专题03 一次函数、反比例函数及其应用7大题型（题型专练）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 一次函数、反比例函数及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一次函数的图象与性质 题型02 一次函数的平移 题型03 一次函数的实际应用 题型04 反比例函数的图象与性质 题型05反比例函数的函数值的大小比较 题型06 反比例函数的实际应用 题型07 反比例函数与一次函数的综合 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01一次函数的图象与性质 典例引领 【典例01】（2024·天津·中考真题）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于___________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握：在正比例函数中，当时，随的增大而增大，图象经过第一、三象限；当时，随的增大而减小，图象经过第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴的值可以等于． 故答案为：（答案不唯一）． 【典例02】（2025·天津·模拟）下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，对于一次函数当一次项系数大于0时，则y随x的值的增大而增大，当一次项系数小于0时，则y随x的值的增大而减小，对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而增大，在对称轴左侧y随x的值的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而减小，在对称轴左侧y随x的值的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：A、由于，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； B、由于，则当时，y随x的值的增大而增大，符合题意； C、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； D、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而增大，当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； 故选：B． 方法透视 考向解读 一次函数图象分布、增减性、截距意义，天津中考基础必考 方法技能 k 定增减，k>0 递增，k<0 递减；b 定与 y 轴交点，b>0 交正半轴，b<0 交负半轴；k、b 同号定图象所在象限。 变式演练 【变式01】（2025·天津·模拟预测）一次函数经过第一、三、四象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数经过的象限求参数的范围，解题关键根据题意列出不等式组． 先根据一次函数的图象与性质列出不等式组，再解这个不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数经过第一、三、四象限， ∴，解得：， 故答案为： ． 【变式02】 （2025·天津西青·一模）函数（是常数）的图象不经过第二象限，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（小于等于0的数均可） 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此可得b的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵函数（是常数）的图象不经过第二象限， ∴， ∴符合题意的b的值可以为， 故答案为：（小于等于0的数均可）． 【变式03】（2025·天津·一模）若一次函数（是常数，）的图象经过第二、一、四象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案为不唯一，只要满足即可） 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，直接利用函数经过的象限进而得出即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、一、四象限， ∴， ∴可以取， ∴故答案为：（答案为不唯一，只要满足即可）． 【变式04】（2025·天津北辰·一模）若一次函数（k、b是常数，）的图像与直线平行，且过点，则一次函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求直线的解析式以及两条直线平行或相交的问题，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 根据平行得到不变，则解析式为，再代入即可求解． 【详解】解：∵一次函数（k、b是常数，）的图像与直线平行， ∴解析式为， 代入得：， 解得：， ∴解析式为， 故答案为：． 题型02 一次函数的平移 典例引领 【典例01】（2023·天津·中考真题）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】5 【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度， 平移后的直线解析式为：． 平移后经过， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【典例02】（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 方法透视 考向解读 天津中考常以选择题、填空题考查一次函数图象平移规律，判断平移后解析式，属于基础必得分题型。 方法技能 1. 平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项；2. 平移只改变截距b，不改变斜率k，直线平行；3. 沿 x 轴平移改变 x 的表达式，沿 y 轴平移直接加减常数；4. 先写原解析式，再按方向与单位长度代入规则计算新解析式。 变式演练 【变式01】（2025·天津·模拟预测）将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，根据一次函数图象平移的规律“上加下减”（对于，向上平移个单位时，解析式变为；向下平移个单位时，解析式变为），对直线进行平移． 【详解】解：直线向上平移个单位长度，根据“上加下减”原则，平移后直线的解析式为， 故答案为：． 【变式02】（2025·天津和平·三模）把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据平移得，再把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点， ∴， ∴把代入， 得， 解得． 故答案为： 【变式03】（2025·天津西青·二模）函数的图象向上平移3个单位后经过点，则a的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象平移，熟练掌握根据一次函数平移规律：左加右减，上加下减，确定出平移后一次函数解析式是解题的关键．利用平移的规律求得平移后的直线解析式，再把点代入得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移3个单位后，得到， 把点代入， 得， 故答案为：． 【变式04】．（2025·天津南开·一模）将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，根据平移规则：上加下减，求出平移后的直线的解析式，令，求出直线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：由题意，直线的解析式为：， ∴当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； 故答案为：． 题型03 一次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 【典例02】（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时， (2) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可； ③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可. （2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社， ∴张华的骑行速度为， ∴张华离家时，张华离家， 张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是， 张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是． 故答案为：. ②, 故答案为：． ③当时，张华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：当时，，当时，，当时，． （2）张华爸爸的速度为：， 设张华爸爸距家，则， 当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有， 解得：， ∴， 故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是． 方法透视 考向解读 天津中考解答题高频考点，常结合行程问题、销售利润、工程进度、计费问题等实际背景，考查解析式求解、最值、方案选择。 方法技能 1. 审题：确定自变量与因变量，找出关键数量关系；2. 设解析式：设为 y=kx+b 或正比例函数 y=kx；3. 代入已知点坐标，列方程求k、b；4. 根据实际意义确定自变量取值范围；5. 利用增减性求最大值、最小值，选择最优方案。 变式演练 【变式01】（2025·天津和平·三模）已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①，，；②120；③；④当时，；当时， (2) 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据函数图象得出每个小明离开家的时间所对应的离家的距离，进行作答即可； ②运用时间相减即可作答； ③根据路程除以时间等于速度，即可作答． ④根据函数图象得当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为，运用待定系数法进行作答即可． （2）先由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为，得到当小明离开科技馆时，小明已经走了，再设小华和小明相遇时，小华走了分钟，列式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：①根据函数图像， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为； 故答案为：，，； ② ∴小明在科技馆参观学习花费的时间为； 故答案为：120； ③ ∴小明从科技馆返回家的速度为； 故答案为：； ④依题意，当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； 设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为， 依题意，把，代入得， ， 解得， ∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； （2）解：由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为， 当小明离开科技馆时，小明已经走了， 设小华和小明相遇时，小华走了分钟，小华的速度为， ∴， 解得， 则， ∴当小华和小明相遇时，小明离家的距离是． 【变式02】（2025·天津红桥·三模）已知小明家、超市、学校、书店依次在同一条直线上，超市、学校、书店离小明家的距离分别为．小明放学后从学校出发，先匀速步行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 ②填空：小明从超市返回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)小明的哥哥小亮和小明在同一所学校上学，当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，如果小亮比小明早返回家；那么他在返回家的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1) ①2，1.2，0.4；②0.08；③当时，；当时，；当时，． (2) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据小明的运动过程，计算得出小明离开学校 时，小明离家的距离，再结合函数图象信息填表即可； ②根据速度、时间、路程的关系求解，即可解题； ③结合函数图象，利用待定系数法分情况求解，即可解题； （2）设小亮离家的距离关于时间的函数解析式为，根据题意得到过点，，利用待定系数法求出解析式，再联立求解，即可解题． 【详解】（1）解：①由小明的运动过程可知，小明离开学校 时，小明在书店到超市的路程中间，即小明离家的距离为， 根据图象填表如下： 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 2 1.2 0.4 故答案为：2，1.2，0.4； ②小明从超市返回家的速度为 ； 故答案为：0.08； ③当时，设解析式为， 则，解得， 故； 当时，； 当时，设解析式为， 则，解得， 故． （2）解：小明的哥哥小亮离家的距离关于时间的函数解析式为， 当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，且小亮比小明早返回家； 过点，， 则，解得， ， 联立与，解得， 小亮在返回家的途中遇到小明时离家的距离是． 【变式03】（2025·天津南开·三模）某县在实施“村村通”工程中，决定在，两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从，两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度（单位：）与修筑时间（单位：天）之间的函数图象． 请根据相关信息，回答下列问题． (1)填表： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 360 (2)填空：①乙工程队提前离开了______（天）； ②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）； ③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）； ④该公路的总长度为______（m）； (3)当时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式； (4)甲、乙工程队都施工期间，他们修筑道路的长度相差时，修筑道路的时间的值为多少？（直接写出结果） 【答案】(1)180，560； (2)①4；②70；③840；④1800； (3)当时，；当时，； (4)4，12 【分析】考查一次函数的应用及从函数图象获取信息；数形结合得到所在函数解析式上的点及相关函数解析式是解决本题的突破点． （1）由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米，可得前4天每天修筑（米），再求解并填表即可； （2）根据函数图象进行求解即可； （3）当时及当时，分别用待定系数法求得函数解析式； （4）根据题意对临界点的值分别进行计算，再进行判断即可． 【详解】（1）解：由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米， 前4天每天修筑（米）， 当时，， 由函数图象可以得出，甲前8天共修筑560米， 当时，， 填表如下： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 180 360 560 故答案为：180，560； （2）解：①由函数图象可以得出，乙工程队提前离开了（天）， 故答案为：4； ②由函数图象可以得出，乙工程队修筑道路的速度为（m/天）， 故答案为：70； ③由函数图象可以得出，乙工程队一共修筑道路的长度为， 故答案为：840； ④由③得出，乙工程队一共修筑道路的长度为， 由函数图象可以得出，甲第4天到第16天每天筑道路的长度为， 甲工程队一共修筑道路的长度为， 该公路的总长度为， 故答案为：1800； （3）解：设当时，，将代入得，解得， 当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为， 设当时，，将，代入得 ， 解得， 当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为； （4）解：当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差， 当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差， 的值为4或12． 【变式04】（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①40，5；②7.5；③0.2； (2)； (3)或． 【分析】（1）①根据题意可直接得到a的值；根据“速度＝路程÷时间”求出甲骑行的速度，再由“路程＝速度×时间”求出甲骑行的路程，即b的值； ②根据“路程＝速度×时间”计算即可； ③根据“路程＝速度×时间”计算即可； （2）分段用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据题意，作出乙离A地的距离与时间的图象，根据甲、乙之间的距离列绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：①甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地， ； ∵甲骑行的速度为，甲骑行的路程为， ∴． 故答案为：40，5． ②甲骑行的速度为， 甲出发离A地的距离是， 故答案为：7.5； ③乙骑行的速度为， 故答案为：0.2； （2）解：当时，设函数解析式为， 将代入得：，求得， 当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为； 当时，设函数解析式为， 将代入得： ，解得， 当时， 综上，甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式为； （3）解：设乙的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 乙离A地的距离y关于时间x的函数解析式为． 根据题意，乙离A地的距离与时间的图象如图所示： 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得（舍去）或（舍去）； 综上，或70． ∴当甲乙相距时，甲出发的时间是或． 【变式05】（2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【答案】(1)；15；1 (2) (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5) ；24 【分析】本题主要考查一次函数的应用，通过待定系数法求函数表达式，并根据甲、乙两人的行程情况列出方程是解题的关键． （1）由图象可知，乙比甲提前到达地的时间为甲、乙分别到达地的时间差，乙的速度可由到达地的距离除以到达地的时间即可； （2）根据函数图象，分两段求函数表达式，当时，根据甲、乙速度相同，甲比乙先出发骑行3km，得到一段y关于x的函数表达式；当时，设y关于x的函数表达式为，由于图象经过，两点，将两点分别代入函数表达式得到方程组，求解方程组即可； （3）先根据图象确定乙到达地时对应的值，再代入甲此时对应的函数表达式求出值，用总路程减去值得到甲离地的距离即可； （4）分两种情况讨论，甲、乙相遇前后和乙到达地后的情况，根据甲、乙两人相距2km列出方程求解即可； （5）根据甲乙相遇时两人路程相等，结合图象列出方程，求解方程，再求出此时距离地的距离即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： 解得 因此，y关于x的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； （4）解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； （5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． 题型04 反比例函数的图象与性质 典例引领 【典例01】（2025·天津滨海新区·模拟预测）下面四个关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数，由此判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、是正比例函数，故此选项不符合题意； C、不是反比例函数，故此选项不符合题意； D、是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【典例02】（2025·天津·二模）已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由于反比例函数可知图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解， 熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数可知，图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵点、均在函数的图象上，且， ∴点、不在同一象限，则点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． 方法透视 考向解读 天津中考选择、填空必考，考查反比例函数图象所在象限、对称性、增减性，属于基础核心考点。 方法技能 1. 解析式：；2. 象限判断：k>0 在一、三象限；k<0 在二、四象限；3. 增减性：同一象限内，k>0 时 y 随 x 增大而减小；k<0 时 y 随 x 增大而增大；4. 对称性：关于原点中心对称，关于直线 y=x、y=−x 轴对称；5. x、y 均不能为 0，图象与坐标轴不相交。 变式演练 【变式01】（2025·天津西青·二模）在反比例函数的图形上的一个点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是直接代入验证．把各选项点的横纵坐标相乘，看是不是等于，若等于，则说明在函数图象上，否则不在函数图象上． 【详解】解：， ， A、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； B、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； C、因为，所以在函数图形上，此选项正确； D、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； 故选C． 【变式03】（2025·天津·一模）已知点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】反比例函数的常量， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 点，在反比例函数图象上， ，， A．若，则或，选项错误，不符合题意； B．若，则或，选项错误，不符合题意； C．若，则，选项正确，符合题意； D．若，则，选项错误，不符合题意． 故选： C ． 【变式03】（2025·天津南开·三模）若点，都在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质；掌握函数的图象与性质是解题的关键；由于反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，由此即可作出判断． 【详解】解：∵； ∴当时，， 则；故A正确； 当时，， 则；故B错误； 当时，，的符号不确定， 若，则；若，即，则；故C错误； 当时，，则；故D错误； 故选：A． 【变式04】（2025·天津·二模）如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义．过点D作轴于点F，过点B作轴于点E，设点，则，根据，结合相似三角形的性质写出点B和点D的坐标，再结合的面积列出方程求解即可． 【详解】解：过点D作轴于点F，过点B作轴于点E， 则 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∴，， ， ∵点B和点D在反比例函数图象上，反比例函数图象经过一、三象限， ∴， ∴， ∴，即 ， 解得． 故选：D． 题型05反比例函数的函数值的大小比较 典例引领 【典例01】（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 【典例02】（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 方法透视 考向解读 天津中考选择题常考易错题，已知点的横坐标，比较对应函数值大小，侧重象限与增减性综合判断。 方法技能 1. 先由k的符号确定图象所在象限；2. 判断各点是否在同一象限： ①同一象限：用增减性直接比较； ②不同象限：用正负号比较（正 > 负）；3. 可代入横坐标求函数值再比较；4. 可画草图用图象高低判断。 变式演练 【变式01】（2025·天津河东·二模）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出，，，比较即可获得答案． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， 解得， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式02】（2025·天津西青·二模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质， 根据中，双曲线位于第一，三象限，每一个象限内函数值y随着x的值的增大而减小，再比较可得答案． 【详解】解：∵中， ∴双曲线位于第一，三象限，每一个象限内函数值y随着x的值的增大而减小， 点在第一象限，点在第三象限， ∴． 故选：D． 【变式03】（2025·天津红桥·二模）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质等知识点，掌握反比例函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数性质可得反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：，， ∴反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大， ，， ，， ． 故选：A． 【变式04】（2025·天津南开·二模）点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，由可得出反比例函数的图像在第二，四象限，结合反比例函数图像即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图像在第二，四象限， ∵， ∴，， 则， 故选D． 题型06反比例函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·天津河西·一模）我们知道当杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若阻力和阻力臂分别为和，则要保持杠杆平衡，下列结论中错误的为（   ） A．当动力臂为时，动力为 B．当动力臂为时，动力为 C．动力随着动力臂的加长而增大 D．动力和动力臂之间是反比例关系 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出阻力F和阻力臂l之间的关系是解题关键． 直接利用：阻力阻力臂动力动力臂，进而得出F与l之间的函数表达式；根据所求的函数解析式即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：， 则F与l的函数表达式为：； A、当动力臂时，动力，正确，故A不符合题意； B、当动力臂时，动力，正确，故B不符合题意； C、动力随着动力臂的加长而减小，原说法错误，故C符合题意； D、动力和动力臂之间是反比例关系，正确，故D不符合题意； 故选：C． 【典例02】（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 方法透视 考向解读 天津中考填空、解答题偶考，以物理公式、工程效率、面积、单价总量等实际问题建立模型。 方法技能 1. 从题意中找乘积不变的等量关系；2. 设反比例解析式 y=k/x；3. 代入一组对应值求k，确定解析式；4. 结合实际意义确定 x 的取值范围（通常为正数）；5. 代入求值或根据图象分析变化趋势。 变式演练 【变式01】（2025·天津·一模）如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当R从增加到时，电功率P减少了，则当时，（   ） ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出P与R的函数关系式是解答本题的关键．根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得P的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ， 当时，， 即当时，P的值为， 故选：C． 【变式02】（2024·天津河西·二模）我们知道杠杆原理为阻力阻力臂动力动力臂．小刚欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，那么动力臂与动力之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故选：． 【变式03】（2024·天津和平·一模）如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点 处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数关于的函数解析式，再结合图像即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴弹簧秤的示数关于的函数解析式为， 且该函数图像在第一象限，随的增大而减小， 当时，可有， 越大，弹簧秤的示数越小，而的最大值， ∴若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是． 故选：D． 【变式04】（2025·天津·一模）嘉嘉新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位；）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，请你直接写出该台灯的电阻的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为 (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入解析式，求出R的值即可； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果． 【详解】（1）解：设，由图象可知， 当时，， ， ； （2）解：当时，, 解得； （3）解：当，， 当，， 该台灯的电阻的取值范围为． 题型07 反比例函数与一次函数的综合 典例引领 【典例01】（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)；第二、四象限 (2)点，在反比例函数的图像上，点不在反比例函数的图像上，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． （1）将代入反比例函数解析式即可求得m的值，再根据反比例函数的性质即可解答； （2）将各个点的横坐标代入反比例函数解析式，再对比纵坐标即可； （3）将代入反比例函数解析式，求得横坐标，即可解答． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 该反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限； （2）解：当时，，故点在反比例函数上； 当时，，故点不在反比例函数上； 当时，，故点在反比例函数上； （3）解：当时，； 当时，， 故当时，该反比例函数的函数值y的取值范围为． 【典例02】（2024·天津红桥·一模）已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 【答案】(1)，该反比例函数的图象在第一、 三象限 (2)点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上，理由见解析 (3)6 【分析】（1）由点在该反比例数的图象上， 可得，可求，由，判断反比例函数的图象所在的象限即可； （2）由（1）可知，该反比例函数的解析式为，然后将3个点坐标代入判断即可； （3）由Q为x轴上一点，且，可知是等腰三角形，且点Q的坐标为，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ 点在该反比例数的图象上， ∴， 解得． ∵， ∴该反比例函数的图象在第一、 三象限． （2）解：由（1）可知，该反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上． （3）解：∵Q为x轴上一点，且， ∴是等腰三角形，且点Q的坐标为， ∴， ∴的面积为6． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形是解题的关键． 方法透视 考向解读 天津中考解答题核心题型，考查交点坐标、解析式、图象面积、不等式解集，综合性强。 方法技能 1. 求交点：联立一次与反比例解析式，解方程组；2. 求解析式：用交点坐标代入求 k、b；3. 比较函数值大小：看图象上下位置，直接写不等式解集；4. 求面积：用割补法，转化为矩形 / 三角形计算；5. 结合 k、b 符号判断图象象限与趋势。 变式演练 【变式01】（2025天津·一模）如图所示，已知直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数交于C，D两点，且C点的坐标为．    (1)分别求出直线及反比例函数的表达式； (2)求出点D的坐标； (3)利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，． 【答案】(1)直线的解析式为：；反比例函数的解析式为 (2) (3)当时， 【分析】（1）运用待定系数法进行计算即可得； （2）联立，进行计算即可得； （3）观察函数图象即可得． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ， ∴直线的解析式为：， ∵点在反比例函数上， ∴， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：， 解得， ∴； （3）解：根据函数图象得，当时，． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握． 【变式02】（2025天津·一模）（24-25九年级下·河南·开学考试）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当时，直接写出不等式的解集； (3)如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键． （1）先将代入求出a的值，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象，结合点得出不等式的解集即可； （3）过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将，代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； （2）解：根据函数图象可知：当时，反比例函数图象在正比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为； （3）解：如图，过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F， 则， ， ∵点A绕点B顺时针旋转， ，， ， ， 设点，，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ． 解得，（舍去）， ∴点E的坐标为． 【变式03】（2025天津·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、． (1)求a、k的值； (2)结合图像，直接写出不等式的解集； (3)连接OA、OB，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)的面积为6 【分析】（1）根据待定系数法即可求得k的值，即可求得一次函数的解析式，代入A(a，-2a)即可求得a； (2)根据图像即可求得； (3)由直线解析式求得C点的坐标，从而求出AOB的面积． 【详解】（1）∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、， ∴-2=4k+2， ∴k = -1， ∴， 代入得，-2a=-a+2 解得a=-2， ∴a的值为-2，k的值为-1； （2）∵a=-2， ∴A(-2，-4)， ∵B(4，-2)， 观察图像，当或x>4时， ， ∴不等式的解集为： 或； （3）由直线可知C(2,0)， 所以△AOB的面积 ． 【点睛】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 【变式04】（2025天津·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐标为2， （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）y1=x+1，；（2）x＜－2或0＜x＜4． 【分析】（1）先由一次函数的解析式求出点A与点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，可得到k1的值，从而求出一次函数的解析式；得到点M的坐标，然后运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）y1＞y2即一次函数值大于反比例函数值，只需观察一次函数的图象落在反比例函数的图象的上方时自变量的取值范围即可，为此，先求出它们的交点坐标，再根据函数图象，可知在点M的左边以及原点和点N之间的区间，y1＞y2． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴A（0，1），B（，0）． ∵△AOB的面积为1，∴×OB×OA=1，即．∴． ∴一次函数的解析式为y1=x+1． ∵点M在直线y1上，∴当y=2时，x+1=2，解得x=－2．∴M的坐标为（－2，2） 又∵点M在反比例函数的图象上，∴k2=－2×2=－4， ∴反比例函数的解析式为． （2）当y1＞y2时，x＜－2或0＜x＜4． 解方程组得或， ∴当y1＞y2时，x＜－2或0＜x＜4． 题●型●训●练 1．（2025·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键． 【详解】解：A、是一次函数，故A不不符合题意； B、是二次函数，故B不符合题意； C、不是反比例函数，故C不符合题意； D、是反比例函数，故D符合题意， 故选：D． 2．（2025·天津·模拟预测）对于反比例函数，下列哪个点在反比例函数图像上（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据纵横坐标的乘积为的点在反比例函数上，即可作答． 【详解】解：A、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； B、，该点在反比例函数图象上，故该选项符合题意； C、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； D、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（2025·天津·模拟）已知反比例函数的图象经过点，则该函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．先根据图象经过的点的坐标求出值，再利用反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 该反比例函数的图象位于第二、四象限． 故选：C． 4．（2025·天津·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小，将各点横坐标代入反比例函数，求出，，的值，再比较大小． 【详解】当时，； 当时，； 当时，． 因为， 所以． 故选B． 5．（2025·天津·模拟）如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，据此即可求解． 【详解】根据反比例函数k的几何意义可知，， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴，即． 故选：D． 6．（2025·天津·一模）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质． 设电流与电阻之间的函数关系为，求出电流与电阻之间的函数关系为，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流与电阻之间的函数关系为， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴电流与电阻之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故B选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴，故C选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 7．（2025·天津河西·一模）中国高铁运营速度处于全球领先水平．设京沪高铁列车的平均时速为，则其行驶路程（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了函数解析式的建立，正确理解题意是解题的关键． 根据路程等于速度乘以时间即可建立函数解析式． 【详解】解：由题意得函数解析式为， 故答案为：． 8．（2025·天津河东·二模）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．由函数平移的规律，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴， ∴正比例函数是， 由“上加下减”的原则可知，将正比例函数的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：， 故答案为：． 9．（2025·天津·二模）将一次函数（b为常数）的图象向下平移3个单位后，经过点，则b的值为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了一次函数图象平移，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键． 直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，再将代入求出答案． 【详解】解：根据直线的平移规律：平移后的直线为， 再将点代入， 得， 解得， 故答案为：5． 10．（2025·天津西青·二模）已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题主要考查轴对称——最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．先作出点关于轴的对称点，再连接，求出直线的函数解析式，再把代入即可得． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于， 的坐标是， 直线的函数解析式为， 把点的坐标代入解析式可得． 点的坐标是． 故答案为：． 11．（2025·天津红桥·二模）已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 2 ②填空：李明从超市返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①1，2，；②；③ (2)． 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、求函数的解析式、列一元一次方程解决实际问题、一次函数的应用等知识点，准确理解题意并正确列出函数解析式是解题的关键． （1）①根据图象作答即可；②根据图象，由李明从超市到宿舍的距离除以时间即可解答；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店可得张杰的速度为 ，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：①， 由图填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 1 2 2 故答案为：1，2，． ②张强从体育场到文具店的速度为 ， 故答案为：； ③当时，由函数图象可得：； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得，解得， ∴； 综上，李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式． （2）解：当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店得速度为 ． 当李明在回宿舍的途中遇到张杰时，他俩离宿舍的距离是相等的，设相遇时间为t， 当时，，他们没有相遇， 当时，，解得：（符合题意）， 当时，． 所以，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是． 12．（2025·天津·二模）已知李华家、美术馆、体育馆依次在同一条直线上，美术馆离李华家，体育馆离李华家2km，李华从家骑共享单车匀速骑行到体育馆，在体育馆健身了后，又匀速步行到美术馆，在美术馆参观了后，用了匀速步行返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 离开家的时间/ 2 8 28 45 离家的距离/ 2 ②填空：李华从体育馆返回到美术馆的速度为______； ③当时，请直接写出李华离家的距离y关于x的函数解析式． (2)当李华离开体育馆时，他的爸爸从家出发匀速散步直接去体育馆，如果爸爸的步行速度为，那么爸爸在去体育馆的途中遇到李华时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.5，2，1.5；②0.0625；③当时，；当时， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键． （1）①由图象中数据直接得出结论； ②用文化广场离家的路程除以张华所用时间得出速度； ③用路程、速度、时间之间的关系，即可写出函数解析式； （2）设李华出发分钟时和爸爸相遇，根据两人离家距离相等列出方程，解方程求出，再求出路程即可． 【详解】（1）解：（1）①由图象可填表： 离开家的时间/ 2 8 28 45 离家的距离/ 0.5 2 2 1.5 故答案为：0.5，2，1.5； ②由图象可知，李华从体育馆返回到美术馆的速度为， 故答案为：0.0625； ③当时，； 当时，设y关于x的函数解析式为， 由题意得：，解得， 当时，设y关于x的函数解析式为； （2）解：设李华出发分钟时和爸爸相遇， 根据题意得：， 解方程得：， 此时离家的距离为： 答：爸爸在去体育馆的途中遇到李华时离家的距离是． 13．（2024·天津·模拟）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，或 (2)点M的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及利用分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，利用数形结合的思想即可求出x的取值范围． （2）先求出点C坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，将A点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 由函数图象可知，在直线和之间的部分及直线右侧的部分， 反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，即． 所以x的取值范围是：或． （2）将代入反比例函数解析式得， 所以点C的坐标为． 则． 如图：    当时， ， 所以点坐标为(或． 当时，点在的垂直平分线上， 又因为点C坐标为， 所以点坐标为． 当时，点M在OC的垂直平分线上， 过点作轴于点， 令，则，， 在N中， 即， 解得． 所以点M的坐标为． 综上所述：点M的坐标为或或或． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数、反比例函数及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一次函数的图象与性质 题型02 一次函数的平移 题型03 一次函数的实际应用 题型04 反比例函数的图象与性质 题型05反比例函数的函数值的大小比较 题型06 反比例函数的实际应用 题型07 反比例函数与一次函数的综合 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01一次函数的图象与性质 典例引领 【典例01】（2024·天津·中考真题）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于___________（填一个即可）． 【典例02】（2025·天津·模拟）下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 一次函数图象分布、增减性、截距意义，天津中考基础必考 方法技能 k 定增减，k>0 递增，k<0 递减；b 定与 y 轴交点，b>0 交正半轴，b<0 交负半轴；k、b 同号定图象所在象限。 变式演练 【变式01】（2025·天津·模拟预测）一次函数经过第一、三、四象限，则的取值范围为 ． 【变式02】 （2025·天津西青·一模）函数（是常数）的图象不经过第二象限，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【变式03】（2025·天津·一模）若一次函数（是常数，）的图象经过第二、一、四象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 【变式04】（2025·天津北辰·一模）若一次函数（k、b是常数，）的图像与直线平行，且过点，则一次函数的解析式为______． 题型02 一次函数的平移 典例引领 【典例01】（2023·天津·中考真题）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【典例02】（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 方法透视 考向解读 天津中考常以选择题、填空题考查一次函数图象平移规律，判断平移后解析式，属于基础必得分题型。 方法技能 1. 平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项；2. 平移只改变截距b，不改变斜率k，直线平行；3. 沿 x 轴平移改变 x 的表达式，沿 y 轴平移直接加减常数；4. 先写原解析式，再按方向与单位长度代入规则计算新解析式。 变式演练 【变式01】（2025·天津·模拟预测）将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【变式02】（2025·天津和平·三模）把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，则的值为_______． 【变式03】（2025·天津西青·二模）函数的图象向上平移3个单位后经过点，则a的值是________． 【变式04】．（2025·天津南开·一模）将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为_____． 题型03 一次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【典例02】（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2) 当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 方法透视 考向解读 天津中考解答题高频考点，常结合行程问题、销售利润、工程进度、计费问题等实际背景，考查解析式求解、最值、方案选择。 方法技能 1. 审题：确定自变量与因变量，找出关键数量关系；2. 设解析式：设为 y=kx+b 或正比例函数 y=kx；3. 代入已知点坐标，列方程求k、b；4. 根据实际意义确定自变量取值范围；5. 利用增减性求最大值、最小值，选择最优方案。 变式演练 【变式01】（2025·天津和平·三模）已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【变式02】（2025·天津红桥·三模）已知小明家、超市、学校、书店依次在同一条直线上，超市、学校、书店离小明家的距离分别为．小明放学后从学校出发，先匀速步行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 ②填空：小明从超市返回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)小明的哥哥小亮和小明在同一所学校上学，当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，如果小亮比小明早返回家；那么他在返回家的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【变式03】（2025·天津南开·三模）某县在实施“村村通”工程中，决定在，两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从，两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度（单位：）与修筑时间（单位：天）之间的函数图象． 请根据相关信息，回答下列问题． (1)填表： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 360 (2)填空：①乙工程队提前离开了______（天）； ②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）； ③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）； ④该公路的总长度为______（m）； (3)当时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式； (4)甲、乙工程队都施工期间，他们修筑道路的长度相差时，修筑道路的时间的值为多少？（直接写出结果） 【变式04】（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【变式05】（2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 题型04 反比例函数的图象与性质 典例引领 【典例01】（2025·天津滨海新区·模拟预测）下面四个关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·天津·二模）已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 天津中考选择、填空必考，考查反比例函数图象所在象限、对称性、增减性，属于基础核心考点。 方法技能 1. 解析式：；2. 象限判断：k>0 在一、三象限；k<0 在二、四象限；3. 增减性：同一象限内，k>0 时 y 随 x 增大而减小；k<0 时 y 随 x 增大而增大；4. 对称性：关于原点中心对称，关于直线 y=x、y=−x 轴对称；5. x、y 均不能为 0，图象与坐标轴不相交。 变式演练 【变式01】（2025·天津西青·二模）在反比例函数的图形上的一个点是（ ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·天津·一模）已知点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式03】（2025·天津南开·三模）若点，都在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式04】（2025·天津·二模）如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 题型05反比例函数的函数值的大小比较 典例引领 【典例01】（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 天津中考选择题常考易错题，已知点的横坐标，比较对应函数值大小，侧重象限与增减性综合判断。 方法技能 1. 先由k的符号确定图象所在象限；2. 判断各点是否在同一象限： ①同一象限：用增减性直接比较； ②不同象限：用正负号比较（正 > 负）；3. 可代入横坐标求函数值再比较；4. 可画草图用图象高低判断。 变式演练 【变式01】（2025·天津河东·二模）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·天津西青·二模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·天津红桥·二模）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式04】（2025·天津南开·二模）点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D． 题型06反比例函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·天津河西·一模）我们知道当杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若阻力和阻力臂分别为和，则要保持杠杆平衡，下列结论中错误的为（   ） A．当动力臂为时，动力为 B．当动力臂为时，动力为 C．动力随着动力臂的加长而增大 D．动力和动力臂之间是反比例关系 【典例02】（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 方法透视 考向解读 天津中考填空、解答题偶考，以物理公式、工程效率、面积、单价总量等实际问题建立模型。 方法技能 1. 从题意中找乘积不变的等量关系；2. 设反比例解析式 y=k/x；3. 代入一组对应值求k，确定解析式；4. 结合实际意义确定 x 的取值范围（通常为正数）；5. 代入求值或根据图象分析变化趋势。 变式演练 【变式01】（2025·天津·一模）如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当R从增加到时，电功率P减少了，则当时，（   ） ． A． B． C． D． 【变式02】（2024·天津河西·二模）我们知道杠杆原理为阻力阻力臂动力动力臂．小刚欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，那么动力臂与动力之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2024·天津和平·一模）如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点 处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式04】（2025·天津·一模）嘉嘉新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位；）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，请你直接写出该台灯的电阻的取值范围． 题型07 反比例函数与一次函数的综合 典例引领 【典例01】（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 【典例02】（2024·天津红桥·一模）已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 方法透视 考向解读 天津中考解答题核心题型，考查交点坐标、解析式、图象面积、不等式解集，综合性强。 方法技能 1. 求交点：联立一次与反比例解析式，解方程组；2. 求解析式：用交点坐标代入求 k、b；3. 比较函数值大小：看图象上下位置，直接写不等式解集；4. 求面积：用割补法，转化为矩形 / 三角形计算；5. 结合 k、b 符号判断图象象限与趋势。 变式演练 【变式01】（2025天津·一模）如图所示，已知直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数交于C，D两点，且C点的坐标为．    (1)分别求出直线及反比例函数的表达式； (2)求出点D的坐标； (3)利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，． 【变式02】（2025天津·一模）（24-25九年级下·河南·开学考试）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当时，直接写出不等式的解集； (3)如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 【变式03】（2025天津·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、． (1)求a、k的值； (2)结合图像，直接写出不等式的解集； (3)连接OA、OB，求的面积． 【变式04】（2025天津·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐标为2， （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出时x的取值范围． 题●型●训●练 1．（2025·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·模拟预测）对于反比例函数，下列哪个点在反比例函数图像上（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·模拟）已知反比例函数的图象经过点，则该函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 4．（2025·天津·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·模拟）如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 6．（2025·天津·一模）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．当时， D．当时， 7．（2025·天津河西·一模）中国高铁运营速度处于全球领先水平．设京沪高铁列车的平均时速为，则其行驶路程（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为________． 8．（2025·天津河东·二模）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为________． 9．（2025·天津·二模）将一次函数（b为常数）的图象向下平移3个单位后，经过点，则b的值为______． 10．（2025·天津西青·二模）已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是______． 11．（2025·天津红桥·二模）已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 2 ②填空：李明从超市返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 12．（2025·天津·二模）已知李华家、美术馆、体育馆依次在同一条直线上，美术馆离李华家，体育馆离李华家2km，李华从家骑共享单车匀速骑行到体育馆，在体育馆健身了后，又匀速步行到美术馆，在美术馆参观了后，用了匀速步行返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 离开家的时间/ 2 8 28 45 离家的距离/ 2 ②填空：李华从体育馆返回到美术馆的速度为______； ③当时，请直接写出李华离家的距离y关于x的函数解析式． (2)当李华离开体育馆时，他的爸爸从家出发匀速散步直接去体育馆，如果爸爸的步行速度为，那么爸爸在去体育馆的途中遇到李华时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 13．（2024·天津·模拟）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $