重难拓展专题06 复数专题复习讲义（知识梳理+12题型突破）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

重难拓展专题：复数专题复习讲义 知识梳理 一、复数的基本概念 1. 定义：形如的数叫做复数，为实部，为虚部，虚数单位。 2. 分类 实数： 虚数： 纯虚数：且 3. 复数相等：且 4. 共轭复数：若，则，满足。 5. 复数的模：，表示复平面内对应点到原点的距离。 二、复数的四则运算 设 1. 加减： 2. 乘法： 3. 除法：（分母实数化） 的周期性： 5. 复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤． 6. 常用公式 ； ； ． 三、复数的几何意义 1. 一一对应： 2. 距离公式：表示复平面内两点间的距离 3. 轨迹：表示以对应点为圆心，为半径的圆 四、常用结论 1. 2. 3. 实系数一元二次方程，时，虚根成对且互为共轭复数。 典例精讲 题型一 复数的基本概念与分类 例题1下列关于复数的说法一定正确的是（    ） A．是虚数 B．存在x使得是纯虚数 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 【分析】根据复数的概念、复数的分类判断． 【解析】由复数， 当时，为实数，故A、C不正确； 当时，，故B正确； 由于的取值未知，故D错误 变式1对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 【分析】结合复数概念逐一判断即可. 【解析】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错； 对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错. 故选C. 变式2复数的虚部是（    ） A．1 B．-2 C．-2i D．2 【答案】B 【解析】复数的虚部是. 故选B 例题2如果复数是纯虚数,则实数=   (    ) A． B． C． D． 【分析】由纯虚数概念建立关系式求解即可. 【解析】由复数是纯虚数，得，解得. 变式1若复数是纯虚数，则实数的值是 . 【答案】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再由实部等于，虚部不等于即可求解. 【解析】因为是纯虚数， 所以，解得 变式2若复数为纯虚数，则实数 . 【答案】-1 【解析】∵复数为纯虚数， . 故答案为-1 题型二 复数相等与待定系数法 例题1设，其中a，b是实数，则（    ） A． B． C． D． 【分析】利用复数相等即可求出结果. 【解析】因为，即， 则，即 变式1若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【分析】根据复数相等的条件即得. 【解析】由，得，则， 根据复数相等的充要条件得， 解得，故． 变式2若，其中a，，是虚数单位，则（    ） A．2 B． C．3 D．5 【分析】利用复数相等的条件，求出，由复数模的公式计算. 【解析】若，即， 得，解得， 所以． 例题2设复数z满足，且z的实部小于虚部，则（    ） A． B． C． D． 【分析】设，根据已知条件列方程，从而求得，也即求得. 【解析】设， 则，所以. 变式1已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【分析】设，根据模长公式列出方程，求出，得到答案. 【解析】设，则，解得：， 故的虚部为-1. 变式2设复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 得， 则的实部为， 故选D 题型三 共轭复数 例题1已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则________ A． B． C． D． 【分析】由复数的坐标表示及共轭复数概念可得答案. 【解析】由题，，故 变式1（2025·青岛·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选D 变式2已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　) A．－3－I B．－3＋i C．3＋i D．3－i 【答案】C 【解析】由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i， 故选C 例题2复数，在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据复数的除法运算得到，再由共轭复数的概念及复数的几何意义即可求解. 【解析】， ，复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于第四象限 变式1已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为复数. 所以共轭复数.所以共轭复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选B. 变式2（24-25高一下·武汉·期中）已知复数，则的共轭复数等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由复数，则的共轭复数； 故选C. 题型四 复数的模 例题1在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由复数的几何意义可得，再根据题意计算复数的模即可. 【解析】因为复数对应的向量，所以， 所以. 变式1（24-25高一下·宁波·期末）已知复数，则 ， ． 【答案】 / 5 【解析】由已知可得，， 所以，. 故答案为：；5. 变式2已知复数，其中是虚数单位，则的模是 . 【答案】. 【解析】解：，. 故答案为：. 例题2已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【分析】设，根据模长公式列出方程，求出，得到答案. 【解析】设，则，解得：， 故的虚部为-1. 变式1复数满足，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由题可得，即得. 【解析】∵复数满足， ∴， ∴. 变式2在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【分析】根据对称性得到，从而计算出，求出模长. 【解析】对应的点为，其中关于的对称点为， 故，故. 题型五 复数的四则运算（基础） 例题1若复数，，则（    ） A． B． C． D． 【思路分析】根据复数的减法运算，即可得答案. 【解析】因为 ，，所以 变式1已知复数，则（    ） A． B． C． D．0 【思路分析】根据复数的减法计算即可. 【解析】由题意，时，. 变式2（2025高一下·长沙·期中）复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选C. 例题2计算：(1)(3＋2i)＋(－2)i； (2)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)． 【解析】(1)原式＝3＋(2＋－2)i＝3＋i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i. 变式1复数z在复平面内对应的点为，则复数（    ） A． B． C． D． 【思路分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数的运算法则计算可得. 【解析】复数在复平面内对应的点为，则，所以. 变式2在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为复数的共轭复数对应的点的坐标是，可得， 所以，所以. 故选C 题型六 周期性与运算规律 例题1计算： 【解析】，一共有100项求和，且100能被4整除，. 变式1（多选）已知复数为虚数单位），则下列说法错误的是　　 A．的实部为2 B．的虚部为1 C． D． 【解析】． 所以，的实部为1，的虚部为1，． 观察选项，、选项符合题意． 故选． 变式2已知复数为虚数单位），则________ 【解析】复数，， ， 题型七 复数的几何意义（复平面） 1． 例题1复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可. 【解析】由题意可设， 所以对应复数为，此复数为纯虚数 变式1在复平面内，下列复数中对应的点在第四象限的是（    ） A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 【答案】B 【解析】对应坐标为，在第一象限，不符合题意. 对应坐标为，在第四象限，符合题意，B选项正确. 对应坐标为，在第二象限，不符合题意. 对应坐标为，在第三象限，不符合题意. 故选B 变式2已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】, 故对应的点为，在第三象限， 故选C 例题2 已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义得出对应点的坐标，即可求出实数的取值范围. 【解析】将整理化简可得， 所以复数在复平面内对应的点坐标为， 由点位于第四象限可得，解得， 所以实数的取值范围是. 变式1若复数z满足，则在复平面内对应的点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算及模长公式求出复数，再判断即可得解. 【解析】由题意知，所以， 所以，所以在复平面内对应的点为，在第一象限． 变式2已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】, 故对应的点为，在第三象限， 故选C 题型八 复数加减的几何意义 例题1在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【思路分析】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【解析】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 变式1在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（    ） A． B．5 C．2 D．10 【思路分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出． 【解析】依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5. 故选B． 变式2在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，， 则对应复数1. 故选A． 例题2已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【思路分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【解析】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 变式1如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ） A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0 C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 【思路分析】由向量，结合向量减法运算得，再由复数的几何意义即可求解. 【解析】由题图可知，，， ∴z1＋z2－z3＝0. 变式2（多选）已知复数和对应的向量分别是，向量对应的复数记为z，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】∵，∴， 所以，，，， 因此BC正确，AD错误， 故选BC． 题型九 复数的模与轨迹（圆/线段） 1． 例题1设复数满足，则的最大值为　　 A． B． C．2 D．3 【解析】设，复数满足， 所以， 表示到点的距离为1， 所以到原点的距离的最大值为； 故选． 变式1 复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设复数，则对应点的坐标为， 所以 所以复数对应的点到的距离为， 故复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， 故当点运动到与轴的交点，且向上的位置时，此时最大，最大值为 故选C 变式2已知复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设，则， 则， 则复数在复平面内的点的轨迹为圆， 其中圆心为，半径为， 则圆上的点到的距离的最小值为， 故的最小值为. 故选A 变式3设，则，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以复数在复平面内对应点， 由得， 即点的轨迹是复平面内以为圆心，半径为的圆， 又表示复平面内的点到的距离， 所以的最小值为圆心到原点的距离减半径， 即， 故选C. 题型十 根据运算结果求参数 例题1已知复数 的实部与虚部的和为12，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路分析】利用复数的乘法运算化简复数，然后根据实部和虚部的定义求解即可. 【解析】由复数的乘法运算可知，， 因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，. 故选B. 变式1已知是实数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】， 因为是实数， 所以，即， 故选B 变式2已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（   ） A． B．6 C．－6 D． 【答案】C 【解析】依题意，复数，因为为纯虚数，所以且，解得. 故选C. 题型十一 复数范围内因式分解 例题1利用公式，把下列各式分解为一次因式的乘积： (1)； (2)； 【思路分析】（1）根据所给等式，直接可得答案； （2）利用平方差公式结合所给等式，可得答案； 【解析】（1）; （2）, 变式1在复数范围内分解因式： (1)；(2)； 【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式. 【解析】（1） （2） 变式2请在复数范围内分解因式 (1)； (2)． 【思路分析】 （1）先用完全平公式化简，再利用已知等式，可得答案； （2）先配方变为平方和形式,再利用已知等式分解可得答案. 【解析】（1） （2）. 题型十二 复数范围内方程的根 例题1是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【思路分析】利用实系数一元二次方程虚根成对，应用韦达定理，求得的值 【解析】因为是关于的方程的一个根,所以也是方程的根.根据根与系数的关系可得 即得,所以 变式1若复数是关于的一元二次方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】复数是关于的一元二次方程的一个根， 它的共轭复数也是方程的根， 由韦达定理得，即， ， ， 故在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选. 变式2已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则 . 【答案】 【解析】根据题意设方程的两虚根为，，为实数， 方程的两根在复平面上对应的点分别为和，轴， 又是等边三角形，高为2，则， 解得，则； 则. 故答案为． 一．选择题 1．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z在复平面上所对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由，得，则z＝1﹣i， 所以z在复平面上所对应的点为（1，﹣1），在第四象限． 故选：D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】∵复数 ， ∴复数对应的点的坐标是（ ） ∴复数 在复平面内对应的点位于第二象限， 故选：B． 3．复数的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】复数的虚部为． 故选：B． 4．复数（其中i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D． 5．复数z满足为实数，则z的实部为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．i 【答案】A 【解析】设z＝a+bi（a，b∈R）， 则， 因为为实数，所以a+1＝0，即a＝﹣1． 故选：A． 6．若复数z＝i+i2+i3+…+i2026（其中i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 【答案】B 【解析】因为i2＝﹣1，所以i4＝（﹣1）2＝1， 所以i4n＝（i4）n＝1，i4n+1＝i4n•i＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i， 可得i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4＝i+（﹣1）+（﹣i）+1＝0， 因为2026＝4×506+2， 所以z＝i+i2+i3+…+i2026＝i2025+i2026＝i﹣1， 即z＝﹣1+i， 所以z的共轭复数为﹣1﹣i，其虚部为﹣1． 故选：B． 7．已知复数（i为虚数单位），则z2+z等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 【答案】A 【解析】由题可得z， 所以． 故选：A． 8．在复平面内，复数z＝（a+3i）（1﹣i）（a∈R）对应的点恰好位于第四象限，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣3，3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，3） 【答案】C 【解析】复数z＝（a+3i）（1﹣i）（a∈R） ＝a+3+（3﹣a）i， 复数z＝（a+3i）（1﹣i）（a∈R）对应的点恰好位于第四象限， 则，解得a＞3， 故a的取值范围为（3，+∞）． 故选：C． 9．已知i为虚数单位（i2＝﹣1），下列各式的运算结果中，虚部为1的是（　　） A．（1+i）+（1﹣i） B．（1+i）﹣（1﹣i） C．（1+i）（1﹣i） D． 【答案】D 【解析】对于A，（1+i）+（1﹣i）＝2，虚部为零，可得A不符合； 对于B，（1+i）﹣（1﹣i）＝2i，虚部为2，可得B不符合； 对于C，（1+i）（1﹣i）＝2，虚部为零，可得C不符合； 对于D，，虚部为1，可得D符合． 故选：D． 10．已知，其中i为虚数单位，则（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【答案】D 【解析】， 则． 故选：D． 11．已知复数z＝2+i，设在复平面内对应的向量分别为，则（　　） A． B．3 C．5 D．3+2i 【答案】B 【解析】复数z＝2+i，则， 在复平面内对应的向量分别为， 所以， 故． 故选：B． 12．已知复数z＝2+3i，i为虚数单位，则（　　） A．13 B．5 C．﹣5 D．﹣5i 【答案】A 【解析】由复数z＝2+3i，可得，则（2+3i）（2﹣3i）＝4﹣6i+6i﹣（3i）2＝13． 故选：A． 13．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴z， ∴． ∴． 故选：A． 14．在复平面内，复数（a﹣2i）（2﹣i）（a∈R）对应的点不可能位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】设z＝（a﹣2i）（2﹣i）＝2a﹣4i﹣ai+2i2＝2a﹣2+（﹣4﹣a）i， 对于A：若复数z位于第一象限，则须满足，a无解，即复数z不可能位于第一象限，故A正确； 对于B：若复数z位于第二象限，则须满足，解得a＜﹣4，即复数z可能位于第二象限，故B错误； 对于C：若复数z位于第三象限，则须满足，解得﹣4＜a＜1，即复数z可能位于第三象限，故C错误； 对于D：若复数z位于第四象限，则须满足，解得a＞1，即复数z可能位于第四象限，故D错误． 故选：A． 15．已知复数z＝3+2i，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数z＝3+2i， 则， 故． 故选：A． 16．已知z•i＝|1﹣i|2（i为虚数单位），则z＝（　　） A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i 【答案】D 【解析】z•i＝|1﹣i|2＝2，则z． 故选：D． 17．若复数z满足（1﹣z）i＝1+z（i为虚数单位），则z的虚部是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 【答案】B 【解析】由（1﹣z）i＝1+z，得i， 则z的虚部是1． 故选：B． 18．若复数，则|z+1|＝（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题意得z+1，所以|z+1|1． 故选：B． 19．已知复数z＝﹣i，则|z2025﹣z2026|＝（　　） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【解析】z＝﹣i， 则z2025＝（﹣i）2024•（﹣i）＝﹣i，z2026＝（﹣i）2024•（﹣i）2＝﹣1， 故|z2025﹣z2026|＝|1﹣i|． 故选：B． 20．若x+i3＝1+yi，x，y∈R，则x﹣y＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】A 【解析】x+i3＝1+yi， 则x﹣i＝1+yi， 故x＝1，y＝﹣1， 故x﹣y＝1﹣（﹣1）＝2． 故选：A． 21．若复数z满足，则z＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设z＝a+bi（a，b∈R）， 复数z满足， 则2a+2bi+a﹣bi，即3a+bi＝1﹣i，解得a，b＝﹣1， 故． 故选：B． 22．已知复数z1＝1+2i，z2＝a+4i（a∈R，i为虚数单位），则“a＝2”是“|z1+z2|＝|z1|+|z2|”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为复数z1＝1+2i，z2＝a+4i（a∈R，i为虚数单位）， 则z1+z2＝a+1+6i， 故|z1+z2|＝|z1|+|z2|，可得， 两边平方整理得：a+8，解得a＝2． 故“a＝2”是“|z1+z2|＝|z1|+|z2|”的充要条件． 故选：C． 23．若复数z满足，则z的实部与虚部之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】（﹣i）2025＝﹣i， 故，解得z， 故z的实部与虚部之和为． 故选：C． 24．若，则|z|＝（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由题意可知，z＝（z+i）（1﹣i）＝z﹣zi+i+1， 故zi＝1+i， 所以z＝1﹣i， 故|z|． 故选：B． 25．已知复数z1＝2+i，z2＝a﹣i（a∈R），i为虚数单位，若复数z1﹣z2为纯虚数，则实数a的值为（　　） A．1 B．0 C．2 D．﹣2 【答案】C 【解析】由复数z1＝2+i，z2＝a﹣i（a∈R），可得z1﹣z2＝（2+i）﹣（a﹣i）＝（2﹣a）+2i为纯虚数， 则2﹣a＝0，解得a＝2． 故选：C． 二．多选题 （多选）26．若复数z＝﹣1﹣4i，则下列结论正确的是（　　） A．z的虚部为﹣4i B．z的共轭复数为﹣1+4i C． D． 【答案】BC 【解析】z＝﹣1﹣4i，则z的虚部为﹣4，故A错误； z的共轭复数为﹣1+4i，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC． （多选）27．已知复数，则（　　） A．z3的虚部是﹣2 B．|z3|＝|z4| C． D． 【答案】AB 【解析】由， 得，其虚部是﹣2，故A正确； ，则|z3|＝|z4|＝2，故B正确； ，故C错误； 1﹣2i，故D错误． 故选：AB． （多选）28．已知复数z1，z2≠0，以下复数运算一定成立的是（　　） A．|z1z2|＝|z1||z2| B． C． D．|z|2＝z2 【答案】ABC 【解析】设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d∈R），由题意c2+d2≠0， 根据 ，， 可得|z1z2|＝|z1||z2|，故A项正确； 根据 ， 结合，可得，故B项正确； 设z＝x+yi，（x，y∈R），则，，，所以，故C项正确； 取z＝i，则|z|2＝1，z2＝﹣1，可知|z|2＝z2不一定成立，故D项错误．所以|z|2≠z2不恒成立，故D错误． 故选：ABC． （多选）29．已知复数z1，z2，则下列命题正确的有（　　） A．若，则z1＝z2＝0 B．若z1＝iz2，则|z1|＝|z2| C．若，则 D．若|z1|＝|z2|，则 【答案】BC 【解析】取z1＝1，z2＝i，显然满足，但z1≠0，z2≠0，故A错误； 因为z1＝iz2，所以|z1|＝|iz2|＝|i||z2|＝|z2|，故B正确； 因为，所以，故C正确； 取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但，故D错误． 故选：BC． （多选）30．已知复数z1＝1+i，z2＝x+yi（x，y∈R），则下列结论正确的是（　　） A．若，则z2为纯虚数 B．若，则z2在复平面内对应的点位于第一象限 C．若|z2﹣z1|＝1，则 D．若z1，z2为方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的两虚根，则a＝b＝2 【答案】AC 【解析】对于A，因为z1＝1+i，， 所以z2i，故A正确； 对于B，因为z2﹣z1＝（x﹣1）+（y﹣1）i， 所以（x﹣1）﹣（y﹣1）i， 所以（x﹣1）﹣（y﹣1）i＝2（1+i）＝2+2i， 所以，解得， 所以z2＝3﹣i，在复平面内对应的点为（3，﹣1），位于第四象限，故B错误； 对于C，若|z2﹣z1|＝1，则z2在复平面内对应的点Z2的轨迹是以（1，1）为圆心，以1为半径的圆上， 而x2+y2表示点Z2到原点距离的平方， 因为圆心到原点的距离d， 所以（1）2≤x2+y2， 即3﹣2，故C正确； 对于D，若z1，z2为方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的两虚根，则z2＝1﹣i， 由韦达定理可得，， 解得，故D错误． 故选：AC． （多选）31．已知i为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（　　） A．z1的三角形式为 B．若，则实数a的值为3 C．|z1|，|z2|，……，|z2025|中有44个正整数 D．|z2025﹣z2026|＜|z2026﹣z2027| 【答案】BC 【解析】对于选项A，由题意i为虚数单位，复数， 当n＝1时，z1＝1+i， 则对应的三角形式为，故选项A错误； 对于选项B，由题意i为虚数单位，复数， 则 ， 又， 所以， ， 则的虚部为， ∵ω∈R，∴，解得a＝3，故选项B正确； 对于选项C，先求|zn|，根据复数模的性质：若z＝z1z2⋯zk，则|z|＝|z1||z2|⋯|zk|， 对于，模为， 所以 ， 要使为正整数，则n+1必须是完全平方数， 即n+1＝m2（m∈N*），则n＝m2﹣1， 因为n≤2025，所以m2﹣1≤2025，即m2≤2026， 因为442＝1936，452＝2025，462＝2116＞2026， 又因为n∈N*，所以n＝m2﹣1≥1，故， 所以m从2到45，共44个正整数，故选项C正确； 对于选项D，由题意i为虚数单位，复数， ， ∴， ∴|z2025﹣z2026|＝1＝|z2026﹣z2027|，故选项D错误． 故选：BC． （多选）32．任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），，θ∈[0，2π）．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]（　　） A． B．ω0是方程ω3＝1的虚数根，则 C．|z|＝1，则|z2+z+1|的范围为 D．满足z2025＝（z+1）6＝1的复数z有且只有2个 【答案】ABD 【解析】于A；由z＝﹣1+i，∴r＝|z|＝|﹣1+i|， 复数z＝﹣1+i位于第二象限，其辐角为， 所以﹣1+i（cosisin），故A对； 由ω3＝1得（ω﹣1）（ω2+ω+1）＝0， 可得ω＝1或ω2+ω+1＝0， 由ω2+ω+1＝0得ω， 因为ω0是方程ω3＝1的虚数根， 不妨设ω0，所以，ω02＝（）2，故B对； 因为|z|＝1，令z＝cosθ+isinθ， 则|z2+z+1|＝|cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ+1| ， 又cosθ∈[﹣1，1]，所以1+2cosθ∈[﹣1，3]， 所以|1+2cosθ|∈[0，3]，故C错； z2025＝1的解是单位圆上的2025次单位根， 即所有复数z满足|z|＝1，且辐角为，其中k＝0，1，⋯，2024， 所以z＝eiθ，，k∈{0，1，2，…，2024}，这些点均匀分布在单位圆上， 令ω＝z+1⇒ω6＝1，所以ω是6 次单位根：ω＝eiθ，φ，m∈{0，1，2…，5}， 所以z＝ω﹣1＝eiφ﹣1， 这些点是以﹣1为中心、半径为1的圆上的6 个点， 因为z2025＝（z+1）6＝1， 所以|eiφ﹣1|＝1，即1，解得cosφ， 则φ，m∈{0，1，2⋯，5}中，满足cosφ的φ为：φ，φ， 当φ时，z＝cosφ+isinφ﹣1i﹣1i， 所以z3＝1，所以z2025＝（z3）675＝1； 当φ时，z＝cosφ+isinφ﹣1i﹣1i， 可得z3＝1，所以z2025＝（z3）675＝1， 综上，满足条件的复数共2个；故D对． 故选：ABD． 三．填空题 33．若z1＝3﹣2i，z2＝i+1，则|z1﹣z2|＝　 　 ． 【答案】． 【解析】z1＝3﹣2i，z2＝i+1， 则z1﹣z2＝2﹣3i， 故|z1﹣z2|． 故答案为：． 34．复数z1，z2满足|z1﹣1|＝|z1+i|，|z2﹣2|＝1，则|z1﹣z2|的最小值为 　 　 ． 【答案】1． 【解析】满足|z1﹣1|＝|z1+i|的复数z1对应的点是以A（1，0），B（0，﹣1）为端点的线段的垂直平分线， 由A，B的中点坐标为（，），kAB＝1， 得AB的垂直平分线方程为y（x）， 即y＝﹣x． 满足|z2﹣2|＝1的复数z2对应的点是以（2，0）为圆心，以1为半径的圆， 则圆心（2，0）到直线y＝﹣x的距离为d， ∴|z1﹣z2|的最小值为1． 故答案为：1． 35．在复平面中，已知点A（﹣1，0）、B（0，3），复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，且满足|z1|＝|z2|＝2，|Z1Z2|＝4，则的最大值为 　 　 ． 【答案】． 【解析】由题意设Z1（2cosα，2sinα），Z2（2cosβ，2sinβ），0≤α＜2π，0≤β＜2π， 由|Z1Z2|＝4，得， 整理得cos（α﹣β）＝﹣1，∵0≤α＜2π，0≤β＜2π， ∴﹣2π＜α﹣β＜2π，可得α﹣β＝±π， ，， 则（2cosα+1）2cosβ+2sinα（2sinβ﹣3） ＝4cosαcosβ+4sinαsinβ+2cosβ﹣6sinα＝4cos（α﹣β）+2cosβ﹣6sinα ＝﹣4+2cos（±π+α）﹣6sinα＝﹣4﹣6sinα﹣2cosα（tan）， ∴的最大值为． 故答案为：． 36．若z∈C且|z|＝1，则|z﹣1﹣2i|的最小值是 　　 ． 【答案】． 【解析】设z＝x+yi，（x，y∈R）， ∵|z|＝1， ∴x2+y2＝1，其几何意义为圆心为（0，0），半径为1的圆， ∴|z﹣1﹣2i|＝|x﹣1+（y﹣2）i|的最小值为圆心到点（1，2）的距离减去半径，即． 故答案为：． 37．已知z∈C，且|z﹣i|＝1，i为虚数单位，则|z﹣3﹣5i|的最大值是 　6　 ． 【答案】6 【解析】根据复数模的几何意义，可知|z﹣i|＝1的轨迹是以C（0，1）为圆心，r＝1为半径的圆， ∵|z﹣3﹣5i|表示圆上的点到A（3，5）的距离， ∴|z﹣3﹣5i|的最大值是|CA|+r＝5+1＝6， 故答案为：6． 38．设复数z满足|z|＝1，且使得关于x的方程zx2+2x+3＝0有实根，则这样的复数z的和为 　 　 ． 【答案】 【解析】设z＝a+bi（a，b∈R）， 由|z|＝1得，a2+b2＝1， zx2+2x+3＝0， 则（a+bi）x2+2（a﹣bi）x+3＝0， 即ax2+2ax+3+（bx2﹣2bx）i＝0， 所以， 若b＝0，则a＝1或a＝﹣1， 检验得，a＝1时，得x＝﹣1（舍）， 当a＝﹣1时，x＝1或x＝﹣3，z＝﹣1， 当b≠0时，得x＝0或x＝2， 当b≠0，x＝0时，此时x不存在， 当b≠0，x＝2时，a，b， 此时zi， 故﹣1． 故答案为：． 39．已知k+2个两两互不相等的复数z1、z2、…、zk、w1、w2，满足，且|wj﹣za|∈{1，3}（其中j＝1、2；a＝0、1、2、…、k），则k的最大值为 　 　 ． 【答案】5 【解析】设w1＝a+bi，w2＝c+di（a，b，c，d∈R）， ∵，∴（）•（w1﹣w2）＝4，即（（a﹣b）﹣（c﹣d）i）（（a﹣b）+（c﹣d）i）＝4， 即（a﹣b）2+（c﹣d）2＝4，故w1、w2对应平面内距离为2的点，如图F、G， ∵|wj﹣za|∈{1，3}，∴za与w1、w2对应的点的距离为1或3， 构成了点A、B、C、D、E共5个点， 故k的最大值为5， 故答案为：5． 40．已知复数z1，z2满足，则|z2﹣2i|的最大值为 　 　 ． 【答案】． 【解析】设复数z1＝a+bi，a，b∈R，由已知条件得a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i， 整理得3a﹣bi＝3﹣i，于是3a＝3，﹣b＝﹣1，即a＝1，b＝1，z1＝1+i， 由|z2﹣z1|＝1，可知复平面内表示复数z2的对应点在以表示复数z1的对应点（1，1）为圆心，1为半径的圆上， |z2﹣2i|表示这个圆上的点到表示复数2i的对应点（0，2）的距离， 距离的最大值是． 故答案为：． 41．已知复数z1，z2满足z1＝iz2且，则对于任意的复数z，的最小值为　 　 ． 【答案】． 【解析】设z1＝a+bi（a，b∈R），根据题意可知，， 所以，， 根据对称性，不妨取z1＝1，z2＝﹣i， 则|z﹣z1|，|z﹣z2|，|z+z2|的几何意义为复平面中到点A（1，0），B（0，﹣1），C（0，1）的距离， ∴， 如图，将△ACP顺时针旋转90°得到△ADE，D（2，1）， 则AP⊥AE，AP＝AE，所以， 又△ACP≅△ADE，所以PC＝ED， 所以． 故答案为：． 42．已知平面向量，将绕点O逆时针方向旋转β得到向量，在复平面内，向量对应的复数为Z1＝cosα+isinα，记复数Z2＝cosβ+isinβ，向量对应的复数为ω，下列说法正确的是　 　 .（填正确说法的序号）． ①点Q（cosαcosβ+sinαsinβ，sinαcosβ+cosβsinα） ②|ω|＝|Z1|•|Z2| ③ω＝Z1•Z2 ④若，则 【答案】②③④． 【解析】对于①，因为Z1＝cosα+isinα， 所以， 所以P，Q在单位圆上，所以P（cosα，sinα）， 设Q（x，y），由三角函数的定义，可得cos（α+β）＝x，sin（α+β）＝y， 所以Q（cos（α+β），sin（α+β）），即Q（cosαcosβ﹣sinαsinβ，sinαcosβ+cosαsinβ），故①错误； 对于②，因为Q（cosαcosβ﹣sinαsinβ，sinαcosβ+cosαsinβ）所以ω＝cos（α+β）+isin（α+β）， 所以 ， 又因为， 所以|ω|＝|Z1|•|Z2|，故②正确； 对于③，Z1×Z2＝（cosα+isinα）×（cosβ+isinβ） ＝cosαcosβ+icosαsinβ+isinαcosβ+i2sinαsinβ ＝（cosαcosβ﹣sinαsinβ）+i（cosαsinβ+sinαcosβ） ＝cos（α+β）+isin（α+β）＝ω，故③正确； 对于④，当时，Z1＝cos0+isin0＝1， ，， 所以，故④正确． 故答案为：②③④． 43．已知复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝2，，则|z1+z2|的值为 　 　 ． 【答案】． 【解析】记对应的复数为z1，对应的复数为z2， ∵|z1|＝1，|z2|＝2，， ∴， 即， 则1﹣2+4＝3， 可得|z1+z2|． 故答案为：． 四．解答题 44．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（z1，z2）（其中z1，z2∈C）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，（3，4），i为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量． ①已知对于任意两个平面向量，，（其中x1，x2，y1，y2∈R），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当 时，称复向量与平行．若复向量与（i，z）平行（其中i为虚数单位，z∈C），求复数z． 【答案】（1）；5； （2）①见证明；②zi． 【解析】（1）由题意，||，||5； （2）①设（a+bi，c+di），（e﹣fi，g﹣hi）， ||×||， 则||＝|ae﹣bf+cg﹣dh+（ch+dg+be+af）i| 由于（a2+b2+c2+d2）（e2+f2+g2+h2）﹣（ae﹣bf+cg﹣dh）2（ch+dg+be+af）2 ＝（ag﹣ce）2+（df﹣bh）2+（ah+de）2+（cf+bg）2﹣2（bceh+bdeg+acfh+adfg） ≥2（ag﹣ce）（df﹣bh）+2（ah+de）（cf+bg）﹣2（bceh+bdeg+acfh+adfg）＝0， 所以||≤||×||； ②设z＝（a+bi），结合①得||， ||×||， 令7+7（a2+b2）＝5（a2+b2）+2（3a﹣b）+2，化简得（a）2+（b）2＝0， 即a，b，zi． 45．对于任意的复数z＝x+yi（x，y∈R），定义运算P（z）＝x2[cos（yπ）+isin（yπ）]． （1）集合A＝{ω|ω＝P（z），|z|≤1，Rez，Imz均为整数}，试用列举法写出集合A； （2）若z＝2+yi（y∈R），P（z）为纯虚数，求|z|的最小值； （3）直线l：y＝x﹣9上是否存在整点（x，y）（坐标x，y均为整数的点），使复数z＝x+yi经运算P后，P（z）对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 【解析】（1） 由于x，y∈Z，得 ∴P（±1）＝1，P（±i）＝0，P（0）＝0， ∴A＝{0，1}． （2）若z＝2+yi（y∈R），则P（z）＝4[cos（yπ）+isin（yπ）] 若P（z）为纯虚数，则，∴， ∴|z|， ∴当k＝0或﹣1时，|z|min． （3）P（z）对应点坐标为（x2cos（yπ），x2sin（yπ）） 由题意，得x2sin（xπ﹣9π）＝x2cos（xπ﹣9π）﹣9 ∴x2sinxπ＝x2cosxπ+9，∵x∈Z， ∴①当x＝2k，k∈Z时，得x2+9＝0不成立； ②当x＝2k+1，k∈Z时，得x2﹣9＝0，∴x＝±3成立， 此时或 ， 故满足条件的整点为（3，﹣6）和（﹣3，﹣12）． 46．已知复数z＝1﹣2i． （Ⅰ）求|z|； （Ⅱ）若，求z1； （Ⅲ）若|z2|，且zz2是纯虚数，求z2． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）i； （Ⅲ）z2＝2﹣i或z2＝﹣2+i． 【解析】（Ⅰ）∵复数z＝1﹣2i， ∴； （Ⅱ）∵复数z＝1﹣2i， ∴； （Ⅲ）设z2＝a+bi， ∵， ∴a2+b2＝5①， 又∵zz2＝（1﹣2i）（a+bi）＝（a+2b）+（b﹣2a）i， ∴a+2b＝0，b﹣2a≠0②， 由①②联立，解得或， ∴z2＝2﹣i或z2＝﹣2+i． 47．设复数z1＝1﹣ai（a∈R），z2＝3﹣4i． （1）若z1+z2是实数，求z1•z2； （2）若是纯虚数，求z1． 【解析】（1）由z1＝1﹣ai，z2＝3﹣4i，得z1+z2＝4﹣（4+a）i，而z1+z2是实数， 于是4+a＝0，解得a＝﹣4， 所以z1•z2＝（1+4i）（3﹣4i）＝19+8i． （2）依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 48．已知A（3，m），B（2，1），C（﹣2，1），D（n，﹣2）是复平面内的四个点，其中m，n∈R，且向量，对应的复数分别为z1，z2，且z1﹣z2＝﹣6+2i． （1）求z1，z2； （2）若复数，t∈R，在复平面内对应的点Z在第四象限，求实数t的取值范围． 【答案】（1）z1＝﹣5﹣i，z2＝1﹣3i，（2）（2，）． 【解析】（1）由已知可得（﹣5，1﹣m），n﹣2，﹣3）， 则z1＝﹣5+（1﹣m）i，z2＝n﹣2﹣3i， 所以z1﹣z2＝﹣3﹣n+（4﹣m）i＝﹣6+2i，则，解得m＝2，n＝3， 所以z1＝﹣5﹣i，z2＝1﹣3i， （2）因为z 在复平面内对应的点在第四象限，则， 解得，即实数t的范围为（2，）． 49．已知复数z满足z（1+i）＝2i，O为坐标原点，复数z在复平面内对应的向量为． （1）求|z+3﹣4i|； （2）若向量绕O逆时针旋转得到对应的复数为z′，求z•z′； （3）若z是方程x2+ax+b＝0（a∈R，b∈R）的一个根，求a+b的值． 【答案】（1）5； （2）﹣2； （3）0． 【解析】（1）由z（1+i）＝2i，可得， ∴； （2）又因为z＝1+i，由复数的几何意义， 向量绕原点O逆时针旋转得到的， 则向量对应的复数为z′＝﹣1+i， 则z•z′＝（1+i）•（﹣1+i）＝﹣2； （3）由（1）知z＝1+i，则， ∵z是方程x2+ax+b＝0（a∈R，b∈R）的一个根， 由实系数一元二次方程虚根成对出现的性质可知，z都是方程x2+ax+b＝0（a∈R，b∈R）的根， ∴由韦达定理可得， 解得， ∴a+b＝0． 50．（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z）i（i为虚数单位） （Ⅱ）设z是虚数，ω＝z是实数，且﹣1＜ω＜2． （1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）设，求证：μ为纯虚数； （3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值． 【解析】（Ⅰ）原方程等价为|z|2+（z）i1﹣i， 设z＝x+yi，x，y∈R， 代入方程整理得x2+y2+2xi＝1﹣i，得得，即z±i． （Ⅱ）（1）z＝a+bi，a，b∈R且b≠0， 则ω＝za+bi（a）+（b）i， ∵ω＝z是实数，∴b0，得10，即a2+b2＝1，即|z|＝1， 则ω＝z2a∈（﹣1，2）， ∴a∈（，1）． （2）证明：， 由（1）知a2+b2＝1，则μi， ∵a∈（，1）．b≠0，∴μ是纯虚数． （3）ω﹣μ2＝2a2a2a2a﹣12[（a+1）]﹣3， ∵a∈（，1），∴a+1＞0， ∴（a+1）22，当且仅当a+1，即a＝0时取等号， 即ω﹣μ2＝2[（a+1）]﹣3≥2×2﹣3＝1， 即ω﹣μ2的最小值为1 51．已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）． （1）求实数m及|z|； （2）设复数，且复数z1对应的点在第二象限，求实数a的取值范围． 【解析】（1）∵z＝1+mi， ∴， ∴， ∵为纯虚数， ∴，解得m＝﹣3， 故z＝1﹣3i，则； （2）∵i2023＝i4×505+3＝i3＝﹣i， ∴， ∵复数z1所对应的点在第二象限， ∴，解得， 故实数a的取值范围为． 52．已知O为坐标原点，向量分别对应复数z1，z2，且，（a∈R）．若是实数． （1）求实数a的值； （2）求以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的面积． 【解析】（1）由，得（10﹣a2）i， 则 z2[（a2﹣10）+（2a﹣5）]i的虚部为0， ∴a2+2a﹣15＝0． 解得：a＝﹣5或a＝3． 又∵a+5≠0，∴a＝3． （2）由（1）可得：z1i，z2＝﹣1+i， 可得：（ ，1），（﹣1，1）， 可得：||，||， ∴cos（，）， ∴sin（，）， ∴S＝||||sin（，）． 53．在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C，对应复数分别为0，2+i，﹣1+3i． （1）求，及，； （2）设∠OCB＝θ，求cosθ． 【解析】（1）∵， ∴所对应的复数z1＝（2+i）+（﹣1+3i）＝1+4i， ∴，． ∵， ∴所对应的复数z2＝（2+i）﹣（﹣1+3i）＝3﹣2i， ∴，； （2）由题意，， ∵，， ∴，，． ∴． 54．已知复数z满足z﹣i和均为实数． （1）求复数z； （2）若z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1）z＝2+i； （2）p＝﹣4，q＝5． 【解析】（1）设z＝a+bi（a，b∈R）， 则z﹣i＝a+（b﹣1）i，， 由z﹣i和均为实数，得，解得． ∴z＝2+i； （2）由（1）知，z＝2+i， 又z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个虚根，则是方程x2+px+q＝0的另一个虚根， ∴，即p＝﹣4，q＝5． 55．已知复数z＝1﹣i（其中i为虚数单位）． （1）若z+z0＝zz0，求复数； （2）若方程x2﹣tx+2＝0的一个解为z，求实数t的值． 【答案】（1）1﹣i；（2）2． 【解答】（1）由z+z0＝zz0，可得，所以1﹣i； （2）z＝1﹣i是关于x的方程x2﹣tx+2＝0一个虚根， 则（1﹣i）2﹣t（1﹣i）+2＝0， 即﹣2i﹣t+ti+2＝0， 解得． 56．已知复数z＝1+bi（b∈R，i为虚数单位），是纯虚数． （1）求复数z； （2）若复数z1＝2z﹣1是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，求实数m和n的值． 【答案】（1）z＝1+i； （2）m＝﹣2，n＝5． 【解析】（1）∵z＝1+bi， ∴， 由是纯虚数，可得，解得b＝1， 则z＝1+i； （2）由（1）得，z1＝2z﹣1＝2（1+i）﹣1＝1+2i， ∵复数z1＝2z﹣1是关于x的方程x2+mx+n＝0的根， ∴1﹣2i是方程x2+mx+n＝0的另一个根， 则，解得m＝﹣2，n＝5． 57．类比高中函数的定义，引入虚数单位i，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数，x∈C且x≠i，n∈N*． （1）当n＝1时，解关于x的方程：f（x+i）＝1； （2）当n＝2时， ①若|x﹣i|＝1，求f（x）的最小值． ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数x和实数M，使得f（x﹣5﹣11i）≥M恒成立，求|x|的取值范围． 【答案】（1）；（2）①f（x）min＝﹣2；②|x|∈[12，14]． 【解析】（1）当n＝1时，， 则． 由，整理得x2﹣x+1＝0，解得． （2）①令x﹣i＝a+bi（a，b∈R，且a2+b2≠0）， ∵|x﹣i|＝1，∴a2+b2＝1． ＝（a2﹣b2+2abi）+（a2﹣b2﹣2abi） ＝2（a2﹣b2）． ∵b2＝1﹣a2，∴f（x）＝2[a2﹣（1﹣a2）]＝2（2a2﹣1）． ∵0≤a2≤1，∴当a2＝0时，f（x）min＝﹣2． ②当n＝2时，， 令x﹣5﹣12i＝a+bi（a≠0且b≠0，a，b∈R）， 则 i． ∵f（x﹣5﹣11i）≥M恒成立， ∴，即a2+b2＝1， 所以|x﹣5﹣12i|＝1， 所以复数x到（5，12）的距离为1，其轨迹为以（5，12）为圆心，半径为1的圆上． 则|x|∈[12，14]． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难拓展专题：复数专题复习讲义 知识梳理 一、复数的基本概念 1. 定义：形如的数叫做复数，为实部，为虚部，虚数单位。 2. 分类 实数： 虚数： 纯虚数：且 3. 复数相等：且 4. 共轭复数：若，则，满足。 5. 复数的模：，表示复平面内对应点到原点的距离。 二、复数的四则运算 设 1. 加减： 2. 乘法： 3. 除法：（分母实数化） 的周期性： 5. 复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤． 6. 常用公式 ； ； ． 三、复数的几何意义 1. 一一对应： 2. 距离公式：表示复平面内两点间的距离 3. 轨迹：表示以对应点为圆心，为半径的圆 四、常用结论 1. 2. 3. 实系数一元二次方程，时，虚根成对且互为共轭复数。 典例精讲 题型一 复数的基本概念与分类 例题1下列关于复数的说法一定正确的是（    ） A．是虚数 B．存在x使得是纯虚数 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 变式1对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 变式2复数的虚部是（    ） A．1 B．-2 C．-2i D．2 例题2如果复数是纯虚数,则实数=   (    ) A． B． C． D． 变式1若复数是纯虚数，则实数的值是 . 变式2若复数为纯虚数，则实数 . 题型二 复数相等与待定系数法 例题1设，其中a，b是实数，则（    ） A． B． C． D． 变式1若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 变式2若，其中a，，是虚数单位，则（    ） A．2 B． C．3 D．5 例题2设复数z满足，且z的实部小于虚部，则（    ） A． B． C． D． 变式1已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 变式2设复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 题型三 共轭复数 例题1已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则________ A． B． C． D． 变式1（2025·青岛·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 变式2已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　) A．－3－I B．－3＋i C．3＋i D．3－i 例题2复数，在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式2（24-25高一下·武汉·期中）已知复数，则的共轭复数等于（    ） A．0 B． C． D． 题型四 复数的模 例题1在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（    ） A．3 B． C．2 D． 变式1（24-25高一下·宁波·期末）已知复数，则 ， ． 变式2已知复数，其中是虚数单位，则的模是 . 例题2已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 变式1复数满足，则（    ） A． B． C． D．或 变式2在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 题型五 复数的四则运算（基础） 例题1若复数，，则（    ） A． B． C． D． 变式1已知复数，则（    ） A． B． C． D．0 变式2（2025高一下·长沙·期中）复数等于（    ） A． B． C． D． 例题2计算：(1)(3＋2i)＋(－2)i； (2)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)． 变式1复数z在复平面内对应的点为，则复数（    ） A． B． C． D． 变式2在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则（　　） A． B． C． D． 题型六 周期性与运算规律 例题1计算： 变式1（多选）已知复数为虚数单位），则下列说法错误的是　　 A．的实部为2 B．的虚部为1 C． D． 变式2已知复数为虚数单位），则________ 题型七 复数的几何意义（复平面） 1． 例题1复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 变式1在复平面内，下列复数中对应的点在第四象限的是（    ） A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 变式2已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题2 已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1若复数z满足，则在复平面内对应的点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 变式2已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型八 复数加减的几何意义 例题1在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 变式1在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（    ） A． B．5 C．2 D．10 变式2在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 例题2已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式1如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ） A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0 C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 变式2（多选）已知复数和对应的向量分别是，向量对应的复数记为z，则（   ） A． B． C． D． 题型九 复数的模与轨迹（圆/线段） 1． 例题1设复数满足，则的最大值为　　 A． B． C．2 D．3 变式1 复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2已知复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3设，则，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型十 根据运算结果求参数 例题1已知复数 的实部与虚部的和为12，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1已知是实数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 变式2已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（   ） A． B．6 C．－6 D． 题型十一 复数范围内因式分解 例题1利用公式，把下列各式分解为一次因式的乘积： (1)； (2)； 变式1在复数范围内分解因式： (1)；(2)； 变式2请在复数范围内分解因式 (1)； (2)． 题型十二 复数范围内方程的根 例题1是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 变式1若复数是关于的一元二次方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式2已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则 . 一．选择题 1．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z在复平面上所对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在复平面内，复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．复数的虚部为（　　） A． B． C． D． 4．复数（其中i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．复数z满足为实数，则z的实部为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．i 6．若复数z＝i+i2+i3+…+i2026（其中i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 7．已知复数（i为虚数单位），则z2+z等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 8．在复平面内，复数z＝（a+3i）（1﹣i）（a∈R）对应的点恰好位于第四象限，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣3，3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，3） 9．已知i为虚数单位（i2＝﹣1），下列各式的运算结果中，虚部为1的是（　　） A．（1+i）+（1﹣i） B．（1+i）﹣（1﹣i） C．（1+i）（1﹣i） D． 10．已知，其中i为虚数单位，则（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 11．已知复数z＝2+i，设在复平面内对应的向量分别为，则（　　） A． B．3 C．5 D．3+2i 12．已知复数z＝2+3i，i为虚数单位，则（　　） A．13 B．5 C．﹣5 D．﹣5i 13．已知，则（　　） A． B． C． D． 14．在复平面内，复数（a﹣2i）（2﹣i）（a∈R）对应的点不可能位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．已知复数z＝3+2i，则（　　） A． B． C． D． 16．已知z•i＝|1﹣i|2（i为虚数单位），则z＝（　　） A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i 17．若复数z满足（1﹣z）i＝1+z（i为虚数单位），则z的虚部是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 18．若复数，则|z+1|＝（　　） A．0 B．1 C． D． 19．已知复数z＝﹣i，则|z2025﹣z2026|＝（　　） A．2 B． C．1 D．0 20．若x+i3＝1+yi，x，y∈R，则x﹣y＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 21．若复数z满足，则z＝（　　） A． B． C． D． 22．已知复数z1＝1+2i，z2＝a+4i（a∈R，i为虚数单位），则“a＝2”是“|z1+z2|＝|z1|+|z2|”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．若复数z满足，则z的实部与虚部之和为（　　） A． B． C． D． 24．若，则|z|＝（　　） A．1 B． C． D．2 25．已知复数z1＝2+i，z2＝a﹣i（a∈R），i为虚数单位，若复数z1﹣z2为纯虚数，则实数a的值为（　　） A．1 B．0 C．2 D．﹣2 二．多选题 （多选）26．若复数z＝﹣1﹣4i，则下列结论正确的是（　　） A．z的虚部为﹣4i B．z的共轭复数为﹣1+4i C． D． （多选）27．已知复数，则（　　） A．z3的虚部是﹣2 B．|z3|＝|z4| C． D． （多选）28．已知复数z1，z2≠0，以下复数运算一定成立的是（　　） A．|z1z2|＝|z1||z2| B． C． D．|z|2＝z2 （多选）29．已知复数z1，z2，则下列命题正确的有（　　） A．若，则z1＝z2＝0 B．若z1＝iz2，则|z1|＝|z2| C．若，则 D．若|z1|＝|z2|，则 （多选）30．已知复数z1＝1+i，z2＝x+yi（x，y∈R），则下列结论正确的是（　　） A．若，则z2为纯虚数 B．若，则z2在复平面内对应的点位于第一象限 C．若|z2﹣z1|＝1，则 D．若z1，z2为方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的两虚根，则a＝b＝2 （多选）31．已知i为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（　　） A．z1的三角形式为 B．若，则实数a的值为3 C．|z1|，|z2|，……，|z2025|中有44个正整数 D．|z2025﹣z2026|＜|z2026﹣z2027| （多选）32．任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），，θ∈[0，2π）．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]（　　） A． B．ω0是方程ω3＝1的虚数根，则 C．|z|＝1，则|z2+z+1|的范围为 D．满足z2025＝（z+1）6＝1的复数z有且只有2个 三．填空题 33．若z1＝3﹣2i，z2＝i+1，则|z1﹣z2|＝　 　 ． 34．复数z1，z2满足|z1﹣1|＝|z1+i|，|z2﹣2|＝1，则|z1﹣z2|的最小值为 　 　 ． 35．在复平面中，已知点A（﹣1，0）、B（0，3），复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，且满足|z1|＝|z2|＝2，|Z1Z2|＝4，则的最大值为 　 　 ． 36．若z∈C且|z|＝1，则|z﹣1﹣2i|的最小值是 　　 ． 37．已知z∈C，且|z﹣i|＝1，i为虚数单位，则|z﹣3﹣5i|的最大值是 　6　 ． 38．设复数z满足|z|＝1，且使得关于x的方程zx2+2x+3＝0有实根，则这样的复数z的和为 　 　 ． 39．已知k+2个两两互不相等的复数z1、z2、…、zk、w1、w2，满足，且|wj﹣za|∈{1，3}（其中j＝1、2；a＝0、1、2、…、k），则k的最大值为 　 　 ． 40．已知复数z1，z2满足，则|z2﹣2i|的最大值为 　 　 ． 41．已知复数z1，z2满足z1＝iz2且，则对于任意的复数z，的最小值为　 　 ． 42．已知平面向量，将绕点O逆时针方向旋转β得到向量，在复平面内，向量对应的复数为Z1＝cosα+isinα，记复数Z2＝cosβ+isinβ，向量对应的复数为ω，下列说法正确的是　 　 .（填正确说法的序号）． ①点Q（cosαcosβ+sinαsinβ，sinαcosβ+cosβsinα） ②|ω|＝|Z1|•|Z2| ③ω＝Z1•Z2 ④若，则 43．已知复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝2，，则|z1+z2|的值为 　 　 ． 四．解答题 44．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（z1，z2）（其中z1，z2∈C）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，（3，4），i为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量． ①已知对于任意两个平面向量，，（其中x1，x2，y1，y2∈R），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当 时，称复向量与平行．若复向量与（i，z）平行（其中i为虚数单位，z∈C），求复数z． 45．对于任意的复数z＝x+yi（x，y∈R），定义运算P（z）＝x2[cos（yπ）+isin（yπ）]． （1）集合A＝{ω|ω＝P（z），|z|≤1，Rez，Imz均为整数}，试用列举法写出集合A； （2）若z＝2+yi（y∈R），P（z）为纯虚数，求|z|的最小值； （3）直线l：y＝x﹣9上是否存在整点（x，y）（坐标x，y均为整数的点），使复数z＝x+yi经运算P后，P（z）对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 46．已知复数z＝1﹣2i． （Ⅰ）求|z|； （Ⅱ）若，求z1； （Ⅲ）若|z2|，且zz2是纯虚数，求z2． 47．设复数z1＝1﹣ai（a∈R），z2＝3﹣4i． （1）若z1+z2是实数，求z1•z2； （2）若是纯虚数，求z1． 48．已知A（3，m），B（2，1），C（﹣2，1），D（n，﹣2）是复平面内的四个点，其中m，n∈R，且向量，对应的复数分别为z1，z2，且z1﹣z2＝﹣6+2i． （1）求z1，z2； （2）若复数，t∈R，在复平面内对应的点Z在第四象限，求实数t的取值范围． 49．已知复数z满足z（1+i）＝2i，O为坐标原点，复数z在复平面内对应的向量为． （1）求|z+3﹣4i|； （2）若向量绕O逆时针旋转得到对应的复数为z′，求z•z′； （3）若z是方程x2+ax+b＝0（a∈R，b∈R）的一个根，求a+b的值． 50．（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z）i（i为虚数单位） （Ⅱ）设z是虚数，ω＝z是实数，且﹣1＜ω＜2． （1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）设，求证：μ为纯虚数； （3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值． 51．已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）． （1）求实数m及|z|； （2）设复数，且复数z1对应的点在第二象限，求实数a的取值范围． 52．已知O为坐标原点，向量分别对应复数z1，z2，且，（a∈R）．若是实数． （1）求实数a的值； （2）求以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的面积． 53．在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C，对应复数分别为0，2+i，﹣1+3i． （1）求，及，； （2）设∠OCB＝θ，求cosθ． 54．已知复数z满足z﹣i和均为实数． （1）求复数z； （2）若z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值． 55．已知复数z＝1﹣i（其中i为虚数单位）． （1）若z+z0＝zz0，求复数； （2）若方程x2﹣tx+2＝0的一个解为z，求实数t的值． 56．已知复数z＝1+bi（b∈R，i为虚数单位），是纯虚数． （1）求复数z； （2）若复数z1＝2z﹣1是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，求实数m和n的值． 57．类比高中函数的定义，引入虚数单位i，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数，x∈C且x≠i，n∈N*． （1）当n＝1时，解关于x的方程：f（x+i）＝1； （2）当n＝2时， ①若|x﹣i|＝1，求f（x）的最小值． ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数x和实数M，使得f（x﹣5﹣11i）≥M恒成立，求|x|的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $