第5章 第12节 常用的两个小技巧-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了三角函数中齐次方程求正切值、(sinα±cosα)²与sin2α关系两大核心技巧，以“概念解析-典例精析-巩固练习”为逻辑主线，通过问题链设计（如例1方程转化、例3平方关系应用）引导学生自主推导方法本质，构建三角函数运算的知识网络。 亮点在于自主诊断与分层提升设计，设置诊断性自测（6道梯度练习题含2021新高考Ⅰ卷真题），学生通过错题定位薄弱环节，发展数学思维（运算推理）和数学语言（符号转化）素养。每个技巧配套“方法提炼-易错警示”模块，帮助学生形成个性化解题策略，教师可依据练习反馈实施分层指导，提升备考实效。

第十二节　常用的两个小技巧 1. 齐次作商求正切 本节把形如asin α＋bcos α＝0和asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α＝0的方程叫做关于sin α、cos α的齐次方程，其中前者叫一次齐次方程，后者叫二次齐次方程(a，b，c为常数).对这两种方程可分别在方程的两边同时除以cos α和cos2α得到关于tan α的方程，从而可解出tan α的值. 2. (sin α±cos α)2＝1±sin2α的应用 该等式建立起sin α±cos α和sin2α之间的内在联系，在很多题中如果能巧妙地运用这种关系能得到意想不到的效果. 例1　已知α是第二象限的角，且sin2α－3cos2α－2sin αcos α＝0，求tan α的值. 例2　已知tan α＝－，求的值. 例3　已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，求sin θ－cos θ的值. 1. 已知tan α＝－2，则＝　　　　　.  2. 已知α是第三象限的角，且sin2α－2cos2α＝sin αcos α，则tan α＝　　　　　.   3. 已知sin x＋cos x＝，则sin 2x ＝　　　　　.  4. 已知 sin＝－，则 sin 2x＝　　　　　.   5. 已知sin θ＋cos θ＝，且≤θ≤，则cos 2θ的值是　　　　　.   6. (2021新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A. － B. － C. D. 第十二节　常用的两个小技巧 典例精析 例1　∵α是第二象限的角，∴cos α≠0，方程两边同时除以cos2α得tan2α－2tan α－3＝0， ∴tan α＝3或tan α＝－1. 又α是第二象限的角，故tan α＝－1. 对于齐次分式，也可用类似方法处理. 例2　分子、分母同时除以cos2α得 原式＝. 例3　将原式两边同时平方得1＋sin 2θ＝. 故sin2θ＝－.……① 又由题设，2θ∈(0，2π)，由上述结果，可进一步推断2θ∈(π，2π)，从而θ∈.……② 令sinθ－cos θ＝a，两边同时平方得1－sin 2θ＝a2， 所以a2＝. 又由②知θ∈，则sin θ＞0，cos θ＜0， 故a＝sin θ－cos θ＞0，于是a＝. 巩固练习 1. 10　∵tan α＝－2，∴cos α≠0.令分子、分母同时除以cos α，则有＝10. 2. 2　由已知sin 2α－2cos 2α＝sin αcos α，等式两边同时除以cos2α，则，化简得tan 2α－2＝tan α，即tan 2α－tan α－2＝0，计算得tan α＝2或tan α＝－1，α是第三象限的角，所以tan α＞0，即tan α＝2. 3. －　等式两边同时平方得1＋2sin xcos x＝，故sin 2x＝－. 4.　由sin＝－，将其用两角差的正弦公式展开得(sin x－cos x)＝－. 再将其两边平方，得(1－sin 2x)＝，故sin 2x＝. 5. －　由sin θ＋cos θ＝，将两边平方得(sin θ＋cos θ)2＝，化简得1＋2sin θcos θ＝，即1＋sin 2θ＝，sin 2θ＝－，即cos 2θ＝±. ∵≤θ≤，∴π≤2θ≤，故cos 2θ＜0，即cos 2θ＝－. 6.C　＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $