专题03 概率初步（期中复习讲义+7重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材北师大版

专题03 概率初步（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 事件的分类 题型02 根据列举法求概率 题型03 几何概率 题型04 根据概率求数量 题型05 用频率估计概率的综合应用 题型06 根据概率判断游戏是否公平 题型07 概率在转盘抽奖中的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 确定事件与随机事件 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在小题 频率与概率的意义 理解频率与概率的区别与联系，知道大量重复试验下频率可估计概率。 高频基础点，填空题常考概念，易混淆频率与概率。 等可能事件的概率计算 掌握简单等可能事件的概率公式 P(A)=，能计算一步试验的概率。 中考核心考点，选择、填空、解答均有涉及，是概率计算的基础。 几何概型（面积概率） 能通过面积比例计算几何概型的概率（如转盘、涂色区域）。 常考题型，多与图形结合，侧重考查数形结合能力。 概率的实际应用 能利用概率知识分析游戏公平性、决策方案等实际问题。 案等实际问题。应用题高频考点，解答题常考，侧重考查数据分析与决策能力。 知识点01 确定事件与随机事件 1. 必然事件：一定发生的事件 2. 不可能事件：一定不发生的事件 3. 随机事件：可能发生也可能不发生的事件 必然事件与不可能事件统称为确定事件。 示例：太阳从东方升起 → 必然事件 - 掷一枚普通骰子，点数为7 → 不可能事件 - 明天会下雨 → 随机事件 易错点： 1. 把“很可能发生”当成必然事件，把“不太可能”当成不可能事件； 2. 忽略实际背景，仅凭感觉判断事件类型。 知识点02 频率与概率的意义 1. 试验次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数叫做概率； 2. 频率是试验结果，概率是理论值； 3. 概率反映事件发生可能性的大小。 示例：抛硬币1000次，正面朝上约500次，频率接近0.5，因此概率为0.5。 易错点：1. 把频率直接当成概率，混淆试验值与理论值； 2. 认为试验次数少，频率就一定等于概率。 知识点03 等可能事件的概率 若试验所有可能结果是有限个、等可能，则P(A)=，概率范围：0≤P(A)≤1 示例：掷一枚骰子，点数为偶数的概率 P= = 易错点：1. 漏数或重复数结果总数； 2. 忽略“等可能”前提，直接套用公式。 知识点04 摸球类、抽卡类概率计算 从装有若干不同颜色球的袋子中随机摸球，直接用“符合条件的数量÷总数”计算。 示例：袋中有3红2白共5球，随机摸1个是红球的概率：P= 易错点：1. 未看清“有放回”还是“无放回”； 2. 第二次摸球时总数未减1。 知识点05 几何概型（面积型概率） 转转盘、涂色区域等几何图形问题：P= 示例：转盘平均分成8份，红色占3份，则指针停在红色区域概率：P= 易错点：1. 份数不均等时直接用份数比； 2. 面积计算错误导致概率错误。 知识点06 游戏公平性判断 双方获胜概率相等，则游戏公平；否则不公平。 示例：两人掷骰子，奇数甲赢，偶数乙赢，概率均为 ，游戏公平。 易错点：1. 只看结果多少，不计算概率是否相等； 2. 漏算某种情况导致判断错误。 知识点07 概率的综合应用 结合生活实际，用概率进行预测、决策、方案选择。 示例：某产品合格率98%，则1000件中大约980件合格。 易错点：1. 把概率当成精确数量； 2. 实际问题中忽略限制条件，直接套用公式。 题型一 事件的分类 解｜题｜技｜巧 事件分确定事件（必然、不可能）与随机事件。判断时看是否一定发生或一定不发生，结合生活经验与数学原理，注意关键词“一定”“可能”等，明确试验条件与结果唯一性。 【典例1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（   ） A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】A 【分析】根据盒子中棋子的情况判断事件类型即可． 【详解】解：在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是必然事件． 【典例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．小明买彩票中奖 B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 【答案】D 【分析】本题主要考查了事件的分类． 不可能事件即在一定条件下一定不会发生的事件． 【详解】解：A、小明买彩票中奖是随机事件，不符合题意； B、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，不符合题意； C、任意三角形的两边，其差小于第三边是必然事件，不符合题意； D、在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球是不可能事件，符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·江西宜春·期中）下列事件是必然事件的是（　　） A．车辆随机到达一个路口遇到红灯 B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．任意画一个三角形其内角和是 D．打开电视，正在播放赣超联赛 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件，随机事件，不可能事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A．车辆随机到达一个路口遇到红灯，是随机事件，不符合题意； B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C．任意画一个三角形其内角和是，是必然事件，符合题意； D．打开电视，正在播放赣超联赛，是随机事件，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．在地球上，太阳东升西落 B．亚运会射击运动员射击一次命中靶心 C．两点之间线段最短 D．a是实数， 【答案】B 【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，正确区分各种事件是解题关键．直接利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别判断得出答案． 【详解】解：A．太阳东升西落是必然发生的，必然事件，不符合题意； B．射击运动员射击一次，可能命中靶心也可能不命中，随机事件，符合题意； C．两点之间线段最短是几何公理，必然事件，不符合题意； D．对于实数，恒成立，故不可能发生，不可能事件，不符合题意； 故选：B． 题型二 根据列举法求概率 解｜题｜技｜巧 列举法，确保不重不漏列出所有等可能结果，数出满足条件的结果数，概率等于两者之比；注意区分放回与不放回，结果需约分，可借助对称性简化列举。 【典例1】（25-26九年级上·四川成都·期中）甲、乙、丙、丁4名同学参加读书日志愿服务活动，甲同学是男生，乙、丙、丁同学都是女生，从这4名同学中随机抽取1名同学，则抽到女生的概率为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用女生的人数除以总人数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有4名学生，其中有3名女生，且每名学生被抽到的概率相同， ∴从这4名同学中随机抽取1名同学，抽到女生的概率为， 故答案为：． 【典例2】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）一个不透明的袋子中装有4个黑球和5个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查概率的计算，利用概率公式，先求出所有等可能的结果数，再找出摸到黄球的结果数，然后计算概率，即可作答． 【详解】解：∵袋中共有4个黑球和5个黄球， 因此总球数为个， ∴任意摸出1个球有9种等可能的结果，其中，摸到黄球的结果有5种， 则摸到黄球的概率为， 故答案为： 【变式1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，列举所有可能结果是解题的关键． 列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，共有、、、、、这种等可能的结果，其中恰好从入口进入且从出口驶出的结果有种； ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）在实数，，0，1中随机选取一个数作为的值，再在剩下的三个数中随机选取一个数作为的值，那么大于的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了概率问题，熟知用列举法是解题的关键．从四个数中随机选取m和n（有序对），总共有12种可能情况，其中满足的有6种情况，则概率即可求． 【详解】解：从实数，，0，1中随机选取一个作为m，再从剩余三个中随机选取一个作为n，总共有种可能的有序对．列出所有有序对并判断的情况： 当时，n可取-1、0、1，均不满足； 当时，n可取、0、1，其中满足； 当时，n可取、-1、1，其中、满足； 当时，n可取、-1、0，其中、、均满足． 满足的有序对共有6个，因此概率为． 故答案为：． 题型三 几何概率 解｜题｜技｜巧 概率等于所求区域面积（或长度、角度）与总面积之比；先确定测度类型，准确计算各部分度量，注意边界与等可能性，常转化为线段比、面积比，利用相似或公式求解。 【典例1】（25-26九年级上·重庆江北·期中）如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的计算，关键是利用几何概率的定义：事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值．题目中正方形被等分为8个小三角形，只需确定阴影部分包含的小三角形数量，通过计算数量比即可得到面积比，也就是所求概率． 【详解】解：设每个小三角形的面积为， ∵正方形由8个大小相等的三角形构成， ∴正方形的面积为， 由图可知阴影区域包含3个该小三角形，其面积为， ∴棋子落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 【典例2】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，嘉淇向地面上的方格（由完全相同的小正方形组成）中丢一个沙包（沙包落在方格中），则沙包落在阴影区域的概率为______． 【答案】 【分析】根据意义可得阴影区域的面积等于大正方形面积的，即可求解． 【详解】解：∵阴影区域的面积等于大正方形面积的， ∴沙包落在阴影区域的概率为． 故答案为： 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，一个可以自由转动的转盘分为红色、蓝色两个扇形区域，红色扇形的圆心角的度数为．转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，求出蓝色扇形的圆心角的度数，进而根据概率公式计算即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵红色扇形的圆心角的度数为， ∴蓝色扇形的圆心角的度数为， ∴转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是_____． 【答案】 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 题型四 根据概率求数量 解｜题｜技｜巧 设未知数，用含未知数式子表示概率，根据已知概率列方程求解；注意总数与所求数量的关系，结合放回与否，解出后检验是否符合实际，避免增根与概率范围超0～1。 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的布袋中有白球和黑球共40个，这些球除颜色外都相同，小明将布袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回布袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到黑球，则布袋中黑球的个数可能为________． 【答案】16 【分析】本题考查了用样本估计总体的知识，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 根据概率公式先求出摸到黑球的概率，再乘以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：∵共摸了100次球，发现有40次摸到黑球， ∴摸到黑球的概率为， ∴口袋中白球和黑球共40个， ∴袋中的黑球大约有（个）； 故答案为：16． 【典例2】（25-26九年级上·全国·期中）一个不透明的盒子中装有黑棋子和白棋子共40枚，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有60次取到黑棋子，由此估计盒子中有____枚黑棋子． 【答案】8 【分析】本题考查了频率估计概率，根据概率求数量． 通过频率估计概率，取到黑棋子的频率为，从而估计黑棋子数量为总棋子数乘以概率． 【详解】解：取到黑棋子的频率为， 因此估计取到黑棋子的概率为， 盒子中棋子总数为40枚， 故黑棋子数量为枚． 故答案为：8． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的乒乓球，这个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则的值大约为__________． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，以及利用概率求数量，熟练掌握概率是频率的稳定值，以及概率的计算公式是解题的关键． 先利用频率估计概率，再利用概率求数量即可． 【详解】解：摸到黄球的概率为，由题意可得， 即：， 解得，； 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为_______． 【答案】75 【分析】本题考查了用频率估计概率，几何概率，理解题意是解题的关键．根据题意可知，黑色部分的面积占正方形二维码面积的，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴估计黑色部分的面积约为． 故答案为：75． 题型五 用频率估计概率的综合应用 解｜题｜技｜巧 大量重复试验，频率稳定于概率；用频率估算概率时注意试验次数足够多，数据波动大时可取多次平均值，结合样本估计总体，注意误差分析与实际意义，避免以偏概全。 【典例1】（24-25七年级下·陕西·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为__________，n的值为__________（结果精确到0．01）； (2)估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0．01） 【答案】(1)475， (2) 【分析】本题考查了总数，频数，频率之间的数量关系，以及用频率估计概率，解题的关键在于掌握利用频率估计概率的方法． （1）根据总数，频数，频率之间的数量关系计算，即可解题； （2）根据频率估计概率的方法求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 故答案为475，． （2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率为． 【典例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1 000 2 000 5 000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1 906 4 745 发芽频率 0.940 0.955 0.950 b 0.953 0.949 (1)求出a，b的值； (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率．（结果精确到0.01） 【答案】(1)191，0.954 (2)0.95 【分析】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决本题的关键． （1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可； （2）根据概率与频率的关系解答即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：191，0.954； （2）解：随着实验种子数的增加，频率稳定在0.95， 任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是0.95； 故答案为：0.95． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117 (2) (3)棵 【分析】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． （1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：117；； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为， 所以这种油菜籽发芽的概率估计值是， （精确到）； 故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 【变式2】（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 【答案】（1）C；（2）；（3）估计该不规则封闭图形的面积约是平方米；（4）． 【分析】本题考查了利用频率求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，用正方形面积：封闭图形的面积概率建立方程求解； （4）如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆，在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆(可把绿豆近似看成点)，大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解． 【详解】解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在， ∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有比较接近， 故选：C； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 故答案为：； （3）设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是平方米； （4）如图，地面上有一个边长为米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆， 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 绿豆落在圆内（含圆的边）的次数 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， ∴如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为，则， ． 题型六 根据概率判断游戏是否公平 解｜题｜技｜巧 分别计算各方获胜概率，若相等则公平，否则不公平；可修改规则使概率相等，常通过增减条件或改变得分机制，注意概率计算准确，修改方案需简单可行且保持等可能性。 【典例1】（24-25七年级下·四川巴中·期中）同一副扑克中有9张分别写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的扑克牌，把它们的背面朝上洗匀后，在桌面排开，从中任意摸取一张牌． (1)摸到大于4的概率是多少？ (2)小明和小凡利用这9张扑克做游戏，摸到奇数小明获胜，摸到偶数小凡获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了等可能事件的概率，一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据摸到奇数的结果求出摸到奇数的概率，根据摸到偶数的结果求出摸到偶数的概率，比较概率大小即可得知游戏是否公平． 【详解】（1）解：摸到大于4的结果有5种， ； （2）不公平，理由如下： 摸到奇数的结果有5种， ， 摸到偶数的结果有4种， ， ， 这个游戏对双方不公平． 【典例2】（24-25七年级下·贵州毕节·期中）在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了． (1)从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） (2)若随机取出一个球，求取出的球的颜色是蓝球的概率． (3)小明与小亮玩摸球游戏，在一个袋子中放有5个完全一样的球，分别标有1、2、3、4、5五个数字，小明与小亮轮流坐庄，从袋中摸出一球，记下号码，然后放回，规定：如果摸到的球号码大于3，则小明胜否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】(1)不可能 (2)取出的球的颜色是蓝球的概率为 (3)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查概率的计算，事件的分类，掌握概率公式是解题的关键． （1）根据事件的分类解答即可； （2）根据概率公式计算解题； （3）根据概率公式求出两人获胜的概率，比较解答即可，然后设计游戏规则，使得游戏公平即可． 【详解】（1）解：由于不透明布袋中只有一个蓝球， ∴从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）解：从中随机取出一个球有种等可能结果，取出的球的颜色是蓝球的可能性有种， ∴取出的球的颜色是蓝球的概率为； （3）解：不公平， 由题意可知，号码大于的球的个数为，所以号码大于的概率：， 号码小于等于的球的个数为，所以号码小于等于的概率：， ∴小明的胜率低于小亮的胜率， ∴这个游戏不公平． 规定改为：如果摸到的球号码大于，则小明胜，如果摸到的球号码小于，则小亮胜，摸到3时重新摸一次． ∵号码大于的球的个数为，所以号码大于的概率：， 号码小于的球的个数为，所以号码小于等于的概率：， ∴小明的胜率等于小亮的胜率， 所以这个游戏不公平． 【变式1】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）垃圾分类是建设生态文明的重要措施，为提高大家对垃圾分类的意识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，学生会会长提出一个办法．将正面印有3，5，6，6，8，9的六张卡片（卡片除正面所印数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，若抽到所印数字比6大，则小明去；若抽到所印数字比6小，则小亮去． (1)求抽到印有6的卡片的概率； (2)求抽到所印数字为偶数的概率； (3)你认为这个办法对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）直接利用概率公式求解； （2）直接利用概率公式求解； （3）分别计算出小明和小亮到社区服务的概率，然后比较两概率的大小可判断此游戏是否公平． 【详解】（1）解：抽取卡片的等可能性结果有种，抽到印有6的卡片的有种， ∴抽到印有6的卡片的概率为； （2）解：抽取卡片的等可能性结果有种，抽到所印数字为偶数的有种， ∴抽到所印数字为偶数的概率为； （3）解：游戏公平，理由为： 抽取卡片的等可能性结果有种，抽到所印数字比6大的有种，抽到所印数字比6小的有种， ∴抽到所印数字比6大的概率为；抽到所印数字比6小的概率为； 故小明和小亮到社区服务的可能性相同，游戏公平． 【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【答案】(1)， (2)需要将个黄色区域改为红色 (3)见解析 【分析】（1）先确定转盘总等可能结果数，再找出对应颜色区域数量，用对应颜色区域数除以总结果数得概率． （2）设黄色改红色的数量为未知数，根据调整后获20元奖券概率列方程求解． （3）通过分配转盘颜色区域，使兄弟俩获胜概率相等来设计公平规则． 本题主要考查了概率的计算与应用，涉及等可能事件概率公式（，是总结果数，是事件发生的结果数 ），熟练掌握概率公式，根据题意分析事件结果数是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种， ∴指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为， ∴他获得元和元奖券的概率分别为，． （2）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得：， ∴需要将个黄色区域改为红色． （3）解：将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 题型七 概率在转盘抽奖中的应用 解｜题｜技｜巧 先确定转盘均分区域，概率等于所占份数与总份数之比；若不等分则算圆心角比例，多次抽奖注意放回与否，计算中奖概率或期望收益，结合方案比较选择最优。 【典例1】（24-25七年级下·山西运城·期中）某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 【答案】盈利了，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用，根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可． 【详解】解：盈利了． 理由如下： 游乐场收入：（元）． 游乐场支出：（元）． 因为，所以盈利了． 【典例2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）五一期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是________；（填必然事件、不可能事件或随机事件） (2)转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)如果某顾客获得一次转转盘的机会，则得到购物券的概率和得不到购物券的概率哪个大？ 【答案】(1)不可能事件 (2)转动一次转盘获得50元购物券的概率为，转动一次转盘获得30元购物券的概率为，转动一次转盘获得20元购物券的概率为 (3)得不到购物券的概率大 【分析】本题考查了不可能事件、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． （1）根据题意可得转动一次转盘不可能获得100元的购物券，由此即可得； （2）先求出转动一次转盘的所有等可能的结果，再分别找出转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的结果，然后利用概率公式计算即可得； （3）先求出转动一次转盘的所有等可能的结果，再分别找出转动一次转盘得到购物券的结果、转动一次转盘得不到购物券的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：∵如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券， ∴转动一次转盘获得100元的购物券是不可能事件， 故答案为：不可能事件． （2）解：∵转动一次转盘共有16种等可能的结果，其中，转动一次转盘获得50元购物券的结果只有1种，转动一次转盘获得30元购物券的结果有2种，转动一次转盘获得20元购物券的结果有4种， ∴转动一次转盘获得50元购物券的概率为， 转动一次转盘获得30元购物券的概率为， 转动一次转盘获得20元购物券的概率为， 答：转动一次转盘获得50元购物券的概率为，转动一次转盘获得30元购物券的概率为，转动一次转盘获得20元购物券的概率为． （3）解：∵转动一次转盘共有16种等可能的结果，其中，转动一次转盘得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种， ∴转动一次转盘得到购物券的概率为，得不到购物券的概率为， ∵， ∴得不到购物券的概率大． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果，那么 D．三角形内角和是 【答案】D 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能是反面向上，故原事件是随机事件，不符合题意； B、车辆随机到达一个路口，不一定遇到红灯，故原事件是随机事件，不符合题意； C、如果，那么或，故原事件是随机事件，不符合题意； D、三角形内角和是，是必然事件，符合题意； 2．（25-26九年级上·江西抚州·期中）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为初一学生新增加了三类社团活动（阅读社团、合唱社团、手工社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动，其中学生小英恰好选中“阅读社团”的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单概率计算． 小英从三类社团中随机选择一类，每个社团被选中的概率相等，因此选中“阅读社团”的概率为. 【详解】解：∵共有3类社团，小英随机选择一类， ∴选中“阅读社团”的概率为． 故选：A． 3．（24-25七年级下·福建漳州·期中）从数学的角度出发，诗句“清明时节雨纷纷”中的事件是_____事件． 【答案】随机 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：诗句“清明时节雨纷纷”中的事件可能发生也可能不发生，故是随机事件， 故答案为：随机． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如表是实验中结果A出现的频率统计表，请估计A在这次实验中结果出现的概率为 _________． 试验次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 125 350 540 740 950 1140 频率 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，观察表格中频率的变化趋势，找到频率稳定的数值即可估计结果A出现的概率． 【详解】解：由统计表可知，随着试验次数不断增加，结果出现的频率逐渐稳定在附近， 因此估计结果在这次实验中出现的概率为． 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）一个不透明的袋中装有黄色彩笔和红色彩笔共80支，它们除颜色外都相同，摇匀后从中随机摸出一支彩笔并记录颜色，记为一次试验，经过大量重复试验后发现，随机摸出一支笔为黄色彩笔的频率稳定在0.125，请你估计袋中有多少支红色彩笔？ 【答案】70 【分析】本题考查了已知概率求数量，用频率估计概率，理解题意是解题的关键． 根据题意可得随机摸出一支笔为黄色彩笔的概率为0.125，则根据概率计算公式可求出黄色彩笔的数量，再用80减去黄色彩笔的数量即可得答案． 【详解】解：∵经过大量重复试验后发现，随机摸出一支笔为黄色彩笔的频率稳定在0.125， ∴随机摸出一支笔为黄色彩笔的概率是0.125， （支）， 答：估计袋中有70支红色彩笔． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期中）图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． (1)小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________； (2)如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________； (3)如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)区域外的小方格上，理由见解析 【分析】本题主要考查了概率公式． (1)根据个小方格中有个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (2)根据个小方格中埋藏着个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (3)利用概率公式求出踩在区域外的小方格上踩中地雷的概率，通过比较选择踩中地雷概率小的区域． 【详解】（1）解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； （2）解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； （3）解：小明的第二步踩在区域的小方格上，可能踩中地雷的概率是， 小明的第二步踩在区域外的小方格上，可能踩中地雷的概率是，     ， 为了尽可能不踩中“地雷”， 小明的第二步应踩在区域外的小方格上． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．在地球上，太阳东升西落 B．亚运会射击运动员射击一次命中靶心 C．两点之间线段最短 D．a是实数， 【答案】B 【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，正确区分各种事件是解题关键．直接利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别判断得出答案． 【详解】解：A．太阳东升西落是必然发生的，必然事件，不符合题意； B．射击运动员射击一次，可能命中靶心也可能不命中，随机事件，符合题意； C．两点之间线段最短是几何公理，必然事件，不符合题意； D．对于实数，恒成立，故不可能发生，不可能事件，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江·期中）一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红球、黄球、黑球的个数之比为．从布袋里任意摸出1个球为红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率公式，根据题意假设球数是解题的关键． 根据概率公式，红球概率等于红球数量与总球数之比，给定比例，总份数为9，红球占2份即可求解． 【详解】设红球、黄球、黑球的数量分别为（k为正整数），则总球数为，． 故选：C． 3．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，同时转动两个转盘一次，可能出现的结果为（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（白，黄），（白，蓝），（白，绿），共6种等可能的结果，其中配成紫色的结果只有（红，蓝）1种， ∴； 故选A． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬到该区域内，停留在区域内的任意位置（隔线忽略不计），蚂蚁停留在阴影区域内的概率是________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 由图可得该正方形可由4块一模一样的直角三角形组成，其中阴影区域由2个一模一样的直角三角形组成，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，蚂蚁停留在阴影区域内的概率是． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·广东河源·期中）河源湿地公园是国家级湿地公园，集自然景观、生态保护和科普教育于一体．为了解该湿地公园内候鸟的情况，从中捕捉只候鸟，做上标记后放回，经过一段时间后，捕捉的候鸟中有标记的频率稳定在左右，则估计该湿地公园中约有________只候鸟． 【答案】 【分析】本题主要考查的是通过样本去估计总体．根据标记重捕法的原理，利用重捕样本中有标记候鸟的频率估计候鸟总数． 【详解】解：设湿地公园中候鸟的总数为只． 首次捕捉并标记只候鸟后放回， 重捕时，有标记候鸟的频率稳定在，即， 解方程得，故估计该湿地公园中约有只候鸟． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·陕西西安·期中）“二维码”是一种用于编码和解码信息的图象，其基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图象的形式表现出来．小刚为了估计边长为的正方形二维码内部黑白部分的面积，他在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是用频率估计概率、几何概率，解题关键是理解频率与概率的关系，明确黑色部分面积与正方形面积之比等于概率． 先计算正方形面积，再由黑色部分面积与正方形面积之比等于概率即可求解． 【详解】解：由题意得，点落入黑色部分的概率为， 边长为的正方形面积为， 黑色部分的总面积． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． (1)求布袋中红球的个数． (2)若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？ 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了已知频率求概率，已知概率求数量，列举法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）已知摸出白球的频率，即摸出白球的概率，然后用白球的个数除以摸出白球的概率即可求出球的总个数，进而可得答案； （2）列出从布袋一次性摸出2个球的等可能结果，从中找到摸出2个球都是红球的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，布袋中球的总个数为（个）， ∴布袋中红球的个数为（个）， 答：布袋中红球的个数为3个． （2）解：设白球为白，3个红球分别为红1，红2，红3， 从布袋一次性摸出2个球的等可能结果有：（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3）， 共有6种等可能结果，其中摸出2个球都是红球的有3种结果， 所以一次性摸出2个球都是红球的概率为． 8．（25-26九年级上·陕西安康·期中）周末，某商场进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 (1)补全表格； (2)估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了频数、频率统计表、用频率估计概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据频数与频率之间的关系即可完成表格； （2）利用频率的稳定值估计概率即可． 【详解】（1）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 完成表格如下： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 284 350 414 落在“矿泉水”的频率 （2）解：由表格得，落在“矿泉水”的频率稳定在附近， 转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，如表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103 摸到白球的频率 (1)当n很大时，请估计摸到白球的概率．（精确到） (2)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ (3)若要使摸到白球的概率为，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)白球为42个，黑球为18个 (3)30个 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率． （1）观察表格中的数据，随着摸球次数的增加，摸到白球频率逐渐趋近于某一个值，据此分析可得到答案； （2）白球个数=球的总数得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数； （3）设再放入x白球，根据摸到白球的概率为，列方程即可． 【详解】（1）解：由表格可知：当n的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 所以估计摸到白球的概率为； （2）解：盒子里白球的数量为（个， 所以黑球的数量为（个； （3）解：设再放入x个白球， 则有， 解得， 经检验，是方程的解， 答：需要往盒子里再放入30个白球． 10．（25-26九年级上·江苏南京·期中）图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)概率不发生变化，阴影部分概率的公式为 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是掌握简单概率公式． （1）利用简单概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出图形即可； （3）根据简单概率公式判断即可． 【详解】（1）解：大正方形包含的小正方形个数为（个） 图①阴影部分的正方形个数为8个， 投中纸板上阴影部分的概率为； 图②阴影部分可以看作是矩形的对角线和小正方形的对角线构成的三角形， 每一个阴影三角形的面积等于的矩形面积的一半，即为2个小正方形的面积， 图②阴影部分的正方形个数为个， 投中纸板上阴影部分的概率为； （2）解：涂色如下： （3）解：概率不发生变化， 阴影部分概率的公式为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率初步（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 事件的分类 题型02 根据列举法求概率 题型03 几何概率 题型04 根据概率求数量 题型05 用频率估计概率的综合应用 题型06 根据概率判断游戏是否公平 题型07 概率在转盘抽奖中的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 确定事件与随机事件 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在小题 频率与概率的意义 理解频率与概率的区别与联系，知道大量重复试验下频率可估计概率。 高频基础点，填空题常考概念，易混淆频率与概率。 等可能事件的概率计算 掌握简单等可能事件的概率公式 P(A)=，能计算一步试验的概率。 中考核心考点，选择、填空、解答均有涉及，是概率计算的基础。 几何概型（面积概率） 能通过面积比例计算几何概型的概率（如转盘、涂色区域）。 常考题型，多与图形结合，侧重考查数形结合能力。 概率的实际应用 能利用概率知识分析游戏公平性、决策方案等实际问题。 案等实际问题。应用题高频考点，解答题常考，侧重考查数据分析与决策能力。 知识点01 确定事件与随机事件 1. 必然事件：一定发生的事件 2. 不可能事件：一定不发生的事件 3. 随机事件：可能发生也可能不发生的事件 必然事件与不可能事件统称为确定事件。 示例：太阳从东方升起 → 必然事件 - 掷一枚普通骰子，点数为7 → 不可能事件 - 明天会下雨 → 随机事件 易错点： 1. 把“很可能发生”当成必然事件，把“不太可能”当成不可能事件； 2. 忽略实际背景，仅凭感觉判断事件类型。 知识点02 频率与概率的意义 1. 试验次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数叫做概率； 2. 频率是试验结果，概率是理论值； 3. 概率反映事件发生可能性的大小。 示例：抛硬币1000次，正面朝上约500次，频率接近0.5，因此概率为0.5。 易错点：1. 把频率直接当成概率，混淆试验值与理论值； 2. 认为试验次数少，频率就一定等于概率。 知识点03 等可能事件的概率 若试验所有可能结果是有限个、等可能，则P(A)=，概率范围：0≤P(A)≤1 示例：掷一枚骰子，点数为偶数的概率 P= = 易错点：1. 漏数或重复数结果总数； 2. 忽略“等可能”前提，直接套用公式。 知识点04 摸球类、抽卡类概率计算 从装有若干不同颜色球的袋子中随机摸球，直接用“符合条件的数量÷总数”计算。 示例：袋中有3红2白共5球，随机摸1个是红球的概率：P= 易错点：1. 未看清“有放回”还是“无放回”； 2. 第二次摸球时总数未减1。 知识点05 几何概型（面积型概率） 转转盘、涂色区域等几何图形问题：P= 示例：转盘平均分成8份，红色占3份，则指针停在红色区域概率：P= 易错点：1. 份数不均等时直接用份数比； 2. 面积计算错误导致概率错误。 知识点06 游戏公平性判断 双方获胜概率相等，则游戏公平；否则不公平。 示例：两人掷骰子，奇数甲赢，偶数乙赢，概率均为 ，游戏公平。 易错点：1. 只看结果多少，不计算概率是否相等； 2. 漏算某种情况导致判断错误。 知识点07 概率的综合应用 结合生活实际，用概率进行预测、决策、方案选择。 示例：某产品合格率98%，则1000件中大约980件合格。 易错点：1. 把概率当成精确数量； 2. 实际问题中忽略限制条件，直接套用公式。 题型一 事件的分类 解｜题｜技｜巧 事件分确定事件（必然、不可能）与随机事件。判断时看是否一定发生或一定不发生，结合生活经验与数学原理，注意关键词“一定”“可能”等，明确试验条件与结果唯一性。 【典例1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（   ） A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 【典例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．小明买彩票中奖 B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 【变式1】（25-26九年级上·江西宜春·期中）下列事件是必然事件的是（　　） A．车辆随机到达一个路口遇到红灯 B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．任意画一个三角形其内角和是 D．打开电视，正在播放赣超联赛 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．在地球上，太阳东升西落 B．亚运会射击运动员射击一次命中靶心 C．两点之间线段最短 D．a是实数， 题型二 根据列举法求概率 解｜题｜技｜巧 列举法，确保不重不漏列出所有等可能结果，数出满足条件的结果数，概率等于两者之比；注意区分放回与不放回，结果需约分，可借助对称性简化列举。 【典例1】（25-26九年级上·四川成都·期中）甲、乙、丙、丁4名同学参加读书日志愿服务活动，甲同学是男生，乙、丙、丁同学都是女生，从这4名同学中随机抽取1名同学，则抽到女生的概率为_______． 【典例2】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）一个不透明的袋子中装有4个黑球和5个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的概率是_______． 【变式1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为___________． 【变式2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）在实数，，0，1中随机选取一个数作为的值，再在剩下的三个数中随机选取一个数作为的值，那么大于的概率是_____． 题型三 几何概率 解｜题｜技｜巧 概率等于所求区域面积（或长度、角度）与总面积之比；先确定测度类型，准确计算各部分度量，注意边界与等可能性，常转化为线段比、面积比，利用相似或公式求解。 【典例1】（25-26九年级上·重庆江北·期中）如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 【典例2】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，嘉淇向地面上的方格（由完全相同的小正方形组成）中丢一个沙包（沙包落在方格中），则沙包落在阴影区域的概率为______． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，一个可以自由转动的转盘分为红色、蓝色两个扇形区域，红色扇形的圆心角的度数为．转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为______． 【变式2】（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是_____． 题型四 根据概率求数量 解｜题｜技｜巧 设未知数，用含未知数式子表示概率，根据已知概率列方程求解；注意总数与所求数量的关系，结合放回与否，解出后检验是否符合实际，避免增根与概率范围超0～1。 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的布袋中有白球和黑球共40个，这些球除颜色外都相同，小明将布袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回布袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到黑球，则布袋中黑球的个数可能为________． 【典例2】（25-26九年级上·全国·期中）一个不透明的盒子中装有黑棋子和白棋子共40枚，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有60次取到黑棋子，由此估计盒子中有____枚黑棋子． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的乒乓球，这个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则的值大约为__________． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为_______． 题型五 用频率估计概率的综合应用 解｜题｜技｜巧 大量重复试验，频率稳定于概率；用频率估算概率时注意试验次数足够多，数据波动大时可取多次平均值，结合样本估计总体，注意误差分析与实际意义，避免以偏概全。 【典例1】（24-25七年级下·陕西·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为__________，n的值为__________（结果精确到0．01）； (2)估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0．01） 【典例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1 000 2 000 5 000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1 906 4 745 发芽频率 0.940 0.955 0.950 b 0.953 0.949 (1)求出a，b的值； (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率．（结果精确到0.01） 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【变式2】（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 有效丢掷绿豆总次数 绿豆落在圆内（含圆的边）的次数 题型六 根据概率判断游戏是否公平 解｜题｜技｜巧 分别计算各方获胜概率，若相等则公平，否则不公平；可修改规则使概率相等，常通过增减条件或改变得分机制，注意概率计算准确，修改方案需简单可行且保持等可能性。 【典例1】（24-25七年级下·四川巴中·期中）同一副扑克中有9张分别写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的扑克牌，把它们的背面朝上洗匀后，在桌面排开，从中任意摸取一张牌． (1)摸到大于4的概率是多少？ (2)小明和小凡利用这9张扑克做游戏，摸到奇数小明获胜，摸到偶数小凡获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【典例2】（24-25七年级下·贵州毕节·期中）在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了． (1)从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） (2)若随机取出一个球，求取出的球的颜色是蓝球的概率． (3)小明与小亮玩摸球游戏，在一个袋子中放有5个完全一样的球，分别标有1、2、3、4、5五个数字，小明与小亮轮流坐庄，从袋中摸出一球，记下号码，然后放回，规定：如果摸到的球号码大于3，则小明胜否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 【变式1】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）垃圾分类是建设生态文明的重要措施，为提高大家对垃圾分类的意识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，学生会会长提出一个办法．将正面印有3，5，6，6，8，9的六张卡片（卡片除正面所印数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，若抽到所印数字比6大，则小明去；若抽到所印数字比6小，则小亮去． (1)求抽到印有6的卡片的概率； (2)求抽到所印数字为偶数的概率； (3)你认为这个办法对双方公平吗？为什么？ 【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 题型七 概率在转盘抽奖中的应用 解｜题｜技｜巧 先确定转盘均分区域，概率等于所占份数与总份数之比；若不等分则算圆心角比例，多次抽奖注意放回与否，计算中奖概率或期望收益，结合方案比较选择最优。 【典例1】（24-25七年级下·山西运城·期中）某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 【典例2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）五一期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是________；（填必然事件、不可能事件或随机事件） (2)转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)如果某顾客获得一次转转盘的机会，则得到购物券的概率和得不到购物券的概率哪个大？ 【变式1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果，那么 D．三角形内角和是 2．（25-26九年级上·江西抚州·期中）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为初一学生新增加了三类社团活动（阅读社团、合唱社团、手工社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动，其中学生小英恰好选中“阅读社团”的概率是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建漳州·期中）从数学的角度出发，诗句“清明时节雨纷纷”中的事件是_____事件． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如表是实验中结果A出现的频率统计表，请估计A在这次实验中结果出现的概率为 _________． 试验次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 125 350 540 740 950 1140 频率 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）一个不透明的袋中装有黄色彩笔和红色彩笔共80支，它们除颜色外都相同，摇匀后从中随机摸出一支彩笔并记录颜色，记为一次试验，经过大量重复试验后发现，随机摸出一支笔为黄色彩笔的频率稳定在0.125，请你估计袋中有多少支红色彩笔？ 6．（24-25七年级下·河南郑州·期中）图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． (1)小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________； (2)如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________； (3)如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．在地球上，太阳东升西落 B．亚运会射击运动员射击一次命中靶心 C．两点之间线段最短 D．a是实数， 2．（25-26九年级上·浙江·期中）一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红球、黄球、黑球的个数之比为．从布袋里任意摸出1个球为红球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬到该区域内，停留在区域内的任意位置（隔线忽略不计），蚂蚁停留在阴影区域内的概率是________． 5．（25-26九年级上·广东河源·期中）河源湿地公园是国家级湿地公园，集自然景观、生态保护和科普教育于一体．为了解该湿地公园内候鸟的情况，从中捕捉只候鸟，做上标记后放回，经过一段时间后，捕捉的候鸟中有标记的频率稳定在左右，则估计该湿地公园中约有________只候鸟． 6．（25-26九年级上·陕西西安·期中）“二维码”是一种用于编码和解码信息的图象，其基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图象的形式表现出来．小刚为了估计边长为的正方形二维码内部黑白部分的面积，他在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 7．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． (1)求布袋中红球的个数． (2)若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？ 8．（25-26九年级上·陕西安康·期中）周末，某商场进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 (1)补全表格； (2)估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 284 350 414 落在“矿泉水”的频率 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，如表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103 摸到白球的频率 (1)当n很大时，请估计摸到白球的概率．（精确到） (2)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ (3)若要使摸到白球的概率为，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 10．（25-26九年级上·江苏南京·期中）图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $