专题04 二次函数及其实际应用7大题型（题型专练）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 二次函数及其实际应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数的图象与性质 题型02 二次函数的图象与系数的关系 题型03 二次函数的实际应用---图形运动问题 题型04 二次函数的实际应用---面积问题 题型05 二次函数的实际应用---销售问题 题型06 二次函数的实际应用---投球问题 题型07 二次函数的实际应用---动点运动问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数的图象与性质 典例引领 【典例01】（2025·天津·模拟）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 【典例02】（2025·天津·模拟预测）已知二次函数． (1)直接写出对称轴和顶点坐标； (2)求出抛物线与轴的交点坐标； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)直线，顶点坐标为： (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、与x轴交点及函数值范围，解题关键是运用二次函数的性质，结合方程求解与分析函数在区间内的最值． （1）根据二次函数对称轴公式和顶点纵坐标公式，将，，代入计算，得出对称轴和顶点坐标． （2）令，得到一元二次方程，化简后因式分解求解，得到方程的根，即抛物线与轴交点的横坐标，从而确定交点坐标． （3）先由二次函数的值判断开口方向，结合对称轴确定最小值；再计算区间端点和（不在区间内）的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】（1）解：在二次函数中，，，， 将，代入对称轴公式，得 ， 将，，代入得 ， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：令，则 ， 或， 解得， ， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． （3）解：由（1）知二次函数的对称轴为，，抛物线开口向上， ∴函数在对称轴处取得最小值， 分别计算区间端点和处的函数值： 当时，， 当时，， ∵不在这个区间内， ∴当时，的取值范围为． 方法透视 考向解读 天津中考选择、填空必考，考查对称轴、顶点、开口方向、增减性、函数值比较、平移，是二次函数最基础核心题型。 方法技能 1. 一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）：对称轴x= ​，顶点纵坐标（，）​； 2. 顶点式y＝a(x﹣h)2+k：顶点(h,k)，对称轴x=h； 3. a定开口：a>0向上，a<0向下； 4. 增减性：对称轴左侧、右侧相反，离对称轴越远函数值变化按开口方向判断； 5. 平移：左加右减自变量，上加下减常数项。 变式演练 【变式01】（2025·天津·一模）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线顶点式即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线的顶点坐标是． 【变式02】（2025·天津·二模）已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，增减性，图象的开口方向． 先求出该二次函数的对称轴，开口方向，点的对称点，根据对称性增减性即可进行分析解答． 【详解】解：∵ ， ∴函数图象开口向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大， ， ∴． 故答案为：B． 【变式03】（2025·天津滨海新区·模拟预测）将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为__________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移变换，解题的关键在于掌握函数图像向下平移的规则．原抛物线的解析式减去2即可． 【详解】解：根据平移规则，向下平移2个单位需在解析式中减去2， , 故答案为：． 【变式04】（2024·天津和平·一模）已知抛物线（a，b为常数，）经过，两个点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为______； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据顶点式可直接得出答案； （3）根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线经过，两个点， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵抛物线的解析式为， ∴顶点为， 故答案为：； （3）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线， 故答案为：． 题型02 二次函数的图象与系数的关系 典例引领 【典例01】（24-25九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且经过点，与轴的两个交点之间的距离大于4，有下列结论： ①； ②若抛物线经过点，则其解析式为； ③一元二次方程没有实数根； ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的符号判断，根据对称轴为直线得到，由经过点得到，由与轴的两个交点之间的距离大于4，得到，然后逐个选项判断即可． 【详解】解：∵抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且经过点， ∴，，即， ∴抛物线解析式为， 设抛物线与轴的两个交点分别为，，且， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴的两个交点之间的距离大于4， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， 故④正确； ∴， 故①正确； 若抛物线经过点，则，解得，不满足，即抛物线不可能经过点，故②错误； ∵一元二次方程可变形为，， ∴， ∴一元二次方程有两不等实数根； 综上所述，正确的有①④， 故选：B． 【典例02】（2025·天津·模拟预测）已知抛物线经过点．有以下结论： ①； ②该抛物线一定经过； ③点在抛物线上，且，则； ④若是方程的两个根，其中，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．根据题意首先确定该抛物线对称轴是，结合抛物线经过点，易得该函数图像的开口向下，即，可知，故①正确；点关于直线的对称点为， 即该抛物线一定经过，故②正确；分都在对称轴右侧和在对称轴两侧两种情况，易得③错误；首先判断抛物线与抛物线关于轴对称，即可确定，故④正确． 【详解】解：如图，该抛物线对称轴是，抛物线经过点， 开口向下，即， ，故①正确； ∵点关于直线的对称点为， 该抛物线一定经过，故②正确； 若都在对称轴右侧时， ， ， 若在对称轴两侧时， ， ， 综上，时，故③错误； 如图，设抛物线上任一点坐标为，把代入，则有， 点在抛物线上， 与关于轴对称， 抛物线经过点， 抛物线经过点， ， 是抛物线与直线交点的横坐标， ，④正确． 综上所述，结论①②④正确，合计3个． 故选：C． 方法透视 考向解读 天津中考高频选择压轴，利用图象判断a、b、c、a+b+c等符号及等量 / 不等关系，重数形结合。 方法技能 1. a看开口，c看与y轴交点，b由对称轴与a共同判断（左同右异）； 2. Δ=b2−4ac：与x轴交点个数； 3. 特殊点函数值：x=1→y=a+b+c，x=−1→y=a−b+c，x=2→y=4a+2b+c； 4. 对称轴x=可推出a与b的等量关系； 5. 顶点纵坐标判断最值，方程有无实根可结合图象高低判断。 变式演练 【变式01】（2025·天津·二模）已知顶点为的抛物线经过点，有下列结论：①；②若点与点为抛物线上的两点，则；③；④关于的一元二次方程的两根分别为和．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与一元二次方程的关系，解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数的性质． 由抛物线的顶点为，代入得，即可判断①；确定抛物线开口向上，则当，随着的增大而减小，可得点的对称点也在抛物线上，由增减性判断②；顶点为的抛物线，开口向上，则，即可判断③；由于抛物线经过点，对称轴为直线，则也经过，故关于的一元二次方程的两根分别为和，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为，且经过点， ∴抛物线开口向上， ∴当，随着的增大而减小， ∵点， ∴由对称性得也在抛物线上， ∵，都在对称轴左侧， ∴，故②错误； ∵顶点为的抛物线，开口向上， ∴，故③正确； ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴也经过， ∴关于的一元二次方程的两根分别为和，故④正确， 故选：C． 【变式02】（2024·天津河北·模拟预测）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据函数轴无交点即可判断①，根据当时，，即可判断②，当时，，即可判断③，当时，二次函数值小于一次函数值，则，即可判断④. 【详解】∵函数轴无交点，∴；故①错误． 当时，，故②正确． ∵当时，， ∴．故③错误． ∵当时，二次函数值小于一次函数值， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论有②④两个， 故选：B． 【变式03】（2025·天津·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④. 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 【变式04】（2024·天津西青·二模）抛物线（a，b，c是常数，）对称轴为直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3． 有下列结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、二次函数与系数关系、二次函数与不等式的关系，解答的关键是利用数形结合的思想方法进行推理和计算． 根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点的横坐标，则当时，可对①进行判断;根据对称轴方程得，再根据抛物线与轴交点可知，可对②进行判断；根据题意，当当时，二次函数值小于一次函数值，可得，将代入即可得出取值范围，可对③进行判断． 【详解】解：点D在x轴下方且横坐标小于3，抛物线的对称轴为直线 ∴抛物线与轴的一个交点的横坐标， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标， ∴当时，， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ，即， ∵抛物线与轴交点在轴的正半轴， ， ， 故②正确； 直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3， ∴当时，二次函数值小于一次函数值， ，有， ， 解得：， 故③正确， 综上，正确的有3个， 故选：D． 题型03 二次函数的实际应用---图形运动问题 典例引领 【典例01】（2025·天津·一模）汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于； ②的最大值是； ③汽车刹车后到停下来等于． 其中，正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入函数解析式，可得或，即可判断①；把二次函数转化为顶点式，即可判断②和③，综上即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， 解得或， ∴汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于，故①正确； ∵， ∴的最大值是，故②正确； ∵当时，的最大值是， 即汽车刹车后到停下来等于，故③错误； 综上，正确的结论有个， 故选：． 方法透视 考向解读 天津中考常考选择 / 填空，以刹车距离、飞机滑行、物体运动等时间 — 距离 / 高度模型，求最值、时间、取值范围。 方法技能 1. 先将解析式化为顶点式，确定开口方向、顶点（最值）、对称轴； 2. 运动停止对应函数取最大值的时刻； 3. 给定高度 / 距离求时间，解方程并舍去负根； 4. 区间内取值范围：比较顶点与端点函数值。 变式演练 【变式01】（2025·天津和平·一模）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时间t的取值范围是； ②飞机着陆后滑行40m才能完全停下来； ③飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10s滑行了450m． 其中，正确结论的个数有（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质；由题意可得，然后依此判断①②③即可． 【详解】解：∵，，开口向下， ∴当时，飞机着陆后滑行的最大距离为， ∴飞机着陆后滑行时间t的取值范围是，故①错误； 飞机着陆后滑行才能完全停下来，故②错误； 飞机前10秒滑行的距离为， ∴飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10秒滑行了；故③错误； 综上所述：正确结论的个数有0个； 故选A． 【变式02】（2025·天津河西·一模）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式再逐个分析即可得． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即滑行的时间为时，滑行的距离是； 当时，s有最大值，此时， ∴飞机从落地到停下来共需20秒，滑行距离为600m， ∴飞机前10秒滑行的距离为， 即飞机停下前最后内滑行的距离是 当时，y取得最大值600， 即飞机着陆后滑行600米才能停下来， 所以，正确的结论是①③，共2个， 故选：C． 【变式03】（2025·天津滨海新区·二模）有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定和性质等知识，求出函数解析式是关键．求出函数解析式，延长交于点B，则轴于点E，作于点D，证明，则，得到，，求出，即可得到，即可判断①正确；由，，抛物线开口向下，即可判断②正确； 当时，，当时，，，即可判断③正确． 【详解】解：把代入得到， ， 解得，， ∴， 延长交于点B，则轴于点E，作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点和点的横坐标为， 当时，， ∴， ∴ 故①正确； ∵，，抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为， 即小球运动的最大高度为； 故②正确； 当时，， 当时，， ∵ ∴小球运动时的高度低于运动时的高度． 故③正确； 综上可知，正确结论为①②③， 故选：D 题型04 二次函数的实际应用---面积问题 典例引领 【典例01】（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 【典例02】（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，得： 解得， ∴， 由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误； ②二次函数解析式为，说法正确； ③矩形面积最大时，，说法错误； ④当时，矩形面积取最大值， ∴， ∴，说法正确． 所以，说法正确的是②④，共2个， 故选：B． 方法透视 考向解读 1. 先将解析式化为顶点式，确定开口方向、顶点（最值）、对称轴；2. 运动停止对应函数取最大值的时刻；3. 给定高度 / 距离求时间，解方程并舍去负根；4. 区间内取值范围：比较顶点与端点函数值。 方法技能 1. 设一边长为x，用含x的式子表示邻边； 2. 列面积解析式y=ax2+bx+c，注意实际取值范围（墙长、边长为正）； 3. 开口向下在对称轴处取最大面积，开口向上取最小面积； 4. 给定面积列方程，检验解是否在范围内。 变式演练 【变式01】（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 【变式03】（2025·天津·一模）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【详解】解：边长为，则边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过，， 故①正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得， 解得或， ∵ ∴的长有一个值满足菜园面积为， 故②错误； 设菜园面积为， 根据题意得， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 菜园面积不能为， 故③正确； ∴正确的结论有个， 故选：B． 【变式04】（2025·天津·一模）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 题型05 二次函数的实际应用---销售问题 典例引领 【典例01】（2025·天津河北·一模）销售某商品，每件进价10元，原售价每件30元，每月可售出80件，若每件售价每上升1元，则每月少售出2件．有下列结论：①售价为10元时，每月总利润最高，为1800元；②售价上升5元时，每月总利润为1750元；③售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元，则每件商品的利润为元，销售量为件，据此列出w关于x的函数关系式，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元， 由题意得，， ∵， ∴当，即时，w最大，最大值为1800， ∴售价为40元时，每月总利润最高，为1800元，故①错误； 当时， ， ∴售价上升5元时，每月总利润为1750元，故②正确； 当时， ， 当时， ， ∴售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，故③正确； 故选：C． 方法透视 考向解读 天津中考解答必考，以商品涨价 / 降价、销量变化、利润最大为模型，是二次函数应用核心。 方法技能 1. 利润 =（售价−进价）× 销售量； 2. 设涨价 / 降价为x，表示售价与销量； 3. 列利润函数w=ax2+bx+c，化为顶点式找最值； 4. 注意定价限制（利润率、最高价），最值可能在区间端点； 5. 对称点售价利润相等。 变式演练 【变式01】（2025·天津西青·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，得到利润的相等关系是解决本题的关键，求得涨价后的最大利润以及降价后的最大利润后，经过比较才能得到最大利润，找准各个量之间的关系是正确解答此题的关键． 根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，可判断①；根据总利润单件利润销量可判断②；分别列出涨价与降价时对应的式子求出最大值作比较即可判断③． 【详解】解：①售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件；故①正确； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润元；故②正确； ③设每件降价元，每星期售出商品的利润为， 则． ， 时，售价为57.5元时利润最大，最大利润元， 设每件涨价元，涨价后的利润为元． ， 在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是6250元， ， 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时利润最大，故③正确． 正确结论的个数是3个， 故选∶D． 【变式02】（2025·天津河东·模拟预测）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列式即可判断①； 设定价增加元，则定价为元，房间数为个，根据题意列出方程求解即可；设利润为w，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】结论①：定价增加30元，即定价为元， 每增加10元，空闲房间数增加1个， 故增加30元对应空闲3个，居住房间数为个，故①结论正确； 结论②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个． 根据题意得， 解得或． 当时，对应定价为元（超过360元上限）， ∴，故②结论错误； 结论③：设利润为w，根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵ ∴ ∴当， ∴最大利润为：元，故③结论错误． 综上，仅结论①正确，正确个数为1． 选B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，有理数运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式04】（2025·天津滨海新区·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 题型06 二次函数的实际应用---投球问题 典例引领 【典例01】（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 【典例02】（2024·天津河北·二模）如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是(   )    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意，抛物线过，，，再设二次函数的关系式为 ，进而建立方程组求出即可判断②；依据题意可得，函数的对称轴是直线，从而求出铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为（米），故可判断③；依据题意可得，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为米，故可判断①． 【详解】解：由题意，抛物线过，，， 设二次函数的关系式为 ， ． ． 函数的表达式为，故②正确． 由题意，函数的对称轴是直线， 铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为 米，故③错误． 由题意，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为（米），故①正确． 综上，正确的有①②共个． 故选：B． 方法透视 考向解读 天津中考选择 / 填空常考，以竖直上抛、铅球、足球、实心球为背景，求最大高度、落地距离、特定高度时间。 方法技能 1. 轨迹为抛物线，解析式多为h=at2+bt+c或y=ax2+bx+c； 2. 顶点对应最大高度，对称轴对应最高时刻； 3. h=0求落地时间 / 水平距离，舍去负根； 4. 给定高度解方程，判断解是否合理； 5. 对称时刻高度相等。 变式演练 【变式01】（2025·天津河西·二模）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为 ； ②足球被踢出 时落地； ③足球被踢出 时，距离地面的高度是 ． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键，根据表格可得抛物线的对称轴为直线，过点，则设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线 ∴当和时， 设抛物线的解析式为，把代入得， ∴， ∴足球距离地面的最大高度为，故①错误， ∵时，， ∴足球被踢出时落地，故②正确， ∵时，，故③错误， ∴正确的有②，共1个 故选：B． 【变式02】（2025·天津河西·一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故①正确，符合题意； ∵， ∴铅球到达最高点时的高度为， 故②错误，不符合题意； 当时，， 解得，， 故③错误，不符合题意； 故选：B． 【变式03】（2025·天津滨海新区·一模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为，得出以下结论： ①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m； ②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m； ③此次训练实心球离地面最大高为2.25m． 其中正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别求出时的的值，时的的值以及二次函数的最值，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：或（舍去）； ∴此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m；故①正确； 当时，，解得：或； ∴此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m；故②正确； ∵， ∴当时，有最大值为：；故③错误； 故选B． 【变式04】（2025·天津西青·一模）一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）． 有下列结论： ①，； ②小球在斜坡上的降落点距地面的高度为； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式，则． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； ①根据对称轴可得，当时，则，联立求解即可； ②联立，即可求解； ③将式子整理成，可得，即可求解； 【详解】解：①当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值， ； 因为对称轴为； 则； ， 解得：， 则； ②联立， 解得：； 小球在斜坡上的降落点距地面的高度为，不满足题意； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式， ， 则， 则或（舍去）； 综上所述，正确的有①③，有两个； 故选：C 题型07 二次函数的实际应用---动点运动问题 典例引领 【典例01】（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 【典例02】（2025·天津·中考模拟）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长． 【详解】解：根据题意知，，， ∵四边形为菱形，， ∴， 过点M作于点H，连接交于点O，如图，    则， 那么，的面积为， 设菱形的边长为a， ∴， ∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为， ∴，解得，（负值舍去）， ∴． 故选：C． 方法透视 考向解读 天津中考选择 / 解答压轴，图形中双动点、面积、线段、重叠面积随时间变化，分段函数与最值结合。 方法技能 1. 用时间t表示线段长度、点坐标、底 / 高；2. 分阶段讨论：点在不同边上运动，解析式不同；3. 面积用底 × 高 ÷2、割补法、图形面积公式；4. 列二次函数求最值，注意t的取值范围；5. 给定面积列方程，检验是否在对应阶段。 变式演练 【变式01】（2025·天津·一模）如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①根据题意，可得，，，然后根据列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可判断①；根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可判断②；根据勾股定理列出方程，解方程，即可判断③． 【详解】解：①∵动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）， ∴，， ∵，， ∴，动点Q从点B到点需要（秒），动点从到需要（秒）， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，且最大值为，故①正确； ②把代入得： ， 解得，， ∵， ∴不符合题意， ∴出发时间只有一个值满足的面积为，故②错误； ③当的长是时，根据勾股定理得：， ∴， 整理得， ∵， ∴此方程无解， ∴的长不可以是，故③错误； 综上分析可知：正确结论的个数是1个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，一元二次方程根的判别式，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式02】（2025·天津南开·二模）如图，正三角形的边长为1，是线段上一点，过作边的垂线，垂足为点． 有下列结论： ①当点在线段上时，的长可以为； ②当点为线段中点时，的面积达到最大值，最大值为； ③点在线段上有两个位置满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、解直角三角形和二次函数的性质，根据等边三角形的性质的，①若的长为，则可求、、和的长，进一步求得，结合点D的位置判断AD是否在其范围内即可；②设的长度为x，则的长度为，，即的面积，结合二次函数的性质即可知当时，的面积有最大值为，故②错误；③若的面积为，求得x即可． 【详解】解：∵正三角形的边长为1， ∴， ①若的长为，则的长为，的长为，的长为，的长为， 那么，， ∵是线段上一点， ∴ ， ∵， ∴的长可以为，故①正确； ②设的长度为x，则的长度为， ∵， ∴， ∴的面积， ∵是线段上一点， ∴ ∴当时，的面积有最大值为：，故②错误； ③若的面积为，则，解得（负值已舍），故③错误； 故选：B． 【变式03】（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故选：B． 题●型●训●练 1．（2024·天津滨海新区·一模）已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为则下列结论：④关于x的方程无实根．其中正确的结论是（   ）    A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．根据二次函数的图象和性质逐个判断求解即可． 【详解】解：∵对称轴是直线， ∴，即， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， 即，故②正确； ∵当时，， ∴， 即，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为n， ∴关于x的方程无实根，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，故C正确． 故选：C． 2．（2024·天津和平·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其对称轴是直线，当时，与其对应的函数值．有下列结论： ①； ②若点，，均在函数图象上，则； ③若方程的两根为，且则； ④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程等知识，熟练运用二次函数的图象与性质是解题关键． 由该二次函数的图象的对称轴为，可得，再结合图象确定，易得，即可判断结论①；由图象可知，抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大，据此即可判定结论②；由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一交点为，可得抛物线解析式为，令，作，由图象可知，即可判定结论③．由题意得，，将代入即可判断结论④ 【详解】解：根据题意：画出大致图象如下： 由图象可知，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①错误； ∵点，，均在函数图象上， ∴，故结论②错误； 由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为， ∴抛物线解析式为， 令， 则有， 如图作，由图像可知，故结论③正确． ∵当时，与其对应的函数值，抛物线（a，b，c是常数，）经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论④正确． 故选：B． 3．（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意得，， 当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误． ，且当时，， 蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确． 令， ． 或． 的图象开口向下， 蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确． 综上，正确的有①③，共2个． 故选：C． 4．（2025·天津和平·三模）某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用． ①根据题意列出函数关系式即可； ②设利润为W元，，再根据单件该商品的利润率不能超过列出不等式，求出，再根据二次函数的性质求最值即可； ③根据题意，得，解方程，再根据，即可得出结论． 【详解】解：①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式是， 故①正确，符合题意； ②设利润为W元， ， 由题意可得：， ∴， ∵，开口向下，当时，W随x的增大而增大， ∴时，W 最大为8840元， 故②不正确，不符合题意； ③令， 解得，， ∵， ∴， 即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元， 故③不正确，不符合题意； 综上所述，正解的有①，一共1个． 故选：B． 5．（2024·天津西青·一模）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．有下列结论： ①当的长是时，劳动基地的面积是； ②的长有两个不同的值满足劳动基地的面积为； ③点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是，最小值是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，①求出的长，可直接计算面积；②设的长是时，则，根据题意列方程求解即可；③设的长是，的面积为，根据题意得到x的取值范围，再得到关于x的函数，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：①当的长是时，， 劳动基地的面积是，说法正确； ②设的长是时，则， 若的面积为， 则 或，说法正确； ③设的长是，的面积为 由题意可得， 解得：， ∵， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，面积有最大值， ∵时，面积为，时，面积为， ∴面积的最小值为，说法正确， 综上，3个说法都正确， 故选：D． 6．（2024·天津河西·二模）已知菱形，，，点，，，分别在菱形的四条边上，．连接．有下列结论：①四边形是矩形；②长有两个不同的值，使得四边形的面积都为；③四边形面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，一元二次方程根的判别，二次函数最值等知识点，灵活运用菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质进行角的等量代换即可证出为矩形，判断①；过点作于点，设，则，用含的式子表达出和的长后，利用矩形的面积公式列式判断②和③即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 同理可证：， ∴四边形是矩形，故①正确； 过点作于点，如图所示：    设，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时 整理得： ∵ ∴长有两个不同的值，故②正确； ∵ ∴当时，面积最大值为，故③正确； 综上①②③正确； 故选：D． 7．（2024·天津滨海新区·一模）抛物线向左平移2个单位长度，平移后的抛物线解析式为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减”可得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，平移后的抛物线解析式为， 故答案为： 8．（2024·天津红桥·一模）若二次函数(k为常数) 的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根的判别式．熟练掌握二次函数与一元二次方程，根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 9．（2025·天津和平·一模）已知二次函数（c为常数）． (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据二次函数与x轴的交点问题可进行求解； （2）把点代入二次函数解析式得出c的值，进而求解方程即可； （3）由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，开口向下，然后根据开口向下，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越大可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：把点代入二次函数得：， ∴， ∴一元二次方程为， 解得：； （3）解：由可知：开口向下，对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，函数取得最大值，当时，函数有最小值， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数 (是常数)的图象是抛物线． (1)若图象经过点，求的值和图象的顶点坐标． (2)若抛物线的顶点在轴上，则 ； (3)若点，在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，将一般式化为顶点式； （1）将点，代入，即可求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式求出顶点坐标，进而求解； （3）分别把，代入函数关系式得：，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵图象经过点，代入 ∴ 解得： ∴二次函数的解析式为 ∴顶点坐标为 （2）∵，抛物线的顶点在轴上， ∴， 解得 故答案为：或． （3）把，代入函数关系式得：，， ∵， ∴, 解得：， 故答案为：． 11．（2025·天津·二模）近年来，国潮联名款产品层出不穷，大品牌通过在服饰中加入如“大闹天宫”，“故宫” 这样的传统中国元素，唤起年轻一代消费群体的记忆，与这些年轻消费者进行着价值沟通，逐渐构成“国潮力量”．某外贸公司经市场调研，整理出某爆款联名卫衣的售价每增加x元，日销售量的变化情况如下表： 售价(元/件) 日销售量(件) 已知该款卫衣的成本价为80元/件，设销售该卫衣的日销售利润为w元． (1)求w（元）与x（元）之间的函数关系式； (2)在销售过程中，该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元吗，为什么？ (3)求该卫衣售价增加多少元时，日销售利润最大，最大日利润是多少？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)售价增加30元时，日销售利润最大，最大日利润为98000元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用中的利润最大问题，熟练将生活问题转化为二次函数问题解决是解题的关键． （1）根据利润售价日销售量计算即可； （2）当时，求销售利润的值，比较即可； （3）把问题转化为二次函数的最值问题处理即可． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：∵当时， ， ∴该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元； （3）解：∵， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w取得最大值为98000， ∴该卫衣售价增加30元时，日销售利润最大，最大日利润为98000元． 12．（2025·天津西青·二模）某校八年级（1）班共有学生人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用元，其中，纯净水的销售价（元桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示关系． (1)求与的函数关系式； (2)若该班每年需要纯净水桶，且为时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？ (3)当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算，从计算结果看，你有何感想？（不超过字） 【答案】(1) (2)用桶装纯净水花钱少 (3)元，感想见解析 【分析】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式以及运用二次函数解决实际问题的能力． （1）设，根据题意得出，的值即可求出与的函数关系式． （2）分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得． （3）设该班每年购买纯净水的费用为元，解出二次函数求出的最大值可求解． 【详解】（1）解：设， 时，；时，． 解之，得 与的函数关系式为． （2）解：该班学生买饮料每年总费用为元， 当时，，得． 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为元． 显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少． （3）解：设该班每年购买纯净水的费用为元，则 ， 当时，， 要使饮用桶装纯净水对学生一定合算， 则， 即， 解之，得元． 所以至少为元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算， 由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数及其实际应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数的图象与性质 题型02 二次函数的图象与系数的关系 题型03 二次函数的实际应用---图形运动问题 题型04 二次函数的实际应用---面积问题 题型05 二次函数的实际应用---销售问题 题型06 二次函数的实际应用---投球问题 题型07 二次函数的实际应用---动点运动问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数的图象与性质 典例引领 【典例01】（2025·天津·模拟）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A．B． C． D． 【典例02】（2025·天津·模拟预测）已知二次函数． (1)直接写出对称轴和顶点坐标； (2)求出抛物线与轴的交点坐标； (3)当时，求的取值范围． 方法透视 考向解读 天津中考选择、填空必考，考查对称轴、顶点、开口方向、增减性、函数值比较、平移，是二次函数最基础核心题型。 方法技能 1. 一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）：对称轴x= ​，顶点纵坐标（，）​； 2. 顶点式y＝a(x﹣h)2+k：顶点(h,k)，对称轴x=h； 3. a定开口：a>0向上，a<0向下； 4. 增减性：对称轴左侧、右侧相反，离对称轴越远函数值变化按开口方向判断； 5. 平移：左加右减自变量，上加下减常数项。 变式演练 【变式01】（2025·天津·一模）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式02】（2025·天津·二模）已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·天津滨海新区·模拟预测）将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为__________________． 【变式04】（2024·天津和平·一模）已知抛物线（a，b为常数，）经过，两个点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为______； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______． 题型02 二次函数的图象与系数的关系 典例引领 【典例01】（24-25九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且经过点，与轴的两个交点之间的距离大于4，有下列结论： ①； ②若抛物线经过点，则其解析式为； ③一元二次方程没有实数根； ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例02】（2025·天津·模拟预测）已知抛物线经过点．有以下结论： ①； ②该抛物线一定经过； ③点在抛物线上，且，则； ④若是方程的两个根，其中，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 方法透视 考向解读 天津中考高频选择压轴，利用图象判断a、b、c、a+b+c等符号及等量 / 不等关系，重数形结合。 方法技能 1. a看开口，c看与y轴交点，b由对称轴与a共同判断（左同右异）； 2. Δ=b2−4ac：与x轴交点个数； 3. 特殊点函数值：x=1→y=a+b+c，x=−1→y=a−b+c，x=2→y=4a+2b+c； 4. 对称轴x=可推出a与b的等量关系； 5. 顶点纵坐标判断最值，方程有无实根可结合图象高低判断。 变式演练 【变式01】（2025·天津·二模）已知顶点为的抛物线经过点，有下列结论：①；②若点与点为抛物线上的两点，则；③；④关于的一元二次方程的两根分别为和．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式02】（2024·天津河北·模拟预测）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式03】（2025·天津·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【变式04】（2024·天津西青·二模）抛物线（a，b，c是常数，）对称轴为直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3． 有下列结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型03 二次函数的实际应用---图形运动问题 典例引领 【典例01】（2025·天津·一模）汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于； ②的最大值是； ③汽车刹车后到停下来等于． 其中，正确的个数是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 天津中考常考选择 / 填空，以刹车距离、飞机滑行、物体运动等时间 — 距离 / 高度模型，求最值、时间、取值范围。 方法技能 1. 先将解析式化为顶点式，确定开口方向、顶点（最值）、对称轴； 2. 运动停止对应函数取最大值的时刻； 3. 给定高度 / 距离求时间，解方程并舍去负根； 4. 区间内取值范围：比较顶点与端点函数值。 变式演练 【变式01】（2025·天津和平·一模）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时间t的取值范围是； ②飞机着陆后滑行40m才能完全停下来； ③飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10s滑行了450m． 其中，正确结论的个数有（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式02】（2025·天津河西·一模）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式03】（2025·天津滨海新区·二模）有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型04 二次函数的实际应用---面积问题 典例引领 【典例01】（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【典例02】（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 方法透视 考向解读 1. 先将解析式化为顶点式，确定开口方向、顶点（最值）、对称轴；2. 运动停止对应函数取最大值的时刻；3. 给定高度 / 距离求时间，解方程并舍去负根；4. 区间内取值范围：比较顶点与端点函数值。 方法技能 1. 设一边长为x，用含x的式子表示邻边； 2. 列面积解析式y=ax2+bx+c，注意实际取值范围（墙长、边长为正）； 3. 开口向下在对称轴处取最大面积，开口向上取最小面积； 4. 给定面积列方程，检验解是否在范围内。 变式演练 【变式01】（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·天津·一模）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式04】（2025·天津·一模）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型05 二次函数的实际应用---销售问题 典例引领 【典例01】（2025·天津河北·一模）销售某商品，每件进价10元，原售价每件30元，每月可售出80件，若每件售价每上升1元，则每月少售出2件．有下列结论：①售价为10元时，每月总利润最高，为1800元；②售价上升5元时，每月总利润为1750元；③售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 方法透视 考向解读 天津中考解答必考，以商品涨价 / 降价、销量变化、利润最大为模型，是二次函数应用核心。 方法技能 1. 利润 =（售价−进价）× 销售量； 2. 设涨价 / 降价为x，表示售价与销量； 3. 列利润函数w=ax2+bx+c，化为顶点式找最值； 4. 注意定价限制（利润率、最高价），最值可能在区间端点； 5. 对称点售价利润相等。 变式演练 【变式01】（2025·天津西青·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式02】（2025·天津河东·模拟预测）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式04】（2025·天津滨海新区·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型06 二次函数的实际应用---投球问题 典例引领 【典例01】（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例02】（2024·天津河北·二模）如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是(   )    A．3 B．2 C．1 D．0 方法透视 考向解读 天津中考选择 / 填空常考，以竖直上抛、铅球、足球、实心球为背景，求最大高度、落地距离、特定高度时间。 方法技能 1. 轨迹为抛物线，解析式多为h=at2+bt+c或y=ax2+bx+c； 2. 顶点对应最大高度，对称轴对应最高时刻； 3. h=0求落地时间 / 水平距离，舍去负根； 4. 给定高度解方程，判断解是否合理； 5. 对称时刻高度相等。 变式演练 【变式01】（2025·天津河西·二模）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为 ； ②足球被踢出 时落地； ③足球被踢出 时，距离地面的高度是 ． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式02】（2025·天津河西·一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式03】（2025·天津滨海新区·一模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为，得出以下结论： ①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m； ②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m； ③此次训练实心球离地面最大高为2.25m． 其中正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式04】（2025·天津西青·一模）一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）． 有下列结论： ①，； ②小球在斜坡上的降落点距地面的高度为； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式，则． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 题型07 二次函数的实际应用---动点运动问题 典例引领 【典例01】（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例02】（2025·天津·中考模拟）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（    ）    A． B． C． D． 方法透视 考向解读 天津中考选择 / 解答压轴，图形中双动点、面积、线段、重叠面积随时间变化，分段函数与最值结合。 方法技能 1. 用时间t表示线段长度、点坐标、底 / 高；2. 分阶段讨论：点在不同边上运动，解析式不同；3. 面积用底 × 高 ÷2、割补法、图形面积公式；4. 列二次函数求最值，注意t的取值范围；5. 给定面积列方程，检验是否在对应阶段。 变式演练 【变式01】（2025·天津·一模）如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式02】（2025·天津南开·二模）如图，正三角形的边长为1，是线段上一点，过作边的垂线，垂足为点． 有下列结论： ①当点在线段上时，的长可以为； ②当点为线段中点时，的面积达到最大值，最大值为； ③点在线段上有两个位置满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式03】（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A．B．C．D． 题●型●训●练 1．（2024·天津滨海新区·一模）已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为则下列结论：④关于x的方程无实根．其中正确的结论是（   ）    A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 2．（2024·天津和平·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其对称轴是直线，当时，与其对应的函数值．有下列结论： ①； ②若点，，均在函数图象上，则； ③若方程的两根为，且则； ④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·天津和平·三模）某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2024·天津西青·一模）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．有下列结论： ①当的长是时，劳动基地的面积是； ②的长有两个不同的值满足劳动基地的面积为； ③点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是，最小值是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2024·天津河西·二模）已知菱形，，，点，，，分别在菱形的四条边上，．连接．有下列结论：①四边形是矩形；②长有两个不同的值，使得四边形的面积都为；③四边形面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2024·天津滨海新区·一模）抛物线向左平移2个单位长度，平移后的抛物线解析式为_______________． 8．（2024·天津红桥·一模）若二次函数(k为常数) 的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是_____． 9．（2025·天津和平·一模）已知二次函数（c为常数）． (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数 (是常数)的图象是抛物线． (1)若图象经过点，求的值和图象的顶点坐标． (2)若抛物线的顶点在轴上，则 ； (3)若点，在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 11．（2025·天津·二模）近年来，国潮联名款产品层出不穷，大品牌通过在服饰中加入如“大闹天宫”，“故宫” 这样的传统中国元素，唤起年轻一代消费群体的记忆，与这些年轻消费者进行着价值沟通，逐渐构成“国潮力量”．某外贸公司经市场调研，整理出某爆款联名卫衣的售价每增加x元，日销售量的变化情况如下表： 售价(元/件) 日销售量(件) 已知该款卫衣的成本价为80元/件，设销售该卫衣的日销售利润为w元． (1)求w（元）与x（元）之间的函数关系式； (2)在销售过程中，该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元吗，为什么？ (3)求该卫衣售价增加多少元时，日销售利润最大，最大日利润是多少？ 12．（2025·天津西青·二模）某校八年级（1）班共有学生人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用元，其中，纯净水的销售价（元桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示关系． (1)求与的函数关系式； (2)若该班每年需要纯净水桶，且为时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？ (3)当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算，从计算结果看，你有何感想？（不超过字） 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $