第12章 第3节 方差与标准差-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了方差与标准差专题，涵盖概念、计算、性质及应用，按“定义-性质-应用”架构组织考点，通过例题解析和问题链设计，引导学生自主构建数据波动分析的知识网络，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于诊断性自测与真题演练结合，开篇设置4道基础诊断题定位薄弱点，融入2023新高考Ⅰ卷等真题强化实战，培养学生用数学思维推理数据规律、用数学语言表达波动特征的素养。模块配有错题归因分析，助力学生自主提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第三节　方差与标准差 1. 设在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方分别用，…，来表示，那么它们的平均数，即s2＝[＋…＋]便可用来衡量这组数据波动的大小，我们把s2叫做这组数据的方差，一组数据的方差越大说明这组数据的波动越大.另外，我们把数据的方差的算术平方根s＝叫做这组数据的标准差.由于s的大小可以直接反映s2的大小，所以标准差也可用来衡量一组数据的波动大小. 2. 虽然方差与标准差都可用来衡量一组数据的波动大小，但方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以在解决实际问题时，一般多采用标准差. 3. 方差和标准差反映一组数据的波动大小，而一组数据的平均数则反映这组数据总体水平的高低. 例　有一个简单的随机样本： 10， 12， 9， 14， 13 ，求该样本的方差和标准差. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　) A. x1，x2，…，xn的平均数 B. x1，x2，…，xn的标准差 C. x1，x2，…，xn的最大值 D. x1，x2，…，xn的中位数 2. 设样本数据x1，x2，…，x10的平均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均值和方差分别为(　　) A. 1＋a，4 B. 1＋a，4＋a C. 1，4 D. 1，4＋a 3. (多选)甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图.甲、乙两组数据的平均值分别为，则(　　) A. 每次考试甲的成绩都比乙的成绩高 B. 甲的成绩比乙稳定 C. 一定大于 D. 甲进步的次数比乙进步的次数多 4.(2023新高考Ⅰ卷)(多选)有一组样本数据x1，x2，···，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，···，x6的平均数 B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，···，x6的中位数 C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，···，x6的标准差 D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，···，x6的极差 5. (2019全国Ⅱ卷)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. y的分组 企业数 2 24 53 14 7 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). (精确到0.01) 附：≈8.602. 第三节　方差与标准差 典例精析 例　设为该样本的平均值，则＝11.6.于是该样本的方差 s2＝ ＝3.44. 该样本的标准差s＝≈1.85. 巩固练习 1.B　方差或标准差反映的是数据的稳定程度，故选B. 2.A　由均值和方差的定义及性质可知：＋a＝1＋a，＝4.故选A. 3.BC　第二次考试甲的成绩比乙的成绩低，故A错误； 甲的成绩比乙稳定，故B正确； 一定大于，故C正确； 甲进步两次，乙进步三次，故D错误. 故选BC. 4.BD　显然，选项A不对，故A错误；对于选项B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，···，x6的中位数均为，故B正确；对于选项C，因为x1是最小值，x6是最大值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，···，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，···，x6的标准差；对于选项D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确.故选BD. 5. (1)这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是＝21%，这类企业中产值负增长的企业比例是＝2%. (2)这类企业产值增长率的平均数是 [(－0.1)×2＋0.1×24＋0.3×53＋0.5×14＋0.7×7]÷100＝0.30＝30%.这类企业产值增长率的方差是 [(－0.1－0.3)2×2＋(0.1－0.3)2×24＋(0.3－0.3)2×53＋(0.5－0.3)2×14＋(0.7－0.3)2×7]÷100＝0.029 6， ∴这类企业产值增长率的标准差是≈×8.602＝0.172 04≈0.17. 学科网（北京）股份有限公司 $