2＋2i，所以|z|＝＝2，故选B. 4．(2024·新课标全国Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) 【解析】　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. C． D．2 【解析】　若z＝－1－i，则|z|＝＝.故选C. 6．(2024·全国甲卷数学文)设z＝i，则z·＝(　　) 【解析】　依题意得，＝－i，故z·＝－2i2＝2.故选D. 7．(2024·全国甲卷数学理)设z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) 【解析】　由z＝5＋i⇒＝5－i，z＋＝10，则i(＋z)＝10i.故选A． A． B． C． D．1 【解析】　因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝.故选B. D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 【解析】　当a⊥b时，则a·b＝0，所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或－3，即必要性不成立，故A错误；当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(0,2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C. 11．(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) 【解析】　z＝＝·＝·＝－i，则＝i，故z－＝－i.故选A． 【解析】　因为复数(a＋i)(1－ai)＝2，所以2a＋(1－a2)i＝2，即解得a＝1.故选C. 15．(2023·全国甲卷理科)向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【解析】　因为向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，所以－c＝a＋b，所以c2＝a2＋b2＋2a·b，即2＝1＋1＋2×1×1×cos〈a，b〉，解得cos〈a，b〉＝0，所以a⊥b，又a－c＝2a＋b，b－c＝a＋2b，所以(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋2b2＋5a·b＝2＋2＋0＝4，|a－c|＝|b－c|＝＝＝，所以cos〈a－c，b－c〉＝＝＝.故选D. 【答案】　 【解析】　a－b＝(1,1－2x)，因为a⊥(a－b)，则a·(a－b)＝0，则x＋1－2x＝0，解得x＝1.则a＝(1,1)，则|a|＝. 17．(2023·新课标全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________. 【答案】　 【解析】　∵|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，∴a2＋b2－2a·b＝3，a2＋b2＋2a·b＝4a2＋b2－4a·b，∴a2＝2a·b，∴b2＝3，∴|b|＝. 【解析】　由iz＝1＋i，得z＝＝＝1－i，则z的虚部为－1.故选B. 2．(2025·淄博模拟)若复数z满足＝|3－4i|，则||＝(　　) A．5 B．5 C．10 D．125 【解析】　由＝|3－4i|＝5，得z＝5(2＋i)＝10＋5i，则||＝|z|＝＝5.故选B. 3．(2025·西城区校级三模)在复平面内，复数z对应的点的坐标是 (－3,4)，则的共轭复数是(　　) 【解析】　由题意可得z＝－3＋4i，则＝＝＝4＋3i，∴的共轭复数是4－3i.故选B. A．－b B．－b C．b D．－b 【解析】　因为|b|＝3，a·b＝－6，所以a在b上的投影向量为＝b＝－b.故选D. 5．(2025·毕节市模拟)复数z＝i2＋i3，其中i为虚数单位，则|z|＝(　　) A．0 B． C．1 D．2 【解析】　由题意，z＝i2＋i3＝－1－i，所以|z|＝＝，所以|z|＝1.故选C. A． B．0 C．－ D．－ 【解析】　向量a＝(2，m＋1)，b＝(2－4m,1)，则2a－b＝(2＋4m,2m＋1)，若a∥(2a－b)，则2(2m＋1)＝(m＋1)(2＋4m)，解得m＝0或－，当m＝0时，a，b相等，不符合题意，故m＝－.故选C. 8．(2025·长安区校级模拟)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，m＞0，n＞0，则＋的最小值(　　) 【解析】　点O是BC的中点，＝m，＝n，m＞0，n＞0，由题意，＝(＋)＝＋，又M，O，N共线，则m＋n＝2，且m＞0，n＞0，所以＋＝(m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当m＝，n＝时取等号，即＋的最小值为9.故选C. 9．(2025·会宁县校级三模)若复数z＝，则(　　) 【解析】　因为z＝＝＝3＋i，所以z－3＝i为纯虚数，故选项A、B正确，z＝3＋i，则z在复平面内对应的点(3,1)位于第一象限，故选项C错误；|z－2|＝|1＋i|＝＝，故选项D错误．故选AB. D．若θ＝，则a在b上的投影向量为b 【解析】　由题意，a＝(2，sin θ)，b＝(cos θ，1)，因为a·b＝2cos θ＋sin θ＝cos(θ－φ)，当cos(θ－φ)＝0时，向量a，b垂直，故A错误；若a∥b，则有2×1＝sin θcos θ，即sin 2θ＝4，显然不成立，故a，b不可能共线，故B正确；|a＋b|＝＝＝，当cos(θ－φ)＝时，|a＋b|＝3，故C错误；若θ＝，则a＝(2,1)，b＝(0,1)，则a在b上的投影向量为 ＝b＝b，故D正确．故选BD. 11．(2025·四川校级模拟)圆O为三角形ABC的外接圆，AB＝6，AC＝4,18＝8＋3，则(　　) A．＋＝2 B．·＝18 C．三角形ABC的面积为6 D．三角形ABC的周长为10＋2 【解析】　因点O是△ABC的外心，则点O在 BC的中垂线上，若点O符合2＝＋，则点 A也应在BC的中垂线上，则AB＝AC，这与题设条 件矛盾，故A错误；因为O是△ABC的外心，则O在AB的中垂线上，于是，·＝||·||cos∠OAB＝＝18，故B正确；由18＝8＋3，可得18·＝8·＋3·，由B的判定可知，·＝18，所以18×18＝8×36＋3·，解得·＝12，即4×6cos A＝12，解得cos A＝，则sin A＝，故△ABC的面积为S＝·AB·AC·sin A＝×4×6×＝6，故C正确；在△ABC中，由余弦定理，可得BC2＝36＋16－2×6×4×＝28，解得BC＝2，故三角形ABC的周长为10＋2，故D正确．故选BCD. 【解析】　复数z满足(1＋i)z＝－i，则z＝＝＝－－i，故z对应的点在第三象限． 13．(2025·银川三模)已知a、b满足|a|＝4，a·b＝6，若a在b方向上的投影向量为b，则|a＋b|＝________. 【答案】　 【解析】　由已知得，b＝b，则＝，因为a·b＝6，所以|b|＝3，所以|a＋b|＝＝＝. 【答案】　＋2 【解析】　因为复数z1＝2－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，所以点P1的坐标为(2，－1)，设z2＝x＋yi(x，y∈R)，在复平面内对应的点为P(x，y)，设O(0,0)，因为|z2|＝2，所以点P(x，y)到点O的距离为2，因此点P(x，y)的轨迹是以O(0,0)为圆心，2为半径的圆，|z2－z1|表示圆O上的点到点P1的距离，因此|z2－z1|max＝OP1＋2＝＋2＝＋2. 15．(2025·天津校级四模)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，M，N分别为边AB，AC的中点，若点E在线段MN上，且＝3，＝x＋y，则＝________.若∠BAC＝60°，点P为线段MN上的动点，则·的最小值为________. 【答案】　－4　－ 【解析】　依题意＝＋＝＋＝ ＋(－)＝－＋＝－＋， 又＝x＋y，且、不共线，所以则＝－4；由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(1，)，B(3,0)，所以N， M，所以＝，因为点P为线段MN上的动点，所以设＝λ，λ∈[0,1]，则＝λ＝，则P，所以＝，＝，所以·＝·＋λ＝λ2－λ－＝2－，所以当λ＝时，B·C取得最小值，最小值为－. $