第21章《四边形》单元测试卷2025-2026学年八年级数学下册人教版初中试卷AB卷（单元章节测试卷+专项训练卷+期中期末模拟卷）

第21章《四边形》单元测试卷 时间：60分钟 满分：120分 一．选择题（共6小题，每小题3分，共48分） 1．（2023•永州）下列多边形中，内角和等于360°的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•梅县区期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，点E在对角线BD上，且BE＝BA，那么∠AED的度数是（　　） A．80° B．100° C．110° D．140° 3．（2024春•涿州市期末）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝6，AD＝4，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．都不对 4．（2024秋•沈河区期末）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（　　） A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度变大 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变 5．（2025春•思明区期中）下面是关于某个四边形的三个结论： ①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（　　） A．由①推出③，由③推出② B．由①推出②，由②推出③由 C．由③推出①，由①推出② D．②推出③，由③推出① 6．（2024秋•威远县校级期中）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为（　　） A． B． C． D．2 二．填空题（共6小题，共6小题，每小题3分，共48分） 7．（2025•惠州一模）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是　 　 ． 8．（2025春•西丰县期中）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为BC的中点，若BC＝8，CD＝5，则DE＝ 　 　 ． 9．（2025春•汨罗市期末）如图，四边形ABCD对角线AC，BD交于点O．AC⊥BD，OB＝OD，请你添加一个适当的条件 　 　 ，使四边形ABCD是菱形（只填一种情况即可）． 10．（2020•菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　 　 ． 11．（2023秋•陈仓区校级期中）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝3，则对角线BD的长为 　 　 ． 12．（2025春•西青区期末）如图，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点连接EC，FD． （1）线段EC与FD的位置关系为　 　 ； （2）若G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则线段GH的长为　 　 ． 三．解答题（共7小题，共72分） 13．（8分）（2023•菏泽）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF． 14．（8分）（2024•长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形． 15．（12分）（2024•沛县校级模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若△ABE的面积等于6，求△CFO的面积． 16．（14分）（2023春•海安市期末）【阅读材料】老师的问题：已知：如图1，AE∥BF．求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上． 小明的作法：如图2， （1）作∠BAE的平分线交BF于点C； （2）作∠ABC的平分线交AE于点D； （3）连接CD，四边形ABCD就是所求作的菱形． 【解答问题】：请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形． 17．（12分）（2024•江岸区校级二模）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，若E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）设，当k＝　 　 时，四边形DEBF是矩形． 18．（12分）（2024春•蚌埠期末）（1）如图，请用尺规在△ABC的边BC，AC，AB上分别取点D，E，F使得四边形BDEF为菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的菱形BDEF中，若∠ABC＝60°，BE＝6，求菱形BDEF的面积． 19．（14分）（2022春•营口期末）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上动点，连接AP并延长至点E，使DE＝AB，AE与CD交于点Q． （1）求证：AP＝CP； （2）若∠PCD＝15° ①判断线段PC、PD、PE有怎样的数量关系？并给出证明； ②若，请直接写出PE的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章《四边形》单元测试卷 时间：60分钟 满分：120分 一．选择题（共6小题，每小题3分，共48分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C B C D A 一．选择题（共6小题） 1．（2023•永州）下列多边形中，内角和等于360°的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和，四边形的内角和与多边形内角和将各图形的内角和计算后进行判断即可． 【解答】解：A．三角形的内角和为180°， 则A不符合题意； B．四边形的内角和为360°， 则B符合题意； C．五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， 则C不符合题意； D．六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， 则D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（2025秋•梅县区期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，点E在对角线BD上，且BE＝BA，那么∠AED的度数是（　　） A．80° B．100° C．110° D．140° 【分析】先由菱形的性质得∠ABE＝∠CBE∠ABC＝40°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC＝40°， ∵BA＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA（180°﹣40°）＝70°， ∴∠AED＝180°﹣∠AEB＝110°， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2024春•涿州市期末）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝6，AD＝4，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．都不对 【分析】由平行四边形的得CD＝AB＝6，BC＝AD＝4，AB∥CD，再证∠CBM＝∠CMB，则MC＝BC＝4，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝4，AB∥CD， ∴∠ABM＝∠CMB， ∵BM是∠ABC的平分线， ∴∠ABM＝∠CBM， ∴∠CBM＝∠CMB， ∴MC＝BC＝4， ∴DM＝CD﹣MC＝6﹣4＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明MC＝BC是解题的关键． 4．（2024秋•沈河区期末）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（　　） A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度变大 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变 【分析】由题意可知向右扭动矩形框架ABCD，四边形变成平行四边形，四边形的四条边不变，故周长不变，对角线BD减小，但是BC边上的高减小，故面积变小，故选C． 【解答】解：向右扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意； 此时对角线BD减小，对角线AC增大，B不合题意． BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意， 四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，熟悉性质是解题关键． 5．（2025春•思明区期中）下面是关于某个四边形的三个结论： ①它的对角线相等； ②它是一个正方形； ③它是一个矩形． 下列推理过程正确的是（　　） A．由①推出③，由③推出② B．由①推出②，由②推出③由 C．由③推出①，由①推出② D．②推出③，由③推出① 【分析】根据正方形的性质与判定，矩形的性质与判定逐一判断即可． 【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，即由①不能推出③，正方形是特殊的矩形，即由③可以推出②，故此选项不符合题意； B、矩形是特殊的平行四边形，即由③可以推出①，正方形是特殊的矩形，即由②不可以推出③，故此选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，即由③能推出①，正方形是特殊的矩形，即由①不能推出③，故此选项不符合题意； D、正方形是特殊的矩形，即由②推出③，矩形的对角线相等，由③推出①，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 6．（2024秋•威远县期中）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】首先证明MN是△AEF的中位线，得到，然后由正方形的性质与勾股定理得到，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而得到当点E和点C重合时，BE最大，即可求出BC的长度，最后代入即可得到答案． 【解答】解：连接AE，如图所示： ∵M，N分别是EF，AF的中点， ∴MN是△AEF的中位线， ∴， ∴， ∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大， ∵E是BC上的动点， ∴当点E和点C重合时，BE最大， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键， 二．填空题（共6小题，共6小题，每小题3分，共48分） 7．（2025•惠州一模）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是　9　 ． 【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°进行求解即可． 【解答】解：设这个多边形边数为n，由多边形内角和公式（n﹣2）×180°可得： （n﹣2）×180°＝1260°， ∴n＝9； 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 8．（2025春•西丰县期中）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为BC的中点，若BC＝8，CD＝5，则DE＝ 　3　 ． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质求出AB长，由勾股定理求出AC长，由三角形中位线定理即可求出DE的长． 【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CDAB， ∵CD＝5， ∴AB＝10， ∵BC＝8， ∴AC6， ∵D是AB中点，E是AC中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAC＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形中位线定理，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 9．（2025春•汨罗市期末）如图，四边形ABCD对角线AC，BD交于点O．AC⊥BD，OB＝OD，请你添加一个适当的条件 OA＝OC（答案不唯一）　 ，使四边形ABCD是菱形（只填一种情况即可）． 【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD，即可得出结论． 【解答】解：添加条件：OA＝OC，理由如下： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：OA＝OC（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 10．（2020•菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　3　 ． 【分析】根据矩形的性质可得BD＝13，再根据BP＝BA可得DQ＝DP＝8，所以得CQ＝3，在Rt△BCQ中，根据勾股定理即可得BQ的长． 【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴BD13， ∵BP＝BA＝5， ∴PD＝BD﹣BP＝8， ∵BA＝BP， ∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ， ∵AB∥CD， ∴∠BAP＝∠DQP， ∴∠DPQ＝∠DQP， ∴DQ＝DP＝8， ∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3， ∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得 BQ3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 11．（2023秋•陈仓区期中）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝3，则对角线BD的长为 　6　 ． 【分析】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度． 【解答】解：如图，连接AC交BD于点H， 由菱形的性质得∠ADC＝∠ABC＝80°，∠DCE＝80°，∠DHC＝90°， 又∵∠ECM＝30°， ∴∠DCF＝50°， ∵DF⊥CM， ∴∠CFD＝90°， ∴∠CDF＝40°， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ADC， ∴∠HDC＝40°， 在△CDH和△CDF中， ， ∴△CDH≌△CDF（AAS）， ∴DH＝DF＝3， ∴DB＝2DH＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出∠HDC＝∠FDC是这个题最关键的一点． 12．（2025春•西青区期末）如图，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点连接EC，FD． （1）线段EC与FD的位置关系为　垂直　 ； （2）若G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则线段GH的长为　2　 ． 【分析】（1）证明△CBE≌△DCF（SAS）得∠BEC＝∠DFC，求出∠COF＝90°即可得出线段EC与FD的位置关系； （2）连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠DCB＝90°， ∵点E，F分别是边AB，BC的中点， ∴BE＝CF， 在△CBE和△DCF中， ， ∴△CBE≌△DCF（SAS）， ∴∠BEC＝∠DFC， ∴∠BCE+∠DFC＝∠BCE+∠BEC＝90°， ∴∠COF＝90°， ∴EC⊥FD． 故答案为：垂直； （2）连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°，AD∥BC，， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠DPH＝∠FCH， ∵∠DHP＝∠FHC， ∵DH＝FH， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴， ∴， ∴， ∵点G，H分别是EC，CP的中点， ∴； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 13．（2023•菏泽）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF． 【分析】根据平行四边形的性质AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，进而利用角平分线得出∠BAE＝∠FCD，利用ASA证明△ABE与△CDF全等解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD， ∵AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F， ∴∠BAE＝∠FCD， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠BAE＝∠FCD是解题的关键． 14．（2024•长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形． 【分析】先根据条件证明△AOD≌△BOC，再证明四边形ABCD是平行四边形，最后根据平行四边形与矩形的关系进行证明即可． 【解答】证明：∵O是边AB的中点， ∴OA＝OB， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（ASA）， ∴DA＝CB， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴DA∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 【点睛】本题考查矩形的判断，掌握矩形的判断方法是解题的关键． 15．（2024•沛县模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若△ABE的面积等于6，求△CFO的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AO＝CO，BO＝DO，再证OE＝OF，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵BE＝EF， ∴S△ABE＝S△AEF＝6， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴S△AEF＝S△CEF＝6， ∵EO＝FO ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 16．（2023春•海安市期末）【阅读材料】老师的问题：已知：如图1，AE∥BF．求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上． 小明的作法：如图2， （1）作∠BAE的平分线交BF于点C； （2）作∠ABC的平分线交AE于点D； （3）连接CD，四边形ABCD就是所求作的菱形． 【解答问题】：请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形． 【分析】由平行线的性质可得∠DAC＝∠BCA，∠ADB＝∠CBD，由角平分线的定义可得∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠CBD，进而得到∠BCA＝∠BAC，∠ADB＝∠ABD，根据等边对等角得AB＝BC，AB＝AD，于是AD＝BC，由对边平行且相等的四边形为平行四边可知四边形ABCD为平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形ABCD是菱形． 【解答】证明：∵AE∥BF， ∴∠DAC＝∠BCA，∠ADB＝∠CBD， ∵AC为∠BAE的平分线， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∵BD∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∵AB＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD为菱形． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定，熟知菱形的判定方法是解题关键．菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． 17．（2024•江岸区二模）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，若E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）设，当k＝　2　 时，四边形DEBF是矩形． 【分析】（1）连接DE，BF，先根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，再根据线段中点的定义可得OEOAOC＝OF，然后根据平行四边形的判定可得四边形DEBF是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证； （2）先根据矩形的判定可得当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得AC＝2EF，由此即可得出k的值． 【解答】（1）证明：如图，连接DE，BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵E，F分别是OA，OC的中点， ∴OEOAOC＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE＝DF． （2）解：由（1）已证：四边形DEBF是平行四边形， 要使平行四边形DEBF是矩形，则BD＝EF， ∵OEOAOC＝OF， ∴EF＝OE+OFOAOC＝OAAC，即AC＝2EF， ∴k2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 18．（2022春•蚌埠期末）（1）如图，请用尺规在△ABC的边BC，AC，AB上分别取点D，E，F使得四边形BDEF为菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的菱形BDEF中，若∠ABC＝60°，BE＝6，求菱形BDEF的面积． 【分析】（1）作△ABC的角平分线BE，作线段BE的垂直平分线交AB于F，交BC于D，连接DE，EF，四边形BDEF即为所求． （2）根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）D，E，F的位置如图所示． （2）∵四边形BDEF是菱形， ∴∠EBD∠ABC＝30°，DF⊥BE， ∵BE＝6， ∴DF， ∴菱形BDEF的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质以及作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与折叠的性质． 19．（2024春•营口期末）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上动点，连接AP并延长至点E，使DE＝AB，AE与CD交于点Q． （1）求证：AP＝CP； （2）若∠PCD＝15° ①判断线段PC、PD、PE有怎样的数量关系？并给出证明； ②若，请直接写出PE的值． 【分析】（1）证明△CDP≌△ADP（SAS），根据全等三角形的性质即可得证； （2）①在EP上截取PH＝PD，连接DH，求出∠CPD＝180°﹣∠PCD﹣∠CDP＝120°，∠EPD＝∠PAD+∠PDA＝60°，可得△PHD为等边三角形，推出∠EHD＝∠CPD，DE＝AB＝AD，∠E＝∠PAD＝∠PCD，证明△EHD≌△CPD（AAS），根据全等三角形的性质得EH＝CP，即可得PC+PD＝EH+PH＝PE； ②作AF⊥BD于点F，解直角三角形求出DF，PA＝2，PF＝1，则PD＝DF﹣PF1，即可得PE＝PC+PD＝PA+PD＝2+（1）1． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA， ∵BD是对角线， ∴∠CDB＝∠ADB＝45°， 在△CDP和△ADP中， ， ∴△CDP≌△ADP（SAS）， ∴AP＝CP； （2）①PC+PD＝PE，证明如下： 如图所示，在EP上截取PH＝PD，连接DH， 由（1）知△CDP≌△ADP， ∴∠PAD＝∠PCD＝15°， ∴∠CPD＝180°﹣∠PCD﹣∠CDP＝180°﹣15°﹣45°＝120°， ∵∠EPD＝∠PAD+∠PDA＝15°+45°＝60°， ∵PH＝PD， ∴△PHD为等边三角形， ∴HD＝PD＝PH，∠PHD＝60°．∠EHD＝120°， ∴∠EHD＝∠CPD， ∵DE＝AB＝AD， ∴∠E＝∠PAD， ∴∠E＝∠PCD， ∴△EHD≌△CPD（AAS）， ∴EH＝CP， ∴PC+PD＝EH+PH＝PE， 即PC+PD＝PE； ②作AF⊥BD于点F， ∵∠ABF＝∠ADB＝45°，AB＝AD， ∴△ABF、△ADF均为等腰直角三角形． ∴DF＝AF＝AB•sin45°，∠APF＝∠EPD＝60°， ∴PA2， ∴PF＝PA•cos∠APF＝1， ∴PD＝DF﹣PF1， ∴PE＝PC+PD＝PA+PD＝2+（1）1， 即PE的值为1． 【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，孰练掌握正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $