第9章 第2节 双曲线-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了双曲线专题，涵盖定义、标准方程、渐近线、离心率等核心考点，按概念内涵、方程形式、几何性质到应用的逻辑构建知识网络，通过问题链设计引导学生自主推导定义与方程的关联，形成系统性认知框架。 亮点在于诊断性自测与真题融合设计，开篇设置基础填空与选择诊断题，学生可通过错题定位薄弱点，结合典例精析掌握离心率计算等方法，培养数学思维与模型观念。教师能依据练习反馈精准指导，助力学生自主提升，实现个性化复习。

第二节　双曲线 1. 在平面内，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定值(小于|F1F2|)的点的集合叫做双曲线. 双曲线既是轴对称图形也是中心对称图形，参考图1、图2，其他相关概念如下： 两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，线段F1F2的中点O叫做双曲线的中心，双曲线与坐标轴的交点A1，A2叫做双曲线的顶点，A1A2叫做双曲线的实轴，OA1，OA2叫做双曲线的实半轴，OF1，OF2叫做双曲线的半焦距. 2. 如果双曲线的实半轴长、半焦距分别用a，c表示，我们从双曲线定义出发并利用其对称性考查图1中双曲线的右支. 在右支上取特殊点A2，由双曲线的定义，显然有，于是定义中的“定值”即为实轴长. 故如果点P为双曲线右支上任意一点，则有 ＝2a 成立(如果点P在左支上，则有＝2a). 仍以图1为例，如果令b2＝c2－a2(b＞0)，则b有一种特别的含义： 把B1(0，b)，B2(0，－b)标在y轴上，并把B1B2叫做虚轴(OB1，OB2叫做虚半轴). 在坐标系中分别作直线x＝±a，y＝±b得到一矩形. 矩形的两条对角线所在直线的方程是y＝±x. 当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与这两条直线无限接近，但永不相交，这两条直线叫做该双曲线的渐近线. 在图2中运用同样的方法可得该双曲线的渐近线是y＝± x. 3. 把中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的方程叫做双曲线的标准方程. 如果设双曲线实半轴长、虚半轴长分别为a，b，则图1、图2曲线的标准方程见下表. 图号 标准方程 备注 图1 ＝1 (1)“谁为正谁为a，谁为负谁为b”，意思是在标准方程中，a2所处的分式前为正号，b2所处的分式前为负号. 确定了a，b的值之后再将它们的值代入公式b2＝c2－a2算出c的值 (2)双曲线上的点到两个焦点的距离不可能相等，所以在双曲线上任取一点，利用定义有较长的距离－较短的距离＝2a ，这样可以把定义中的绝对值去掉. 如图1中有＝2a，而在图2中则有＝2a 图2 ＝1 4. 渐近线的求法 ＝1和＝1的渐近线方程并不相同，这给记忆带来很大的难度.但利用一个统一的渐近线公式y＝±x，可将难度降低.如在双曲线＝1中，因为，所以渐近线方程为y＝±x；又如在双曲线＝1中，因为，所以渐近线方程为y＝±x. 5. 双曲线的离心率 与椭圆类似，双曲线的离心率是指双曲线的焦距与实轴长的比值，用e表示，即e＝.因为在双曲线中有c＞a＞0，所以在双曲线中e＞1. 6. 求离心率是圆锥曲线中最常见的题，求双曲线的离心率与求椭圆的离心率解题思路相同，通常有两个： (1)由题设得出a，b之间或b，c之间的比值，再结合a2＋b2＝c2将e＝解出. (2)根据题设条件得出关于a，c的一个方程ma2＋nac＋pc2＝0(m，n，p为常数)，再两边同时除以a2，将用e代替，从而得到一个关于e的一元二次方程，解之即得. 在这两种解题思路中，以第一种解题思路较常见. 例1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 例2　 如图，已知点F1，F2是双曲线＝1的左右焦点，PQ是过点F2在右支的弦，且PQ的倾斜角为α，那么的值是(　　) A. 16 　　B. 12 C. 8 　　D. 随α的大小而变化 例3　已知双曲线过点(2，3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是(　　) A. ＝1 B. ＝1 C. x2－＝1 D. ＝1 例4　如图，设点F1和点F2为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点， 若点F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(　　) A. 　　　　 B. 2 C. 　　　　 D. 3 一、填空题 1. 双曲线＝1的离心率为　　　　 ，渐近线方程为　　　　　　　.  2. 双曲线＝1的焦距是　　　　　，渐近线方程为　　　　　　　.   3. (2022北京卷)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝　　　　.  4. (2025全国Ⅰ卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　) A. B. 2 C. D. 2 二、选择题 1. 双曲线x2－9y2＝9的两焦点为点F1，F2，点A为双曲线上一点，如果＝7，则＝(　　) A. 5＋ B. 5± C. 1 D. 13或1 2. 过双曲线x2－4y2＝4的焦点F1且在双曲线一支上的弦AB的长度为5，点F2为另一焦点，则△ABF2的周长为(　　) A. 16　 B. 18 C. 20 D. 24 3. 双曲线x2－＝1的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角是(　　) A. 60°　 B. 90°　 C. 120° D. 150° 4. 设双曲线的一个焦点为点F，虚轴的一个端点为点B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 5. 点F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且＝3，则双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 6.(2023全国甲卷)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A. B. C. D. 7.已知点F1，F2是双曲线E：＝1的左、右焦点，点M在双曲线 E上，MF1与x轴垂直，sin ∠MF2F1＝，则双曲线E的离心率为(　　) A. B. C. D. 2 8. (2021全国甲卷)已知点F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P为双曲线C上一点，且∠F1PF2＝60°，＝3，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 9. (2024天津卷)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 10. (2020全国Ⅲ卷)设双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为点F1，F2，离心率为. 点P是双曲线C上一点，且F1P⊥F2P. 若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 11. (2022全国乙卷)(多选)双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2＝，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 12. (多选)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为点F1，F2，点M在双曲线的左支上.若2MF2＝5MF1，则双曲线的离心率可以是(　　) A. 3 B. C. 2 D. 第二节　双曲线 典例精析 例1　把方程化为标准方程得＝1. 由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝5， 焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；离心率e＝，渐近线方程为y＝±x. 例2　依题意，长半轴长a＝4. 由双曲线的定义得 ＝8，……① ＝8，……② ①＋②得－()＝16. 又，∴＝16，选A. 例3　方法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得∴该双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是＝1(a＞0，b＞0)，由题意得无解. 故该双曲线的标准方程为x2－＝1，选C. 方法二：当其中的一条渐近线方程y＝x中的x＝2时，y＝2＞3，又点(2，3)在第一象限，∴双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得∴该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C. 方法三：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，即＝±x，∴可设双曲线的方程是x2－＝λ(λ≠0)，将点(2，3)代入，得λ＝1，∴该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C. 例4　设双曲线的半焦距为c，依题意，△PF1F2为正三角形，边长为＝2c，PO为该正三角形边F1F2上的高，由正三角形的有关性质可知c，又由题设有＝2b， 故2b＝c，……① 又a2＋b2＝c2，……② 联立①②解得e＝＝2，故选B. 巩固练习 一、填空题 1. 　y＝±x　由题意可知，a2＝9，b2＝16，c＝＝5，∴该双曲线的离心率e＝，由知识梳理4，渐近线方程为y＝±x. 2. 2　y＝±x　由题意可知，c＝，∴双曲线的焦距为2c＝2，由知识梳理4，渐近线为y＝±x. 3.－3　对于双曲线y2＋＝1，∴m＜0，即双曲线的标准方程为y2－＝1，则a＝1，b＝，又双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，∴，即，解得m＝－3.故答案为－3. 4.D　设双曲线的实轴长，虚轴长，焦距分别为2a，2b，2c.由题知，b＝a，于是c2＝a2＋b2＝a2＋7a2＝8a2，则c＝2a，即e＝＝2. 二、选择题 1.D　根据双曲线方程得a＝3，由双曲线的定义得，||AF1|－|AF2||＝2a，即|7－|AF2||＝6，∴|AF2|＝13或1. 2.B　依题意，将双曲线方程转化为－y2＝1，a2＝4，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5.∵|AB|＝5，∴|AF1|＋|BF1|＝5，根据双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，∴|AF2|＝|AF1|＋4，|BF2|＝|BF1|＋4，∴|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋8＝13，△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝13＋5＝18. 3.C　双曲线x2－＝1的渐近线为y＝±x，较小的斜率是－，即倾斜角的正切值是－，∴倾斜角是120°. 4.D　设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，则其渐近线方程为y＝±x，设双曲线的右焦点为点F(c，0)，虚轴的上端点为点B(0，b)，则直线FB的斜率kFB＝＝－，∵直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，取渐近线方程y＝x，∴－×＝－1，∴b2＝ac.∵b2＝c2－a2，∴c2－ac－a2＝0，∴e2－e－1＝0，解得e＝，∵双曲线的离心率e＞1，∴e＝. 5.D　点F1，F2分别是双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，|AF1|＝3|AF2|，则|AF1|＝3a，|AF2|＝a.三角形F1F2A中∠F1AF2＝90°，根据勾股定理可得10a2＝4c2，e2＝，即e＝. 6.D　由e＝，则＝1＋＝5，解得＝2， ∴双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x， 则圆心(2，3)到渐近线的距离d＝， ∴弦长|AB|＝2＝2.故选D. 7.A　由MF1⊥x轴，得M，∴|MF1|＝，由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝2a＋， 又sin∠MF2F1＝⇒a2＝b2⇒a＝b， ∴e＝. 8.A　∵＝3，∴＝2＝2a，∴＝a， ＝3a.∵∠F1PF2＝60°，∴4c2＝9a2＋a2－2×3a·a·cos 60°，整理可得4c2＝7a2，e2＝，即e＝.故选A. 9.C　如下图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，求得sin θ1＝. ∵∠F1PF2＝90°，∴·＝－1，求得＝－，即tanθ2＝，sinθ2＝，由正弦定理可得：∶∶＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，则由＝m得＝2m，＝2c＝m，由·m·2m＝8得m＝2，则＝2＝4＝2c＝2，c＝，由双曲线第一定义可得＝2a＝2，a＝，b＝，∴双曲线的方程为＝1. 10.A　∵，∴c＝a，根据双曲线的定义可得＝2a，·＝4，即·＝8. ∵F1P⊥F2P，∴＝(2c)2， ∴＋2·＝4c2， 即a2－5a2＋4＝0，解得a＝1，故选A. 11.AC　依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G， 若M，N分别在左右支，∵OG⊥NF1，cos∠F1NF2＝＞0，∴N在双曲线的右支，又＝a，＝c，＝b， 设∠F1NF2＝α，∠F2F1N＝β， 在△F1NF2中，有， 故，即， ∴， 而cos α＝，sin β＝，cos β＝，故sin α＝， 代入整理得到2b＝3a，即， ∴双曲线的离心率e＝. 若M，N均在左支上， 同理有，其中β为钝角，故cosβ＝－， 故， 即， 代入cos α＝，sin β＝，sin α＝，整理得到， 故a＝2b，故e＝，故选AC. 12.BCD　由双曲线的定义可得＝2a，根据点M在双曲线的左支上，可得≥c－a，∴e＝≤，∴双曲线离心率的最大值为，故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $