立体几何——平行与垂直讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中立体几何平行与垂直核心知识点，系统梳理线面、面面平行及垂直的判定定理、性质定理与证明方法，通过文字、图形、符号语言结合构建知识支架，形成从基础原理到综合应用的学习脉络。 资料以表格整合三种数学语言培养表达能力，题型涵盖线面平行证明、面面垂直判定及动点轨迹等拓展问题，发展逻辑推理与空间观念，课中助力分层教学，课后便于学生巩固练习，有效查漏补缺。

立体几何初步一一平行与垂直 立体儿何初步一—平行与垂直.1 【知识梳理】 1 【题型演练：平行】 .4 【题型一：线面平行】 .4 【题型二：面面平行】 .10 【题型三：拓展】…，12 【题型演练：垂直】…14 【题型一：线面垂直】 14 【题型二：面面垂直】.16 立体几何初步一一平行与垂直 【知识梳理】 文字语言 图形语言 符号语言 1.线面平行 判 如果平面外一条直线与此平 定 a文a 面内的一条直线平行，那么该直 bca →a∥a 定 线与此平面平行. a∥b 理 性 条直线和一个平面平行， 质 a∥a 如果过该直线的平面与此平面相 acB }=a∥b 交，那么该直线与交线平行 a∩p=b 多 2.面面平行 判 如果一个平面内的两条相交 acB 定 bcB 直线与另一个平面平行，那么这 anb=P}=B∥a 定 a∥ 两个平面平行 理 b∥a 性 两个平面平行，如果另一个 质 e∥P 平面与这两个平面相交，那么两 a∩y=a→a∥b 定 条交线平行. p∩y=b 理 结 两个平面平行，则一个平面 a∥p 论 =a∥e 内的直线必平行于另一个平面： acB a 3.线面垂直 判 如果一条直线与一个平面内 二C 定 I C 的两条相交直线都垂直，那么该 m∩=P}=l⊥a 定 L⊥ 直线与此平面垂直」 1⊥u 理 性 质 垂直于同一个平面的两条直线平 a⊥al =a∥b 定 行 b⊥a 理 结 如果在两条平行直线中，有 a∥b 论 一条垂直于平面，那么另一条直 →b⊥a a⊥a 线也垂直于这个平面 结 直线垂直于平面，则该直线与平 l⊥a 论 三l⊥a 面内任意一条直线垂直 aca 4.面面垂直 判 定 m B 如果一个平面过另一个平面的 ⊥a 台a⊥B 定 条垂线，那么这两个平面互相垂直 mCB 理 性 两个平面垂直，如果一个平面内 a⊥p 质 a∩=a 有一直线垂直于这两个平面的交 →b⊥a 定 bcB 线，那么这条直线与另一个平面垂直 b⊥a 理 【知识点：平行的证明】 (1)证明线线平行的常用方法 2 ①利用平行公理：即证明两直线同时和第三条直线平行 ②利用平行四边形的两组对边分别平行 ③利用三角形中位线定理证明 ④利用平行线分线段成比例： ⑤利用线面平行的性质，找经过这条直线的平面和这个平面的交线，则直线就和交线平行， ⑥利用面面平行的性质定理，两个平行平面与第三个平面的两条交线平行； ⑦利用线面垂直的性质定理，垂直于同一个平面的两条直线平行 (2)证明线面平行的常用方法 ①利用定义，证明直线与平面无公共点， ②利用线面平行的判定定理，从直线与直线平行得到直线与平面平行； ③利用面面平行的定义，两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面 (3)证明面面平行的方法 证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个平面内两条相交直线与另一个平面平行即可， 从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行 【知识点：垂直的证明】 (1)证明线线垂直的常用方法 ①利用特殊平面图形性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、直径所对圆周 角等得到线线垂直； ②利用勾股定理的逆定理 ③利用线面垂直性质，要证线线垂直，只需证明一直线垂直于另一条直线所在平面即可 (2)证明线面垂直的常用方法 ①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； ②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直， ③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 (3)证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个平面过另一个平面的垂线，将证明面面 垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中 点、高线或添加辅助线解决 3 【题型演练：平行】 【题型一：线面平行】 1.如图，正三棱柱ABC-A,B,C中，D为棱AC的中点. A B (1)证明：AB,∥平面DBC1; 2)冷三棱锥A-BCD的体积为V.多面体ABD4BC的体积为5，求兰 2.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，侧棱AA⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点， AA=AB=2,BC=3. A A B C (1)求证：AB,∥平面BC,D (2)求三棱柱ABC-A,B,C的表面积； 3.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，所有棱长均为4，D是AB的中点. A C B (1)求证：BC,/1平面A,DC; (2)求异面直线AD与BC所成角的正弦值. 4.在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，E,F分别为棱PC,AB的中点. (1)求证：EF/1平面APD; (2)设平面PADn平面PBC=1,求证：11/平面ABCD 5.如图，底面为等边三角形的直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA,=2,E为AA的中点， D为BC的中点. A C B D B (1)求证：AD∥平面BC,E: (2)求三棱锥C-ABE的体积. 6.在如图所示的五面体中，四边形ABCD与FECD均为等腰梯形，EF IICD,ABIICD, EF=AB=2,CD=4,BC=BE=√2，M、N分别为EF、CD的中点，AC与BN相交 于点P, N (1)求证：MP∥平面EBC; 7.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥AC,AA=AB=AC=2,M,N,P分别为 AB,BC,AB的中点 (1)求证：BP/平面CMW; (2)求证：P、M、C、G四点共面； 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2为菱形，∠DAB=60°，APAD是以 PA为斜边的等腰直角三角形，F,G分别是PB,CD的中点. F D A E B (1)求证：GF/平面PAD; (2)设E为AB的中点，过E,F,G三点的截面与棱PC交于点Q,指出点Q的位置并证明. 7 9.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的中点. M (1)证明：MN/平面PAD; (2)若平面PAD⌒平面PBC=1,判断BC与1的位置关系，并证明你的结论. 10.如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD⊥CD,BC=2,AD=3,CD=√5，边 AD上一点E满足DE=I,现将△ABE沿BE折起到△A,BE的位置，使平面ABE⊥平面BCDE, 如图所示 A E D A E O B 四在棱4C上是否存在点五使直线DF/平面4BE,若存在，求出仁，若不存在，请 说明理由； 11.如图，已知等腰梯形ABCD中，AD11BC,AB=AD=BC=2,E是BC的中点， AE BD=M,将△BAE沿着AE翻折成△B,AE,使BM⊥平面AECD. D M D E BP (1)在线段B,C上是否存在点P,使得MP11平面B,AD,若存在，求出 BC 的值；若不存 在，说明理由. 12,如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,BC‖平面PAD,BC=AD, ∠ABC=90°，E是PD的中点. M (1)若M是线段CE上任意一点，试判断线段AD上是否存在点N,使得MN‖平面PAB? 请说明理由. 【题型二：面面平行】 1.如图，在正四棱柱ABCD-A,BCD,中，BE⊥A,C,垂足为E. D C A B D (1)求证：平面A,BD∥平面B,CD,; 2.如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E为DD,的中点，F为CC的中点. D C A E B F B (1)求证：平面AEC/平面BFD. 10 3.如图，己知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的三等分点 (M靠近B,N靠近C); ! D M B (1)在PB上确定一点Q,使平面MNQ/平面PAD. 4.已知正方体ABCD-A,B,CD,中，P、Q分别为对角线BD、CD,上的点，且 CO BP 2 QDPD3· D1 C 个、 A B D B (1)求证PQ//平面A,D,DA; (2)若R是CD上的点，当C的值为多少时，能使平面POR11平面BCCB?请给出证明. CD 11 【题型三：拓展】 1.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点E,F分别是棱BC,CC的中点， Q是侧面BCC,B,内一点，若A,Q∥平面AEF.则线段A,Q长度的最大值与最小值之和为 D C A B D 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,中，M是AB,的中点，点P是侧面CDD,C上 的动点，且MP‖截面AB,C,则线段MP长度的取值范围是() D B A A. M B.「V2,6 D D.[6,3] B 3.(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，P为棱BB,的中点，Q为正方 形BB,CC内一动点（含边界），则下列说法中正确的是() D C A.若D,Q∥平面A,PD,则动点Q的轨迹是一条线段 A B.存在点Q,使得D,Q⊥平面A,PD ⊙ C.当且仅当点Q落在G处时，三棱锥Q-APD的体积最大 C D.若D0-5,那么点0的轨迹长度为2 12 4.一正三棱台木块ABC-A,B,C,如图所示，己知2AC=3A,C,=6,AA,=2,点0在平面ABC 内且为ABC的重心 B B (1)过点0将木块锯开，使截面经过AC,平行于直线AC,在木块表面应该怎样划线，并说明 理由； (2)求该三棱台木块被问题（1)中的截面分成的两个几何体的体积之比： (3)在棱台的底面AB,C上（包括边界）是否存在点M,使得直线OM1/平面ACC4？若存 在，求OM长的取值范围；若不存在，说明理由. 13 【题型演练：垂直】 【题型一：线面垂直】 1.如图，已知三棱台ABC-A,B,C,中，平面ABB,A,⊥平面BCC,B,、ABC是以B为直角顶 点的等腰直角三角形，且AB=2AA,=4,AA,=A,B,=BB. A C D (1)证明：AB,⊥平面BB,CC; 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，E,F分别 是AB,PD的中点. A D、 E B (1)若侧面PAD⊥底面ABCD,求证：AF⊥平面PCD. 14 3.在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD为正三角形，底面ABCD为 矩形，M是PD的中点，且Ps与平面ABCD所成角的正弦值为6， 4 D B (1)求证：AM⊥平面PCD; (2)求直线AM与直线PB所成角的余弦值： 4.如图，己知三棱台ABC-A,B,C,底面ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，体 积为4 3 ,平面4BB41平面4BC,且4=A码=BB=54B A C B 4 B (1)证明：BC⊥平面ABB,A; 15 5.如图，在三棱柱ABC-A,B,C中，底面ABC⊥侧面ACCA,,AC=AA=3,BC=2V6, ∠ACB=90°. A C (1)证明：A,C⊥平面ABC; 【题型二：面面垂直】 6.如图，在正四棱柱ABCD-A,B,C,D中，BE⊥A,C,垂足为E. D C D C B (1)求证：平面A,CD⊥平面BDE. 16 7.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC. C (1)证明：平面PBC⊥平面PAC; 8.如图，PA垂直于⊙0所在的平面，AC为⊙0的直径，AB=3,BC=4,PA=3√2， AE⊥PB,点F为线段BC上一动点. P F B (1)证明：平面AEF⊥平面PBC; 17 9.如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，∠BAC为，N,M分别为AB,CC的中点，且 3 AB=AC. A B (1)证明：平面AMB,⊥平面ABB,A· 10.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD/1BC,LABC=90°，且侧 面PAD⊥面ABCD,O是AD的中点，2AB=2BC=AD=PA=PD. D B (1)求证：平面PAC⊥平面POB: 2)当AB=2时，在棱PC上是否存在一点M,使得三棱锥P-ABM的体积为V5 若存在， 请求出兴的值，若不存在，请说明莲由。 18 11.如图，在三棱台ABC-A,B,C,中，AB与AC,BC都垂直，己知AB=3,AA=AC=5 B (1)求证：平面A,BC⊥平面ABC; 12.如图，在ABC中，∠ACB=4C=2BC=4,点P满足D=P,沿CP将△ACP 折起形成三棱锥A-PBC. B (1)若PC⊥AB,求证：平面PBC⊥平面APB; 19 13.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平 面ABCD,M是PD的中点. (1)在棱PC上是否存在点Q使平面BDQ⊥平面MAC成立？如果存在，求出 的值：如 果不存在，请说明理由. 14,如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，AB=V5AA,D为AB的中点 A B 1)在CD上是否存在点E,使得平面BCE1平面ABC?若存在，求出C二的值；若不存在， ED 说明理由. 20 立体几何初步——平行与垂直 立体几何初步——平行与垂直 1 【知识梳理】 1 【题型演练：平行】 4 【题型一：线面平行】 4 【题型二：面面平行】 17 【题型三：拓展】 20 【题型演练：垂直】 28 【题型一：线面垂直】 28 【题型二：面面垂直】 33 1 学科网（北京）股份有限公司 立体几何初步——平行与垂直 【知识梳理】 文字语言 图形语言 符号语言 1.线面平行 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 2.面面平行 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 结论 两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面. 3.线面垂直 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 结论 1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 结论 2 直线垂直于平面，则该直线与平面内任意一条直线垂直. 4.面面垂直 判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 【知识点：平行的证明】 （1）证明线线平行的常用方法 ① 利用平行公理：即证明两直线同时和第三条直线平行; ② 利用平行四边形的两组对边分别平行; ③ 利用三角形中位线定理证明; ④ 利用平行线分线段成比例; ⑤ 利用线面平行的性质，找经过这条直线的平面和这个平面的交线，则直线就和交线平行; ⑥ 利用面面平行的性质定理，两个平行平面与第三个平面的两条交线平行; ⑦ 利用线面垂直的性质定理，垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）证明线面平行的常用方法 ① 利用定义，证明直线与平面无公共点; ② 利用线面平行的判定定理，从直线与直线平行得到直线与平面平行; ③ 利用面面平行的定义，两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面. （3）证明面面平行的方法 证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个平面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行 【知识点：垂直的证明】 （1）证明线线垂直的常用方法 ① 利用特殊平面图形性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、直径所对圆周角等得到线线垂直; ② 利用勾股定理的逆定理; ③ 利用线面垂直性质，要证线线垂直，只需证明一直线垂直于另一条直线所在平面即可. （2）证明线面垂直的常用方法 ① 利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直; ② 利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直; ③ 利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. （3）证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个平面过另一个平面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决. 【题型演练：平行】 【题型一：线面平行】 1．如图，正三棱柱中，D为棱的中点． (1)证明：平面DBC1； (2)令三棱锥的体积为V1．多面体的体积为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用锥体、柱体体积公式，结合割补法求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，连接，连接， 则为中点，而D为棱的中点，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）平面，由D为棱的中点，得，， 于是， 所以. 2．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．    (1)求证：平面． (2)求三棱柱的表面积； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）分别求三棱柱每个面的面积相加即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．    （2）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为，所以底面，均为直角三角形． 因为，，所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 3．如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； （2）由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 4．在底面为平行四边形的四棱锥中，，分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1) 取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，所以，即可求解； (2)先证明平面，又因为平面平面，面，所以，即可求解． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点，所以，且， 又因为为的中点，所以， 在平行四边形中，有，则， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）在平行四边形中，有， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，面，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 5．如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形来证明线线平行，进而证得线面平行； （2）利用等体积法可求体积. 【详解】（1）取中点，连接，如图所示， ∵为的中点.，∴且， 又为的中点，又∵，且， ∴，且，∴，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面；平面，∴平面． （2）. 6．在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接，取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； 【详解】（1）连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形，所以为中点， 因为为的中点，为中点，则，且， 因为为的中点，则，且， 则，且，故四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． 7．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点 (1)求证：平面； (2)求证：、、、四点共面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证四点共面，再证明，由线线平行得到线面平行. （2）连接，结合条件可证，从而证明. 【详解】（1）如图： 连接，因为分别为的中点，所以 在三棱柱中，.所以四点共面. 因为分别为的中点，所以，. 所以四边形为平行四边形. 所以.因为平面平面， 所以平面. （2）如图： 连接，因为为直三棱柱，且分别为的中点， 所以，又，所以，所以、、、四点共面. 8．如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，只需证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）首先证明平面，然后结合线面平行的性质、平行线的传递性即可得证. 【详解】（1）如图，取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又因为四边形为菱形，且为中点， 所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面平面， 所以平面； （2）为的中点， 因为且，故为平行四边形，故， 平面，平面，故平面， 又平面，平面平面，所以， 又，所以， 因为为的中点，所以点为的中点. 9．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)若平面平面l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，根据线面平行与面面平行的判定可得平面平面，进而可得证明平面PAD； （2）根据线面平行的判定可得平面PAD，再根据线面平行的性质证明即可. 【详解】（1）取中点，连接. 因为分别为的中点，故，， 又平面，平面，故平面，同理平面. 又平面，，故平面平面， 又平面，故平面. （2）因为四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面. 又平面平面l，平面，故. 10．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. (1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)存在， 【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论； 【详解】（1）解：当F是AC的中点时，直线平面. 证明如下： 设的中点为N，连接EN，FN， 因为，，且，， 所以且，所以四边形DENF是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 所以存在点F，使平面，且. 11．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)存在，此时点是线段的中点且 【分析】（1）首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解. 【详解】（1）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 12．如图，在四棱锥中，平面平面∥平面，，E是的中点． (1)若M是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点N，使得∥平面？请说明理由． 【答案】(1)当为中点时，∥平面. 【分析】（1）取的中点，连接，由线面平行的判定定理证明平面，平面，所以平面平面，再由面面平行的性质定理可证得∥平面. 【详解】（1）取的中点，连接， 分别为的中点，所以， 平面，平面，所以平面， 又因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， ，所以平面平面，又因为平面，所以∥平面. 线段上存在点N，使得∥平面. 【题型二：面面平行】 1．如图，在正四棱柱中，，垂足为E． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）利用正四棱柱的性质可得线线平行，再证明线面平行，即可证明面面平行； 【详解】（1） 由正四棱柱性质可得：， 由平面，平面，所以平面， 又由平面，平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； 2．如图，在正方体中，为的中点，为的中点．    (1)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立． 【详解】（1）因为且，为的中点，为的中点， 所以，，所以，四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，又平面，， 因此，平面平面． 3．如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）； (1)在上确定一点Q，使平面平面． 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）在取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【详解】（1）证明：在取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 4．已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且． （1）求证平面； （2）若是上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析. 【分析】（1）根据相似三角形的性质，结合平行线成比例定理、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据平行线成比例定理，结合线面平行的判定定理、面面平行的判定定理进行证明即可. 【详解】（1）证明：连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以，所以． 又平面，平面，故平面； （2）当时，能使平面平面， 证明：因为，即有，故，所以， 又∵，∴， 又平面，平面， 所以平面， 由，得，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面． 【题型三：拓展】 1．如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为_________. 【答案】 【分析】根据面面平行的性质证明出点的轨迹为线段，在根据平面几何知识计算出的最值。 【详解】下图所示： 分别取棱、的中点、，连接，连接， 、、、为所在棱的中点，，， ，又平面，平面， 平面； ，，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面， 又，平面，平面平面， 是侧面内一点，且平面， 则必在线段上， 在中，， 同理，在中，求得， 为等腰三角形， 当在中点时，此时最短，位于、处时最长， ， ， 所以线段长度的是大值与最小值之和为． 2．如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且∥截面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及三角形的中位线，利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，结合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解. 【详解】取的中点为,取的中点为,取的中点为，如图所示 因为是的中点，是的中点， 所以, 因为平面,平面, 所以平面, 同理可得，平面, 又,平面, 所以平面平面. 又平面,线段扫过的图形是, 由,得,, ,, 所以,即为直角， 所以线段长度的取值范围是：,即. 故选：A. 3．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．若平面，则动点的轨迹是一条线段 B．存在点，使得平面 C．当且仅当点落在处时，三棱锥的体积最大 D．若，那么点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】选项A：利用面面平行证明线面平行，得到动点轨迹；选项B：利用向量法证明线面垂直，判断动点是否存在；选项C：利用向量法求点到平面距离，计算棱锥体积；选项D:利用方程判断轨迹形状并求轨迹长度. 【详解】取、中点、，连接、、、， 由且知是平行四边形，∴， ∵平面，平面，平面，同理可得平面， ∵，平面， ∴平面平面，则Q点的轨迹为线段EF，A选项正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，设，，， 则，，. 设为平面的一个法向量， 则即得取，则. 若平面，则，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，B选项错误； 的面积为定值，∴当且仅当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大. ， ①，，则当时，有最大值1； ②，，则当时，有最大值； 综上，当，即和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确； 平面，∴，， ∴，点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确. 故选：ACD. 4．一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)作图见解析； (2)小几何体与大几何体的比值为； (3)存在，理由见解析，长度的取值范围为. 【分析】（1）在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接，求证四点共面即可求解. （2）先求证几何体为棱柱，接着设棱台的高为，的面积为得，再由台体体积公式得正三棱台体积即可求解. （3）分别取的中点，求证四点共面，接着通过求证平面平面得证点时平面，再依据条件求出等腰梯形的高和、的长即可得解. 【详解】（1）如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点， 连接，则为截面与各木块表面的交线， 理由如下：由于，故四点共面， 且平面平面，平面平面，平面平面， 则为截面与各木块表面的交线. （2）由于点在平面内且为的重心，， 所以，又因为，故， 故几何体为棱柱， 设棱台的高为，的面积为，故， 又，则， 故由台体体积公式得正三棱台体积为， 所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为， 故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（或）. （3）分别取的中点，则当点时有平面， 证明如下：由分别为的中点得， 又由于在正三棱台中，， 所以，四点共面， 又因为，点O为重心，所以， 又由正三棱台性质， 故四边形为平行四边形，故， 因为平面、平面，所以平面， 同理平面， 因为，平面，所以平面平面， 所以当点时，平面，于是平面， 在梯形中，由已知条件和前面的分析知：， 即四边形是底边长分别为1和2、腰长为2的等腰梯形， 所以该由等腰梯形性质得该等腰梯形的高为， 所以， 所以长度的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：求解长度的取值范围关键点1是通过作出过点O且与平面相交的平面、又与平面平行的平面并证明；关键点2是由已知得出四边形是底边长分别为1和2、腰长为2的等腰梯形，从而通过等腰梯形性质求出等腰梯形的高和、的长. 【题型演练：垂直】 【题型一：线面垂直】 1．如图，已知三棱台中，平面平面、是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明过程见解析 【分析】（1）通过余弦定理求出边长，根据勾股定理的逆定理证明线线的垂直关系，通过面面垂直的性质定理，说明线面垂直. 【详解】（1） 在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点. (1)若侧面底面，求证：平面. 【答案】(1)证明过程见解析 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，即⊥平面，所以⊥，由三线合一得到⊥，故可证平面. 【详解】（1）底面为矩形，故⊥， 侧面底面，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 侧面是正三角形，为的中点，所以⊥， 因为，平面， 所以平面. 3．在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析． (2)； 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，然后由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）法一：取中点，证明平面，以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角求得的长，然后线线角的空间向量法求解；法二：找出在平面的投影，即可结合与平面所成角的正弦值计算得到与长度关系，再借助等角定理找到与相交且与平行的直线，最后利用余弦定理的推论计算即可得； 【详解】（1）底面为矩形，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面，而平面，所以， 又侧面为正三角形，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面； （2）法一：取中点，连接，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 以为原点，过平行于的直线为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则， ，平面的一个法向量是， 因为与平面所成角的正弦值为.， 所以，解得（负值舍去）， ， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为； 法二：取中点，连接，，连接，取中点，连接、， 由为正三角形，则， 由侧面底面，侧面底面，平面， 故平面，则在平面上的投影为， 故即为直线与平面所成角， 则有，则， 则，， 则四边形为正方形，故， 连接，取中点，连接、， 由是的中点，则，且， 故直线与直线所成角与直线与直线所成角相等， 则， 故直线与直线所成角的余弦值为； 4．如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）利用面面垂直的性质推理即得. 【详解】（1）在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面. 5．如图，在三棱柱中，底面侧面，，，． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）根据给定条件，利用菱形的性质、面面垂直的性质、线面垂直的性质及判定推理即得. 【详解】（1）在三棱柱中，由，得四边形是菱形，则， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则，又， 因此，而平面, 所以平面. 【题型二：面面垂直】 6．如图，在正四棱柱中，，垂足为E． (1)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析. 【分析】（1）利用正四棱柱的性质可得线面垂直和线线垂直，再通过线面垂直证明面面垂直即可. 【详解】（1） 连接，由正四棱柱可知，平面， 因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 7．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.    (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据圆的性质可得，根据平面可得，进而得到平面，最后根据面面垂直的判定定理可得结果； 【详解】（1）证明：是圆的直径， ， 又平面，平面， ， ，且，平面， 平面， 又平面， 平面平面. 8．如图，垂直于⊙所在的平面，为⊙的直径，，，，，点为线段上一动点．    (1)证明：平面AEF⊥平面PBC； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由垂直于⊙所在的平面，可得，再由圆的性质可得，则由线面垂直的判定可得平面，则，从而平面，进而由面面垂直的判定可证得结论， 【详解】（1）证明：因为垂直于⊙所在的平面，即平面，平面， 所以， 又为⊙的直径，所以， 因为，所以平面， 又平面，所以， 因为， 所以平面， 又平面，     所以平面平面． 9．如图，在直三棱柱中，为，N，M分别为AB，的中点，且.    (1)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 【分析】（1）证四边形为平行四边形，进而可得，结合（1）及面面垂直的判定定理即可证明； 【详解】（1）证明：连接，设，连接， 易知为的中点，又为的中点，，， 为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 由（1）知平面平面， 平面，平面平面；    10．如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，且侧面面ABCD，O是AD的中点，.    (1)求证：平面平面POB； (2)当时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直性质和线面垂直的性质得到，再证明，最后利用面面垂直的判定即可证明； （2）利用锥体体积公式和等体积法，最后根据体积比即可得到答案. 【详解】（1），为中点，所以， 因为侧面面ABCD，且侧面面，平面， 所以面ABCD，因为面，所以， 因为底面ABCD是直角梯形，，，则， 因为，为中点，则，则四边形为平行四边形， 又因为，，则四边形为正方形， 则，又因为，面， 所以面，又因为面，所以平面平面POB. （2）假设在棱PC上是否存在一点M满足题意， 当时，则，因为为中点，则， 则， 则， ，， 设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 则， 11．如图，在三棱台中，与，都垂直，已知，． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据题意，证得因为和，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面； 【详解】（1）证明：因为，， 又由棱台得性质，可得，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 12．如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥．    (1)若，求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再结合面面垂直判定定理证明即可； 【详解】（1），所以在三棱锥中有：， 又平面平面，， 平面， 平面， 平面平面是正方形； 13．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. (1)在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在， 【分析】（1）假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）存在点，当时，平面平面. 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接， 因为是正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为底面是正方形，所以. 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上点存在点，当时，平面平面. 14．如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)存在， 【分析】（1）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. $