专题02 相交线与平行线（期中复习讲义+10重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材北师大版

专题02 相交线与平行线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 对顶角同位角内错角同旁内角的辨别 题型02 利用对顶角相等求角 题型03 求一个角的余角、补角 题型04 利用对顶角余角补角直角求角 题型05 点到直线的距离与垂线段最短 题型06 判断两条直线是否平行 题型07 平行线的判定和性质多结论题 题型08 平行线的性质在生活中的应用 题型09 平行线的判定和性质综合问题 题型10 根据平行线的判定与性质探究角的关系 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 对顶角、邻补角 1. 理解对顶角、余角、补角的概念；2. 掌握对顶角相等、余角、补角和为90°的性质并能计算。 基础必考点，选择、填空常考角度计算，易混淆邻补角与补角。 垂线及其性质 1. 理解垂线的定义，掌握 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”；2. 会画垂线，理解垂线段最短的性质。 高频基础点，常结合实际问题考查垂线段最短，作图题常考。 同位角、内错角、同旁内角 能准确识别三线八角中的同位角、内错角、同旁内角。 概念辨析题高频，是平行线判定与性质的基础，易认错角的位置。 平行线的判定 掌握平行线的 3 种判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），能证明两直线平行。 中考核心考点，解答题证明题必考，是几何推理的基础。 平行线的性质 掌握平行线的 3 条性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），能进行角度计算与证明。 高频考点，选择、填空、解答均有涉及，常与判定结合考查。 尺规作图（作角、平行线） 掌握用尺规作一个角等于已知角、过直线外一点作平行线的方法。 基础作图题常考，需规范作图步骤并说明依据。 平行线间的距离 理解平行线间距离的概念，知道平行线间距离处处相等。 距离处处相等。基础考点，常与面积计算结合考查。 知识点01 对顶角 1. 对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角。 2. 性质：对顶角相等。 示例：直线AB、CD交于点O，∠AOC=30°， 则对顶角∠BOD=30°。 易错点：1. 把“有公共顶点的角”都当成对顶角，忽略两边互为反向延长线； 2. 计算角度时漏看图形位置。 知识点02 余角与补角 1. 余角：两个角的和为90°，互为余角。 2. 补角：两个角的和为180°，互为补角。 3. 性质： 同角（或等角）的余角相等； 同角（或等角）的补角相等。 示例：∠A=30°，余角是60°，补角是150°； - 若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3。 易错点：1. 余角、补角只看度数和，与位置无关，不要只认相邻的角； 2. 把“余角”记成和为180°，“补角”记成和为90°； 3. 计算钝角的余角，钝角没有余角。 知识点03 垂线及其性质 1. 两条直线相交所成四个角中有一个是直角，则两直线互相垂直。 2. 性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 3. 点到直线的距离：点到直线的垂线段长度。 示例：过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则PQ最短。 易错点：1. 把“垂线段”和“垂线”混淆：垂线是直线，垂线段是线段； 2. 忘记“同一平面内”这个前提； 3. 求距离时不垂直，随便连一段线段当距离。 知识点04 同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线（截线）所截： 1. 同位角：位置相同，都在截线同侧、两被截线同一方； 2. 内错角：在两被截线之间，截线两侧； 3. 同旁内角：在两被截线之间，截线同侧。 示例：找出图中 ∠1的同位角、内错角、同旁内角。 易错点：1. 分不清哪条是截线，哪两条是被截直线； 2. 把不在“三线八角”里的角硬套概念； 3. 内错角、同旁内角位置混淆。 知识点05 平行线的概念及画法 1. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2. 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 3. 平行推论：若a∥b，b∥c，则a∥c。 示例：过点P作直线AB的平行线，有且只能画一条。 易错点：1. 忽略“同一平面内”，误以为空间不相交就是平行； 2. 说成“过直线上一点也能作平行线”； 3. 推论中漏传平行关系。 知识点06 平行线之间的距离 1. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 2. 平行线间的距离处处相等。 示例：两条平行线间的垂线段长度都相等，可用于求面积。 易错点：1. 用斜线段长度当距离； 2. 认为距离是两平行线间任意线段长； 3. 与“两点间距离”混淆。 知识点07 平行线的判定 1. 同位角相等两直线平行； 2. 内错角相等两直线平行； 3. 同旁内角互补两直线平行； 4. 推论：都垂直于同一直线的两直线平行。 示例：若 ∠1=∠2（同位角），则AB∥CD。 易错点：1. 判定与性质混用，因果颠倒； 2. 角找错，用不对应的角判定平行； 3. 同旁内角“相等”当成平行条件，正确应为“互补”。 知识点08 平行线的性质 1. 两直线平行同位角相等； 2. 两直线平行内错角相等； 3. 两直线平行同旁内角互补。 示例：已知AB∥CD，∠1=50°，则内错角∠2=50°，同旁内角∠3=130°。 易错点：1. 因果关系写反：把“角等”写在前面，“平行”写在后面； 2. 同旁内角写成相等； 3. 复杂图形中找不到对应的平行线与角。 题型一 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 解｜题｜技｜巧 对顶角由两直线相交形成，形状像“X”；同位角、内错角、同旁内角需两条被截线与一条截线，看位置关系：同位角“F”型，内错角“Z”型，同旁内角“U”型，找准截线是关键。 【典例1】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，下列说法中错误的是（　　） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 与是同位角，说法错误，故该选项符合题意； B. 与是同位角，说法正确，故该选项不符合题意； C. 与是内错角，说法正确，故该选项不符合题意； D. 与是同旁内角，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 【典例2】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，直线，被直线所截，下列说法错误的是（    ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是对顶角 【答案】B 【分析】本题主要考查了内错角、同位角、同旁内角、对顶角的定义，熟练掌握这些角的定义是解题的关键．解题思路为根据内错角、同位角、同旁内角、对顶角的定义，逐一分析每个选项． 【详解】解：选项A：∵ 内错角是两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，∠1和∠2符合内错角的位置特征 ∴ ∠1和∠2是内错角，该选项正确． 选项B：∵ 同位角是两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线同侧，且分别在两条被截直线的同一方，∠2和∠3是邻补角，不符合同位角定义 ∴ ∠2和∠3不是同位角，该选项错误． 选项C：∵ 同旁内角是两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线同侧，且夹在两条被截直线之间，∠1和∠3符合同旁内角的位置特征 ∴ ∠1和∠3是同旁内角，该选项正确． 选项D：∵ 对顶角是如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，∠2和∠4符合对顶角的定义 ∴ ∠2和∠4是对顶角，该选项正确． 故选：B ． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线与直线相交于点，点为平面上一点，连接，下列说法中，①和是同位角；②和是内错角；③和是对顶角；④和是同旁内角；⑤和互为补角．正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义．解答此题确定三线八角是关键．对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角．同位角：两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角；内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：①和是同位角，说法正确； ②和不是内错角，说法错误； ③和不是对顶角，说法错误； ④和是同旁内角，说法正确； ⑤和互为补角，说法正确 结论一定正确的有①④⑤共3个； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·广东阳江·期中）图是小明在某次篮球比赛灌篮时的照片，图是其示意图，则下列说法中：和是对顶角；和是同位角； 和是同旁内角； 和是内错角，错误的个数为（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义，解决本题的关键是根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断，对顶角是两直线相交形成的有公共端点，没有公共边的两个角；同位角、内错角、同旁内角是两直线被第三直线所截形成的具有特殊位置关系的角． 【详解】解：和是两直线相交形成的有公共端点，没有公共边的两个角， 和是对顶角， 故正确； 和是两直线被第三条直线所截形成的，均在被截直线的左侧，在截线的上方， 和是同位角， 故正确； 和不是两直线被第三条直线所截形成的， 和不是同旁内角， 故错误； 和不是两直线被第三条直线所截形成的， 和不是内错角， 故错误． 错误的个数为个． 故选：B． 题型二 利用对顶角相等求角 解｜题｜技｜巧 先找出对顶角，根据对顶角相等建立等量关系；常结合邻补角互补、平行线性质或三角形内角和，将未知角与已知角通过等量代换联系起来，设未知数列方程求解。 【典例1】（25-26七年级上·福建泉州·期中）若与是对顶角，且，则__________． 【答案】70 【分析】本题考查了对顶角的性质，理解对顶角的性质是解题的关键．根据对顶角的性质回答即可． 【详解】解：∵ 与 是对顶角， ， 又， ∴ ． 故答案为 70． 【典例2】（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为______． 【答案】/35度 【分析】本题考查了对顶角相等、垂线的定义，解题的关键是利用对顶角相等求出相关角的度数，结合垂线的性质计算目标角． 先根据对顶角相等求出的度数，再由垂直得出为直角，用减去即可得到的度数． 【详解】解：∵直线相交于点O， ∵， ∵， ∴(垂线的定义)， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，直线，相交于点O，平分，，垂足为O，若，则的度数为__________． 【答案】/26度 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，角平分线的定义和对顶角相等，先由对顶角相等得到，再由角平分线的定义得到，则由垂直的定义可得． 【详解】解：∵， ， ∵平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）当光线从空气斜射入某种透明液体中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图，为液面，于点，一束光线沿斜射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差．根据对顶角相等求出，再计算角的差即可． 【详解】解：点为的延长线上一点， ， ， 故答案为：． 题型三 求一个角的余角、补角 解｜题｜技｜巧 两角互余和为90°，互补和为180°；已知一个角求余角用90°减，补角用180°减，注意单位换算，设未知数列方程，常结合角平分线或倍分关系建立等量关系。 【典例1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如果，那么的余角等于_________；的补角为_________． 【答案】 【分析】本题考查了两角互余及互补的定义．利用两角互余及互补的定义，进行计算，即可求解． 【详解】解：， 的余角为：，的补角为：， 故答案为：，． 【典例2】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，一块的直角三角板放在一条直线上，若，则______°； 【答案】35 【分析】本题考查平角的性质．由，计算可得结论． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为：35． 【变式1】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）若与是对顶角，且，则的补角是__________°． 【答案】130 【分析】本题考查了对顶角的性质，补角的定义，根据对顶角相等结合已知条件求出的度数，再根据度数之和为180度的两个角互补即可求出答案． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴的补角是， 故答案为：130． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）已知一个角的余角比它的补角的还多，则这个角的度数是___． 【答案】/47度 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，一元一次方程的应用，设这个角的度数为x，则这个角的补角的度数为，余角的度数为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 题型四 利用对顶角、余角、补角、直角求角 解｜题｜技｜巧 先找对顶角相等，再根据余角或补角关系转化，结合垂直得90°，用方程思想表示各角；将分散角集中到三角形或多边形中，利用内角和、外角性质建立等量关系求解。 【典例1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，直线相交于点，垂足都为． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查几何中角度的计算，掌握互余互补的概念及计算是关键． （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）根据题意得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例2】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，直线与相交于点，． (1)若，求的度数； (2)从点出发在内部引射线，若与互补，则与有什么位置关系？并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了角的和与差、垂直的定义、补角的定义．解决本题的关键是根据垂直和互补的关系找角之间的关系． 根据垂直的定义可知：，根据，可得：，从而解得：，根据对顶角相等可得：； 根据补角的定义可知：，因为，所以可得：，根据垂直的定义可知，所以可得：，从而可证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下： 与互补， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知直线 相交于点平分． (1)求 的度数； (2)求 的度数； (3)试说明 平分． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查对顶角相等，互余，互补的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义即可求解； （2）根据垂直得到，由即可求解； （3）根据题意得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴； （3）解：如图所示，延长到点， 由（2）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 平分． 【变式2】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知是直线上一点，过点作射线，且． (1)如图，的度数为__________； (2)如图，若平分，，垂足为．求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为； (3)的度数为或． 【分析】本题考查角平分线，余角，补角，解题的关键是正确理解相关定义． （1）根据补角的概念，计算即可； （2）根据角平分线可得的度数，由位置关系得出的度数，计算即可； （3）根据两角互余可得的度数，按的位置进行分类讨论，计算即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴和互为邻补角， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，平分， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， 答：的度数为． （3）解：由（2）知，， ∵与互余， ∴， ∴， 由（1）知，， 当在内部时，如图， ， 当在外部时，如图， ， 综上所述，或， 答：的度数为或． 题型五 点到直线的距离与垂线段最短 解｜题｜技｜巧 点到直线垂线段长度即距离，唯一且最短；求距离常作垂线构造直角三角形，利用面积法或勾股定理计算，比较线段长短时优先考虑垂线段，注意区分垂足位置。 【典例1】（24-25七年级下·四川德阳·期中）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 【典例2】（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，，于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到的垂线段是线段 C．点到的垂线段是线段 D．线段是点到的距离 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离、垂直的定义，对平面几何中概念的理解，根据点到直线的距离，垂直的定义，可得答案． 【详解】解：A、由于点，可知，故不符合题意； B、点到的垂线段是线段，故不符合题意； C、点到的垂线段是线段，故符合题意； D、线段的长度是点到的距离，故不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，，下列说法中不正确的是（   ） A．点与上各点的所有连线中，最短 B．点到的距离是线段的长度 C． D．线段是点到的距离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短，点到直线的距离，三角形的面积解答即可． 本题考查了垂线段最短，点到直线的距离，三角形的面积，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 【详解】A. 根据垂线段最短，得到点与上各点的所有连线中，最短，正确，不符合题意有 B. 根据点到直线的距离，得点到的距离是线段的长度，正确，不符合题意； C. 根据三角形的面积，得即，正确，不符合题意， D. 线段的长度是点到的距离，本选项错误，符合题意， 故选：D． 题型六 判断两条直线是否平行 解｜题｜技｜巧 根据平行判定：同位角相等、内错角相等或同旁内角互补；结合图形已有条件，从角的关系入手，添加角相等或互补条件，也可利用垂直同一直线或平行公理推论，注意结论唯一性。 【典例1】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 【典例2】（24-25七年级下·浙江台州·期中）根据，能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是关键；根据平行线的判定方法逐项判断即可得解． 【详解】解：A、根据，不能得到，故本选项不符合题意； B、根据，能得到，故本选项不符合题意； C、根据，不能得到，故本选项不符合题意； D、根据，由内错角相等，两直线平行能得到，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键． 根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键． 根据平行线的判定定理，即“内错角相等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平行”，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，，内错角相等，可判定，不能判定； B选项，，内错角相等，能判定； C选项，，同旁内角互补，能判定； D选项，，内错角相等，能判定． 故选：A． 题型七 平行线的判定和性质多结论题 解｜题｜技｜巧 先根据已知判定平行，再运用性质推导角的关系；每个结论逐一验证，避免混淆判定与性质，利用“两直线平行”作桥梁，结合对顶角、邻补角等转化，注意逻辑链条完整。 【典例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，，平分，，，．则下列结论：①，②平分，③，④．其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由于，则，利用平角等于得到，再根据角平分线定义得到；利用，可计算出，则，即平分；利用，可计算出，则；根据，而，可知④不正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴；所以①错误， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分，所以②正确； ∵， ∴， ∴， ∴；所以③正确； ∴， 而， ∴，所以④错误． 【典例2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵∵平分， ∴ 又，， ∴ ， 故④正确． 综上所述，正确的选项①②④共3个， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键． 分点在点右侧，点在和之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论即可． 【详解】解：当点在点右侧时，如图示： 平分，平分， ，， ， ． ， ， 当点在和之间时，如图： 平分，平分， ，， ， ． ， ，则； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·河南周口·期中）如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据可得，从而可得，再根据可得，再根据代入计算，即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断③；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断②和④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，则结论①正确； ∵， ∴， ∴，则结论③正确； ∵， ∴，， 但不一定等于，也不一定等于， 所以平分，平分都不一定正确，则结论②和④都错误； 综上，正确的是①③． 故选：B． 题型八 平行线的性质在生活中的应用 解｜题｜技｜巧 将实际问题抽象为平行线模型，利用同位角、内错角相等或同旁内角互补，结合测量数据建立方程；常借助标杆、光线等构造平行线，通过角度计算求距离或高度。 【典例1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【典例2】（24-25七年级下·上海青浦·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·山东泰安·期中）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______． 【答案】/32度 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为________． 【答案】/10度 【分析】本题考查平行线的知识．由平行线的性质，得，则，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型九 平行线的判定和性质综合问题 解｜题｜技｜巧 先由角的关系判定平行，再由平行推导新角关系，反复交替使用；常作辅助线（如过拐点作平行线）沟通已知与未知，将分散角集中转化，结合三角形内角和与方程思想求解。 【典例1】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知点B、C、D、F在一条直线上，交于点G，，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据邻补角以及同位角相等，两直线平行即可求解； （2）先通过，得到，然后等量代换，证明，再由平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，已知平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)85° 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据平分线的定义得，由可得，  从而可得结论； （2）根据平行线的性质得，得，故可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分，   ∴， ∵，    ∴，    ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，E为射线上一点，平分，． (1)求证：． (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，一元一次方程等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由得，再结合得，由平行线的判定即可证明； （2）设，则，由平行线的性质求得，，；由平分得，利用建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴； ∵， ∴，，； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：， 即． 【变式2】（24-25七年级下·四川广元·期中）如图，在中，平分交于点D，点E在的延长线上，点G在线段上，与相交于点F， (1)与平行吗？