8.5.1直线与直线平行讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本高中数学讲义聚焦“直线与直线平行”核心知识点，系统梳理基本事实4（平行线传递性）及空间等角定理，通过问题式表格整合文字、图形、符号语言，搭建从概念理解到应用依据的学习支架。 资料以问题驱动知识归纳培养数学眼光，试题设计结合空间四边形、三棱柱等几何体，通过单选、解答题等形式锻炼数学思维与推理能力，课中辅助教师梳理知识脉络，课后助力学生通过多样化题型查漏补缺，提升空间观念与表达能力。

8.5.1直线与直线平行 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1．基本事实4 名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线_____ 判断空间两条直线平行的依据 这一基本事实表述的性质通常叫做平行线的_____. 【答案】 互相平行 传递性 2．空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_____ 图形语言    作用 判断或证明两个角相等或互补 【答案】相等或互补 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【知识点】等角定理的应用 【详解】因为，，且，根据等角定理， 可得或． 2．若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【答案】D 【知识点】等角定理及其辨析 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图， ，，与的方向相同， 但是与不平行， 如图，，，与的方向相同， 此时且方向相同， 故与不一定平行，故D正确. 故选：D 3．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与 BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是（      ） A．梯形 B．空间四边形 C．正方形 D．有一内角为60°的菱形 【答案】C 【知识点】平行公理、等角定理及其辨析、等角定理的应用、求异面直线所成的角 【分析】根据已知，结合图形，利用三角形中位线的性质以及等角定理进行判断. 【详解】    因为点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点， 所以，，，, 所以，，所以四边形是平行四边形， 又AC与 BD所成角的大小为90°，所以与所成角的大小为90°， 即，所以四边形是矩形， 又AC＝BD，，，所以， 所以四边形是正方形，故A，B，D错误. 故选：C. 4．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【答案】B 【知识点】等角定理的应用 【分析】利用已知条件判断线段和，线段和的位置关系即可求解. 【详解】因为E，F，G分别为，，的中点，所以∥,∥,∥， 所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补. 故选：. 5．如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（    ） A．，， ， 四点共面 B． C． D．四边形 为梯形 【答案】D 【知识点】等角定理的应用、空间中的点（线）共面问题 【分析】利用中位线定理和等角定理即可解决. 【详解】由图可知，在中，,,分别是 ,的中点， 所以 且， 同理在中， 且， 所以所以四边形为平行四边形， 所以，， ， 四点共面，所以A正确; 在中,由中位线定理得 同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得 所以, 所以由等角定理可知， ，,, 所以，所以C正确; 由上述分析得四边形为平行四边形，所以D错误; 故选:D. 6．如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【答案】B 【知识点】等角定理的应用 【分析】根据等角定理进行判断. 【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： （1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）三组角中有一组对应角互补，如，，， 又，则，所以，此时两个三角形相似； （3）三组角中有两组对应角互补，如，，， 由，则，这与矛盾，故这种情况不会出现. （4）三组对应角都互补，即，，， 这与，矛盾，所以该情况也不会出现. 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 二、多选题 7．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是（    ） A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 【答案】CD 【知识点】平行公理 【分析】利用平行分线段成比例的推论，结合平行线的传递性即可得解. 【详解】如图，连接BD， ，且， 同理，且，， 当时，，此时四边形EFGH是平行四边形，故A正确，D不正确， 当时，，四边形EFGH是梯形，故B正确，C不正确. 故选：CD. 8．如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 【答案】BCD 【知识点】平行公理、空间中的点（线）共面问题 【分析】根据中位线的性质，结合平行的性质逐一分析即可. 【详解】由题意知，且，所以，故错误； 又，，所以，又， 所以四点共面，且四边形是梯形．故正确． 故选：. 三、填空题 9．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则________． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、等角定理的应用 【分析】由等角定理得，，可得∽，继而即可求解. 【详解】因为，且＝＝， 所以，同理，， 因为，所以， 同理， 所以∽，且＝＝， 所以． 故答案为：. 10．在空间四边形 ABCD 的各边AB、BC、CD、DA 上依次取E、F、G、H四个中点，当时，四边形EFGH是_________. 【答案】菱形 【知识点】棱锥的结构特征和分类、公理的应用 【分析】利用中位线定理,可得答案. 【详解】因为E、F、G、H是各边AB、BC、CD、DA 上的中点， 所以，，同理， 且，，又， 所以，且，， 所以四边形是菱形. 故答案为：菱形. 11．如图，在四棱柱中，底面是梯形，，则所有与相等的角是________． 【答案】 【知识点】棱柱的结构特征和分类、等角定理的应用 【分析】根据给定的几何体，利用棱柱的结构特征、等角定理及平行四边形性质即可得解. 【详解】在四棱柱中，，并且与的方向相同， 因此，又四边形、四边形都是平行四边形，则， 所以与相等的角是. 故答案为： 四、解答题 12．已知长方体． (1)画出两个平面与的交线； (2)求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【知识点】等角定理的应用、判断图形中的面面关系 【分析】（1）连接交于，交于，连接即为所求； （2）证明四边形为平行四边形，得到，又根据正方体的性质得到，由等角定理即可证明． 【详解】（1）解：连接交于，交于，连接，即为所求交线，如下图； （2）解：， 四边形为平行四边形， ， 又，并且射线方向相同，根据等角定理， ． 13.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 【答案】证明见解析 【知识点】等角定理及其辨析、等角定理的应用 【分析】根据一个角的两边分别与另一个角的两边平行且方向相同，则两角相等，证明即可. 【详解】证明：如图所示，连接B1C. 因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C. 又ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以CD∥AB，A1B1∥AB，所以CD∥A1B1， 所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C. 又B1C∥FG，所以A1D∥FG. 同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF. 又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同， 所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF. 所以△EFG∽△C1DA1. 14．在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、等角定理的应用 【分析】（1）根据梯形中位线的性质得到且，即可证明； （2）依题意折叠前，，即可得到折叠后，，根据空间等角定理即可证明. 【详解】（1）因为在梯形中，，，分别为，的中点， 所以且， 又，，所以． 因为，分别为，的中点， 所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形． （2）折叠前，且，， 折叠后，， 所以与的对应边平行且方向相同， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5.1直线与直线平行 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1．基本事实4 名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线_____ 判断空间两条直线平行的依据 这一基本事实表述的性质通常叫做平行线的_____. 2．空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_____ 图形语言    作用 判断或证明两个角相等或互补 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 2．若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 3．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与 BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是（      ） A．梯形 B．空间四边形 C．正方形 D．有一内角为60°的菱形 4．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 5．如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（    ） A．，， ， 四点共面 B． C． D．四边形 为梯形 6．如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 二、多选题 7．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是（    ） A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 8．如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 三、填空题 9．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则________． 10．在空间四边形 ABCD 的各边AB、BC、CD、DA 上依次取E、F、G、H四个中点，当时，四边形EFGH是_________. 11．如图，在四棱柱中，底面是梯形，，则所有与相等的角是________． 四、解答题 12．已知长方体． (1)画出两个平面与的交线； (2)求证：． 13.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 14．在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $