8.2 立体图形的直观图导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.2 立体图形的直观图【导学】【解析】 【导学目标】 1.掌握斜二测画法的步骤 2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图 【导学重点】掌握斜二测画法的步骤. 【导学难点】用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图. 【知识要点】 知识点一、斜二测画法的步骤 1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝450(或1350)，它们确定的平面表示水平面． 2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． 3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半． 知识点二、空间几何体直观图的画法 1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴． 2．画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面． 3．取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中保持原长度都不变． 4．成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 【典型例题】 题型一 概念判断 【例1-1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，判断下列结论的正误，错误的画 “×”，正确的画 “√”。 (1) 相等的线段在直观图中仍然相等。（ ） (2) 平行的线段在直观图中仍然平行。（ ） (3) 一个角的直观图仍是一个角。（ ） (4) 相等的角在直观图中仍然相等。（ ） 【答案】×；√;×；×. 【例1-2】(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是(　　) A． 三角形的直观图仍然是一个三角形 B．90°的角的直观图会变为45°的角 B． 与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 【答案】AD 【例1-3】(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是(　　) A　　　　 B　　 　 C　　　　 D 【答案】ABC 题型二 水平放置的平面图形直观图的画法 【例2-1】（衔接教材P108L1）用斜二测画水平放置的正六边形的直观图. 【答案】略 【例2-2】如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图． 【答案】略 题型三 用斜二测画法画出几何体的直观图 【例3-1】用斜二测画法画出正三棱柱ABC—A′B′C′的直观图． 【解析】(1)画轴．如图，画出x轴，y轴，z 轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．作水平放置的正三角形的直观图△ABC. (3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，使得AA′＝BB′＝CC′. (4)成图．顺次连结A′，B′，C′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图． 【例3-2】用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD­A′B′C'D′的直观图． 【答案】略 题型四 由直观图还原成原图 【例4-1】如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC. 【解析】　(1)过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于点D′，E′. (2)在直角坐标系xOy中，在x轴上取两点E，D，使OE＝O′E′，OD＝O′D′， 再分别过E，D作y轴的平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′，连结OB，OC，BC，并擦掉辅助线及x轴，y轴，即画出原△ABC. 【例4-2】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(　　) A．正方形　　 B．矩形　　　 C．菱形　　　 D．梯形 【答案】C 题型五 与直观图有关的计算 【例5-1】如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.求原四边形ABCD的面积． 【解析】由已知AB=A1B1=2,CD=C1D1=3, 又A1D1∥O′y′，所以原图形是直角梯形 又A1D1＝O′D1＝1，所以直角梯形的高为2 原四边形ABCD的面积为5. 【答案】5 【例5-2】如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积． 【解析】在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm， 所以 又 所以 cm2 其水平放置的直观图的面积． 【例5-3】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　) A．2＋ B． C． D．1＋ 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.2 立体图形的直观图【导学】 【导学目标】 1.掌握斜二测画法的步骤 2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图 【导学重点】掌握斜二测画法的步骤. 【导学难点】用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图. 【知识要点】 知识点一、斜二测画法的步骤 1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝450(或1350)，它们确定的平面表示水平面． 2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段， 在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． 3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半． 知识点二、空间几何体直观图的画法 1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴． 2．画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面． 3．取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中保持原长度都不变． 4．成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 【典型例题】 题型一 概念判断 【例1-1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，判断下列结论的正误，错误的画 “×”，正确的画 “√”。 (1) 相等的线段在直观图中仍然相等。（ ） (2) 平行的线段在直观图中仍然平行。（ ） (3) 一个角的直观图仍是一个角。（ ） (4) 相等的角在直观图中仍然相等。（ ） 【例1-2】(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是(　　) A． 三角形的直观图仍然是一个三角形 B．90°的角的直观图会变为45°的角 C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 【例1-3】(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是(　　) A　　　　 B　　 　 C　　　　 D 题型二 水平放置的平面图形直观图的画法 【例2-1】（衔接教材P108L1）用斜二测画水平放置的正六边形的直观图. 【例2-2】如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图． 题型三 用斜二测画法画出几何体的直观图 【例3-1】用斜二测画法画出正三棱柱ABC—A′B′C′的直观图． 【解析】(1)画轴．如图，画出x轴，y轴，z 轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．作水平放置的正三角形的直观图△ABC. (3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，使得AA′＝BB′＝CC′. (4)成图．顺次连结A′，B′，C′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图． 【例3-2】用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD­A′B′C'D′的直观图． 题型四 由直观图还原成原图 【例4-1】如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC. 【解析】　(1)过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于点D′，E′. (2)在直角坐标系xOy中，在x轴上取两点E，D，使OE＝O′E′，OD＝O′D′， 再分别过E，D作y轴的平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′，连结OB，OC，BC，并擦掉辅助线及x轴，y轴，即画出原△ABC. 【例4-2】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(　　) A．正方形　　 B．矩形　　　 C．菱形　　　 D．梯形 题型五 与直观图有关的计算 【例5-1】如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.求原四边形ABCD的面积． 【例5-2】如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积． 【例5-3】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　) A．2＋ B． C． D．1＋ 学科网（北京）股份有限公司 $