第21章 四边形基础过关单元检测试卷（A卷）2025-2026学年八年级数学下册人教版AB卷（单元章节测试卷+专项训练卷+期中期末模拟卷）

第21章 四边形基础过关单元检测试卷（A卷） （时间：100分钟 满分：120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025•凤庆县模拟）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025•广平县开学）在剪纸活动中，轩轩想用一张矩形纸片剪出一个正六边形，其中正六边形的一条边与矩形的一边重合，如图所示，则∠1的度数是（　　） A．72° B．65° C．60° D．54° 3．（2025•邯郸模拟）观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（　　） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 4．（2025春•栾城区期末）如图，已知平行四边形框架ABCD，现将木条BC固定不动，向右推动框架至AB⊥BC，整个变化过程中，下列说法不正确的是（　　） A．四边形ABCD由平行四边形变成矩形 B．点B，D之间的距离不变 C．四边形ABCD的面积变大 D．四边形ABCD的周长不变 5．（2025春•惠州期末）如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF：②EF＝BF；③S四DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF；其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2026•周至县一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若AO＝4，则MN的长为（　　） A．4 B．2 C．8 D．6 7．（2025秋•高陵区期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝70°，E是线段AO上的一点，且BC＝CE，则∠OBE的度数是（　　） A．30.5° B．32.5° C．25.5° D．27.5° 8．（2024秋•柯城区期末）如图，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，且K是AB中点．若S1＝18，S2＝7，S3＝25，则CK的长为（　　） A． B． C． D．5 9．（2023•临沂一模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝4，∠AEO＝120°，则FC的长度为（　　） A．1 B．2 C． D． 10．（2025秋•拱墅区期末）如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为（　　） A． B． C．2 D． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2024•无锡）正十二边形的内角和等于 　 　 度． 12．（2025春•永定区期中）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，则∠C的度数为 　 　 ． 13．（2024•芗城区一模）矩形ABCD的面积为48，一条边AB的长为6，则矩形的对角线BD＝　 　 ． 14．（2025秋•肃南县期末）如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，且AB⊥AE，若∠ABC＝40°，则∠AEB的度数为　 　 ． 15．（2025春•南岗区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝2，则菱形的周长为 　 　 ． 16．（2025春•杞县期末）如图，将▱ABCD先沿BE折叠，再沿BF折叠后，A点落在线段BF上的A′处，C点落在E处，连结EA′，EF．若恰有EF⊥EA′，则∠A＝　 　 ． 17．（2024•内江）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 　 ． 18．（2025•隆昌市二模）如图，在边长是6的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共6小题，共66分） 19．（6分）（2025秋•太和县期末）已知一个多边形的内角和比外角和多900°，并且这个多边形各个内角的度数都相等．这个多边形的每个内角是多少度？ 20．（10分）（2024•武功县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接AC，BF． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝120°，求∠D的度数． 21．（12分）（2025春•西平县期末）如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB）． （1）尺规作图：作以AC为对角线，且点E、F分别在BC、AD上的菱形AECF；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝8，求菱形AECF的边长． 22．（12分）（2024春•宿城区期中）如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF． （1）求证：四边形ACFE是菱形； （2）连接BE交AD于点G．当AB＝1，∠ACB＝30°时，求BG的长． 23．（12分）（2025春•甘井子区月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F． （1）求证：四边形OEFB是矩形； （2）EF与OC相交于点G，连接BE、BG，若BC＝8，BE＝6，求BG的长． 24．（14分）（2025秋•鲁山县期末）问题背景：如图1，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O． （1）探索发现：如图1，探索线段DN与CM的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）探索发现：如图2，若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长； （3）拓展提高：如图3，延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 四边形基础过关单元检测试卷（A卷） （时间：100分钟 满分：120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B D B D A B B 1．（2025•凤庆县模拟）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】设这个多边形的边数为x，根据多边形的边数与内角和的关系以及任意多边形的外角和等于360度，得180°（x﹣2）＝360°×3，从而解决此题． 【解答】解：设这个多边形的边数为x． 由题意得，180°（x﹣2）＝360°×3． ∴x＝8． ∴这个多边形的边数为8． 故选：D． 【点睛】本题主要考查多边形的边数与内角和的关系、任意多边形的外角和，熟练掌握多边形的边数与内角和的关系、任意多边形的外角和等于360度是解决本题的关键． 2．（2025•广平县校级开学）在剪纸活动中，轩轩想用一张矩形纸片剪出一个正六边形，其中正六边形的一条边与矩形的一边重合，如图所示，则∠1的度数是（　　） A．72° B．65° C．60° D．54° 【分析】本题考查了求正多边形的外角，由多边形的外角和及正多边形的性质得，即可求解． 【解答】解：∵正六边形各外角相等， ∴∠160°， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形的性质，关键是掌握正多边形的各外角相等． 3．（2025•邯郸模拟）观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（　　） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 【分析】由拍照不行的判定方法，即可判断． 【解答】解：①、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故①不符合题意； ②、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故②不符合题意； ③、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形的上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故③符合题意． ∴判定四边形一定是平行四边形的只有③． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4．（2025春•栾城区校级期末）如图，已知平行四边形框架ABCD，现将木条BC固定不动，向右推动框架至AB⊥BC，整个变化过程中，下列说法不正确的是（　　） A．四边形ABCD由平行四边形变成矩形 B．点B，D之间的距离不变 C．四边形ABCD的面积变大 D．四边形ABCD的周长不变 【分析】根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【解答】解：A、根据有一个角的平行四边形是矩形，该选项正确，不符合题意， B、向右推动框架，点B，D之间的距离变大，该选项不正确，符合题意， C、四边形ABCD的高变大，面积变大，该选项正确，不符合题意， D、四边形ABCD的周长不变，该选项正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 5．（2025春•惠州期末）如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF：②EF＝BF；③S四DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF；其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF＝FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题． 【解答】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH． ∵CD＝2AD，DF＝FC， ∴CF＝CB， ∴∠CFB＝∠CBF， ∵CD∥AB， ∴∠CFB＝∠FBH， ∴∠CBF＝∠FBH， ∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确， ∵DE∥CG， ∴∠D＝∠FCG， ∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG， ∴△DFE≌△CFG（ASA）， ∴FE＝FG， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBG＝90°， ∴BF＝EF＝FG，故②正确， ∵S△DFE＝S△CFG， ∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确， ∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD， ∴CF＝BH， ∵CF∥BH， ∴四边形BCFH是平行四边形， ∵CF＝BC， ∴四边形BCFH是菱形， ∴∠BFC＝∠BFH， ∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE， ∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF， ∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 6．（2026•周至县一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若AO＝4，则MN的长为（　　） A．4 B．2 C．8 D．6 【分析】根据矩形的性质得出AO＝BO＝4，再根据中位线的性质求出MN的长即可． 【解答】解：由题意可得：AC＝BD，，， ∴AO＝BO＝4， ∵M，N分别为BC，OC的中点， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题关键是正确进行计算． 7．（2025秋•高陵区期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝70°，E是线段AO上的一点，且BC＝CE，则∠OBE的度数是（　　） A．30.5° B．32.5° C．25.5° D．27.5° 【分析】由菱形的性质可得∠ABO＝∠CBO＝35°、AC⊥BD，可得∠BAC＝∠ACB＝55°，由等边对等角以及三角形内角和定理求得∠CBE的度数，再根据角的和差即可解答． 【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝70°， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝35°， ∴∠BAC＝∠ACB＝90°﹣35°＝55°， ∵BC＝CE， ∴， ∴∠OBE＝∠CBE﹣∠OBC＝62.5°﹣35°＝27.5°． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，熟练运用菱形的性质是解答本题的关键． 8．（2024秋•柯城区期末）如图，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，且K是AB中点．若S1＝18，S2＝7，S3＝25，则CK的长为（　　） A． B． C． D．5 【分析】根据正方形的面积公式求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【解答】解：∵正方形的面积的S3＝25， ∴AB＝5， ∵四边形ACDE为正方形， ∴∠ACB＝90°， ∵K是AB中点， ∴CKAB， 故选：A． 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 9．（2023•临沂一模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝4，∠AEO＝120°，则FC的长度为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF＝CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长． 【解答】解：∵EF⊥BD，∠AEO＝120°， ∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°， ∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°， ∴OF＝CF， 又∵Rt△BOF中，BOBDAC＝2， ∴OF＝tan30°×BO＝2， ∴CF＝2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分． 10．（2025秋•拱墅区期末）如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE＝BE﹣BG＝2、HE＝CH﹣CE＝2、∠HEG＝90°，由勾股定理可得GH的长． 【解答】解：如图，延长BG交CH于点E， ∵AG＝CH＝8，AB＝CD＝10，BG＝DH＝6， ∴AG2+BG2＝AB2， ∴△ABG和△DCH是直角三角形， 在△ABG和△CDH中， ， ∴△ABG≌△CDH（SSS）， ∴∠1＝∠5，∠2＝∠6， ∴∠5+∠6＝90°，∠1+∠2＝90°， 又∵∠4+∠5＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠2＝∠4＝∠6，∠1＝∠3＝∠5， 在△ABG和△BCE中， ， ∴△ABG≌△BCE（ASA）， ∴∠BEC＝∠AGB＝90°，BE＝AG＝8，CE＝BG＝6， ∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2， 同理可得HE＝2， 在Rt△GHE中，GH， 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2024•无锡）正十二边形的内角和等于 　1800　 度． 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可． 【解答】解：（12﹣2）×180°＝1800°， ∴正十二边形的内角和等于1800°． 故答案为：1800． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟悉相关性质是解题的关键． 12．（2025春•永定区期中）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，则∠C的度数为 　60°　 ． 【分析】直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角相等是解题关键． 13．（2024•芗城区校级一模）矩形ABCD的面积为48，一条边AB的长为6，则矩形的对角线BD＝　10　 ． 【分析】先根据矩形面积公式求出长方形ABCD另一边的长，再根据勾股定理求出直角三角形斜边长即可． 【解答】解：∵该长方形ABCD的一边AB长为6，面积为48， ∴另一边BC长为48÷6＝8， ∴对角线BD10． 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，此题主要涉及的知识点还有：长方形的面积公式和勾股定理的应用． 14．（2025秋•肃南县校级期末）如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，且AB⊥AE，若∠ABC＝40°，则∠AEB的度数为　70°　 ． 【分析】由菱形的性质推出∠ABE∠ABC＝20°，由直角三角形的性质得到∠AEB＝90°﹣∠ABE＝70°． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD判定平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC40°＝20°， ∵AB⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝70°． 故答案为：70°． 【点睛】本题考查菱形的性质，关键是由菱形的性质推出∠ABE∠ABC． 15．（2025春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝2，则菱形的周长为 　16　 ． 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线性质求出AB的长，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△AOB为直角三角形， ∵OE＝2，且点E为线段AB的中点， ∴AB＝2OE＝4， ∴菱形的周长＝4AB＝4×4＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质解题的关键． 16．（2025春•杞县期末）如图，将▱ABCD先沿BE折叠，再沿BF折叠后，A点落在线段BF上的A′处，C点落在E处，连结EA′，EF．若恰有EF⊥EA′，则∠A＝　126°　 ． 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，∠A＝∠C，由折叠得∠ABE＝∠A′BE＝∠CBF，∠A′EB＝∠AEB，∠BEF＝∠C＝∠A，则∠A′EB＝∠AEB＝∠EBC＝2∠A′BE＝2∠ABE，所以∠BEF﹣∠A′EB＝90°，则∠A﹣2∠ABE＝90°，于是得180°﹣3∠ABE﹣2∠ABE＝90°，则∠ABE＝18°，∠AEB＝36°，即可求得∠A＝126°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠A＝∠C， 由折叠得∠ABE＝∠A′BE＝∠CBF，∠A′EB＝∠AEB，∠BEF＝∠C＝∠A， ∴∠A′EB＝∠AEB＝∠EBC＝2∠A′BE＝2∠ABE， ∵EF⊥EA′， ∴∠A′EF＝90°， ∴∠BEF﹣∠A′EB＝90°， ∴∠A﹣2∠ABE＝90°， ∵∠A＝180°﹣∠ABC＝180°﹣3∠ABE， ∴180°﹣3∠ABE﹣2∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝18°， ∴∠AEB＝2∠ABE＝2×18°＝36°， ∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝180°﹣18°﹣36°＝126°， 故答案为：126°． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠A′EB＝∠AEB＝2∠ABE是解题的关键． 17．（2024•内江）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 　1　 ． 【分析】取AD的中点H，连接CH，OH，由勾股定理可求CH的长，由直角三角形的性质可求OH的长，由三角形的三边关系可求解． 【解答】解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH， ∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2， ∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2， ∵点H是AD的中点， ∴AH＝DH＝1， ∴CH， ∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点， ∴OHAD＝1， 在△OCH中，CO＜OH+CH， 当点H在OC上时，CO＝OH+CH， ∴CO的最大值为OH+CH1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键． 18．（2025•隆昌市校级二模）如图，在边长是6的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则的最小值是 　5　 ． 【分析】先证明△ADE≌△BAF（SAS）得到∠ADE＝∠BAE，进而得到∠DOF＝90°，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在AB延长线上截取BH＝BC，连接FH，易证明△FBG≌△FBH（SAS），则FH＝FG，可得当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半，求出A H＝8，在Rt△ADH中，由勾股定理得，则的最小值为5． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°， 在△ADE和△BAF中， ， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°， ∵点M是DF的中点， ∴， 如图，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH， ∴FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH， 在△FBG和△FBH中， ， ∴△FBG≌△FBH（SAS）， ∴FH＝FG， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，DF+HB有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半， ∵AG＝2GB，AB＝6， ∴BH＝BG＝2， ∴A H＝8， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了胡不归问题，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三．解答题（共6小题，共66分） 19．（6分）（2025秋•太和县期末）已知一个多边形的内角和比外角和多900°，并且这个多边形各个内角的度数都相等．这个多边形的每个内角是多少度？ 【分析】由多边形的内角和定理，多边形的外角和是360°，即可求解． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得：（n﹣2）×180°﹣360°＝900°， ∴n＝9， ∴这个多边形的每个内角是180°﹣360°÷9＝140°． 【点睛】本题考查多边形的概念，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），多边形的外角和是360°． 20．（10分）（2024•武功县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接AC，BF． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝120°，求∠D的度数． 【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠ABE＝∠FCB，再由ASA即可得出结论； （2）根据矩形的性质和等腰三角形的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC 即 AB∥DF， ∴∠ABE＝∠FCB， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（ASA）； （2）解：∵四边形ABFC是矩形， ∴AF＝BC，AEAF，BEBC， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠BAE， ∵∠AEC＝120°， ∴∠ABE＝∠BAE＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠ABE＝60°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键． 21．（12分）（2025春•西平县期末）如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB）． （1）尺规作图：作以AC为对角线，且点E、F分别在BC、AD上的菱形AECF；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝8，求菱形AECF的边长． 【分析】（1）作AC的垂直平分线交BC于E点，交AD于F点，通过证明AC与EF互相垂直平分得到四边形AECF为菱形； （2）设菱形AECF的边长为x，根据菱形的性质得到AE＝CE＝x，BE＝8﹣x，利用勾股定理得到22+（8﹣x）2＝x2，然后解方程即可． 【解答】解：（1）如图，点E、F为所作； （2）设菱形AECF的边长为x， ∵四边形AECF为菱形， ∴AE＝CE＝x， ∴BE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，22+（8﹣x）2＝x2， 解得x， 即菱形AECF的边长为． 【点睛】本题考查了考查了菱形的判定与性质和矩形的性质，正确地作出图形是解题的关键． 22．（12分）（2024春•宿城区期中）如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF． （1）求证：四边形ACFE是菱形； （2）连接BE交AD于点G．当AB＝1，∠ACB＝30°时，求BG的长． 【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝90°，求得AE＝AC，EF＝CF，根据平行线的性质得到∠EAD＝∠AFC，求得AE＝EF＝AC＝CF，于是得到结论； （2）如图，根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，根据直角三角形的性质得到BC，CE＝2，由勾股定理得到BE，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴AF⊥CE， ∵CD＝DE， ∴AE＝AC，EF＝CF， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵AE∥CF， ∴∠EAD＝∠AFC， ∴∠CAD＝∠CFA， ∴AC＝CF， ∴AE＝EF＝AC＝CF， ∴四边形ACFE是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB， ∵AB＝1，DE＝CD＝1， ∵∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝2， ∴BC，CE＝2， ∴BE， ∵AB＝CD＝DE，∠BAG＝∠EDG＝90°， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴BG＝EG， ∴BGBE． 【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 23．（12分）（2025春•甘井子区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F． （1）求证：四边形OEFB是矩形； （2）EF与OC相交于点G，连接BE、BG，若BC＝8，BE＝6，求BG的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到BO＝DO，AD∥BC．根据三角形中位线定理得到OE∥BC，得到四边形OEFB是平行四边形，根据平行线的性质得到∠CBD＝90°，根据矩形的判定定理得到四边形OEFB是矩形； （2）根据三角形中位线定理得到OE∥BC，OEBC8＝4，根据矩形的性质得到∠EOB＝∠OBC＝∠EFB＝90°，求得BEDC＝EC，根据线段垂直平分线的性质得到GB＝GC，求得∠GBC＝∠GCB，于是得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，AD∥BC． ∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥BC， 又∵EF∥BD， ∴四边形OEFB是平行四边形， ∵AD⊥BD，AD∥BC， ∴BC⊥BD， ∴∠CBD＝90°， ∴四边形OEFB是矩形； （2）解：∵OE是△BCD的中位线， ∴OE∥BC，OEBC8＝4， ∵四边形OEFB是矩形， ∴∠EOB＝∠OBC＝∠EFB＝90°， ∴OB2， ∴OC2， ∵∠CBD＝90°，点E是CD的中点， ∴BEDC＝EC， ∵EF⊥BC， ∴EF垂直平分BC， ∴GB＝GC， ∴∠GBC＝∠GCB， ∵∠GBO＝90°﹣∠GBC，∠GOB＝90°﹣∠GCB， ∴∠GBO＝∠GOB， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 24．（14分）（2025秋•鲁山县期末）问题背景：如图1，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O． （1）探索发现：如图1，探索线段DN与CM的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）探索发现：如图2，若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长； （3）拓展提高：如图3，延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长． 【分析】（1）证△BCM≌△CDN，得出CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，再证∠CDN+∠MCD＝90°即可； （2）连CE并延长交AD于G，求出GM长，再根据中位线的性质求出EF即可； （3）过点B作BH⊥CM于点H，根据勾股定理求出，，再根据PC＝PH+CH即可求解． 【解答】解：（1）线段CM和DN的关系为：CM＝DN，且DN⊥CM， 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DCN＝90°，BC＝CD， ∴在△BCM和△CDN中， ， ∴△BCM≌△CDN（SAS）， ∴∠BCM＝∠CDN，CM＝DN， ∵∠BCM+∠MCD＝90°， ∴∠CDN+∠MCD＝90°， ∴∠COD＝90°， ∴DN⊥CM， ∴CM＝DN，且DN⊥CM； （2）连接CE并延长交AD于G，连接GM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC∥AD，AD＝AB，∠A＝90°， ∴∠ENC＝∠EDG， ∴在△CNE和△GDE中， ， ∴△CNE≌△GDE（ASA）， ∴GD＝CN＝1，CE＝EG， 又∵MF＝CF， ∴， ∵BM＝DG＝1，正方形的边长为3， ∴AM＝AG＝2， 在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM2+AG2＝GM2， ∴22+22＝GM2， ∴， ∴； （3）如图，过点B作BH⊥CM于点H， ∵CM2＝BC2+BM2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠BPC＝45°， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是构造三角形CGM从而使用中位线定理、作BH⊥CM构造直角三角形PHB． 1 学科网（北京）股份有限公司 $