请说明理由． (2)点H在的延长线上，若，，求的度数 【答案】(1)平行，见解析 (2)80度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）根据，，等量代换，结合平行线的判定即可得到结论； （2）根据平行线的判定与性质与角平分线的定义证明，结合即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵，， ∴． ∴． （2）解∶∵， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵平分交于点D， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 题型十 根据平行线的判定与性质探究角的关系 解｜题｜技｜巧 从结论或已知出发，分析需证角相等或互补，利用平行线将角转移，结合对顶角、邻补角，常过拐点作辅助平行线构造“三线八角”，通过等量代换建立角之间的数量关系。 【典例1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，点C是边上一点，动点A从点B出发沿射线方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线，使得． (1)若平分，猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由； (2)当时，求的度数，并说明此时与之间的位置关系； (3)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义． （1）根据角平分线可得，由平行线的性质可得，，则有； （2）由，有，则可求，由平行线的性质可得； （3）根据平行线得到，再根据列方求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例2】（24-25七年级下·新疆和田·期中）已知：如图（1）直线、被直线所截，．    (1)求证：； (2)如图（2），点在，之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）作，根据平行线的判定与性质可得，同理可得，根据，再根据角平分线的定义可得，，即有，问题随之得解． 【详解】（1）证明：如下图 ∵（已知），（对顶角相等） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）， 理由：作． ， ， 同法可证：， ∵， ， 又，， ∴ 【变式1】（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点B作，则，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①如图所示，过点B作，则，由平行线的性质可推出；再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可得答案；②仿照（2）①求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 【变式2】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)①，；②的大小不变，是 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，则有C，B，D共线，然后根据角平分线的定义可得，，进而问题可求解； （2）①过点C作，则有，由题意易得，然后可得，，进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解；②设，同理①可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴C，B，D共线， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：①如图，过点C作， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ②不改变，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的大小不变，是． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（） A．和是同旁内角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是对顶角 【答案】C 【详解】解∶A、与是同旁内角，本选项说法正确； B、和是同位角，本选项说法正确； C、和不在两条被截线之间，它们不是内错角，本选项说法不正确； D、和是对顶角，本选项说法正确． 2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，掌握两直线平行、同旁内角互补是解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：A． 3．（25-26七年级下·全国·期中）如图，直线，相交于点O，，则的度数是__________． 【答案】/48度 【分析】本题考查了对顶角相等． 直接根据对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵直线，相交于点O，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知与互余，且的度数比的度数的3倍还多，则的度数为 ___________________ ． 【答案】/15度 【分析】本题考查余角的定义和一元一次方程的应用，根据互余关系列出方程求解即可． 【详解】解：设的度数为 ，则的度数为， ∵与互余， ∴，解得， 故的度数为， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图所示，直线，相交于点O，，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了余角和补角、垂线的定义，利用同角的余角相等，可得，再利用补角的性质就可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴， ∵与互补， ∴． 6．（24-25七年级下·江西抚州·期中）如图，在方格纸中，点在直线外．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图（1）中过点画的垂线； (2)在图（2）中过点画的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图，解题的关键是熟练掌握垂线和平行线的画法． （1）按照垂线的画法，作图即可； （2）按照平行线的画法，作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求 （2）解：如图，直线即为所求 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，的三角板的直角顶点为，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查平行线的性质，角平分线的定义，注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）过作，则，根据平行线的性质推出，进而得到，求出，再根据角平分线的定义即可解答； （2）设，则，求出，，根据（1）中的结论得出，解方程即可． 【详解】（1）解：过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ，， ， ∵平分． ； （2）解：设，则， ∴，， 由（1）可知，，， ∴， ， ∵， ， 解得：， ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角的概念及计算．根据余角（和为）和补角（和为）的定义，直接计算或推导即可判断各结论的正确性． 【详解】①若∵，则的余角为，该选项不正确； ②若，则的补角为，正确； ③若与互余， ∴； ∵与互补， ∴； ∴，代入得：， ∴，正确． 故选：B． 2．（24-25九年级下·广东中山·期中）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射。如图，水面与水杯下沿平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，根据，得出，再根据已知条件得出即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵∵平分， ∴ 又，， ∴ ， 故④正确． 综上所述，正确的选项①②④共3个， 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是_____． 【答案】 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，由题意得：，求出；根据即可求解 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， 故答案为： 5．（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是____．若于点，于点，则线段______的长度表示点到直线的距离． 【答案】 /度 / 【分析】本题考查的是邻补角的含义，点到直线的距离，根据邻补角与点到直线的距离的含义可得答案． 【详解】解：直线、相交于点，，则直线、的夹角是： ， ∵于点， ∴线段的长度表示点到直线的距离． 故答案为：， 6．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当______ 时，． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论． 如图①，当时，；如图②，当时，，得出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，当时，； 如图②，当时，， ∵， ∴， 即当时，， ∴当的度数为或时，， 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分． (1) 的对顶角是 ，的补角是 和 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角． （1）根据对顶角，补角的定义，即可解答； （2）先根据垂直定义可得，从而可得：，然后利用平角定义可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：的对顶角是，的补角是和， 故答案为：；；； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·山东青岛·期中）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点到线段的距离即线段 的长； (4)线段、的大小关系是 （用“”连接），理由是 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) (4)，垂线段最短 【分析】本题考查过直线外一点作已知线段的平行线和垂线，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是正确理解题意，灵活应用所学的知识解决实际问题． （1）根据平行线的作法作图即可； （2）根据垂线的作法作图即可； （3）根据点到直线的距离，写出正确答案即可； （4）根据垂线段最短，写出正确答案即可． 【详解】（1）解：如图，直线为所求． （2）解：如图，直线为所求． （3）解：∵于点， ∴点到线段的距离即为线段的长， 故答案为：． （4）解：∵于点， ∴线段、的大小关系是， 理由是：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，点在直线上，点E、F、G在直线上，，连接、OF、OG，其中，． (1)证明：； (2)当时，请求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算； （1）证明，，结合，可得，进一步可得结论； （2）由题意设，，证明，，，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：， 设，， ∵， ，， ∵， ∴， ， ， 解得， ． 10．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）【问题情境】 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． 【探索发现】 （1）当时，求证：； （2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； 【操作探究】 （3）“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3），见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，从而可求得，结合角平分线即可求得的度数； （2）①由角平分线的定义可得，，从而得到，再由平行线性质得，从而可求解； ②根据①的结论，即可求解； （3）由角平分线的定义得，结合平行线的性质得，，即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，分别平分和， ，， ， ． （2)①，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， 当时， 则， 故答案为：． ②当时， 则； 故答案为：． （3），理由如下： 平分， ， ， ，， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相交线与平行线（期中复习讲义） 内容导航 明。期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01对顶角同位角内错角同旁内角的辨别 题型02利用对顶角相等求角 题型03求一个角的余角、补角 题型04利用对顶角余角补角直角求角 题型O5点到直线的距离与垂线段最短 题型06判断两条直线是否平行 题型07平行线的判定和性质多结论题 题型08平行线的性质在生活中的应用 题型09平行线的判定和性质综合问题 题型10根据平行线的判定与性质探究角的关系 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 对顶角、邻补角 1.理解对顶角、余角、补角的概念；2.掌握对 基础必考点，选择、填空常考角度计 顶角相等、余角、补角和为90°的性质并能计算。 算，易混淆邻补角与补角。 垂线及其性质 1.理解垂线的定义，掌握“过一点有且只有一 高频基础点，常结合实际问题考查垂 条直线与己知直线垂直”；2.会画垂线，理解垂 线段最短，作图题常考。 线段最短的性质。 同位角、内错角、 能准确识别三线八角中的同位角、内错角、同旁 概念辨析题高频，是平行线判定与性 同旁内角 内角。 质的基础，易认错角的位置。 平行线的判定 掌握平行线的3种判定方法（同位角相等、内 中考核心考点，解答题证明题必考， 错角相等、同旁内角互补)，能证明两直线平行。 是几何推理的基础。 平行线的性质 掌握平行线的3条性质（同位角相等、内错角 高频考点，选择、填空、解答均有涉 相等、同旁内角互补)，能进行角度计算与证明。 及，常与判定结合考查。 尺规作图（作角、 掌握用尺规作一个角等于已知角、过直线外一点 基础作图题常考，需规范作图步骤并 平行线) 作平行线的方法。 说明依据。 1/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 平行线间的距离 理解平行线间距离的概念，知道平行线间距离处 距离处处相等。基础考点，常与面积 处相等。 计算结合考查。 记·必备知识 圖知识点01对顶角 1.对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角。 2.性质：对顶角相等。 示例：直线AB、CD交于点O,∠AOC-30°，则对顶角∠BOD=30°。 易错点：1.把“有公共顶点的角”都当成对顶角，忽略两边互为反向延长线；2.计算角度时漏看图形位置。 局知识点02余角与补角 1.余角：两个角的和为90°，互为余角。 2.补角：两个角的和为180°，互为补角。 3.性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 示例：∠A=30°，余角是60°，补角是150°；-若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3。 易错点：1.余角、补角只看度数和，与位置无关，不要只认相邻的角；2.把“余角”记成和为180°，“补 角”记成和为90°；3.计算钝角的余角，钝角没有余角。 圖知识点03垂线及其性质 1.两条直线相交所成四个角中有一个是直角，则两直线互相垂直。 2.性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 3.点到直线的距离：点到直线的垂线段长度。 示例：过点P作直线1的垂线，垂足为Q,则PQ最短。 易错点：1.把“垂线段”和“垂线”混淆：垂线是直线，垂线段是线段；2.忘记“同一平面内”这个前提；3. 求距离时不垂直，随便连一段线段当距离。 邑知识点04同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线（截线)所截：1.同位角：位置相同，都在截线同侧、两被截线同一方；2.内错 角：在两被截线之间，截线两侧；3.同旁内角：在两被截线之间，截线同侧。 示例：找出图中∠1的同位角、内错角、同旁内角。 易错点：1.分不清哪条是截线，哪两条是被截直线；2.把不在“三线八角”里的角硬套概念；3.内错角、 2/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同旁内角位置混淆。 局知识点05平行线的概念及画法 1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 3.平行推论：若a∥b,b∥c,则a∥c。 示例：过点P作直线AB的平行线，有且只能画一条。 易错点：1.忽略“同一平面内”，误以为空间不相交就是平行；2.说成“过直线上一点也能作平行线”；3.推 论中漏传平行关系。 局知识点06平行线之间的距离 1.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离： 2.平行线间的距离处处相等。 示例：两条平行线间的垂线段长度都相等，可用于求面积。 易错点：1.用斜线段长度当距离；2.认为距离是两平行线间任意线段长；3.与“两点间距离”混淆。 局知识点07平行线的判定 1.同位角相等三两直线平行： 2.内错角相等一两直线平行； 3.同旁内角互补一两直线平行： 4.推论：都垂直于同一直线的两直线平行。 示例：若∠1=∠2（同位角），则AB∥CD。 易错点：1.判定与性质混用，因果颠倒；2.角找错，用不对应的角判定平行；3.同旁内角“相等当成平 行条件，正确应为“互补”。 局知识点08平行线的性质 1.两直线平行三同位角相等： 2.两直线平行一内错角相等； 3.两直线平行→同旁内角互补。 示例：己知AB∥CD,∠1=50°，则内错角∠2=50°，同旁内角∠3=130°。 易错点：1.因果关系写反：把“角等”写在前面，“平行写在后面；2.同旁内角写成相等；3.复杂图形中 找不到对应的平行线与角。 3/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 破·重难题型 巴题型一 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 解|题|技|巧 对顶角由两直线相交形成，形状像“X”；同位角、内错角、同旁内角需两条被截线与一条截线，看位 置关系：同位角“F”型，内错角“Z”型，同旁内角“U”型，找准截线是关键。 【典例1】(24-25七年级下山东菏泽期中)如图，下列说法中错误的是() A.∠1与∠2是同位角 B.∠3与∠4是同位角 C.∠3与∠5是内错角 D.∠3与∠6是同旁内角 【典例2】(24-25七年级下·河北保定·期中)如图，直线DE,BC被直线AB所截，下列说法错误的是() A D 4 B11 A.∠1和∠2是内错角 B.∠2和∠3是同位角 C.∠1和∠3是同旁内角 D.∠2和∠4是对顶角 【变式1】(24-25七年级下·甘肃兰州期中)如图，直线AB与直线DE相交于点F,点C为平面上一点， 连接BC、CF,下列说法中，①∠1和∠5是同位角；②∠2和∠5是内错角；③∠4和∠6是对顶角；④∠2和 ∠3是同旁内角；⑤∠5和∠6互为补角.正确的个数是() A D 6 75 3 4 E B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(24-25七年级下·广东阳江·期中)图①是小明在某次篮球比赛灌篮时的照片，图②是其示意图， 则下列说法中：①∠1和∠2是对顶角；②∠1和∠6是同位角；③∠3和∠4是同旁内角；④∠4和∠6是内 错角，错误的个数为() 6 (图①) (图②) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型二 利用对顶角相等求角 解|题|技|巧 先找出对顶角，根据对顶角相等建立等量关系；常结合邻补角互补、平行线性质或三角形内角和，将 未知角与已知角通过等量代换联系起来，设未知数列方程求解。 【典例1】(25-26七年级上福建泉州期中)若∠1与∠2是对顶角，且∠1=70°，则∠2= 【典例2】(24-25七年级下·四川德阳期中)如图，直线AB,CD相交于点O,E0⊥AB,垂足为O, ∠A0D=125°，则∠E0C的度数为· E B D 【变式1】(24-25七年级下·河南濮阳期中)如图，直线AB,CD相交于点O,OA平分∠C0E, OF⊥CD,垂足为O,若∠BOD=32°，则∠E0F的度数为 D A B C 【变式2】(24-25七年级下·广东佛山期中)当光线从空气斜射入某种透明液体中时，光线的传播方向发 生了改变，这就是光的折射现象.如图，MN为液面，AB⊥MN于点D,一束光线沿CD斜射入液面，在 5/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点D处发生折射，折射光线为DE,点F为CD延长线上一点，若入射角∠1=40°，折射角∠2=21°，则 ∠EDF的度数为 A M F EB 题型三求一个角的余角、补角 解|题|技|巧 两角互余和为90°，互补和为180°；已知一个角求余角用90°减，补角用180°减，注意单位换算， 设未知数列方程，常结合角平分线或倍分关系建立等量关系。 【典例1】(24-25七年级下·四川成都期中)如果∠A=35°，那么∠A的余角等于 :∠A的补角 为 【典例2】(24-25七年级下广东广州期中)如图，一块30°的直角三角板放在一条直线上，若∠1=55°， 则∠2=°； 【变式1(24-25七年级下·陕西渭南·期中)若∠1与∠2是对顶角，且∠1+∠2=100，则∠1的补角是 【变式2】(24-25七年级下全国期中)已知一个角的余角比它的补角的号还多5°，则这个角的度数是 立题型四利用对顶角、余角、补角、直角求角 解|题|技|巧 先找对顶角相等，再根据余角或补角关系转化，结合垂直得90°，用方程思想表示各角；将分散角集 :中到三角形或多边形中，利用内角和、外角性质建立等量关系求解。 【典例1】(24-25七年级下·江苏南通期中)如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足都为 0 6/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：EOF=LAOC; (2)若LA0D=5LE0F,求∠E0F的度数， 【典例2】(24-25七年级下·四川达州期中)如图，直线AB与CD相交于点0，OE⊥AB. D (1)若LE0C:LA0C=73,求LB0D的度数； (2)从点O出发在LAOD内部引射线0F,若∠AOC与∠E0F互补，则OD与0F有什么位置关系？并说明理 由. 【变式1】(24-25七年级下·黑龙江佳木斯期中)如图，已知直线AB、CD相交于点O,OE平分 ∠BOD,OF⊥OE,∠AOC=70° D (1)求∠BOE的度数； (2)求∠D0F的度数； (3)试说明0F平分∠A0D. 【变式2】(24-25七年级下·陕西汉中期中)如图，己知0是直线AB上一点，过点0作射线0C,且 ∠A0C=70°. 7/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -I 图① 图② 备用图 ①)如图①，∠B0C的度数为 (2)如图②，若OM平分∠AOC,0D⊥OC,垂足为0.求LM0D的度数： (3)在(2)的条件下，作射线OP,若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数. 巴题型五 点到直线的距离与垂线段最短 解|题|技|巧 点到直线垂线段长度即距离，唯一且最短；求距离常作垂线构造直角三角形，利用面积法或勾股定理 :计算，比较线段长短时优先考虑垂线段，注意区分垂足位置。 【典例1】(24-25七年级下·四川德阳·期中)运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩 的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是() ① 起b② ③ 线④ A.两点之间，线段最短 B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 【典例2】(24-25七年级下山西大同·期中)如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,则下列结论正确的是 () B D 8/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.AB⊥BC B.点C到AB的垂线段是线段CB C.点C到AB的垂线段是线段CD D.线段AD是点A到CD的距离 【变式1】(24-25九年级上·贵州贵阳期中)如图，A,B,C,D四点在直线1上，点M在直线1外， MC⊥1，若MA=5cm,MB=4cm,MC=2cm,MD=3cm,则点M到直线l的距离是() M A B A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 【变式2】(24-25七年级下·云南昆明期中)如图BA⊥AC,AD⊥BC,下列说法中不正确的是() D A.点A与BC上各点的所有连线中，AD最短 B.点C到AB的距离是线段AC的长度 C.AB·AC=BC·AD D.线段BD是点B到AD的距离 题型六判断两条直线是香平行 解引题|技|巧 根据平行判定：同位角相等、内错角相等或同旁内角互补；结合图形已有条件，从角的关系入手，添 加角相等或互补条件，也可利用垂直同一直线或平行公理推论，注意结论唯一性。 【典例1】(24-25七年级下·贵州贵阳·期中)如图，下列条件能判定AC‖BE的是() A.∠C=∠EBCB.∠A=∠EBD C.∠C=∠ABC D.∠A=∠ABE 【典例2】(24-25七年级下·浙江台州·期中)根据∠1=∠2，能得到AB∥CD的是() 9/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D /2 D 【变式1】(24-25七年级上河南南阳·期末)己知∠1=∠2，下列图形中，能确定AB∥CD的是() 【变式2】(24-25七年级下·辽宁辽阳期中)如图，下列条件中，不能判定AB‖CD的是() B A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠BAD+∠ADC=180 D.∠BAC=∠ACD 题型七平行线的判定和性质多结论题 解|题|技|巧 先根据已知判定平行，再运用性质推导角的关系；每个结论逐一验证，避免混淆判定与性质，利用“两 直线平行”作桥梁，结合对顶角、邻补角等转化，注意逻辑链条完整。 【典例1】(24-25七年级下·浙江绍兴期中)如图，AB∥CD,OE平分∠B0C,OF⊥OE,OP⊥CD, ∠AB0=30°.则下列结论：①LB0E=70°，②0F平分∠BOD,③LP0E=∠B0F,④∠P0B=2LD0F.其 中正确的个数为() B E A.4 B.3 C.2 D.1 【典例2】(25-26八年级上·安徽安庆期中)如图，AB‖CD,PG平分∠EPF,LA+LAHP=180°，下列 10/20