精品解析：江苏省苏州市虎丘区苏州工业园区星汇学校2025-2026学年第二学期学科素养调研 八年级 数学

2025-2026学年第二学期学科素养调研 八年级数学 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间100分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上） 1. 为了解某校七年级800名学生的期中数学测试成绩，调查小组随机抽取了200名学生的期中数学测试成绩进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 七年级800名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 从中抽取的200名学生是样本 D. 样本容量是200 2. 俗语“瞎猫碰上死耗子”所反映的事件属于（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 以上都不是 3. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米767石，验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得126粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（ ） A. 67石 B. 85石 C. 169石 D. 273石 4. 在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，在中，已知，，的平分线交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力．如图，设两个共点力的合力为，现保持两个力的夹角不变，若其中一个力减小，另一个力不变，则合力（ ） A. 一定增大 B. 保持不变 C. 可能增大，也可能减小 D. 一定减小 7. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则平行四边形的面积为（ ） A. 64 B. 132 C. 128 D. 60 8. 如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连结，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上） 9. 某超市进行购物抽奖活动：购物满58元即可参加一次抽奖，共设一等奖、二等奖、三等奖三种奖项，中奖概率，其中一等奖、二等奖、三等奖的比例是，则一名顾客抽奖一次获得一等奖的概率是_______． 10. 在中，与的度数之比为，则的度数是___________． 11. 某学校为了解ZS中学4000名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有_______人． 每周课外阅读时间x（小时） 人数 7 10 14 19 12. 在一个不透明的口袋中有红球、白球共个，它们除颜色外，其余完全相同．通过大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在附近，估算口袋中红球的个数是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 14. 如图，菱形对角线，，于点H，则的长为_______． 15. 如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则________． 16. 如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为__________． 三．解答题（本大题共8小题，共60分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔） 17. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为 （1）写出点关于轴对称点的坐标：___________； （2）画出将绕原点逆时针旋转得到的图形，并写出点对应点的坐标：___________； （3）若以为顶点的四边形是平行四边形，则顶点的坐标为：___________（写出所有可能的坐标）． 18. 在一次社会调查活动中，八年级学生小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下（表一、表二），并对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了不完整的统计图： 表一 5640 6430 6520 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754 7638 6834 7326 6830 8648 8753 9450 9865 7290 7850 表二 组别 步数组别 频数 A 2 B 10 C m D 3 E n 根据以上信息解答下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该团队共有160人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数． 19. 如图，平行四边形中，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 20. 下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 （1）这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） （2）根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 21. 如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上任意一点，EF∥AB，DF∥BE． （1）求证：DF与AE互相平分． （2）当四边形ADEF是矩形，若∠C＝90°，AC＝8，BC＝4时，求CE的长． 22. 如图，在中，点G，H分别是与的中点，，，垂足分别为点E，F． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 23. 某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示，测得， ，，，，已知． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面 的距离的大小． 24. 已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． （1）如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； （2）如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出与满足的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期学科素养调研 八年级数学 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间100分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上） 1. 为了解某校七年级800名学生的期中数学测试成绩，调查小组随机抽取了200名学生的期中数学测试成绩进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 七年级800名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 从中抽取的200名学生是样本 D. 样本容量是200 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 根据总体、个体、样本、样本容量的定义逐一判断即可． 【详解】A、七年级800名学生的期中数学测试成绩是总体，原说法错误； B、 每名学生的期中数学测试成绩是个体，原说法错误； C、从中抽取的200名学生的期中数学测试成绩是样本，原说法错误； D、 样本容量是200，原说法正确； 故选：D． 2. 俗语“瞎猫碰上死耗子”所反映的事件属于（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 以上都不是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，该俗语描述的事件是偶然发生的，具有不确定性，符合随机事件的定义． 【详解】解：∵“瞎猫碰上死耗子” 所反映的事件可能发生也可能不发生，具有偶然性， ∴该事件属于随机事件． 故选：B． 3. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米767石，验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得126粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（ ） A. 67石 B. 85石 C. 169石 D. 273石 【答案】B 【解析】 【分析】用样本中谷子的频率估计总体中谷子的频率，再计算总体中谷子的数量即可. 【详解】解：∵样本126粒米中夹有谷子14粒，可得样本中谷子的频率为， ∴这批米内夹有谷子约为（石）. 4. 在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在中，已知，，的平分线交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形与角平分线，熟练掌握相关性质是解题的关键； 利用平行四边形的性质以及角平分线的性质，得到相等的角，进而推出相等的边，从而求得AE的长． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ． 平分， ， ， ， ； 故选：B． 6. 物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力．如图，设两个共点力的合力为，现保持两个力的夹角不变，若其中一个力减小，另一个力不变，则合力（ ） A. 一定增大 B. 保持不变 C. 可能增大，也可能减小 D. 一定减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可得到答案． 【详解】解：已知两边及其夹角，可以确定一个平行四边形，即其对角线也确定， 而两边夹角不变，某一边不变，另一边减少时，平行四边形的对角线也在减少， 两力的夹角不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，则合力F一定减小． 7. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则平行四边形的面积为（ ） A. 64 B. 132 C. 128 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和勾股定理．利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着根据利用勾股定理求得长，然后利用平行四边形的面积公式求得答案即可． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， 在中，， 的面积为， 故选：C． 8. 如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连结，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、旋转的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，此时在中，， 即的最小值是1， 故选：C． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上） 9. 某超市进行购物抽奖活动：购物满58元即可参加一次抽奖，共设一等奖、二等奖、三等奖三种奖项，中奖概率，其中一等奖、二等奖、三等奖的比例是，则一名顾客抽奖一次获得一等奖的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三种奖项的比例求出总份数，再计算一等奖占总份数的比值，即可得到所求概率． 【详解】解：已知一等奖、二等奖、三等奖的比例为，计算总份数：， 因为中奖概率为， 因此抽奖一次获得一等奖的概率为． 10. 在中，与的度数之比为，则的度数是___________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行线的性质及求出与的度数，再根据平行四边形对角相等可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． ， ，， ． 故答案为：． 11. 某学校为了解ZS中学4000名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有_______人． 每周课外阅读时间x（小时） 人数 7 10 14 19 【答案】1360 【解析】 【分析】用2000乘以样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可． 【详解】解：， 所以估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有1360人． 故答案为：1360． 【点睛】本题考查了频数（率）分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体． 12. 在一个不透明的口袋中有红球、白球共个，它们除颜色外，其余完全相同．通过大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在附近，估算口袋中红球的个数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，通过大量的摸球试验后，摸到绒球的频率稳定在附近，则说明口袋中红球占的比例大约是，根据口袋中共有个球，即可计算出口袋中红球的个数． 【详解】解：摸到红球的频率稳定在附近， (个)， 答：口袋中的红球的个数大约是个． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定得到需将点向右平移的长度得到点． 【详解】解：∵， ∴， ∴要使四边形是平行四边形，需将点向右平移的长度得到点， ∴点的坐标是． 14. 如图，菱形对角线，，于点H，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据菱形的性质求出，然后根据菱形面积等于进一步求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点C作交于点G，证明四边形是平行四边形，是等边三角形，设，则根据勾股定理列式解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点C作交于点G， ∵四边形是菱形，且菱形的边长为，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，是等边三角形， ∴，， ∵边的中点是， ∴， ∴， 设， 则 ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形对应边相等得到DE=AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标． 详解：由折叠得：∠CBO=∠DBO， ∵矩形ABCO， ∴BC∥OA， ∴∠CBO=∠BOA， ∴∠DBO=∠BOA， ∴BE=OE， 在△ODE和△BAE中， ， ∴△ODE≌△BAE（AAS）， ∴AE=DE， 设DE=AE=x，则有OE=BE=8-x， 在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8-x）2=x2， 解得：x=5，即OE=5，DE=3， 过D作DF⊥OA， ∵S△OED=OD•DE=OE•DF， ∴DF=，OF=， 则D（，-）． 故答案为（，-）． 点睛：此题考查了翻折变化（折叠问题），坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 三．解答题（本大题共8小题，共60分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔） 17. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为 （1）写出点关于轴对称点的坐标：___________； （2）画出将绕原点逆时针旋转得到的图形，并写出点对应点的坐标：___________； （3）若以为顶点的四边形是平行四边形，则顶点的坐标为：___________（写出所有可能的坐标）． 【答案】（1）； （2） 如图所示，即为所求， ； （3） 点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（）根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解； （）找到绕坐标原点逆时针旋转得到的对应点，顺次连接即可为所求，根据坐标系直接得出点的对应点的坐标为； （）根据平行四边形的性质，在坐标系中画出图形即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 18. 在一次社会调查活动中，八年级学生小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下（表一、表二），并对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了不完整的统计图： 表一 5640 6430 6520 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754 7638 6834 7326 6830 8648 8753 9450 9865 7290 7850 表二 组别 步数组别 频数 A 2 B 10 C m D 3 E n 根据以上信息解答下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该团队共有160人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数． 【答案】（1）4；1 （2） 如图， （3）64人 【解析】 【分析】（1）根据题目中所给的数据，确定在这个范围内数据的个数即可得m的值，确定在这个范围内数据的个数即可得n的值； （2）根据（1）所得的数据补全统计图即可； （3）用该团队的总人数乘以一天行走步数不少于7500步的人数所占的比重即可得答案． 【小问1详解】 解：由记录的数据可知，在的有8430、8215、7638、7850这4个，即； 在的有9865这1个，即． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：人， 所以该团队一天行走步数不少于7500步的人数约为64人． 19. 如图，平行四边形中，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，由，可得，再证四边形是平行四边形，即可得结论； （2）连接交于点，由菱形的性质可得，，，再由勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， 四边形是菱形，， ，，， 在中，． ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． 20. 下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 （1）这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） （2）根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】（1）0.5 （2）290 【解析】 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； 【小问2详解】 解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 21. 如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上任意一点，EF∥AB，DF∥BE． （1）求证：DF与AE互相平分． （2）当四边形ADEF是矩形，若∠C＝90°，AC＝8，BC＝4时，求CE的长． 【答案】 （1）证明：如图，连接DE，AF， ∵EF∥AB，DF∥BE， ∴四边形BDFE是平行四边形， ∴BD＝EF， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∴AD＝EF， 又AD∥EF， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴DF与AE互相平分； （2）3． 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形ADEF是平行四边形，可得DF与AE互相平分； （2）由矩形的性质可得DE⊥AD，由线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，在Rt△BEC中，由勾股定理可求解． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ADEF是矩形， ∴DE⊥AD， 又∵AD＝BD，AC＝8， ∴AE＝BE=AC-CE=8-CE， ∵BE2＝EC2+BC2，BC＝4 ∴（8-CE）2＝EC2+16， ∴EC＝3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 22. 如图，在中，点G，H分别是与的中点，，，垂足分别为点E，F． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：在中，， ∵点G，H分别是与的中点，，， ∴，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用平行四边形性质证明，，得出，再证明，即可求证； （2）利用直角三角形斜边性质得出，，得出，，，再证明，得出，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示，测得， ，，，，已知． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）求椅子最高点到地面 的距离的大小． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形 是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，进而得，可知，即可证明结论； （2）延长交于点，先证明四边形是平行四边形，即可得的值，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴在中， 由勾股定理得． 24. 已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． （1）如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； （2）如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出与满足的数量关系式． 【答案】（1）AF=10cm 证明：∵四边形是矩形， ∴//． ∴． ∵垂直平分，垂足为， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为菱形； （2）①；②b=24-a 【解析】 【分析】（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【小问1详解】 设菱形的边长，则， 在中，， 即， 解得x=10， ∴AF=10cm； 【小问2详解】 解：由（1）得，则． ①显然当点在上时，点在上， 此时A、、、四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上，也不能构成平行四边形． 因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点的速度为每秒5cm，点的速度为每秒4cm，运动时间为秒， ∴， ， ∴， 解得， ∴以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上．分三种情况∶ i：如图1，当点在上、点在上时，， ∴，即， ∴b=24-a； ii：如图2，当点在上、点在上时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴b=24-a； iii：如图3，当点在上、点在上时，， ∴，即， ∴b=24-a； 综上所述，a与b满足的函数关系式是b=24-a． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，勾股定理等，解题的关键在于综合应用上述知识，利用分类讨论的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $