第5章 第13节 正弦定理、余弦定理-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了正弦定理、余弦定理及其变式、面积公式、边角互换等核心考点，按定理本质、变式应用、综合解题构建知识网络，通过例题探究和任务驱动，引导学生自主推导公式联系，形成解三角形的完整认知体系。 亮点在于诊断性练习与真题融合设计，如设置9道填空题和10道选择题，涵盖基础应用与高考真题，培养学生逻辑推理与数学运算素养。每个例题配解题反思，学生可自主诊断薄弱点，教师能通过练习反馈精准指导，提升复习实效。

第十三节　正弦定理、余弦定理 如图，在△ABC(角A，B，C所对的边分别为a，b，c)中有： 1.正弦定理 ＝2R (R为△ABC的外接圆半径)； 常用的变式有. 2. 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA. b2＝a2＋c2－2accosB. c2＝a2＋b2－2abcosC. 常用的变式有cosA＝，cosB＝，cosC＝. 简言之，余弦定理是已知一个三角形的两边和这两边的夹角求第三边的运算；而余弦定理的变式则告诉我们已知一个三角形的三边可以求出任意一个角的余弦. 3. 三角形的面积公式 S＝absin C＝bcsin A＝acsin B. 4. 由于在△ABC中有A＋B＋C＝π，所以由诱导公式不难有： sin(A＋B)＝sin C　　　　 cos(A＋B)＝－cos C　　　　 tan(A＋B)＝－tan C 5. 边角互换 在△ABC中(角A，B，C所对的边分别为a，b，c)，边角互换是指在一个关于a，b，c的齐次方程中，a，b，c分别可用sinA，sinB，sinC代替；反过来，如果把sin A，sin B，sin C当成一个整体，则关于这三个整体的齐次方程中，sin A，sin B，sin C也可用a，b，c去代替(在分式中，当分子、分母的每一项次数相等时也可采用类似的方法替换). 例1　在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝. (1)求AB的值；(2)求sin A的值. 例2　设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsin A. (1)求B的大小；(2)若a＝3，c＝5，求b. 例3　在△ABC中，已知tan B＝，cos C＝，AC＝3，求△ABC的面积. 例4　　设a，b，c为△ABC的三边，则下列哪些等式能用边角互换变形?哪些不能? ①a2＋b2＝c2； ②a＋b＝c＋1； ③a2＋bc＝c2； ④2cos C(acos B＋bcos A)＝c. 例5　 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，则c＝　　　　　.  (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则B＝　　　　　.   一、填空题 1.在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，则B＝　　　　　.   2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝. 3. (2019全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知bsin A＋acos B＝0，则B＝　　　　　.   4. (2017全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝　　　　　.  5. (2018浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝　　　　　，c＝　　　　　.   6. (2021全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝　　　　　.  7. 在△ABC中，A＝，a＝c，则＝　　　　　.  8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为　　　　　.  9. 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为　　　　　 .  二、选择题 1. (2016全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A. B. C. 2 D. 3 2. 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　　) A. B. 　 C. D. 3 3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为(　　) A. 2＋2 B. ＋1 C. 2－2 D. －1 4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cosB＝(　　) A. B. 　 C. D. 5. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则C＝(　　) A. B. 　 C. D. 6. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　) A. B. C. D. 7. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　) A. 2 B. 2 C. D. 1 8.(2023全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则∠B＝(　　) A. B. C. D. 9. 设△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 若bcos C＋ccos B＝asin A， 则△ABC的形状为(　　) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 10. (2024全国甲卷理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A. B. C. D. 第十三节　正弦定理、余弦定理 典例精析 例1　(1)如图，由余弦定理， AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝22＋12－2×2×1×＝2，故AB＝. (2)由cosC＝知C为锐角，易得sin C＝. 由正弦定理，得，解得sin A＝. 例2　(1)由正弦定理的变式有，故由已知有sin A＝2sin Bsin A，∵sin A≠0，∴2sin B＝1.于是sin B＝，故B＝. (2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝＋52－2×3×5×＝7， 即b＝. 例3　依题意可得B＝且C为锐角，易得sin C＝，由正弦定理，得，解得AB＝8. 又∵在△ABC中有A＋B＋C＝π， ∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C ＝××. △ABC的面积S＝bcsinA＝×3×8× ＝6＋8. 例4　①③④可以，②不行.将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C代入上述等式后，①③④中的2R可以约掉，②中的2R不能约掉.边角互换后三等式变形如下： ①sin2 A＋sin2 B＝sin2 C； ③sin2 A＋sin Bsin C＝sin2 C； ④2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 进一步有2cos Csin(A＋B)＝sin C， 进一步有 2cos Csin C＝sin C. 于是cos C＝，C＝60°. 例5　(1)由边角互换得 sin Bcos A＋sin Acos B＝c·sin C， 故sin(A＋B)＝csin C，于是sin C＝csin C. 又0＜C＜π，故sin C≠0，故c＝1. (2)由余弦定理得cos B＝，则a2＋c2－b2＝2accos B. 又∵S＝(a2＋c2－b2)，∴acsin B＝×2accos B， ∴tan B＝.∵B∈(0，π)，∴B＝. 巩固练习 一、填空题 1.　sin B＝，得B＝. 2. 75°　，即sin B＝，结合b＜c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°. 3.　由题得，sin A sin B＋sin A cos B＝0，又sin A＞0，故sin B＋cos B＝0，tan B＝－1，B∈(0，π)，B＝. 4.　由题得2sin Bcos B＝sin A cos C＋sin Ccos A＝sin (A＋C)＝sin B⇒cos B＝，得B＝. 5. 　3　由正弦定理知，sin B＝，cos 60°＝，解得c＝3，c＝－1(舍). 6.2　由题意，S△ABC＝acsin B＝ac＝， ∴ac＝4，a2＋c2＝12，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，解得b＝2(负值舍去).故答案为2. 7. 1　，sin C＝，C＝，B＝π－，B＝C，故△ABC为等腰三角形，即b＝c，＝1. 8. 30°　将题中等式两边平方得1＋2sin B cos B＝2，sin 2B＝1，B∈(0，π)，B＝45°，，解得sin A＝，又a＜b，故A＜B＝45°，A＝30°. 9.　A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，故B＝.∵AD为边BC上的中线，∴BD＝2， AD＝. 二、选择题 1.D　由余弦定理得cos A＝，即，整理得b2－b－1＝(b－3)＝0，解得b＝3. 故选D. 2.B　由余弦定理知，cos A＝，sin A＝，h＝AB sin A＝3sin A＝. 3.B　c＝＝2，A＝，sin A＝sin ，S△ABC＝bc sin A＝＋1. 4.B　，A＝2B，，cos B＝. 5.B　b＋c＝2a，5sin B＝3sin A⇒5b＝3a，解得a＝b，c＝，cos C＝＝－，C∈(0，π)，C＝. 6.B　sin B＋sin A(sin C－ cos C)＝sin(A＋C)＋sin A·(sin C－cos C)＝sin AcosC＋cos Asin C＋sin Asin C－sin A·cos C＝sin Ccos A＋sin Asin C＝0，由题知sin C≠0，可得tan A＝－1，A∈(0，π)，A＝. 由正弦定理得，，sin C＝，C＝. 7.B　⇒cos A＝. 由余弦定理知1＝3＋c2－3c，c＝2，c＝1(舍). 8.C　由题意结合正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C， 即sin Acos B－sin Bcos A＝sin＝sin A·cos B＋sin Bcos A， 整理可得sin Bcos A＝0，由于B∈，故sin B＞0， 据此可得cos A＝0，A＝， 则B＝π－A－C＝π－.故选C. 9.A　由正弦定理知sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A sin A，∴sin A＝1，A∈(0，π)，A＝，故为直角三角形. 10.C　∵B＝，b2＝ac，∴由正弦定理得sin A·sin C＝sin2B＝.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac，即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sin Asin C＝，∴(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝，∵A，C为三角形内角，∴sin A＋sin C＞0，∴sin A＋sin C＝. 学科网（北京）股份有限公司 $