三角函数、三角恒等变换与解三角形 课件-2026届高三数学三轮复习

第3讲　三角函数、三角恒等变换与解三角形 1．诱导公式 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 2．三种三角函数的性质 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 3．三角函数图象的变换 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. sin (α＋β)sin (α－β)＝sin 2α－sin 2β(平方正弦公式)． cos (α＋β)cos (α－β)＝cos 2α－sin 2β. 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 5．二倍角、辅助角及半角公式 (1)二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos2α－1＝1－2sin 2α. ①1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2. ②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2. 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 (3)半角公式 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 6．正、余弦定理及其变形 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 7．平面向量数量积的坐标表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 易错剖析　零失误 易错快攻一 忽视向量的夹角范围致误 ●易错剖析 易错点1：不清楚向量夹角范围 突破点：数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意隐含的情况． 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 易错点2：忽视正、余弦函数的有界性 突破点：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性． 易错点3：忽视三角函数值对角的范围的限制 突破点：在解决三角函数中的求值问题时，不仅要看已知条件中角的范围，更重要的是注意挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围． 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 易错点4：图象变换方向或变换量把握不准确 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 1．已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　) 【答案】　C 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 易错快攻二 函数图象平移的方向把握不准 【答案】　A 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 返回导航 高考二轮总复习 • 数学 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 单调性 (k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在 (k∈Z)上单调递增 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z) 对称中心：(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：(k∈Z) tan (α±β)＝. tan 2α＝. (2)辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x＝(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝sin(x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tan φ＝(a≠0)确定． sin ＝±. cos ＝±. tan ＝±＝＝. 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 定理 正弦定理 余弦定理 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A； (5)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ cos θ＝ 结论 几何表示 坐标表示 a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤· 突破点：图象变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向． A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 D． 【解析】　因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以所以即设a，b的夹角为α，则cos α＝＝，因为α∈[0，π]，所以α＝，即a，b的夹角为，故选C. 2．(2025·龙岩模拟)若函数y＝cos(ω＞0)的图象向左平移后得到一个奇函数的图象，则ω的最小值为(　　) A． B．1 C． D．3 【解析】　将函数y＝cos向左平移个单位得到新函数cos，因为平移后为奇函数，而余弦函数成为奇函数需满足相位为＋kπ(k∈Z)，即：＋＝＋kπ，(k∈Z)，化简方程，＋＝＋k，则ω＝(k∈Z)，由于ω＞0，取k＝0时，ω取得最小值.故选A． $