5.3.2 课时1 导数与函数的极值课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 课时1 导数与函数的极值 第五章 一元函数的导数及其应用 我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山 之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点． 复习导入 问题 如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 在 x1，x3，x5 处是山峰， 在 x2，x4 处是山谷 这就是我们今天要研究的函数的极值 知识讲解 追问1 如图，函数在a、b点的函数值与它附近的函数值有什么关系？ O x y 函数 f(x)在 x＝a的函数值比它附近的函数值都小. 函数 f(x)在 x＝b的函数值比它附近的函数值都大. ►课本P90 知识讲解 追问2 y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？ O x y f ′(a)＝0 f ′(b)＝0 ►课本P90 知识讲解 追问3 在这些点附近，函数y＝f(x)导数的正负有什么规律？ O x y 在 x＝a 附近 左侧 f ′(x)＞0右侧 f ′(x)＜0 在 x＝b 附近 左侧 f ′(x)＜0右侧 f ′(x)＞0 ►课本P90 知识讲解 O x y （1）函数y＝f(x)极值点：a 叫做极大值点，b 叫做极小值点； （2）函数y＝f(x)极值：f(a)叫做极大值，f(b)叫做极小值； （3）极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极大值 极小值 ►课本P91 知识点一：极值点与极值 知识讲解 观察函数 y＝f(x) 在定义域[a，b]上的图象，回答以下问题： (1)找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？ (2)极大值一定大于极小值吗？ (3)极值点能在区间端点取吗？ y a b x1 x2 x3 x4 O x f(x2) f(x1) f(x4) f(x3) 大 大 小 小 (1)如图； (2)不一定； (3)不能. 作者编号：32100 思考1：一个函数的极大值或极小值是唯一的吗？ 概念提升 不一定 思考2：任何一个函数一定有极大值或极小值吗？上述图, x y O y＝x3 概念提升 不一定 思考3： 导数为 0 的点都是极值点吗？ 不一定，如 f(x)＝x3 →f ′(x)＝3x2 →f ′(0)＝0 但 x＝0 不是该函数的极值点； 要判断一点是否为函数的极值点， 除了要看该点的导数值为 0 ， 还要看该点两侧的导数符号是否相反。 x y f (x)x3 O 概念提升 结论：若f ′(x0)＝0，但 x0 不一定是极值点. 思考4：f ′(x0)＝0是函数在x＝x0 处取得极值的什么条件？ f ′(x0)＝0 x0 是函数 f(x) 的极值点 x0左右两侧导数异号 x0 是函数 f(x) 的极值点 结论：f ′(x0)＝0是可导函数在 x0 处取得极值的必要而不充分条件. f ′(x0)＝0 概念提升 【知识归纳】 极值是一个局部概念：由定义可知，函数的极值只是反映了函数在某一点附近的大小情况，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小； 极值点是自变量的值，极值指的是函数值； 函数的极值不是唯一的，在整个定义域内可能有多个极大值和极 小值； 【知识归纳】 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. 若 f ′(x0)＝0，则 x0 不一定是极值点，只有函数 y＝f ′(x)的变号零点才是函数的极值点． 单调函数一定没有极值． 典例1. 函数 f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，试找出函数 f (x) 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 解：极值点有x2和x4，其中极大值点为x2 ，极小值点为x4. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 y＝f ′(x) ►课本P92 知识讲解 自主练 函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为（ ） A 解：由图象知在(-∞,c),(d,b)上 f ′(x)≥0,所以函数 f (x)在(-∞,c),(d,b)上↗, 在(c，d)上，f ′(x)<0，此时f (x)在(c，d)上↙，所以x＝c时，函数取得极大值， x＝d 时，函数取得极小值，则函数y＝f (x)的极小值点的个数为1. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 作者编号：32100 自主练 设函数 f (x)在R上可导，其导函数为 f ′(x)，且函数 y＝f ′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数 f (x)有极大值 f (2)和极小值 f (1) B. 函数 f (x)有极大值 f (－2)和极小值 f (1) C. 函数 f (x)有极大值 f (2)和极小值 f (－2) D. 函数 f (x)有极大值 f (－2)和极小值 f (2) 解：由题图可知，当x<－2时，f ′(x)>0；当－2<x<1时，f ′(x)<0； 当1<x<2时，f ′(x)<0；当x>2时，f ′(x)>0. 由此可以得到函数f (x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值 D 作者编号：32100 解方程 f ′(x)＝0，当 f ′(x0)＝0 时， ①如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f (x0)是 ； ②如果在 x0 附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么 f (x0)是 . 极大值 极小值 知识点二：求函数极值的方法 知识讲解 ►课本P91 典例2. 求函数 f (x)＝ x3－4x＋4 的极值. 解：f ′(x) = x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)，令 f ′(x) = 0，解得 x = 2 或 – 2； 当 x 变化时，f ′(x)，f (x) 的变化情况如下表： x (− ∞，− 2) − 2 (− 2，2) 2 (2，+ ∞) f ′(x) + 0 − 0 + f (x) 单调递增 单调递减 − 单调递增 当x =−2时，f (x)有极大值，且极大值为f(– 2) = ； 当x =2时，f (x)有极小值，且极小值为f (2)= − . O – 2 x y f (x) = x3 – 4x + 4 2 函数图象 知识讲解 【方法归纳】 (1)求导：写出函数的定义域及导数 f ′(x)； (2)求临界点：令 f ′(x)＝0，解方程； (3)列表：将 x，f ′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； (4)求极值：由 f ′(x)在各个开区间内的符号判断极值情况： 如果左正右负，那么函数 f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数 f(x)在这个根处取得极小值。 求函数极值的步骤 自主练 求函数 f (x) = 6x2 – x – 2 的极值. 解：∵ f ′(x) = 12x – 1，令 f ′(x) = 0，解得 x = ； 当 x 变化时，f ′(x)，f (x) 的变化情况如下表： x (− ∞，) (，+ ∞) f ′(x) – 0 + f (x) 单调递减 – 单调递增 当 x = 时，f (x) 有极小值，且极小值为 f () = – . ►课本P92 作者编号：32100 ►课本P92 自主练 求下列函数的极值： (1) f (x)＝x3－27x； (2) f (x)＝6＋12x－x3. 解：(1)函数f (x)的定义域为R，且 f ′(x)＝3x2－27. 令f ′(x)＝0，得x＝±3 当 x 变化时，f ′(x) 与 f (x)的变化情况如下表： x (–∞， –3) –3 (–3，3) 3 ( 3，+∞) f '(x) 0 0 f (x) 54 －54 – + + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，f (x)在x=－3时取得极大值，且极大值为f (－3)=54； f (x)在x=3时取得极小值，且极小值为f (3)=－54. 作者编号：32100 ►课本P92 自主练 求下列函数的极值： (1) f (x)＝x3－27x； (2) f (x)＝6＋12x－x3. (2) 同理可得，f (x)在 x＝-2时取得极小值, 且极小值为f (-2)＝-10； f (x)在 x＝2时取得极大值，且极大值为f (2)＝22. 作者编号：32100 ►课本P92 自主练 求函数 f (x)＝x3－3x2－9x＋5的极值. 解：函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝3x2－6x－9，令f ′(x)＝0，3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f (x)，f ′(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 ∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10； 当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22. 作者编号：32100 1．(多选)函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( 　 　) A．在(1,2)上函数f (x)是增函数 B．在(3,4)上函数f (x)是减函数 C．在(1,3)上函数f (x)有极大值 D．x＝3是函数f (x)在区间[1,5]上的极小值点 解析：根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f ′(x)>0；x∈(2，4)时，f ′(x)<0，x∈(4，5)时，f ′(x)>0. ∴f (x)在(1，2)，(4，5)上是增函数，在(2，4)上是减函数，x＝2是f (x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点．故选ABC. ABC 当堂检测 2．设函数 f (x)＝xex，则( 　　) A．x＝1为 f (x)的极大值点 B．x＝1为 f (x)的极小值点 C．x＝－1为 f (x)的极大值点 D．x＝－1为 f (x)的极小值点 解析　令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1. 当x＜－1时，f ′(x)＜0； 当x＞－1时，f ′(x)＞0. 故x＝－1为f (x)的极小值点，故选D． D 当堂检测 3．求下列函数的极值. 解　(1)函数f (x)的定义域为R. 令f ′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ 0 － f (x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 当堂检测 3．求下列函数的极值. x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ 0 － f (x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由上表可以看出， 当x＝-1时，函数有极小值，且极小值为f (-1)＝-3； 当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝-1. 当堂检测 3．求下列函数的极值. 令f ′(x)＝0，解得x＝e. 当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － f (x) ↗ 极大值 ↘ 当堂检测 －2 解析：f ′(x)＝3x2＋2ax＋b， 当堂检测 1. 极小值、极大值的概念 3. 求可导函数 f (x) 极值的步骤 2. 判断函数 f (x) 极值的方法 通过这节课，大家收获了什么？请谈谈你的想法. 课堂总结 f′(x)＝＝－. (1) f (x)＝－2； (2) f (x)＝. (1) f (x)＝－2； (2) f (x)＝. (2)函数f (x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝. 因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f (e)＝，没有极小值. (1) f (x)＝－2； (2) f (x)＝. 解得则a＋b＝－2. 4. 已知曲线f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3， 且x＝是y＝f (x)的极值点，则a＋b＝_____. 由题意知即 $