第10章 第3节 直线与平面之间的垂直关系-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了直线与平面垂直的判定定理及性质定理，以“定理梳理-例题示范-巩固练习”为架构构建知识网络，通过问题链引导学生自主推导线面垂直证明思路，形成从定理理解到综合应用的层次化认知。 亮点在于注重逻辑推理与空间观念的培养，设置正方体、四棱锥等典型几何模型证明题，学生可通过例题解析自主归纳“线线垂直→线面垂直”的转化方法，教师能依据练习反馈定位学生薄弱环节，助力个性化复习提升。

第三节　直线与平面之间的垂直关系 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 如果一条直线垂直于一个平面，那么此直线垂直于该平面内所有直线 ⇒a⊥s 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ⇒a∥b 例　如图，PA⊥平面PBC，AB＝AC，M是BC的中点.求证：BC⊥PM. 1. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：AC⊥平面BB1D1D. 2. 如图，四边形ABCD为正方形.SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别相交SB，SC，SD于E，F，G.求证：AE⊥SB. 3. 如图，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)求证：PB⊥平面AEF. 4. 如图，已知四边形ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，M，N分别是SC，AB的中点.求证：MN⊥AB. 5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点. (1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：BE⊥平面PAC. 第三节　直线与平面之间的垂直关系 典例精析 例　连接AM. ∵AB＝AC，故BC⊥AM.① 又∵PA⊥平面PBC，且BC⊂平面PBC， ∴PA⊥BC.②(线面垂直的性质定理) 又∵PA∩AM＝A， 故由①②有BC⊥平面APM.(线面垂直的判定定理) 又∵PM⊂平面APM， ∴BC⊥PM.(线面垂直的性质定理) 巩固练习 1. 略　提示：通过证AC⊥BD，AC⊥BB1可得. 2. 略　提示：通过证BC⊥AB，BC⊥SA可得BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE，又依题意，SC⊥AE，故AE⊥平面SBC，因此AE⊥SB. 3. 略　提示：(1)通过证BC⊥AC，BC⊥PA可得. (2)由(1)的结论可知，BC⊥AF，又∵AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC，从而AF⊥PB，又AE⊥PB，故PB⊥平面AEF. 4. 略　提示：设H为DC的中点，连接MH，NH，易得MH∥SD. 由题设易证AB⊥AD，AB⊥SA，∴AB⊥平面ASD，从而AB⊥SD，又MH∥SD，∴AB⊥MH，又易证AB⊥NH，∴AB⊥平面MNH，从而MN⊥AB. 5.(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC， ∵E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC， ∴AE∥BC，AE＝AB＝BC. 因此四边形ABCE为菱形，∴O为AC的中点. 又F为PC的中点， 因此在△PAC中，可得AP∥OF. 又∵OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF. (2)由题意知，ED∥BC，ED＝BC， ∴四边形BCDE为平行四边形， 因此BE∥CD. 又∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD. 因此AP⊥BE. ∵四边形ABCE为菱形，∴BE⊥AC. 又∵AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC. 学科网（北京）股份有限公司 $