第八章一元二次方程重点题型练习2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第八章一元二次方程重点题型练习 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列所给方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 4．若方程的两个实数根分别是，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 5．关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．用配方法将方程化成的形式，则的值是（　） A．4 B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程有一根为1，则m的值为（   ） A． B．或0 C．0 D．1 8．2025年3月份，我国自主研发的一款软件一经发布，便受到广泛关注．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了280万次．假设该软件这三天的下载量日平均增长率为x，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．我们规定一种新运算“”，其意义为，若，则的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 11．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_____． 12．把关于x的一元二次方程配方，得，则______． 13．定义一种新运算：，若，则的值为__________． 14．如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 15．某水果店经销一种水果，进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，每天可售出千克；当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克．若要使每天的利润为元，又要尽快减少库存，则每千克水果应降价______元． 三、解答题 16．已知是方程的一个根，求代数式的值． 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 20．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根中有且仅有一个正数，求m的取值范围． 22．阅读材料： 把一个多项式进行配方可以解决求代数式的最大（小）值问题．例如：．，，代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)图①是一组邻边长分别为7，的长方形，面积为；图②是边长为的正方形，面积为，且．请比较与的大小，并说明理由． 23．如图，设计师要给长城风景画安装上一个四周宽度相等的空白画框，制成一个矩形工艺品后进行销售，该工艺品的长为，宽为． (1)若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白画框的宽度是多少？ (2)已知该工艺品的成本是元／件，若以元／件销售，则每天可售出件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】解：是二元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合； ，当时，不是一元二次方程，故B不符合； 一元一次方程，不是一元二次方程，故C不符合； 符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故D符合． 2．B 【分析】计算各方程的判别式，由于时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、，方程有实数根； B、，方程没有实数根； C、，方程有实数根； D、，方程有实数根． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 4．A 【分析】由根与系数的关系求出和的值，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别是， ∴， ∴． 5．D 【分析】利用根的判别式即可求解． 【详解】解：∵的方程， ∴， ∴的方程无实数解． 故选：D． 6．C 【分析】根据配方法的步骤进行配方，可得到a与b的值，再代入中计算即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 故, 所以， 故选C． 7．C 【分析】本题利用一元二次方程的定义和方程根的概念求解，先将已知根x=1代入方程求m的可能值，再根据一元二次方程二次项系数不为0舍去不符合条件的值即可. 【详解】∵原方程是关于x的一元二次方程 ∴二次项系数，即. ∵x=1是原方程的一个根 ∴将x=1代入原方程得 整理得，即 解得或. 又∵ ∴舍去，得. 8．C 【分析】根据日平均增长率x，分别计算三天的下载量：首日50万次，第二天万次，第三天万次，三天总和等于280万次，进行作答即可． 【详解】解：∵首日下载量：50万次， ∴第二天下载量：万次， 第三天下载量：万次， ∴三天累计下载量：万次． 9．C 【分析】根据关于的一元二次方程有实数根，得，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 10．B 【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， 解得：，． 11． 【分析】根据一元二次方程根的判别式，方程有实数根，则，再代入解不等式即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ， 解得． 12． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法、多项式相等的条件以及代数式求值，熟练掌握配方法的步骤和多项式系数对应相等的性质是解题的关键． 先将配方后的方程展开，再与原方程比较对应项的系数，求出和的值，最后计算的值． 【详解】解：， ， ∵与是同一个方程， ∴，． ∴，． ∴． 故答案为：． 13． 【分析】根据新定义将转化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， 即的值为． 14． 【分析】结合题意得、是方程的两不等实数根，由根与系数的关系得，，再根据即可得解． 【详解】解：，，且、是两个不相等的实数， 、是方程的两不等实数根， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解、根与系数的关系、已知式子的值求代数式的值，解题关键是结合根与系数的关系得出、的值． 15．8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每千克这种水果应降价元，由题意：使每天的利润为元，列出一元二次方程， 【详解】解：设每千克这种水果应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要尽快减少库存， ， ∴每千克这种水果应降价8元． 故答案为：8 16． 12 【分析】根据一元二次方程的根的定义得到，把原式变形后利用整体代入的方法计算即可． 本题主要考查了代数式求值，一元二次方程的根的定义和整体思想，熟练掌握一元二次方程的根的定义和整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ ． 17．(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18．(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 19．(1) (2)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）解：， ∴， ， ， ， ∴，． 20．(1)当羊圈的长和宽分别为，时，能围成一个面积为的羊圈 (2)羊圈的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）设当羊圈的宽为，则羊圈的长为，根据“围成一个面积为的羊圈”列方程求解即可； （2）令，判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设当羊圈的宽为，则羊圈的长为， 根据题意，得， 化简，得， 解得或20， 当时，，不合题意，舍去； 当时，； 答：当羊圈的长和宽分别为，时，能围成一个面积为的羊圈； （2）解：羊圈的面积不能达到．理由如下： 令， 化简，得， ， 方程没有实数根， 羊圈的面积不能达到． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出根的判别式即可求解； （2）因式分解法求出方程的两个根，根据题意可知两根中一个为正数，另一个为非正数，据此列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：因式分解得：， ， 又方程的两根中有且仅有一个正数， ，即，无解； ，即，解得； 综上，． 22．(1)1 (2)，见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）配方得出，结合，即可得解； （2）由题意表示出，，计算出即可得解． 【详解】（1）解：． ，， ∴代数式的最小值为1． （2）．理由如下： 由题意，得，， ， ． 23．(1)空白画框的宽度为； (2)该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设画框(空白部)的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设空白画框的宽度为，根据题意列方程得： ， 解得：，， 当时，不符合题意， ． 答：空白画框的宽度为． （2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据题意列方程得： ， 解得：，， 答：该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $