第二十一章 四边形 四边形中的线段最值问题 专项练2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 四边形中的线段最值问题 专项练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册 一、单选题 1．如图，在四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合）．若，分别为，的中点，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 2．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 3．如图，周长为16的菱形中，点分别在边上，为上一动点，则线段的长最短为（    ） A．3 B．4 C． D．6 4．如图，在矩形ABCD和矩形EFGH中，，，两矩形重叠部分为平行四边形，且点E与点D重合，则图中阴影部分的周长的最大值是（   ） A．17 B．15 C．14 D．12 5．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 6．如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 8．如图，菱形的边长为4，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 10．如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 11．如图，在矩形中，，，点、分别在、边上，则的最小值为______． 12．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 13．如图，矩形中，，，点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F，将四边形沿着翻折，得到四边形边交边于点G，连接、，则的面积的最小值为______． 14．如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________． 15．如图，正方形的边长为分别是边上的两个动点，且，连接，，则的最小值为___________． 三、解答题 16．如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值． 17．矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            18．如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值． 19．如图，在矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动．若，求的最小值． 20．如图，在矩形中，，，是上的动点，且，是的中点，连接，，． (1)若，则的长为____________． (2)当的值最小时，的长度为____________． 21．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，求的最小值． 22．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系： ； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A C D D B 1．C 本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，掌握通过中位线将线段长度转化，结合动点位置求最值是解题的关键． 利用三角形中位线定理将转化为，通过分析的最大值来确定的最大值，结合勾股定理进行求解． 解：如图，连接． ，分别为，的中点， 为的中位线， ， 当最大时，最大． 当点与点重合时，最大，此时， 线段长度的最大值为3． 故选：C． 2．D 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，图形与坐标，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 过点作于点，延长到点，使，根据菱形的性质和勾股定理可得，以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，，，然后证明，可得，连接，，，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用勾股定理即可解决问题． 解：如图，过点作于点，延长到点，使， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为20，边长为5， ， 在中，根据勾股定理得： ， 以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系， ，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 连接，，， ， ，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值． 但是当，，三点共线时，点不在边上， ． 故选：D． 3．B 作点关于的对称点，则，，连接交于点，得到，可知当在一条直线上时，的值最小，此时，再证明四边形是平行四边形即可求解． 解：作点关于的对称点， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴点落在上， 则，，连接交于点， ∴， 由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，的值最小， 此时， ∵四边形为菱形，周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 4．A 本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握运用勾股定理是解题的关键． 先证明是菱形，再用勾股定理求解即可． 解：如图，当点与点重合时，阴影部分的周长最大． ∵，，， ∴， ∴，． ∵四边形为平行四边形，， ∴为菱形． 设，则． 在中，，即， 解得，所以， ∴菱形的周长为． 故选：A． 5．C 过作，且、在的两侧，使，根据等腰直角三角形的性质得到，由四边形是正方形，得到，．根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可得到结论． 解：如图，过作，且、在的两侧，且， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ， ． ， ， 长度的最大值为6． 故选：C． 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 6．D 过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解． 解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：D． 本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 7．D 本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 8．B 连接交于点O，可证明，得到，则点O为菱形对角线的交点；连接，取中点M，连接，，证明是等边三角形，得到，则，，根据，得到当A，M，G三点共线时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O为菱形对角线的交点； 连接，则过点O，取中点M，连接，， ∵菱形的边长为4，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在中，， 在中，， ∵， 当A，M，G三点共线时，有最小值，最小值为， 故选：B． 本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是求出，的值． 9． 本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题的关键． 由四边形是正方形，可得、关于对称，则当、、共线时，的最小值为的长． 解：∵正方形的面积为12， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴、关于对称， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的最小值为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 10． 连接，取的中点，连结，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得三点共线时最大即可求解． 如图，连接，取的中点，连接，， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴根据勾股定理，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∵， ∴， 由三角形的三边关系得三点共线时最大， 此时． 11． 先作点A关于的对称点E，作点C关于的对称点F，根据对称性可得，所以，再根据两点之间线段最短可得最小值为，然后过点E作的平行线，交的延长线于点I，最后根据勾股定理得出答案． 解：如图所示，作点A关于的对称点E，作点C关于的对称点F， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知点E，M，N，F共线时最小，所以最小，即． 过点E作的平行线，交的延长线于点I， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理，得， 所以最小值是． 12． 本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形是平行四边形，求的最小值等同于求的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 作点C关于直线对称点Q，连接、， ， 当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是的长度， 在中，，，， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 13． 在上截取，连接，过点作于点，易证明，得出，最短时，也就是最短，而当时，最短，进一步得出的最小值是，最后根据勾股定理计算出，的长，从而计算出的最小面积． 解：如图，在上截取，连接，过点作于点， 由折叠得：， 又， ， ， 最短时，也就是最短， 故当时，最短． 点O为矩形的对称中心， ， 即的最小值是． 矩形的对角线长度为，且点O为矩形的对称中心， ． 在中， ∵为定值，度数也不变，是定值， 当取最小值，即时，的面积最小． 点O为矩形的对称中心，， ． 在中，， 在中，， ， 面积的最小值是． 14． 连接，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，证明四边形为矩形，得出当时，的值最小，即的值最小， 最后利用等面积法求解． 解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 由等面积得， 即的最小值为． 15． 连接，证明，得出，推出的最小值等于的最小值，作点A关于的对称点H，连接，则A、B、H三点共线，连接，与的交点即为所求的E点，根据对称性可得，得到，由勾股定理求出的长即可得解． 解：如图1，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 的最小值等于的最小值， 如图2，作点A关于的对称点H，连接，则A、B、H三点共线， 连接，与的交点即为所求的E点， 根据对称性可得， ， 在中，，， ， 的最小值等于． 16．6.5 本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，动点最值问题，掌握利用中位线定理将转化为的一半，通过分析的最大值来求的最大值是解题的关键． 连接，利用三角形中位线定理将转化为的一半，再分析的最大值，从而求出的最大值． 解：如图，连接． ，分别为，的中点， 为的中位线， ， 当的值最大时，的值最大． 当点与点重合时，的值最大， 此时， 的最大值为． 17．（）详见解析；（）． 本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； （1）证明：连接，   由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，，    ∴， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． 18． 本题考查正方形的性质、等边三角形的性质以及最短路径问题的求解，关键是利用对称点将折线转化为直线段，依据“两点之间线段最短”确定最小值．首先利用正方形对角线是对称轴，找到点关于的对称点，将转化为，把的和转化为；然后根据两点之间线段最短，确定当为与交点时，和最小，最小值为的长度；最后由正方形面积求出边长，结合等边三角形边长相等得到的长度，即为所求最小值． 解：如图，连接． ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴点与点关于直线C对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当点为与的交点时，的和最小，最小值为线段的长； ∵正方形的面积为6， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 故的最小值为； 故答案为：． 19． 作关于的对称点，在上截取，连接交于，在上截取，此时的值最小，可得四边形是平行四边形，从而可得，由勾股定理可得的长，即可求解． 解：作关于的对称点，在上截取，连接交于，在上截取，此时的值最小，且，． ∵四边形是矩形， ∴，． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵，，为的中点， ∴， ∴，， ∴由勾股定理可得， ∴的最小值为． 本题考查利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质． 20．(1) (2) （1）过点作于点，则四边形是矩形，分别求出和，最后根据勾股定理即可求解； （2）以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，，当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小，过点作于点，则是的中点，根据勾股定理即可得到结论． （1）（1）如图①， 过点作于点，则四边形是矩形． 由题意知，，，， ． 是的中点， ， ． 在中，， ． （2）解：如图②， 以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，， 此时，，． 当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小， 即的值最小，则， 易知． 过点作于点，则是的中点， ． 在中，，， ． 本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 21． 本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理，关键是利用轴对称将折线段转化为直线段，将求的最小值问题转化为求线段的长度问题，再结合特殊四边形的性质求出构成直角三角形的两条直角边长度，最后用勾股定理求解． 解：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵为线段上的动点， ∴如图，可以看作是定线段沿菱形在方向上水平运动， 点的运动轨迹为线段，过点作关于线段的对称点． 由对称性，得， ∴， 如图，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 设与交于点，交于点，延长交延长线于点，菱形中，，， ∴，，． 由题意可得， ∴由对称性可得，∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 22．(1)①作图见解析，，；② (2) （1）①取中点作图，根据中位线的性质可判断．根据正方形的性质容易证明，进而可证明，因此； ②使用勾股定理可得，运用正方形的性质和勾股定理计算出和，进而求出； （2）分别取、、、的中点、、、，连接，，，，，根据中位线的性质可得，．由线段公理可得，当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为的长．同理①可得，是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出即可． （1）解：点、、如图所示，，，理由如下： ∵点、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：且； ②由①可知，， ∴， 由勾股定理可得，，，，， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即（负值舍去）； （2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接，，，，， 同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，，； ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长， 同理（1）①可得，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴在直角中，， ∴，即的最小值为． 本题是四边形中点问题的综合题，考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $