专题04 平面内的两条直线5大考点（期中真题汇编，湖南专用）七年级数学下学期新教材湘教版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04平面内的两条直线 ☆5大高频考点概览 考点01利用平移的性质求面积、周长 考点02平行线的性质 考点03平行线的性质与判定证明 考点04垂线 考点05两条平行线间的距离 目目 考点01 利用平移的性质求面积、周长 1.(24-25七年级下湖南常德期中)如图，将直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角 三角形DEF,已知BE=4,AG=3,AC=7,则图中阴影部分的面积为 A B< E 2.(24-25七年级下·湖南长沙期中)如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,BC=5,将 三角形ABC沿直线BC向右平移2个单位得到三角形DEF,连接AD,四边形ACFD为平行四边形，四边形 ABFD的周长是 ,平行四边形ACFD的面积是 D B E 3,(24-25七年级下·湖南株洲期中)如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF,DF交BC于 点H.若阴影部分的面积为6cm2,CH=2cm,EF=4cm,则平移的距离为cm. D E 4.(24-25七年级下·湖南长沙期中)如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点 1/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C的方向平移到△DEF的位置，∠B=90°，AB=7,DH=2,平移距离为3，求阴影部分的面积为 B 目目 考点02 平行线的性质 1.(24-25七年级下湖南湘潭·期中)如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两 条折射光线也是平行的.若水面和杯底互相平行，且∠2=68°，则∠1的度数为() 空气 人2水 A.112° B.122° C.102 D.689 2.(24-25七年级下，湖南长沙期中)如图，将含30°角的直角三角板按照图示放置，∠ACB=60°，若 DE WFG,则∠DHA=() G B A.100° B.120° C.140° D.150° 3,(24-25七年级下·湖南长沙.期中)随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人 们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB,CE,DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上）， EF为后下叉.己知AB II DE,AD I EF,∠BCE=34°，∠CEF=110°，则∠ADE的度数为() 2/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.67° B.69 C.76° D.79° 4.(24-25七年级下湖南长沙期中)如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模 拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角（上1）与折射角(22)约为43的比例关系，为了挑战自我，同学 们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，B斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角y与，B的数学 关系为() 图1 图2 A.a+B=y B.a+B+y=180 C.(a+B)=r D.a+)=135°-y 5.(24-25七年级下·湖南湘西·期中)如图，aIb,直线a,b被直线c所截，AC1,BC1分别平分∠EAB, LFBA交于点C1;AC2,BC2分别平分LEAC1,∠FBC1交于点C2;AC3,BC3分别平分LEAC2,∠FBC2交于点 C3,..依此规律，得点Cn,则LC2o25为(). C C b A.0 B.o c.0 D. 6.(24-25七年级下·湖南长沙.期中)如图，AB IICD,点E在AB上，点F在CD上，如果∠AEF=144°， ∠BFE=2LBFD,那么∠BFD的度数为 3/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25七年级下·湖南长沙期中)如图，已知AB II CD‖EF,若∠B=110°，∠E=30°，则∠ECB= A C D 8.(24-25七年级上·湖南衡阳·期中)如图，一张长方形纸条ABCD沿EF折叠.已知：∠AED=63°24，则 ∠EFB=—· D D 9.(24-25七年级下·湖南湘西·期中)如图，若ABI‖CD‖PH,∠AEP=40°，∠PFD=120°，求LEPF的度 数. A B F D 10.(24-25七年级下湖南长沙期中)如图，直线ab,∠3=60°，求∠1，∠2的度数. 4 个 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）， 解：alb(已知)， ∴21=∠4(_). ∠4=∠3()， 又∠3=60°(_)， ∠1=∠3=_（_). .∠2+∠3=180°， 4/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 L2=_（_）. 目目 考点03 平行线的性质与判定证明 1.(24-25七年级下·湖南长沙期中)长沙地铁6号线的轨道铺设中，工程师利用了平行线的性质来确保轨 道的安全性，下列选项中，能判定两条直线平行的是() A,同位角相等 B,内错角互补 C.同旁内角相等 D,对顶角相等 2.(24-25七年级下湖南株洲期中)下列说法正确的是（) A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等. B.同旁内角互补，两直线平行 C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行. D.不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行. 3.(24-25七年级下湖南株洲期中)如图，一张长方形纸片剪去两个角，己知AGIBE,且测得EF⊥GF, ∠AGF=140°，则∠BEF=° G B 4.(24-25七年级下湖南株洲期中)如图，已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°. E B (I)求证：ADIEC; (2)若DA平分∠BDC,CE⊥FA于点E,∠1=75°，求LFAB的度数 5,(24-25七年级下·湖南郴州·期中)如图，AB IICD,OE平分∠A0C,CF平分∠OCD,试证明 ∠E0F+∠0FC=180°.根据图形填空： 5/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 证明：AB IICD(已知)， .∠A0C= OE平分∠AOC(已知)， B0c=月 同理，0CF=2 1 LE0C=∠OCF( ), ..0E II ), “LE0F+∠0FC=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 6.(24-25七年级下·湖南长沙期中)如图，己知ADIBC,E为射线BC上一点，AE平分∠BAD, ∠ADC=∠B. (I)求证：ABICD. (2)LADE=3LCDE,LAED=60°，求∠CDE的度数. 7.(24-25七年级下·湖南长沙期中)完成下面的证明. 如图，已知AD⊥BC,EF⊥BC,∠1=∠2，求证：∠BAC+∠AGD=180°. 证明：AD⊥BC,EF⊥BC(已知)， ∠EFB=90°，∠ADB=90°（垂直的定义）， ∠EFB=∠ADB, .(ù， ∠1=∠BAD(两直线平行，同位角相等)， 又21=∠2（已知）， L2=∠BAD, 6/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·(内错角相等，两直线平行)， ∠BAC+∠AGD=180°（ù. A E 1 G F 0 8.(24-25七年级上·湖南岳阳·期中)完成下面的证明：已知，如图，ABICDIGH,EG平分∠BEF,FG平分 ∠EFD,求证：∠EGF=90°. 证明：ABICDIGH(_), ∠1=∠3，∠2=∠4（)， ∠BEF+=180°()， 又EG平分LBEF,FG平分LEFD(已知)， 21=2BEF,L2=24, 21+2=3(+), ∠1+∠2=90°， ∠3+∠4=90°()， 即∠EGF=90°， 9.(24-25七年级下湖南长沙期中)如图，点A,C在线段BD的异侧，点E,F在线段BD上，点H,G 分别在线段AB,CD上，已知∠1=∠2，∠3=∠C. 0 E 7/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：AB II CD; (2)若∠1+∠4=180°，求证：∠A=∠C; (3)若∠HFD+30°=2L1,求LD的度数. 10.(24-25七年级下湖南长沙期中)如图，已知AC II FE,∠1+∠2=180°. E B (I)求证：∠FAB=∠BDC, (2)若AC平分LFAD,EF⊥BE于点E,∠FAD=70°，求LBCD的度数. 11.(24-25七年级下·湖南长沙·期中)已知：如图，平行直线AB,CD与EF相交，交点分别为E,F,EG平 分∠AEF,FH平分∠EFD.求证：EGUFH, A E 根据图形和已知条件，请补全这道题的解答过程. 证明：AB IICD( ), .∠AEF= ( 又~EG平分∠AEF,FH平分∠EFD, 2GEF=AEF,∠EFH= ( (). ..EGIFH ) 12.(24-25七年级下·湖南长沙.期中)如图，直线PQ IIMN,点C是PQ、MN之间（不在直线PQ,MN上） 的一个动点 (1)如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由. 8/12 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P 2 图1 (2)把Rt△ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D,CA与MN交于点E,BA与PQ 交于点P,点G在线段CB上，连接DG,有∠BDP=LGDP,C是否为一个定值？若是求出定值，若不是说 明理由. D G E 图2 A (3)如图3，若点D是MN下方一点，BC平分LPBD,AM平分LCAD,己知∠PBC=26°，求LACB+∠ADB的 度数. 图3 目目 考点04 垂线 1,(24-25七年级下·湖南衡阳·期中)如图，AB⊥BC,∠ABD的度数比LDBC的度数大20°，设∠ABD和∠DBC 的度数分别为x°，y°，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是() A D D B 9/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x+y=90 A.y-x=20 B+y=28 c.±69 D.{220 2.(24-25七年级下·湖南长沙期中)数学源于生活，用于生活.下列各现象中能用“垂线段最短”来解释是 (填序号)》 起 线 ①测量跳远成绩 ②木板上弹墨线 ③弯曲河道改直 ④两钉子固定木条 3.(24-25七年级下·湖南长沙.期中)如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得EF⊥GF,∠BEF=130°， 则∠FGD=一· G B E 4.(24-25七年级下·湖南湘西期中)在如图所示的方格纸中，点P是∠A0B的边0B上的一点，不用量角器 与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： B (1)过点P画OA的垂线，垂足为H; (②)在图中线段PH的长度是点P到直线① 的距离，在直线OA上任取一点C,连接PC,PC,PH,这两 条线段大小关系是② ·(用“<”号连接) 5,(24-25七年级下·湖南长沙期中)如图，已知DC II AB,∠1=∠2. 10/12命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04平面内的两条直线 ☆5大高频考点概览 考点01利用平移的性质求面积、周长 考点02平行线的性质 考点03平行线的性质与判定证明 考点04垂线 考点05两条平行线间的距离 目目 考点01 利用平移的性质求面积、周长 1.22 2. 16 碧 3.2 4.18 目目 考点02 平行线的性质 题号 1 2 3 4 5 答案 A B D C 6.48° 7.40 8.58°18 9. 【详解】解：AB‖CDPH ∠PFD+∠FPH=180° :∠PFD=120°， ∠HPF=60 PHIAB, .∠EPH=∠AEP=40o ∴∠EPF=∠HPE+∠HPF=40°+60°=100°. 10. 1/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：：ab(己知)， “∠1=∠4（两直线平行，同位角相等）. :∠4=3（对顶角相等）， 又∠3=60°（已知）， ·∠1=∠3=60°（等量代换）. :∠2+∠3=1800， ∠2=120°（等式的性质）. 目目 考点03 平行线的性质与判定证明 题号 1 2 答案 A 6 3.130 4. 【详解】(1)证明：：∠1=∠BDC, AB CD, ·∠2=∠ADC, :∠2+∠3=180°， ·∠ADC+∠3=180°， ÷AD‖EC; (2)解：：∠1=75°，AB‖CD, ·∠BDC=75°，∠2=∠ADC, :DA平分∠BDC, :∠ADC=支×75°=37.5°， .∠2=37.5°， :CE⊥FA, ·∠AEC=90°， :AD川EC, ·∠DAF=90°， ·∠FAB=∠DAF-∠2 2/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =90°-37.50 =52.5°. 5. 【详解】解：“ABII CD(已知)， ∠A0C=∠DC0(两直线平行，内错角相等). :0E平分∠A0C(已知)， :∠E0C=∠AOC(角平分线的定义). 同理，∠0CF=∠0CD, ∴.∠E0C=∠0CF(等量代换)， “OE‖CF(内错角相等，两直线平行)， ∴∠E0F+∠0FC=180。(两直线平行，同旁内角互补). 故答案为：∠DCO:两直线平行，内错角相等；∠AOC;角平分线的定义；∠OCD;等量代换；CF;内 错角相等，两直线平行. 6. 【详解】(1)证明：：ADBC, ∠ADC=∠DCE; :∠ADC=∠B, ∴∠DCE=∠B, :ABICD; (2)解：设∠CDE=, :∠ADE=3∠CDE, ∠ADE=3,∠B=∠ADC=∠ADE-∠CDE=2a; ADIBC, .∠DAB=180°-∠B=180°-2C,∠DEC=180°-∠ADE=180°-3，∠DAE=∠AEC; :AE平分∠BAD, ∠DAE=∠BAD=90°-a, ·.∠AEC=∠DAE=90°-&： :∠AEC+∠AED=∠DEC, 3/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 90°-a+60°=180°-3， 解得：《=15°， 即∠CDE=15°. 7. 【详解】证明：：AD⊥BC,EF⊥BC(已知)， .∠EFB=90°，∠ADB=90°（垂直的定义）， ∴∠EFB=∠ADB, :EFAD(同位角相等，两直线平行， ·∠1=∠BAD(两直线平行，同位角相等)， 又：∠1=∠2（已知）， ∠2=∠BAD, AB引DG(内错角相等，两直线平行)， .∠BAC+∠AGD=180·(两直线平行，内错角相等). E B F 8 【详解】证明：：ABIICD IGH(已知)， .∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）， ∠BEF+∠EFD=180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又：EG平分∠BEF,FG平分∠EFD(已知)， :∠1=克∠BEP,∠2=克∠EPD, :∠1+∠2=（∠BEP+∠EFD), ∠1十∠2=90°， ∴∠3十∠4=90。（等量代换）， 即∠EGF=90°. 故答案为：己知；两直线平行，内错角相等；∠EFD;两直线平行，同旁内角互补；∠EFD;∠BEF; ∠EFD;等量代换 4/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9. 【详解】(1)：∠1=∠2，∠2=3,3=∠C, ·∠1=∠C ·AB IICD. (2):∠1=∠2∠2=3,3=∠C, ÷∠1=∠3=∠C :∠1+∠4=180°， ∠3+∠4=180°. AG CH :∠1=∠A :∠1=∠C, ·∠A=∠C (3):∠HFD+∠2=180°，∠1=∠2， ·∠1+∠HFD=180°. :∠HFD+30°=2∠1， .180°-∠1+30°=2∠1. ·∠1=70°. ∠2=∠1=70°. :∠B=180°-∠1-∠2=40°. ABI CD, ∠D=∠B=40°. 10. 【详解】(1)证明：：AC‖FE, ·∠1+∠FAC=180°， 又：∠1+∠2=180°， ·∠FAC=∠2， ·FAICD, ·∠FAB=∠BDC (2)解：：EF⊥BE, 5/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠E=90°， AC FE, ÷∠ACB=∠E=90°， :AC平分∠FAD,∠FAD=70°， :∠FAC=∠FAD=方×70·=35°， 由(1)得，∠FAC=∠2， ∠2=35°， :∠BCD=∠ACB-∠2=90°-35°=55°， ·∠BCD的度数为55°. 11. 【详解】证明：：AB‖CD(已知)， :∠AEF=∠EFD(两直线平行，内错角相等). 又：EG平分∠AEF,FH平分∠EFD, :∠GEP=青∠AEF,∠EFH=青∠EFD(角平分线的定义). ∴∠GEF=∠EFH(等量代换). “EGFH(内错角相等，两直线平行). 故答案为：已知；∠EFD;两直线平行，内错角相等；∠EFD;角平分线的定义；∠GEF=∠EFH;等量 代换；内错角相等，两直线平行. 12. 【详解】(1)解：∠C=∠1+∠2： 证明：如图，过点C作川PQ. P 9 M 2 图1 1lPQ‖MN, ∴∠3=∠1，∠4=2 :∠C=∠3+∠4， ∴∠C=∠1+∠2： 6/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：：∠BDF=∠GDF,∠BDF=∠PDC ∴∠GDF=∠PDC :∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°， .∠CDG+2∠PDC=180o, ∠PDC=90°-∠CDG, 由(1)可得，∠PDC+∠CEM=∠C=90°， :∠CEM=90°-∠PDC=90。-(90。-克∠CDG)=∠CDG, :∠AEN=∠CEM=∠CDG (3)解：如图， P B K :BC平分∠PBD,AM平分∠CAD,∠PBC=26°， .∠PBD=2∠PBC=52°，∠CAM=∠MAD. PQl MN, ∠BKA=∠PBD=52°， .∠ADB=∠BKA-∠MAD=52°-∠MAD=52°-∠CAM, 由(1)可得，∠ACB=∠PBC+∠CAM, ∴.∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+52°-∠CAM=26°+52°=78°. 目目 考点04 垂线 题号 1 答案 B 2.① 3.40°/40度 7/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4. 【详解】(1)如图所示：①PH即为所求： (2)如图所示：PC即为所求： H A 线段PH的长度是点P到直线AO的距离，PC、PH这两条线段大小关系是PH<PC, 故答案为：AO,PH<PC 5. 【详解】(1)证明：：DCAB, .∠DCA=∠2， :∠1=∠2， ∠1=∠DCA, :DELAC; (2)FA⊥AB, ∠FAB=90°， :∠FAC=60°， ∴.∠2=90°-∠FAC=30°， ∠DCA=∠2=30o, :DC平分∠ACF, .∠FCA=2∠DCA=60°， DELAC, ∴∠DEC+∠FCA=180°， ∴.∠DEC=180°-∠FCA=120°. 6. 【详解】证明：：AD⊥HG,BC⊥HG(己知)， ∠DEF=∠CFG=90°（垂直的定义）， 8/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AD‖BC(同位角相等，两直线平行)， ∴∠A+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）， :∠1十∠2=180°（己知）， ·∠1=∠A(同角的补角相等)， ·AGHC（内错角相等，两直线平行). 故答案为：90°；AD‖BC;两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行 目目 考点05 两条平行线间的距离 题号 1 2 3 4 答案 A 5.2.5/月 9/9 专题04平面内的两条直线 5大高频考点概览 考点01 利用平移的性质求面积、周长 考点02 平行线的性质 考点03 平行线的性质与判定证明 考点04 垂线 考点05 两条平行线间的距离 地 城 考点01 利用平移的性质求面积、周长 1．（24-25七年级下·湖南常德·期中）如 图 ，  将 直 角 三 角 形 沿方 向 平 移 得 到 直 角 三 角 形 ， 已 知，，， 则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】22 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； 根据平移的性质可得，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，， ∵为和的公共部分， ∴阴影部分的面积， ，， ， ∴阴影部分的面积为22． 故答案为：22． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，在三角形中，，，将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，连接，四边形为平行四边形，四边形的周长是________，平行四边形的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质；掌握平移的性质是关键；根据平移的性质得，，由此可求得四边形的周长；利用面积关系求出三角形斜边上的高，即可求出平行四边形的面积． 【详解】解：由平移的性质得，， 则四边形的周长为 ； 设三角形斜边上的高为h， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点．若阴影部分的面积为，，，则平移的距离为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质、三角形面积计算的知识．根据题意，计算得；再根据阴影部分的面积，求得，即可得到答案． 【详解】解：由平衡的性质得，，，， ∴， ∵阴影部分的面积， ∴， ∴， ∴三角形沿着方向平移的距离为， 故答案为：2． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，求阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握相关知识．由平移可得：，，，推出，，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ，即， ， 故答案为：． 地 城 考点02 平行线的性质 1．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 根据水中的两条折射光线是平行的可求得，根据水面和杯底平行得的度数即可． 【详解】解：如图， ∵水中的两条折射光线是平行的， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ， ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，将含角的直角三角板按照图示放置，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的性质，根据平行线的性质得出，再根据邻补角即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得出，即可求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出，即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ， ， ， ， ， 故选：C 4．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，过B，D，F分别作水平线的垂线，得，由平行线的性质结合已知条件可得出可得结论． 【详解】解：如图所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则， ∴， ∴， 根据题意得， ，， ∴ ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）如图，，直线，被直线所截，，分别平分，交于点；，分别平分，交于点；，分别平分，交于点，……依此规律，得点，则 为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线．根据平行线以及角平分线找出部分的度数，根据数据的变化找出变化规律是关键．根据以及，分别平分，即可得出，写出部分的度数，根据数据的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分， ∴，， ∴， 同理可得：， ， ， …， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图， ，点E在上，点F在上，如果，，那么的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及角度的数量关系转换，掌握性质并准确识图是解题的关键． 利用平行线性质求出，根据平角定义求出，依据角的和差关系得出 ． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ， ∵， ∴ ∴． 故答案为： 7．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，若，，则____°． 【答案】40 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．先根据求出的度数，再由求出的度数，进而可得出结论． 【详解】∵， 故答案为：40． 8．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如图，一张长方形纸条沿折叠．已知：，则______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是折叠的性质、角度的运算、平行线的性质，解题关键是熟练掌握折叠的性质． 先根据折叠性质得出，再计算出的角度，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：根据折叠性质可得：， ， ， 长方形中，， ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）如图，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 根据题意得出，，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴． 10．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，，求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， ∴（ ）． ∵ （ ）， 又（ ）， ∴ （ ）． ∵， ∴ （ ）． 【答案】两直线平行，同位角相等；对顶角相等；已知；；等量代换； ；等式的性质 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，由平行线的性质和对顶角的性质可求出的度数，再由平角的定义可求出的度数． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（对顶角相等）， 又（已知）， ∴（等量代换）． ∵， ∴（等式的性质）． 地 城 考点03 平行线的性质与判定证明 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）长沙地铁6号线的轨道铺设中，工程师利用了平行线的性质来确保轨道的安全性．下列选项中，能判定两条直线平行的是（   ） A．同位角相等 B．内错角互补 C．同旁内角相等 D．对顶角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题关键．根据同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行逐项判断即可． 【详解】解：A、同位角相等，可以判定两条直线平行，符合题意； B、内错角互补，不可以判定两条直线平行，符合题意； C、同旁内角相等，不可以判定两条直线平行，符合题意； D、对顶角相等，不可以判定两条直线平行，符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）下列说法正确的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等． B．同旁内角互补，两直线平行． C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． D．不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定定理、平行公理及平面内直线的位置关系，根据相关知识逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A、只有当两条直线平行时，同位角才相等，题目未说明两直线平行，故A说法错误，不符合题意； B、根据平行线的判定定理，同旁内角互补时，两直线平行，故B说法正确，符合题意； C、平行公理中强调“过直线外一点”有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，故C说法错误，不符合题意； D、选项未明确“同一平面内”，表述不严谨，故D说法错误，不符合题意， 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，一张长方形纸片剪去两个角，已知，且测得，，则______． 【答案】130 【分析】本题考查了平行线的性质；过作，交于，得出，推出，，把，代入求出即可． 【详解】解： 过作 ，交于，   四边形是长方形， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：130． 4．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质；掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）由同位角相等，两直线平行得，再由平行线的性质得，结合已知条件，由同旁内角互补，两直线平行，即可得证； （2）由平行线的性质得，，，结合角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ； （2）解： ，， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 5．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，，平分，平分，试证明． 根据图形填空： 证明：∵（已知）， ∴________（____________________）． ∵平分（已知）， ∴________ (____________________)． 同理，________， ∴（____________________）， ∴ ________（____________________）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 根据平行线的判定和性质，把证明过程补充完整即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵平分（已知）， ∴ （角平分线的定义）． 同理，， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 6．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，E为射线上一点，平分，． (1)求证：． (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，一元一次方程等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由得，再结合得，由平行线的判定即可证明； （2）设，则，由平行线的性质求得，，；由平分得，利用建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴； ∵， ∴，，； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：， 即． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）完成下面的证明． 如图，已知，，，求证：． 证明：∵， (已知)， ∴， (垂直的定义)， ∴， ∴ ( )， ∴ (两直线平行，同位角相等)， 又∵ (已知)， ∴， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∴ ( )．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据垂直的定义可得出，则可证，根据平行线的性质别难过结合已知可得出，然后根据平行线的判定得出，最后根据平行线的性质即可得证． 【详解】证明：∵， (已知)， ∴， (垂直的定义)， ∴， ∴(同位角相等，两直线平行)， ∴ (两直线平行，同位角相等)， 又∵ (已知)， ∴， ∴(内错角相等，两直线平行)， ∴ (两直线平行，内错角相等)．    8．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）完成下面的证明：已知，如图，，平分，平分，求证：． 证明：∵（ ）， ∴（ ）， （ ）， 又∵平分，平分（已知）， ∴， ， ∴（ ＋ ）， ∴， ∴（ ）， 即． 【答案】已知；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；；；等量代换 【分析】本题考查了根据平行线判定与性质证明，熟记相关结论，根据推理过程即可求解； 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又∵平分，平分（已知）， ∴，， ∴， ∴， ∴（等量代换）， 即． 故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；；；等量代换 9．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，点A，C在线段的异侧，点E，F在线段上，点H，G分别在线段上，已知． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论． （2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，即可得解． （3）根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得． 【详解】（1）， ． ． （2）， ． ， ． ． ． ， ． （3）， ． ， ． ． ． ． ， ． 10．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，． (1)求证：． (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）利用平行线的性质得到，结合得到，从而得到，再利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质和垂直的定义得到，利用角平分线的定义得到，结合（1）中的结论得到，最后利用即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ． （2）解：， ， ， ， 平分，， ， 由（1）得，， ， ， 的度数为． 11．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知：如图，平行直线，与相交，交点分别为，，平分，平分．求证：． 根据图形和已知条件，请补全这道题的解答过程． 证明：∵（________）， ∴________（________）． 又∵平分，平分， ∴，________（________）． ∴________（________）． ∴（________）． 【答案】已知；；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，从而得到，最后根据平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵平分，平分， ∴，（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点． (1)如图1，若与都是锐角，请写出与，之间的数量关系并说明理由． (2)把如图2摆放，直角顶点在两条平行线之间，与交于点，与交于点，与交于点，点在线段上，连接，有，是否为一个定值？若是求出定值，若不是说明理由． (3)如图3，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等，角平分线的定义等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）过点C作，即得出．由平行线的性质可得出，，从而易得出； （2）由对顶角相等结合题意可证．再根据，即可得出，结合（1）的结论可求得，进而得出； （3）由角平分线的定义可得出，．根据平行线的性质可得出，从而得出，结合（1）的结论可求得． 【详解】（1）解：． 证明：如图，过点C作． ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图， .∵平分，平分，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴． 地 城 考点04 垂线 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，的度数比的度数大，设和的度数分别为，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的和差倍分、垂直的含义、列二元一次方程组，理解题意，正确找出两个等量关系是解题关键．根据角的和差倍分、垂直的定义建立方程组即可． 【详解】解：， ， ，即， 的度数比的度数大， ，即，即， 则可列方程组为， 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）数学源于生活，用于生活．下列各现象中能用“垂线段最短”来解释是________．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质．根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可． 【详解】解：①测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故①符合题意； ②木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故②不符合题意； ③弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故③不符合题意； ④两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故④不符合题意； 故答案为：①． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 过作，交于，利用平行性质，得到．推出，，结合求出，依据以及，算出，进而得出答案． 【详解】解：过作，交于， ， 四边形是长方形， ， ， ，， ∴ ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)在图中线段的长度是点P到直线①_______的距离，在直线上任取一点C，连接，这两条线段大小关系是②_______．（用“<”号连接） 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离和垂线段最短求解即可． 【详解】（1）如图所示：①即为所求； （2）如图所示：即为所求； 线段的长度是点到直线的距离， 、这两条线段大小关系是， 故答案为：，． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，．    (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)120° 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线、垂线的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先根据“两直线平行，内错角相等”可证明，结合易得，然后根据“内错角相等，两直线平行”证明结论即可； （2）首先结合垂直的定义，求得，进而可得，根据角平分线的定义易知，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知：如图，，，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴________（垂直的定义）， ∴________（同位角相等，两直线平行）， ∴（________）， ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（________）． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考了垂线的定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．首先根据垂直的定义可得，易得，进而可证明，结合可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行． 地 城 考点05 两条平行线间的距离 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段之间的距离的计算，理解线段之间的距离的计算，分类讨论思想是关键． 依题意有以下两种情况：①当直线在直线之间时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离；②当直线在直线外时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵，与之间的距离为，与之间的距离为， 分两种情况讨论如下： ①当直线在直线之间时，如图1所示： 此时与之间的距离是：； ②当直线在直线外时，如图2所示： 此时与之间的距离是：， 综上所述：与之间的距离是或． 故选：C． 2．（22-23七年级下·湖南永州·期末）在同一平面内，已知，若直线之间的距离为，直线之间的距离为，则直线间的距离为（    ） A．或 B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】分两种情况，当直线在直线、之间时，当直线在直线、外部时，即可解决问题． 【详解】解：当直线在直线、之间时，如图（1），    直线、间的距离为； 当直线在直线、外部时，如图（2）， 直线、间的距离为， 直线、间的距离是或． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的距离，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：、为定点， 则为定值， 随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的； 故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变， 即的面积不变； 故②正确； 随着点的运动，的度数是变化的； 故③错误； 两平行线间的距离相等， 即点到直线的距离不变； 故④正确； 综上，正确的有②④； 故选：C． 4．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）如图，，，，以下三角形和三角形面积相等的有（    ） ①三角形；②三角形；③三角形；④三角形；⑤三角形． A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等．根据 ，， ，由平行线之间距离相等，可得相应三角形之间同底等高． 【详解】解：∵ ，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴ ∴与面积相等的三角形为：、、， 故选：C． 5．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为________． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $