第13章 第3节 条件概率-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了条件概率专题，涵盖概念、本质、全概率公式及贝叶斯公式，按“概念理解-公式推导-应用实践”层次构建知识体系，通过例题情境分析和问题链设计，引导学生自主抽象概率模型，形成完整知识网络。 亮点在于诊断性练习与真题融合设计，如开篇设置选择、填空题自测，融入2023全国甲卷等真题，培养数学思维与逻辑推理能力。每个模块配有分步解答与错因分析，帮助学生自主诊断薄弱点，教师可依据学情精准指导，提升备考实效。

第三节　条件概率 1.条件概率的概念 (1)设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率. (2)当A，B相互独立时，P(B＝P(B)，即A的发生对B无任何影响.事件之间的独立关系是条件关系的特殊形式. 2.条件概率的本质 条件概率是指一个事件在满足某个条件下发生的概率(事件的发生通常有先后顺序).由于条件的限制，样本空间发生改变，P(B|A)相当于把A看成新的样本空间，求B在新样本空间中发生的概率.图示如下： 文字表述如下： P(B|A)＝ ＝ ＝ ＝. 由上述过程进一步可知，在公式P(B|A)＝中，虽然P(B|A)表示B在新样本空间中发生的概率，但P(AB)和P(A)却分别表示事件AB和A在原样本空间中发生的概率. 3.全概率公式 (1)当P(A)＞0时，由条件概率公式P(B|A)＝得P(AB)＝P(A)·P(B∣A). 即事件A发生的概率，乘事件A发生情况下事件B发生的概率，等于事件A与事件B同时发生的概率. (2)一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)，称为全概率公式.图示如下： 4.贝叶斯公式 由P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝P(B)·P(A|B)得P(A|B)＝，该公式叫做贝叶斯公式，它是在已知实验结果的情况下，求解事件原因发生的概率，是求“逆概率”的公式. 例1　某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示. 项目 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表. (1)选到男生的概率是多少? (2)如果已知选到的是团员，那么选到是男生的概率是多少? 例2　一个家庭有两个小孩，假设一个孩子是男孩和女孩的概率相等. (1)求两个孩子一个是男孩另外一个是女孩的概率； (2)若已知一个是男孩，求另外一个是女孩的概率. 例3　小张从家到公司上班总共有三条路可以直达(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2.每天上述三条路不拥堵的概率分别为：P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7. 假设遇到拥堵会迟到，求： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少? (2)如果小张从家到公司不迟到，求他选择路线L1的概率是多少? 一、选择题 1.衣柜里有灰色、白色、黑色、蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为(　　) A. B. C. D. 2.从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　) A.0.5 B.0.4 C.0.25 D.0.125 3.某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为(　　) A.0.23 B.0.47 C.0.53 D.0.77 4.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块.若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为(　　) A.0.78 B.0.64 C.0.58 D.0.48 5.某市卫健委为调查研究某种流行病患者的年龄分布情况，随机调查了大量该病患者，年龄分布如图.已知该市此种流行病的患病率为0.1%，该市年龄位于区间的人口占总人口的28%.若从该市居民中任选一人，若此人年龄位于区间，则此人患这种流行病的概率为(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率)(　　) A.0.2 B.0.000 54 C. D. 6.(2023全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A.0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 7.(多选)甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则(　　) A.P B.P C.PP＝P D.P 二、填空题 1.一个袋子里装有4个红球、3个白球、3个蓝球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第一次摸到红球的概率是　　　　，第一次没有摸到红球且第二次摸到红球的概率是　　　　.  2.某考生回答一道有4个选项的选择题，设会答该题的概率是，并且会答时一定能答对，若不会答，则在4个答案中任选1个.已知该考生回答正确，则他确实会答该题的概率是　　　　.  3.有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为　　　　.  4.夏、秋两季，生活在长江口外浅海海域的中华鲟洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们重新返海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为　　　　.  5. (2025天津卷) 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为　　　　；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E＝　　　　.  三、解答题 (2023新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P＝1－P＝qi，i＝1，2，···，n，则Eqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E. 第三节　条件概率 例1　(1)设A ＝“选到团员”， B＝“选到男生”. P(B)＝. (2)“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A 发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A)， 所以P(B|A)＝. 例2　两个孩子的性别组合有四种可能的结果： (女，女)、(女，男)、(男，女)、(男，男). (1)一个是男孩另外一个是女孩的组合有两种： (女，男)、(男，女)，一男一女的概率为50%. (2)如果已知其中一个是男孩，相当于增加了一个条件限制，在此限制条件下，样本空间中的基本事件由4个变成3个：(女，男)、(男，女)、(男，男). 设A＝{已知有一个是男孩}，B＝{另一个是女孩} ，则AB＝{一个是男孩，一个是女孩}，于是 n(A)＝3，n(AB)＝2，P(A)＝，P(AB)＝，则由条件概率公式P(B|A)＝ ＝或P(B|A)＝ ＝. 例3 (1)由题意可知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则 P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3) ＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3) ＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36. (2)由贝叶斯公式，得P(L1|C)＝≈0.28. 巩固练习 一、选择题 1. D　从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B. 事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则P(A)＝， 又P(AB)＝， 则P(B|A)＝， 即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为.故选D. 2. A　根据题意，从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”， 则P(A)＝，P(AB)＝P(B)＝， 故P(B|A)＝＝0.5.故选A. 3. D　记A1，A2，A3分别表示选用医用普通口罩，医用外科口罩、医用防护口罩，则A1，A2，A3两两互斥，所以P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1， 又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%， 记事件B为“选到绑带式口罩”，则P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.5，P(B|A3)＝0.4， 所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为P(B)＝0.7×0.9＋0.2×0.5＋0.1×0.4＝0.77.故选D. 4.A　设B＝ “任取一块芯片是正品”，Ai分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产. 根据题意可得P(A1)＝＝0.2，P(A2)＝＝0.4，P(A3)＝＝0.4， P(B|A1)＝1－0.1＝0.9，P(B|A2)＝1－0.2＝0.8，P(B|A3)＝1－0.3＝0.7， 由全概率公式可得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.2×0.9＋0.4×0.8＋0.4 ×0.7＝0.78.故选A. 5. D　设该居民年龄位于区间为事件A，该居民患这种流行病为事件B， 由题意可知，P＝0.28，P＝0.001， P＝0.54. ∵P， ∴P＝PP＝0.54×0.001＝0.000 54， ∴，P. 故选D. 6. A　同时爱好两项的概率为0.5＋0.6－0.7＝0.4， 记“该同学爱好滑雪”为事件A，记“该同学爱好滑冰”为事件B， 则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.4， ∴P(B|A)＝＝0.8.故选A. 7. ABD　∵P，P，P， 若A1发生，则乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，∴P，故A正确； 若A2发生，则乙箱中有2个红球，4个白球和3个黑球，∴P， 若A3发生，则乙箱中有2个红球，3个白球和4个黑球，∴P， ∴P＝PP＋PP＋PP ＝×××，故B正确； ∵P，∴P＝P·P×， ∴PP≠P，故C错误； P，故D正确.故选ABD. 二、填空题 1. 0.4　　设Hi表示“第i次摸到红球”，Bi表示“第i次摸到白球”，Li表示“第i次摸到蓝球”，i＝1，2， 则第一次摸到红球的概率为P(H1)＝＝0.4； 第一次没有摸到红球第二次摸到红球包括第一次摸到白球第二次摸到红球和第一次摸到蓝球第二次摸到红球， ∴所求概率为 P(H2|)＝P(B1)P(H2|B1)＋P(L1)P(H2|L1)＝××2＝. 2. 　设考生会答该题为事件A，不会答为事件B，该考生回答正确为事件C. 则：P，P＝1－P， P＝PP×， P. 3. /0.312 5　记Ai为事件“零件为第i台车床加工”，B为事件“任取一个零件为次品”， 则P＝0.2，P＝0.3，P＝0.5， 所以由全概率公式可得： P(B)＝PP＋PP＋PP＝0.2×0.04＋0.3×0.05＋0.5×0.05＝0.048， 由条件概率公式可得P. 4. 　设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，P(B|A)＝. 5.①0.6　②3.2　设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件B，设第二次跑5圈为事件C，则P＝PP＋PP＝0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6；若至少跑11圈为运动量达标为事件D，P＝P＋PP＝0.6＋0.5×0.4＝0.8，∴X~B，E＝4×0.8＝3.2. 三、解答题 (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi， ∴P＝P＋P＝PP＋PP＝0.5×＋0.5×0.8＝0.6. (2)设P＝pi，依题可知P＝1－pi， 则P＝P＋P＝PP＋PP， 即pi＋1＝0.6pi＋×＝0.4pi＋0.2， 构造等比数列， 设pi＋1＋λ＝，解得λ＝－， 则pi＋1－， 又p1＝，p1－，∴是首项为，公比为的等比数列， 即pi－×，pi＝×. (3)∵pi＝×，i＝1，2，···，n， ∴当n∈N*时，E＝p1＋p2＋…＋pn＝×. 学科网（北京）股份有限公司 $