第5章 第11节 对称问题-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案系统梳理了三角函数对称问题核心考点，涵盖y=Asin(ωx+φ)的对称轴与对称中心、y=Atan(ωx+φ)的对称中心及周期关系，通过概念定义、性质归纳、典例解析构建知识网络，以问题链引导学生自主推导对称规律，形成系统性认知。 亮点在于诊断性练习与真题融合设计，如设置11道分层练习题含2022-2025年高考真题，学生可通过错题定位薄弱点，培养数学思维与数学眼光。每个考点配方法指导（如对称轴判断依据f(m)=±A），帮助学生自主诊断提升，教师可依学情精准辅导，实现个性化复习。

第十一节　对称问题 三角函数中的对称问题主要是指函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象的对称轴和对称中心问题，偶尔涉及函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0)的图象的对称中心问题. 1. 在函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象中(如图所示)，过该图象的波峰或波谷且垂直于x轴的直线均是此函数图象的对称轴，如直线x＝a，x＝b，x＝c等.而此图象与x轴的每一个交点都是该图象的对称中心，如M，N，Q等.当x∈R时，y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴有无数多条，对称中心有无数多个. 2. 函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象也有对称中心，且对称中心有无数多个，但没有对称轴，如图所示. 图中，不仅图象与x轴的交点M，N，O，Q为对称中心，渐近线与x轴的交点A、B、C、D、F也为对称中心，但函数在这些交点处无定义. 3. 直线x＝m是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一条对称轴⇔f(m)＝A或f(m)＝－A；点(n，0)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个对称中心⇔f(n)＝0. 点(m，0)是图象上一点且是函数y＝Atan(ωx＋φ)的一个对称中心⇔f(m)＝0. 4. 在函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象中，相邻两条对称轴和相邻两个对称中心之间的距离都是个周期；一个对称中心和离它最近的对称轴之间的距离是个周期.函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象中，相邻两个对称中心之间的距离为半个周期. 例1　已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　) A. 关于点对称　　　 B. 关于直线x＝对称 C. 关于点对称　　　 D. 关于直线x＝对称 例2　(多选)设函数f(x)＝Msin(M＞0，ω＞0)的周期是π，则下列叙述正确的有(　　) A. f(x)的图象过点 B. f(x)的最大值为M C. f(x)在区间上单调递减 D. 点是f(x)的一个对称中心 1. 函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　) A. x＝　 B. x＝ C. x＝－ D. x＝－ 2. 函数y＝cos的图象的一条对称轴方程是(　　) A. x＝－　　 B. x＝－　　 C. x＝　 D. x＝π 3. 将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A. y＝f(x)是奇函数　　　　 B. y＝f(x)的最小正周期为π C. y＝f(x)的图象关于直线x＝对称　 D. y＝f(x)的图象关于点对称 4. 已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是(　　) A. 　　 B. C. 　 D. 5. 设函数f(x)＝sin＋cos，则(　　) A. y＝f(x)在上单调递增，其图象关于直线x＝对称 B. y＝f(x)在上单调递增，其图象关于直线x＝对称 C. y＝f(x)在上单调递减，其图象关于直线x＝对称 D. y＝f(x)在上单调递减，其图象关于直线x＝对称 6. (2022新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω＞0)的最小正周期为T. 若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A. 1 B. C. D. 3 7. (2022全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D. 8. (2023全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A.－ B. － C. D. 9.(多选)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是(　　) A.f(0)＝ B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C.函数y＝f(x)的图象关于点对称 D.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 10.(多选)已知函数f(x)＝sin 2x＋sin，则(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.曲线y＝f(x)关于对称 C.f(x)的最大值为 D.曲线y＝f(x)关于x＝对称 11. (2025全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 第十一节　对称问题 典例精析 例1　依题可知，ω＝2.∵f＝sin＝sinπ＝0，所以点是f(x)的图象与x轴的交点，故点是该函数图象的对称中心，故A正确； f＝sin＝sin，既不等于函数的最大值1，也不等于函数的最小值－1，所以x＝不是函数图象的对称轴，故B错误； 由f≠0，故C错误；由f＝0，故D错误.故选A. 例2　∵函数f(x)＝Msin(M＞0，ω＞0)的周期是π，∴ω＝2，∴f(x)＝Msin. ∴函数f(x)的最大值为M. 当x∈时，2x＋∈，∴函数在该区间上单调递减. 当x＝时函数的值为0，故点为函数的对称中心. 故选BCD. 巩固练习 1.C　x－＋kπ(k∈Z)，x＝＋kπ(k∈Z)，故选C. 2.B　2x＋＝kπ(k∈Z)，x＝－(k∈Z)，故选B. 3.D　平移后所得函数为y＝cos x，由余弦函数性质得D正确. 4.D　由题知，π＝，ω＝2，向左平移后为g(x)＝sin，又g(x)的图象关于y轴对称，故2|φ|＋＋kπ(k∈Z)，故|φ|＝(k∈Z).故选D. 5.D　∵f(x)＝sin ＋cossin cos 2x，当0＜x＜时，0＜2x＜π，∴f(x)＝cos 2x在区间上单调递减. 又当x＝时，cos＝－，因此x＝是y＝f(x)的一条对称轴. 故选D. 6.A　由函数的最小正周期T满足＜T＜π，得＜π，解得2＜ω＜3，又∵函数图象关于点中心对称，∴ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2，∴ω＝－k，k∈Z，∴ω＝，f(x)＝sin＋2， ∴f＝sin＋2＝1.故选A. 7.C　由题意知曲线C为y＝sin＝sin，又C关于y轴对称，则＋kπ，k∈Z，解得ω＝＋2k，k∈Z，又ω＞0，故当k＝0时，ω的最小值为.故选C. 8.D　∵f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增， ∴，且ω＞0，则T＝π，ω＝＝2. 当x＝时，f取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z， 则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则f＝sin， 则f＝sin，故选D. 9.ABC 该函数图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为g(x)＝sin. ∵g(x)为偶函数，∴g(x)的图像关于y轴对称，于是有g(0)＝±1，即sin＝±1，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)或＋φ＝2kπ－(k∈Z). 结合|φ|＜可得φ＝，∴f(x)＝sin. 对于A，由于f(0)＝sin，故正确； 对于B，当x＝时，f(x)取最大值，故正确； 对于C，当x＝时，2x＋＝π，则f(x)的图象关于点对称，故正确.故选ABC. 10.ACD　f(x)＝sin 2x＋sin＝sin 2x＋sin 2x＋cos 2x＝sin . 对于A，由于f(x)的最小正周期T＝＝π，故正确； 对于C，由于f(x)max＝，故正确； 对于D，由于fsin，故正确. 故选ACD. 11.B　根据正切函数的性质，y＝2tan的对称中心的横坐标满足x－，k∈Z，即y＝2tan的对称中心是，k∈Z，于是a＝，k∈Z，又a＞0，则k＝0时a最小，最小值是. 学科网（北京）股份有限公司 $