5.3.2 课时3 导数的综合应用课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数的综合应用，涵盖函数单调性、极值、方程解的个数及实际问题中的最值求解，通过“饮料瓶利润影响”等实际问题导入，衔接导数基础应用，构建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于以典例（如f(x)=(x+1)e^x的图像绘制、饮料瓶利润建模）为载体，培养数学眼光（观察函数性质与实际问题）、数学思维（逻辑推理解决极值最值）、数学语言（用导数符号表单调性），采用“典例剖析-技巧归纳-变式练习”模式，助力学生提升应用能力，教师可高效开展分层教学。

5.3.2 课时3 导数的综合应用 第五章 一元函数的导数及其应用 ►课本P95 典例剖析 给定函数 f (x)＝(x＋1) ex . (1)判断函数 f (x) 的单调性，并求出 f (x) 的极值； 解：(1)函数的定义域为x∈R. f ′(x)＝(x＋1)′ex ＋(x＋1)(ex)′＝ex＋(x＋1)ex = (x＋2)ex，令f ′(x)＝0，解得 x = -2， x (− ∞，− 2) − 2 (− 2，+ ∞) f ′(x) – 0 + f (x) 单调递减 – 单调递增 所以 f (x) 在 (-∞，-2) 上单调递减，在 (-2，+ ∞) 上单调递增； 当 x＝-2 时，f (x) 有极小值 f (-2) = – . 作者编号：32100 ►课本P95 典例剖析 给定函数 f (x)＝(x＋1) ex . (2)画出函数 f (x) 的大致图象； (2)令 f (x)＝0，解得 x＝-1. 当 x < -1 时，f (x) < 0；当 x >-1 时，f (x) > 0. 所以，f (x) 的图象经过特殊点 A (-2，– )， B (-1，0)，C (0，1)； 当 x → − ∞ 时，与一次函数相比，指数函数 y = e-x呈爆炸性增长，从而 f (x) = → 0；当 x → + ∞ 时，f (x) → + ∞，f ´(x) → + ∞； 综上，可画出函数 f (x) 的大致图象如图所示. O 1 x y f (x) = (x+1)ex 1 -2 -1 -1 (-2, ) 作者编号：32100 ►课本P95 典例剖析 给定函数 f (x)＝(x＋1) ex . (3)求出方程 f (x)＝a (a∈R) 的解的个数. (3)方程 f (x)＝a (a∈R) 的解的个数为函数 y＝f (x) 的图象与直线y＝a 的交点个数；由(1)及右图可得，当 x = – 2 时， f (x)有极小值 f (−2) = – ；所以，关于方程f (x)＝a (a∈R) 的解的个数有如下结论： 当a < 时，解为 0 个； 当 a = – 或 a ≥ 0 时，解为 1 个；当 – < a < 0 时，解为 2 个. x y O 1 -1 -2 • • • 作者编号：32100 技巧归纳 (1) 求出函数 f(x)的定义域； (2) 求导数f ′(x)及函数f ′(x)的零点； (3) 用f ′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f ′(x)在各区间上的正负，并得出 f(x)的单调性与极值； (4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5) 画出 f(x)的大致图象. 由例7可见，函数 f(x)的图象直观地反映了函数 f(x)的性质. 通常，可以按如下步骤画出函数 f(x)的大致图象： 变式练习 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： sin x < x，x∈(0，π). 解：设 f (x) = sin x – x，x∈(0，π)， ∵f ′(x) = cos x – 1 < 0，x∈(0，π)， ∴ f (x) = sin x – x 在 x∈(0，π) 内单调递减； 因此， f (x) = sin x – x < f (0) = 0，x∈(0，π)； 即 sin x < x，x∈(0，π) 成立. O x y 1 y = x –1 π y = sin x 函数图象直观验证 作者编号：32100 问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？ (2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 知识讲解 ►课本P95 典例剖析 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中 r (单位：cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. 当瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？半径多大时，利润最小？ 分析：由题意可知：球形瓶装的体积为：πr3，制造成本是 0.8πr2 分， 每瓶饮料的利润为 y = f (r) = 0.2×πr3 – 0.8πr2 = 0.8π( – r2)，0<r≤6； 再利用导数求解函数的最值即可. 作者编号：32100 ►课本P95 典例剖析 解：由分析可知：y = f (r) = 0.2×πr3 – 0.8πr2 = 0.8π( – r2)，0 < r ≤ 6； 所以f ′(r)= 0.8π(r2 – 2r)；令f ′(r)= 0，解得 r = 2； 当 r∈(0，2)，f ′(r)< 0；当 r∈(2，6)，f ′(r)> 0； 当半径 r > 2 时，f ′(r)> 0，f (r)单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径 r < 2 时，f ′(r)< 0，f (r) 单调递减，即半径越大，利润越低； 综上，半径为 6 cm 时，利润最大；半径为 2 cm 时，利润最小，这时 f (2) < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值. 作者编号：32100 归纳小结 1. 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 ①分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f (x)，并确定函数的定义域； ②求函数的导数 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝0； ③比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值； ④把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论. 归纳小结 2. 几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题， 求解时先设出恰当的变量，将待求最值的问题表示为变量的函数， 再按函数求最值的方法求解，最后检验. 问题：如果不用导数工具，直接观察函数 f (r) 的图象，说说有什么发现？ 从图象上可以看出，当 r = 3 时，f (3) = 0，即瓶子的半径是 3 cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当 r > 3 时，利润才为正值. 思考：当 r∈(0，2) 时，f (r) 是减函数，说说它的实际意义是什么？ O r y f (r) = 0.8π ( – r2) 1 2 3 当 r∈(0，2) 时，半径增大，成本增加的速度大于获利增加的速度，且成本大于利润，因此，利润不断减少. 知识讲解 变式练习 某产品的销售收入 y1 (万元)关于产量 x(千台)的函数关系式为 y1＝17x2，生产成本 y2 (万元)关于产量 x (千台)的函数关系式为 y2＝2x3－x2，已知 x>0，为使利润最大，应生产该产品______千台. 解析：由题意，利润 y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0). y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＝0舍去)， 当x∈(0，6)时，y′>0，当x∈(6，＋∞)时，y′<0， ∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数. 则当x＝6时，y有最大值. 作者编号：32100 变式练习 用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积. 由，，得 ∴容器的体积为. ∵，令得 解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，容器的高为 作者编号：32100 变式练习 用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积. ∴(不合题意，舍去). ∴当时，取得极大值，也是最大值，此时 高为 ∴容器高为时容器的体积最大，最大容积为. 作者编号：32100 1. 如何利用导数解决实际问题？ 2. 利用导数解决实际问题过程中，有哪些需要注意的地方？ 通过这节课，大家收获了什么？请谈谈你的想法. 课堂总结 $