第六章计数原理专题--排列组合讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学排列组合专题复习讲义通过知识框架图系统梳理核心内容，涵盖投信问题、分组分配问题、相邻不相邻问题、组数问题、涂色问题、几何问题及名额问题七大专题，按问题类型构建知识脉络，清晰呈现各题型内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于例题与变式训练的分层设计，如分组分配问题中对比非均匀分组、定向分配等不同情形，培养学生数学思维与模型意识。基础题巩固方法，综合题提升能力，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供支持。

排列组合专题 一、知识梳理 1. 投信问题 2. 分组分配问题 3. 相邻不相邻问题 4. 组数问题 5. 涂色问题 6. 几何问题 7名额问题 二、类型应用 （1） 投信问题 【例1】（24-25高二下·天津西青·期末）学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 变式训练： 1.（24-25高二下·天津滨海新·期中）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（    ） A．24 B．120 C．625 D．1024 2.（24-25高二下·天津河西·期中）根据天津市高考政策，高一2班李想同学要在第二学期结束前完成高考选科，即在物理、化学、生物学、历史、地理和思想政治这6门等级性考试科目中选择3门参加考试，他要报考武汉大学的金融学专业，并且在刚刚发布的《2027年拟在津招生高等学校专业选考科目要求目录》中明确指出此高校专业的选考科目要求是历史学科，再综合自己的学习特点，必须选择物理和化学学科其中的1门，满足上述条件的选科方法数为_____种. 3.（24-25高二下·山东泰安·期中）乘积展开后的项数为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 （2） 分组分配问题 【例2】（2026高三·全国·专题练习）将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 变式训练： 4.（2026·山东烟台·一模）某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 5.（24-25高二下·湖北武汉·月考）由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（    ）种 A．540 B．684 C．756 D．792 6．（22-23高二下·天津·期中）现将甲乙丙丁四个人全部安排到市､市､市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到市工作的安排种数为（    ） A．12 B．14 C．18 D．22 7.（24-25高二下·天津西青·期中）天津某中学在学校发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为_________. （3） 相邻不相邻问题 【例3】（23-24高二上·天津南开·期中）6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示） (1)其中甲、乙必须相邻； (2)其中甲、乙、丙3人两两不相邻； (3)其中甲不站排头，乙不站排尾； (4)其中甲、乙中间有且只有1人； (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）． 变式训练： 8.（24-25高二下·天津滨海新区·期中）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？ (3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？ (4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？ 9.（24-25高二下·天津·期中）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生. (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法? (2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种? (3)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法? 10.（24-25高二下·天津滨海新区·期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 11．（24-25高二·全国·课堂例题）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“雨水”与“谷雨”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（    ） （    ） A．24 B．48 C．144 D．240 12.（24-25高二下·天津西青·期末）据典籍《周礼·春官》记载， “宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为____________种.(用数字作答) （4） 组数问题 【例4】（24-25高二下·天津滨海新·月考）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有______个（用数字作答） 变式训练： 13.（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）从这五个数字中任取个组成无重复数字的三位数，其中奇数个数为（    ） A． B． C． D． 14.（24-25高二上·江西·月考）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答） 15．（22-23高二下·天津·期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个． （5） 涂色问题 【例6】（24-25高二下·天津西青·月考）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（    ）种 A．72 B．48 C．360 D．420 变式训练： 16.（24-25高二下·天津和平·期中）如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有________种不同的着色方法.(用数字作答) 17．（24-25高二下·天津东丽·月考）现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（   ）    A．420 B．340 C．260 D．120 （6） 几何问题 【例6】（24-25高二下·广东汕头·期末）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．66 C．62 D．58 变式训练： 18.（22-23高二上·上海宝山·期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 （七）名额问题 【例7】（24-25高二下·上海浦东新·期中）有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有__________种. 学科网（北京）股份有限公司 $ 排列组合专题 一、知识梳理 1. 投信问题 2. 分组分配问题 3. 相邻不相邻问题 4. 组数问题 5. 涂色问题 6. 几何问题 7名额问题 二、类型应用 （1） 投信问题 【例1】（24-25高二下·天津西青·期末）学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意可知每人均有3种菜品可供选择，结合分步乘法计数原理即可得结果. 【详解】由题意可知：每人均有3种菜品可供选择， 所以选法的可能方式共有种. 故选：B. 变式训练： 1.（24-25高二下·天津滨海新·期中）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（    ） A．24 B．120 C．625 D．1024 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】对于甲来说，有种借阅可能，同理，每人都有种借阅可能， 根据分步乘法计数原理可得共有种可能. 故选：D 2.（24-25高二下·天津河西·期中）根据天津市高考政策，高一2班李想同学要在第二学期结束前完成高考选科，即在物理、化学、生物学、历史、地理和思想政治这6门等级性考试科目中选择3门参加考试，他要报考武汉大学的金融学专业，并且在刚刚发布的《2027年拟在津招生高等学校专业选考科目要求目录》中明确指出此高校专业的选考科目要求是历史学科，再综合自己的学习特点，必须选择物理和化学学科其中的1门，满足上述条件的选科方法数为_____种. 【答案】6 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算. 【详解】依题意，历史科必选，物理、化学选择1门有2种方法， 再从生物学、地理、思想政治中选择1门有3种方法， 所以不同的选科方法数为（种）. 故答案为：6 3.（24-25高二下·山东泰安·期中）乘积展开后的项数为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、其他计数模型 【分析】分析每个括号组成情况，采用分步乘法计数原理进行计算即可. 【详解】从第一个括号中选一个字母有3种方法， 从第二个括号中选一个字母有2种方法， 第三个括号中选一个字母有4种方法， 故根据分步乘法计数原理可知共有（项）． 故选：D （2） 分组分配问题 【例2】（2026高三·全国·专题练习）将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 【答案】(1)60 (2)60 (3)360 (4)90 (5)15 【知识点】分组分配问题 【分析】（1）根据组合的定义，结合分步计数原理进行求解即可； （2）根据（1）中的结论进行求解即可； （3）根据（1）中的结论，结合排列的定义进行求解即可 （4）根据组合的定义，结合分步计数原理进行求解即可； （5）根据组合和排列的定义进行求解即可. 【详解】（1）先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）； （2）分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）． （3）分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）； （4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有=90种方法． （5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．所以＝ ，则(种）. 变式训练： 4.（2026·山东烟台·一模）某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 【答案】B 【知识点】分组分配问题 【分析】先求将名同学分成人数分别为的四组的方法数，再求将组同学分派到4个场次的方法数，根据分步乘法计数原理求结论. 【详解】符合要求的选派方法可分为两步完成， 第一步，将名同学分成人数分别为的四组，该步有种完成方法， 第二步，将组同学分派到4个场次，此步有种完成方法， 由分步乘法计数原理可得符合要求的派法种数为 5.（24-25高二下·湖北武汉·月考）由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（    ）种 A．540 B．684 C．756 D．792 【答案】B 【知识点】排列组合综合、判断事件计数的原理、全排列问题、分组分配问题 【分析】首先分步：先安排医生，再安排护士，其次特殊元素护士甲和护士乙捆绑，即护士名可分为和两类，应用分类和分步计数原理可得总的分配方法. 【详解】先安排医生，再安排护士. 安排医生，方法数有种； 再安排护士，护士名，由于护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，故可分为和两类： 如果是，一共有种， 如果是，又分为若甲乙在人小组中，则有种； 若甲乙在人小组中，则有种， 最后将分好的三组医生、三组护士全排列安排到三个医疗点， 所以一共有种分配方法. 故选：B. 6．（22-23高二下·天津·期中）现将甲乙丙丁四个人全部安排到市､市､市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到市工作的安排种数为（    ） A．12 B．14 C．18 D．22 【答案】D 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】分三种情况，结合排列组合知识进行求解出每种情况下的安排种数，相加即可. 【详解】若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有安排种数，故有种； 若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，丙丁中一人到市工作，有种选择，其余2人到另外两个地方工作，有种选择，故安排种数有种； 若安排甲乙2人都到市工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有种， 故总共有12+8+2=22种. 故选：D 7.（24-25高二下·天津西青·期中）天津某中学在学校发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为_________. 【答案】 【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、排列组合综合 【分析】根据甲参加的社团分类，分甲参加的社团只有1人和参加的社团有2人，再将个组分到四个社团，由分步和分类计数原理即可求解． 【详解】将人分成组，由题可知，有一组必有2人， 若甲单独成组，有种分法，若甲不单独成组，则种分法， 将个组分到四个社团，因为同学甲不参加“生物研启社”，则有种分法， 故不同的参加方法的种数为， 故答案为：. （3） 相邻不相邻问题 【例3】（23-24高二上·天津南开·期中）6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示） (1)其中甲、乙必须相邻； (2)其中甲、乙、丙3人两两不相邻； (3)其中甲不站排头，乙不站排尾； (4)其中甲、乙中间有且只有1人； (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）． 【答案】(1)240 (2)144 (3)504 (4)192 (5)120 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）采用捆绑法，把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素，再和其余4人全排； （2）采用插空法，先排除了甲、乙、丙之外的3人，形成四个空，再进行插空； （3）分两类，第一类甲站排尾，第二类，甲不站排尾，根据分类计数原理可得结果； （4）从另外4人选一人排在甲乙之间，再和另外4人全排； （5）先从6个位置中选3个位置，把甲乙丙按从左到右的顺序排列，再让剩余3人在3个位置全排. 【详解】（1）甲乙相邻，直接将甲乙捆绑，有种排法； （2）将除甲、乙、丙之外的3人进行全排列，有种情况，排好后，有个空位， 在4个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有种情况， 则共有种排法． （3）甲站在排尾时，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有种排法， 甲不站在排尾时，则甲有4个位置可选，有种排法， 乙不能在排尾，也有4个位置可选，有种排法， 剩余4人进行全排列，安排在其他4个位置，有种排法， 此时有种排法； 故甲不站排头，乙不站排尾的排法有种． （4）先将甲、乙全排列，有种情况， 在剩余的4个人中任选1个，安排在甲乙之间，有种选法， 将三人看成一个整体，与其他3人进行全排列，有种排法， 则甲、乙中间有且只有1人共有种排法． （5）在6个位置中任取3个，安排除甲、乙、丙之外的3人，有种排法， 将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有种排法， 则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有种． 变式训练： 8.（24-25高二下·天津滨海新区·期中）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？ (3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？ (4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)576 (2)240 (3)3720 (4)2880 【知识点】不相邻排列问题、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）根据排列中的相邻元素用捆绑法求解即可； （2）根据排列问题的特殊元素优先安排结合分步乘法计数原理求解即可； （3）根据排列问题的特殊元素优先安排分步乘法计数原理求解即可； （4）根据相邻元素捆绑，不相邻元素插空安排，结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）从剩下的2名男生中选一位坐在最后一个座位，有2种排法， 因为男生甲坐第一个，则剩下的5人进行全排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （3）7个人全排列，有种排法， 甲坐第一个有种排法，乙坐第三个有种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有种排法， 所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有种排法； （4）先排4名女生，有种排法， 从3名男生中选出2名男生相邻并看成一个整体，有种选法， 4名女生排好后产生5个空位，把男生整体和另一名男生插入5个空位中，有种插法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法． 9.（24-25高二下·天津·期中）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生. (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法? (2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种? (3)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法? 【答案】(1)20 (2)324 (3)252 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】（1）根据组合直接求解即可， （2）先选人，再将4人分配到3项活动中，结合排列组合即可求解， （3）先求解全部情况，去除掉不符合的情况，由排列组合即可求解. 【详解】（1）所有的不同选法种数，就是从6名学生中选出3人的组合数， 所以选法种数为． （2）从6个学生中选2名男生和2名女生的选法有种， 将所选四人安排参加三项活动的安排方法有种方法， 根据分步计数原理得共有 （3）从6人中任选4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛的安排方法有种方法，其中男生甲被安排到参加数学竞赛的安排方法有种，女生乙被安排到参加物理竞赛的安排方法有种，男生甲参加数学竞赛且女生乙参加物理竞赛的安排方法有种， 所以满足要求的安排方法有种. 10.（24-25高二下·天津滨海新区·期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 【答案】D 【知识点】相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法原理，特殊的先排可得. 【详解】先选男生甲的位置，有2种； 再将两名女生绑定排列有2种，然后与剩余同学全排列有种； 由分步乘法原理可得共有种. 故选：D. 11．（24-25高二·全国·课堂例题）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“雨水”与“谷雨”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（    ） （    ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【知识点】不相邻排列问题、相邻问题的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“惊蛰”“清明”一起排列，再将“雨水”与“谷雨”两块展板插入个空隙中，结合分步乘法计数原理可得. 【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“惊蛰”“清明”一起排列，共有种， 再将“雨水”与“谷雨”两块展板插入个空隙中，有种， 按照分步乘法计数原理可知，不同的放置方式有种. 故选：C. 12.（24-25高二下·天津西青·期末）据典籍《周礼·春官》记载， “宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为____________种.(用数字作答) 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】由插空法，捆绑法结合分步计数原理可得答案. 【详解】先从剩下3个音符中选一个插入“徵”和“羽”之间，有种情况. 再将这3个音符作为整体与剩下2个音符排成1列，有种情况. 故答案为： （4） 组数问题 【例4】（24-25高二下·天津滨海新·月考）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有______个（用数字作答） 【答案】52 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、排列数的计算 【分析】根据给定条件，按个位数字是否为0分类，根据排列计数问题列式，再根据分类计数原理求和即可求解． 【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字， 组成没有重复数字的三位偶数，有两种情况： 第一种，0在个位，有个； 第二种，0不在个位，排个位有种方法，排百位有种方法， 排十位有种方法，此时共有个， 所以符合题意的三位偶数共有个． 故答案为：52 变式训练： 13.（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）从这五个数字中任取个组成无重复数字的三位数，其中奇数个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意，分3步：①，从中取一个排个位，有种安排方法，②，不能在百位，则百位的安排方法有种，③，在剩下的个数中任选个，安排在十位，有种情况，从而求解. 【详解】根据题意，①从中取一个排个位，有种安排方法， ②不能在百位，则百位的安排方法有种， ③在剩下的个数中任选个，安排在十位，有种情况， 故奇数的个数为：. 故选：D. 14.（24-25高二上·江西·月考）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答） 【答案】14 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据给定条件按三位数中是否有0分类，再利用排列组合应用问题列式计算得解. 【详解】将这些“凸数”分为两类：①含数字0，则0一定在个位上，有种； ②不含数字0，则有种， 所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为. 故答案为：14 15．（22-23高二下·天津·期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个． 【答案】216 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】分个位是0或者5两种情况利用排列知识讨论得解. 【详解】当个位是0时，前面四位有种排法，此时共有120个五位数满足题意； 当个位是5时，首位不能是0，所以首位有4种排法，中间三位有种排法，所以此时共有个五位数满足题意. 所以满足题意的五位数共有个. 故答案为216 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. （5） 涂色问题 【例6】（24-25高二下·天津西青·月考）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（    ）种 A．72 B．48 C．360 D．420 【答案】D 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、排列组合综合 【分析】分使用颜色分别为3种、4种和5种3个情况分析计算即可求解. 【详解】当使用颜色为3种时，如图AB区域同色，CD区域同色，则不同的着色方法有种； 当使用颜色为4种时，AB区域同色且CD区域不同色，或AB区域不同色且CD区域同色， 则不同的着色方法有种； 当使用颜色为5种时，各区域颜色均不相同，则不同的着色方法有种； 所以不同的着色方法共有种. 故选：D 变式训练： 16.（24-25高二下·天津和平·期中）如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有________种不同的着色方法.(用数字作答) 【答案】480 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法计数原理即可求解． 【详解】先给地区I染色有6种选择，再给地区II染色有5种选择，然后给地区III染色有4种选择，最后给地区IV染色也有4种选择， 综上所述，满足题意的染色方法共有种． 故答案为：480． 17．（24-25高二下·天津东丽·月考）现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（   ）    A．420 B．340 C．260 D．120 【答案】A 【知识点】涂色问题、其他排列模型、实际问题中的组合计数问题 【分析】讨论同色、同色，、一组同色一组不同色，的颜色互不相同，结合排列组合数求对应涂色方法，应用分类加法求不同涂色方案数. 【详解】若同色、同色，有，此时有3种涂法，共有种， 若同色、不同色，有，此时有种涂法，共有种， 同理同色、不同色也有120种， 若的颜色互不相同，则有种， 综上，共有种. 故选：A （6） 几何问题 【例6】（24-25高二下·广东汕头·期末）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．66 C．62 D．58 【答案】D 【知识点】棱锥的结构特征和分类、几何组合计数问题 【分析】应用组合数求从8个顶点任选4个的情况数，再排除4点共面的情况数，即可得. 【详解】由正方体共有8个顶点，从中任选4个顶点有个，其中有12种情况4点共面（6个侧面，6个对角面）， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个. 故选：D 变式训练： 18.（22-23高二上·上海宝山·期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 【答案】12 【知识点】空间中的点（线）共面问题、几何计数问题 【分析】正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况. 【详解】 从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况， 所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次， 综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种. 故答案为：12 （七）名额问题 【例7】（24-25高二下·上海浦东新·期中）有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有__________种. 【答案】36 【知识点】其他组合计数模型 【分析】应用隔板法结合组合数公式计算求解. 【详解】因为个评优指标没有差别，把他们排成一排．相邻名额之间形成个空隙． 在个空档中选个位置插个隔板，把评优指标分成份，对应地分给3个班级，每一种隔板方法对应一种分法，则有有种分法． 故答案为：36. 学科网（北京）股份有限公司 $