1.5 角平分线 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第五节　角平分线 课时1　角平分线(1) 基础过关 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D.若点D到AB的距离为2，则CD的长为(　　) 　　　 　　　 　　　　 第1题图 A．2 B．3 C．4 D．5 2．(2025河源期末)如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，若DE＝4，AB＝10，则BD的长为(　　) 第2题图 A．10 B．8 C．7 D．6 3．如图，∠ABC的平分线BD与AC相交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.已知AB＝BC＝8，S△ABC＝28，求DE的长． 第3题图 4．如图，点B，C分别在∠A的两边上，D是∠A内部一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，已知AB＝AC，DE＝DF，求证：BD＝CD. 第4题图 能力提升 5．如图，在△ABC中，M，N均为AC边上的点，连接BM，BN，其中BM⊥AC，过点N作ND⊥BC于点D，已知AM＝NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝(　　) 第5题图 A．α B．90°－α C．120°－α D．2α－90° 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DE＝4，BC＝9.求AC的长． 第6题图 思维拓展 7．【应用意识】如图，OA和OB是两条公路，C，D表示两个村庄，现要建造一个车站P(位于∠AOB的内部)，使车站到两个村庄的距离相等，且车站到OA和OB两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 第7题图 课时2　角平分线(2) 基础过关 1．如图，若要在一块三角形草坪ABC上建造一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　) 第1题图 A．△ABC的三条中线的交点处 B．△ABC的三条角平分线的交点处 C．△ABC的三条高所在直线的交点处 D．△ABC的三边的垂直平分线的交点处 2．(2025揭阳期中)如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，AC，BC的距离OF＝OE＝OD.若∠A＝70°，则∠BOC＝(　　) 第2题图 A．110° B．115° C．120° D．125° 3．(2025佛山期中)如图，AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ID⊥BC于点D，若△ABC的周长为18，ID＝4，则△ABC的面积为________． 第3题图 4．(2025揭阳期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC. (1)尺规作图：在线段AC上求作点D，使得点D到AB，BC的距离相等；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，若AD＝BD，求∠A的度数． 第4题图 能力提升 5．(2025佛山期中)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过点P作PF⊥AD，交BC的延长线于点F.下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，则CP平分∠ACB.其中正确的有(　　) 第5题图 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6．(2025深圳期中)如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥CD，CB⊥AB于点B，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BE. (1)求证：CE＝CB； (2)若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长． 第6题图 思维拓展 7．如图，点M，N分别在∠AOB的边OA，OB上，连接MN，已知∠AMN，∠BNM的平分线MP，NP相交于点P.若MN＝4，S△PMN＝8，S△OMN＝5，则OM＋ON的值是________. 第7题图 微专题3　特殊三角形中常作的辅助线 1．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　) 第1题图 A．3 m B．4 m C．4.5 m D．5 m 2．如图，在△ABC中，CA＝CB，点D在AC的延长线上，点E在BC上，且CD＝CE.求证：DE⊥AB. 第2题图 3．如图，已知AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，AF⊥CD.求证：F是CD的中点． 第3题图 4．如图，在△ABC中，EF是边AC的垂直平分线，AB＝EC，D是BE的中点，∠BAD＝28°，求∠BAC的度数． 第4题图 5．如图，在△ABC中，BD是边AC上的中线，且BD⊥BC，∠ABD＝30°.求证：AB＝2BC. 第5题图 微专题4　遇角平分线常作的辅助线 1．(2025佛山期中)如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是________． 第1题图 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE. 第2题图 3．如图，AB∥CD，点E在AD上，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，已知AB＝3，CD＝5，求BC的长． 第3题图 4．(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则图中共有________个等腰三角形；EF与BE，CF之间的数量关系是________，△AEF的周长是________． (2)如图2，若将(1)中“AB＝AC”改为“AB≠AC”，其余条件不变，则EF与BE，CF之间具有怎样的数量关系？并说明理由． (3)如图3，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC分别交AB，AC于点E，F，则EF与BE，CF之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 第4题图 微专题5　特殊三角形中的“将军饮马”问题 基础过关 1．(2025深圳期中)如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，N为AB上一点，且AN＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM，MN，则BM＋MN的最小值是(　　) 第1题图 A． B．2 C．1 D．3 　　 2．如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是边AB上一动点，当EP＋FP的值最小时，BF＝5，则EP＋FP的最小值是(　　) 第2题图 A．9 B．10 C．5 D．3 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，C是y轴上一动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是(　　) 第3题图 A．(0，1) B．(0，2) C．(0，3) D．(0，4)　 4．如图，已知∠MON＝30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP＝4，则△PAB的周长的最小值为________． 第4题图 能力提升 5．如图，甜点师制作了一块直角三角形形状的蛋糕，已知Rt△ABC的斜边长AB为40 cm，∠A＝30°，在其边AB，AC上分别有一个动点M，N.若甜点师要把这块蛋糕切成3份，MN，BN为切割线，则MN＋BN的最小值是__________cm. 第5题图 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，P为MN上一动点，连接AP，BP.当AP＋BP的值最小时，求∠CBP的度数． 第6题图 思维拓展 7．如图，牧民从生活区的边QM上的某点A出发，先到草地的边PQ上的某点B牧马，再到小河的边PM上的某点C饮马，最后回到点A处．已知点P到QM的距离为2，∠QPM＝45°，若△ABC的周长为m，则m的最小值是(　　) 第7题图 A．3 B．4 C．4 D．4 第五节　角平分线 课时1　角平分线（1） 1．A　2.D 3．解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF. ∵S△ABC＝28，AB＝BC＝8， ∴S△ABD＋S△BCD＝28，即×8DE＋×8DF＝28. ∴8DE＝28.∴DE＝3.5. 4．证明：如答图1，连接AD. 答图1 ∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF， ∴AD平分∠CAB.∴∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SAS）.∴BD＝CD. 5．D 6．解：∵∠C＝90°，∴DC⊥AC. 又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC＝DE＝4. 又∵BC＝9，∴BD＝BC－DC＝5. 在Rt△BDE中，由勾股定理，得 BE＝＝＝3. 在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.∴AC＝AE. 设AC＝AE＝x，则AB＝AE＋BE＝x＋3. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2， 即x2＋92＝（x＋3）2. 解得x＝12.∴AC的长为12. 7．解：如答图2，点P即为所求． 答图2 课时2　角平分线（2） 1．B　2.D　3.36 4．解：（1）如答图1，点D即为所求． 答图1 （2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC. ∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD. ∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝2∠A. ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， ∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°.∴∠A＝36°. 5．D 6．（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA. ∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB. ∴∠DAC＝∠CAB.∴AC平分∠EAB. 又∵CE⊥AD，CB⊥AB，∴CE＝CB. （2）解：在Rt△ACE和Rt△ACB中， ∴Rt△ACE≌Rt△ACB（HL）.∴AE＝AB. ∵AC平分∠EAB， ∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，∠CAB＝∠CAE＝30°. ∴△AEB是等边三角形．∴BE＝AB. 在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∴AC＝2CB＝2CE＝4. ∴AB＝＝＝2. ∴BE＝2. 7．6.5 微专题3　特殊三角形中常作的辅助线 1．B 2．证明：如答图1，过点C作CM⊥AB于点M. 答图1 ∵CA＝CB，∴∠ACB＝2∠ACM. ∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED. ∴∠ACB＝∠D＋∠CED＝2∠D. ∴∠ACM＝∠D.∴DE∥CM. 又∵CM⊥AB，∴DE⊥AB. 3．证明：如答图2，连接AC，AD. 答图2 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED（SAS）.∴AC＝AD. ∵AF⊥CD，∴F是CD的中点． 4．解：如答图3，连接AE. 答图3 ∵EF是边AC的垂直平分线， ∴EA＝EC.∴∠C＝∠EAC. ∵AB＝EC，∴AB＝AE. ∵D是BE的中点， ∴AD平分∠BAE，且AD⊥BE. ∴∠BAD＝∠EAD＝28°，∠ADE＝90°. ∴∠AED＝90°－∠EAD＝62°. ∵∠AED是△ACE的一个外角， ∴∠AED＝∠C＋∠EAC＝2∠EAC＝62°.∴∠EAC＝31°. ∴∠BAC＝∠BAD＋∠EAD＋∠EAC＝87°. 5．证明：如答图4，过点A作AM⊥BD，交BD的延长线于点M，则∠M＝90°. 答图4 ∵BD⊥BC， ∴∠DBC＝90°＝∠M. ∵BD是边AC上的中线， ∴AD＝CD. 在△BCD和△MAD中， ∴△BCD≌△MAD（AAS）.∴BC＝MA. 在Rt△ABM中，∠M＝90°，∠ABD＝30°， ∴AB＝2MA.∴AB＝2BC. 微专题4　遇角平分线常作的辅助线 1．30 2．证明：如答图1，延长CE，交BA的延长线于点F. 答图1 ∵CE⊥BD，∠BAC＝90°， ∴∠CEB＝∠FEB＝90°，∠CAF＝90°＝∠BAC. ∴∠EBF＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°. ∴∠EBF＝∠ACF. 在△ABD和△ACF中， ∴△ABD≌△ACF（ASA）. ∴BD＝CF. ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠EBF. 在△BCE和△BFE中， ∴△BCE≌△BFE（ASA）. ∴CE＝FE.∴CF＝2CE. 又∵BD＝CF，∴BD＝2CE. 3．证明：如答图2，在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF. 答图2 ∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠ABE＝∠FBE，∠FCE＝∠DCE. 在△ABE和△FBE中， ∴△ABE≌△FBE（SAS）. ∴∠A＝∠BFE. ∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°. ∴∠BFE＋∠D＝180°. 又∵∠BFE＋∠CFE＝180°，∴∠CFE＝∠D. 在△CDE和△CFE中， ∴△CDE≌△CFE（AAS）.∴CD＝CF. ∴BC＝BF＋CF＝BA＋CD＝3＋5＝8. 4．解：（1）5　BE＋CF＝EF　20. （2）BE＋CF＝EF.理由如下： ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD. ∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD. ∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC. ∴BE＝DE，CF＝DF.∴BE＋CF＝DE＋DF＝EF. （3）BE－CF＝EF. 微专题5　特殊三角形中的 “将军饮马”问题 1．A　2.C　3.C　4.4　5.20 6．解：如答图1，作点B关于MN的对称点D，连接AD，BD，CD. 答图1 ∴BC＝CD，BP＝PD. ∴AP＋BP＝AP＋PD. ∴当A，P，D三点共线时，AP＋PD的值最小，即此时AP＋BP的值最小． 由轴对称的性质，得∠CBP＝∠CDP，∠BCD＝2∠BCN＝2×30°＝60°. ∵AC＝BC，BC＝CD，∴AC＝CD. ∴∠CAD＝∠CDA. ∵∠ACB＝90°，∠BCD＝60°， ∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝150°. ∴∠CAD＝∠CDA＝（180°－∠ACD）＝15°. ∴∠CBP＝∠CDP＝15°. 7．B 学科网（北京）股份有限公司 $