精品解析：山东寿光市第一中学2025-2026学年高二下学期3月份月考数学学科试题

2025-2026学年下学期高二年级3月份月考 数学学科试题 命题人： 审核： 审批： 班级：________________姓名：________________考号：________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合题目要求. 1. 写出数列的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数列分子为，分母为，由此可求得一个通项公式. 【详解】数列， 则其分母为，分子为，则其通项公式为. 故选：B 2. 下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合条件概率的性质和条件概率的公式即可完成判断. 【详解】由条件概率公式知，但是不一定等于，所以选项A错误； 根据条件概率的性质可知，所以选项B错误； 由条件概率公式可得出，所以选项C正确； 由条件概率公式可得出，所以选项D错误. 故选：C 3. 设随机变量服从正态分布.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 所以，解得. 故选：A 4. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用概率分布列性质求出，再求即可. 【详解】依题意，分布列概率之和为1，则，解得. 即，所以. 故选：A. 5. 茶产业不仅是产业发展的新引擎，更是实现乡村振兴的关键力量．某山区农村茶产业合作社统计了村民每户家庭人口数与每户茶产业年收入的情况，已知变量和满足经验回归方程，且变量和一组相关数据统计结果如下表： 每户家庭人口数（人） 3 4 5 6 每户茶产业年收入（万元） 5 8 17 则下列说法错误的是（ ） A. B. 变量和呈正相关 C. 该经验回归方程必过点 D. 若某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为万元 【答案】C 【解析】 【分析】由已知表格中的数据，代入回归直线方程即可求解参数判断A，应用回归直线判断B，C，在回归方程中，将代入，求得值即可判断D. 【详解】由题知，. 代入，得出， 所以，A选项正确； ，变量和呈正相关，B选项正确； 由题知，，该经验回归方程必过点，C选项错误； 当时，， 故当某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为25.7万元，D选项正确； 故选：C 6. 已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B 7. 一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】利用全概率公式以及贝叶斯公式即可求解. 【详解】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”， 由全概率公式得. 又由贝叶斯公式得. 故选：B 8. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意有，解得的取值范围. 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即，即对都成立， 所以． 二、本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，则 B. 已知随机变量，则 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断与独立 D. 若随机变量服从两点分布，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据独立事件概率求法结合事件的运算求解；对于B：根据二项分布的期望公式以及期望的性质运算求解；对于C：根据独立性检验思想分析判断；对于D：根据两点分布的运算求解. 【详解】对于选项A：因为与相互独立，则， 所以，故A错误； 对于选项B：因为随机变量，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 根据的独立性检验原则，可知分类变量与相关，可判断与不独立，故C错误； 对于选项D：若随机变量服从两点分布，且，则，故D正确. 10. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时的最大值是14 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差数列的性质得到，结合从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项和公式，判断各选项． 【详解】根据题意，数列是等差数列，设其公差为， 对于A，等差数列中，易得，又由，则， 故，数列为递减数列，A正确； 对于B，由的结论，，B错误； 对于C，由的结论，且，，可知数列为递减数列，故的最大值为，C正确； 对于D，，， 故使得时的最大值是14，D正确． 11. 甲盒中有4个红球和3个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球.记事件表示从甲盒中取出的小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球，事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件概率公式和组合数可得A；由独立事件的乘法公式结合组合数可得B错误；利用条件概率公式和组合数可得C；由全概率公式结合组合数可得D 【详解】由题意可得，，则，A正确. ，B错误. ，C正确. ，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 数列中的前n项和，则的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据进行求解. 【详解】因为①， 当时，， 当时，②， ①-②得， 经检验，当时，不成立， 所以. 故答案为：. 13. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中女生的人数，则为______ 【答案】 【解析】 【分析】先由题意得到的可能取值为，分别求出其对应概率，进而可求出其期望. 【详解】由题意，的可能取值为 由题中数据可得：， ， ， 所以. 14. 若随机事件在1次试验中发生的概率为，用随机变量表示在1次试验中发生的次数，则方差的最大值为______；的最大值为____________ 【答案】 ①. ##0.25 ②. ## 【解析】 【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合二次函数的最值问题和均值不等式即可求解. 【详解】由题意可得随机变量的所有可能取值为0，1， 并且，， 所以，， 所以当时取得最大值； ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为， 故答案为：； 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． 【小问2详解】 因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 16. 甲､乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局. （1）若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？ （2）若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？ 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】考察二项分布概率的求解方法，需要进行分类讨论 【详解】（1）甲第一､二局胜，或第二､三局胜，或第一､三局胜，则. （2）甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局， 则. 17. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析,0.6 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1求解； （2）根据超几何分布求解概率； （3）利用二项分布求分布列和数学期望. 【小问1详解】 根据频率之和等于1可得， ，解得. 【小问2详解】 由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. 【小问3详解】 由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于 由题可知，随机变量服从二项分布，所以, 所以所有可能的取值有0,1,2， 所以 , 所以分布列如下， 0 1 2 所以的数学期望为. 18. 已知数列的前项和为，若，且． （1）证明：为等差数列，并求及 （2）若，求数列的前20项和． 【答案】（1）证明见解析，， （2） 【解析】 【分析】（1）先对已知条件变形得到，判断为等差数列，求出，再由求出通项公式，并验证是否成立，求出. （2）先求出，进而得到的分段表达式，再分别计算不同段的和得到. 【小问1详解】 由题意可得：， 化简可得：， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，数列前项和为： . 19. 某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. （1）设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； （2）根据（1）结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 【答案】（1）模型的拟合程度更好 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据相关数据分别计算出和y的相关系数和x和v的相关系数，比较大小，即可得结论； （2）根据最小二乘估计公式求出相关参数，即可得答案. 【小问1详解】 令，则可化为， ， 令，则可化为，即， 因为， 所以， 则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好. 【小问2详解】 由（1）知，用模型比较合适， 令，则可化为，即， 所以， 因为，，所以， 则关于的回归直线方程为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二年级3月份月考 数学学科试题 命题人： 审核： 审批： 班级：________________姓名：________________考号：________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合题目要求. 1. 写出数列的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 设随机变量服从正态分布.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 5. 茶产业不仅是产业发展的新引擎，更是实现乡村振兴的关键力量．某山区农村茶产业合作社统计了村民每户家庭人口数与每户茶产业年收入的情况，已知变量和满足经验回归方程，且变量和一组相关数据统计结果如下表： 每户家庭人口数（人） 3 4 5 6 每户茶产业年收入（万元） 5 8 17 则下列说法错误的是（ ） A. B. 变量和呈正相关 C. 该经验回归方程必过点 D. 若某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为万元 6. 已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 7. 一道考题有4个答案，要求学生将其中一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 设数列通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，则 B. 已知随机变量，则 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断与独立 D. 若随机变量服从两点分布，且，则 10. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时的最大值是14 11. 甲盒中有4个红球和3个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球.记事件表示从甲盒中取出的小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球，事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 数列中的前n项和，则的通项公式为________． 13. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中女生的人数，则为______ 14. 若随机事件在1次试验中发生的概率为，用随机变量表示在1次试验中发生的次数，则方差的最大值为______；的最大值为____________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 16. 甲､乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜概率为，没有平局. （1）若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？ （2）若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？ 17. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 18. 已知数列的前项和为，若，且． （1）证明：为等差数列，并求及 （2）若，求数列的前20项和． 19. 某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. （1）设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； （2）根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $