8.3简单几何体的表面积和体积巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3简单几何体的表面积和体积巩固训练 一、选择题 1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( ) A. B. C. D. 2．如图,某实心零部件的形状是正四棱台,已知,,棱台的高为,现需要对该零部件的表面进行防腐处理,若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元,则该零部件的防腐处理费用是(      ) A.640元 B.512元 C.390元 D.347.5元 3．如图，在正四面体木块中，点P在内，过点P将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为(      ) A. B. C. D.2 4．直三棱柱中,,,则该棱柱的体积为(      ) A.8 B.12 C.24 D.48 5．如图,在四棱锥中,底面是矩形,,,则该四棱锥的体积为(      ) A.1 B.2 C. D. 6．如图①,普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②,已知圆柱的底面直径米,母线长米,圆锥的高米,则该蒙古包的侧面积约为(      ) A.平方米 B.平方米 C.平方米 D.平方米 7．已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为.若三棱锥的体积的最大值为，则球O的体积为(      ) A. B. C. D. 8．如图,高度为h的圆锥形玻璃容器中装了水,则下列四个容器中,水的体积最接近容器容积一半的是(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．如图,在三棱锥中,是边长为2的等边三角形,,点P在棱上（不含端点）,过点P作截面,且平面,平面,平面平面,下列结论正确的是(      ) A.四边形是平行四边形 B.若,四边形的面积的最大值为2 C.的长的取值范围为 D.若的周长为,则三棱锥的体积为 10．已知A，B，C三点均在球O的表面上，，且球心O到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(   ) A.球O的半径为 B.球O的表面积为 C.球O的内接正方体的棱长为 D.球O的外切正方体的棱长为 11．某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面ABCD中，，，则下列说法正确的有(      ) A.该圆台的高为 B.该圆台的轴截面面积为 C.该圆台的轴截面面积为 D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为 三、填空题 12．在正三棱台中,,侧棱与底面所成的角为,则此正三棱台的体积为________. 13．在三棱锥中,,,,则三棱锥外接球的表面积为________________. 14．如图,已知是棱长为a的正方体,E为的中点,F为上一点,则三棱锥的体积为______________ 四、解答题 15．如图(1),埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状为正四棱锥.已知该金字塔高约146.5m,底面边长约232m,求这座金字塔的侧面积和体积(分别精确到和). 16．如图,在几何体中,,,,侧棱,,均垂直于底面,,,,求该几何体的体积. 17．如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等. (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积. 18．如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为，高为.将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为. （1）求水的体积； （2）若水的体积恰为圆锥形水杯体积的一半，求h的值.（精确到） 19．如图,有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg.已知底面六边形的边长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm.问约有毛坯多少个(铁的密度是)？ 参考答案 1．答案：A 解析：由题意侧棱长为. 所以表面积为：. 故选：A. 2．答案：B 解析：因正四棱台中,,,高为8cm, 则侧面的斜高为. 所以 所以该四棱台的表面积为, 又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元, 所以该部件的防腐处理费用是元. 故选:B. 3．答案：A 解析：作出截面如图所示： 因为截面平行于直线，， 由线面平行的性质定理可得， ， 所以， 从而截面是平行四边形， 所以， 所以，又，所以， 又因为截面的周长为4，所以，所以， 所以正四面体的表面积为. 故选：A 4．答案：C 解析：在直三棱柱中,,,, ,, 所以该棱柱的体积. 故选：C. 5．答案：B 解析：如图:取的中点E,F,连接, 则且,平面, 故平面, 平面,故平面平面, 平面平面, 过P作的垂线,垂足为O,即,平面,故平面, 由题意可知, 由余弦定理可得 , 故, 所以四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为 故选:B 6．答案：D 解析：依题意得, 圆柱的侧面积, ,, 在中,, 圆锥的侧面积, 该蒙古包的侧面积, 故选：D. 7．答案：B 解析：如图，所在圆即为的外接圆. 设圆的半径为，则，解得. 因为为等边三角形， 所以，. 由正弦定理可得，解得. 所以. 如图，当，O，D三点共线时，三棱锥的体积最大，最大值为， 此时平面，三棱锥的高h最大，且有，解得. 设球O的半径为R，在中，，解得. 所以球O的体积. 故选：B. 8．答案：D 解析：设圆锥的顶点到水面的距离为,圆锥的底面半径为r, 则水面半径为.当水的体积等于容器容积的一半时, 有,整理得. 因为,,,,则D选项更接近. 故选:D. 9．答案：ACD 解析：对于A,因为平面,平面平面, 所以．同理可得,所以． 因为平面,平面平面,所以． 同理可得,所以,所以四边形是平行四边形,A正确． 对于B,设的中点为G,连接,． 在和中,分别有,． 因为,所以平面,所以． 又因为,,所以,所以四边形是矩形． 设,在中,,所以,即． 在中,,所以,, 四边形的面积,当且仅当时,等号成立, 所以四边形PDEF的面积的最大值为,B错误． 对于C,不妨设,过点V作平面,垂足为H,连接,, 过点B作,垂足为M． 设,,． 因为,所以,即,所以． 在中,,即, 解得, 所以, ,C正确． 对于D,因为的周长为,所以． 因为, 所以,解得,, 所以,,三棱锥的体积为,D正确． 故选：ACD. 10．答案：BD 解析：设球O的半径为r，外接圆的半径为R，则. 因为球心O到平面的距离等于球半径的，所以，即，得. 对于A，，故A错误； 对于B，球O的表面积，故B正确； 对于C，设球O的内接正方体的棱长为a，因为正方体的体对角线即球O的直径，所以，解得，故C错误； 对于D，设球O的外切正方体的棱长为b，因为正方体的棱长即球O的直径长，所以，故D正确. 故选BD. 11．答案：CD 解析：如图①，过点B作于点E， 易得，则，则该圆台的高为，故A错误； 该圆台的轴截面面积为，故B不正确，C正确；将圆台补成圆锥，可得圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角，将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为AD的中点，其对应圆锥的一半侧面展开图即为扇形COD，连接CP，可得，，，则，所以沿着该圆台表面从点C到AD的中点的最短路程为，故D正确. 故选CD. 12．答案：/ 解析：对于正三角形,其面积公式（a为边长） 已知正三棱台中,, 则上底面,下底面 设正三棱台上下底面中心分别为,O,连接,则为正三棱台的高 因为正三角形中心到顶点的距离是边长的倍 所以, 则,且 已知侧棱与底面所成角为,在直角梯形中, 过点作底面的垂线,垂足为H,则H在上,且,, 侧棱与底面所成的角为,在中,, 所以,即,解得, 根据棱台体积公式将代入可得 . 故答案为: 13．答案： 解析：如图,作平面于点E,连接, 平面,平面,所以, 因为,平面,所以平面, 平面,所以,同理得, 四边形为矩形,,则, 在中,, 由余弦定理得, 即, 解得, 设三棱锥外接球的半径为R, 则三棱锥外接球即为四棱锥外接球,即为以为棱长的长方体的外接球, 故由得,解得, 所以球的表面积为, 故答案为：. 14．答案：/ 解析：由已知, 所以, 三棱锥的高等于,, 所以, 又因为, 所以. 故答案为:. 15．答案：侧面积约为,体积约为 解析：根据题意可抽象出图(2),其中AC为高,则,,底面周长. . . 因此,这座金字塔的侧面积约为,体积约为. 16．答案：96 解析：在上取点M,在上取点N,使得,连接, 则几何体为直三棱柱, 因为,,, 所以, 所以是以为直角的直角三角形, ,, 则多面体是四棱锥,高为8, 所以几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的, , , 所以该几何体的体积为. 17．答案：(1)2 (2) 解析：(1)设圆柱的底面圆直径为， 则该圆柱的高为，其体积， 解得， 所以圆柱的底面半径为2. (2)由(1)知，正外接圆半径为2， 则边长， 所以三棱柱的体积. 18．答案：（1） （2） 解析：（1），所以. . （2）由题意有，解得. 19．答案：252 解析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱体积和一个圆柱体积之差, 由题意知,正六棱柱的底面积为：, 则正六棱柱的体积为：, 圆柱的体积为：, 所以毛坯的体积为： , 则毛坯的数量为：(个). 学科网（北京）股份有限公司 $