8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

长沙市明达中学 高一数学 第八章 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球 的表面积和体积 高一数学组 新课标 人教版 高中数学 1 学习目标 1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。 2.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的推导过程，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心。 3.体会数形结合思想，转化思想. 复习导入（情境引入） 各面面积之和 柱体、锥体、台体的体积 棱锥 棱台 棱柱 棱柱棱锥棱台的体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 上节课我们学习了棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式，那么圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积如何计算呢？ 旧知回顾 扇形面积公式： 圆的面积公式： 请同学回顾下面公式： 温故而知新，可以为师矣！ 扇形弧长公式： 想一想，扇环的面积公式是什么？ 复习导入（旧知回顾） 4 1、圆柱的表面积 O 圆柱的侧面展开图是矩形 新知探究 2、圆锥的表面积 圆锥的侧面展开图是扇形 O 新知探究 3、圆台的表面积 【探究1】参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想圆台的侧面展开图是什么 ？ O O’ 圆台的侧面展开图是扇环 新知探究 【探究2】 3、圆台的表面积 新知探究 r’=r 上底扩大 r’=0 上底缩小 r r’ l 新知探究 例1　(1)已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_____. 1 例题讲解 (2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为____. 3 方法一　设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π， 所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R，则2πR＝2π，解得R＝1. 方法二　设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则πr＝2πR，即r＝2R， 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r. 由S侧＝7π(r＋3r)＝84π，解得r＝3. 跟踪训练1　若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为 √ 由于圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则h＝2r＝3， 所以圆柱的侧面积为2πr·h＝9π. 练习巩固 圆柱、圆锥的体积公式 【想一想】我们以前学习过圆柱、圆锥体积公式? 1、圆柱、圆锥的体积 新知探究 2、圆台的体积 ｈ 新知探究 圆柱、圆锥、圆台的体积公式 新知探究 S为底面面积，h为锥体高 S分别为上、下底面面积，h 为台体高 S为底面面积，h为柱体高 上底扩大 上底缩小 新知探究 例2　(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是 √ √ 例题讲解 (2)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆 台的体积是______. 设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h， 则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π， ∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π， 例题讲解 跟踪训练2　粮食是关系国计民生的重要战略物资.如图为储备水稻的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为10 m，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的4倍，且这两个圆锥的顶点相距12 m，每立方米的空间大约可装0.75吨的水稻，粮仓壁厚度忽略不计，则该粮仓最多可装水稻 A.175π吨 B.200π吨 C.225π吨 D.250π吨 √ 练习巩固 由题知，这两个圆锥的顶点相距12 m，圆柱的高是圆锥高的4倍， 设圆锥高为h，则6h＝12⇒h＝2， 球的表面积和体积 【提出问题】球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？ 新知探究 设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数. 如果球的半径为R，那么它的表面积是 球的表面积和体积 新知探究 h 实验：排液法测小球的体积 小球的体积 等于 它排开液体的体积 H 球的表面积和体积 新知探究 球的表面积和体积 新知探究 球的表面积和体积 割 圆 术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”．他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”．这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”．这是世界上最早的“极限”思想． 极限思想 新知探究 第 1 步 分 割 O 则球的体积为： 设“小锥体”的体积为： O 球的表面积和体积 球面被分割成n个网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”. 新知探究 O 第 2 步 求 近 似 和 当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的地面就越平，“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R，设O-ABCD是其中一个“小椎体”，它的体积是 O 新知探究 O 第 3 步 转化为准确 和 由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此，球的体积是 O 新知探究 球的表面积和体积公式 球的表面积和体积 新知探究 例题讲解 跟踪训练3　两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为______. 设大、小两球半径分别为R，r， 练习巩固 【例4】如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 例题讲解 例5　如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积. 例题讲解 如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， ∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a. 以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥. 圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2， 圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2， 圆锥的底面积S4＝πa2. ∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积. 求组合体的表面积与体积的方法 (1)求解几何体的体积与表面积时经常用割补法.补法是指把不规则的(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体. (2)解答本例题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢固. 反思感悟 跟踪训练5　(1)如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积. 练习巩固 该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体. 令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h， 所以圆锥的表面积 S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π， 例题讲解 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边所在直线旋转一周后形成由一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体.过点C作CE⊥AB于点E，设CD＝x， S表＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧 ＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·CE·BC 柱体、锥体、台体的表面积 各面面积之和 展开图 圆台 圆柱 圆锥 课堂小结 43 柱体、锥体、台体的体积 锥体 台体 柱体 课堂小结 44 课后作业 教材P119·练习第1、2、3、4题， 习题8.3第1-9题. 与球有关的切、接、截问题 补充内容 1.正方体的内切球 47 2.球与正方体的各条棱相切 48 3.长方体、正方体的外接球 49 4.正四面体的外接球与内切球 50 例1　(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为 A.4∶3 B.3∶1 C.3∶2 D.9∶4 √ 例题讲解 画出轴截面如图所示， 设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°， ∴∠CPB＝30°. ∴S1∶S2＝3∶2. (2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为 √ 例题讲解 作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心， 线段AB即为长方体底面的对角线， 线段BC即为长方体的高，长度为a， 延伸探究　将本例(2)中的长方体改为棱长为a的正四面体，求球的体积. 方法一　如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的重心，连接BE. 设球心为O，半径为R，连接OB， 则(AE－R)2＋BE2＝R2， 方法二　如图，将正四面体放入正方体中， ∵正四面体的棱长为a， 跟踪训练1　(1)已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是 A.27 B.16 C.9 D.3 √ 练习巩固 (2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 √ 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a. 如图， P为三棱柱上底面的中心，O为球心， 用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝ . √ 如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点， 例题讲解 球的截面的性质 球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题. 跟踪训练2　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为 √ 如图，作出球的一个截面， 设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42， 解得R＝5， Lavf57.62.100 根据相似三角形得出 ，那么 ， 那么扇环面积为大扇形面积减去小扇形面积 即 ， 所以圆台表面积为 ． 如果圆台的上、下底面半径分别为 ,母线长为,你能计算出它的表面积吗？ 【思考】圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 所以侧面展开图的面积为·2R·2πR＝2πR2＝2π，解得R＝1. 所以πl2＝2π，解得l＝2， A.9π B.12π C.π D.π （ 是底面半径， 是高） （ 是底面半径， 是高） Lavf57.62.100 （ 为底面积， 为柱体高）； （ 为底面积， 为锥体高）； （ ， 分别为上、下底面积， 为台体高）. 当 时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式； 当 时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式. 【思考】圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？ 当圆柱的高为8 cm时，V＝π×2×8＝(cm3)， 当圆柱的高为12 cm时，V＝π×2×12＝(cm3). A. cm3 B. cm3 C.288π cm3 D.192π cm3 ∴l＝2，∴h＝， ∴V＝π(1＋4＋1×2)×＝. 两个圆锥体积V2＝2×π2×h＝(m3)， 所以该组合体体积V＝V1＋V2＝200π＋＝(m3)， 所以该粮仓最多可装水稻0.75V＝×＝175π(吨). 所以圆柱体积V1＝π2×4h＝200π(m3)， 如果球的半径为 ， 表面积公式： . 体积公式： . 【例3】如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是 ，圆柱高 .如果在浮标表面涂上一层防水漆，每平方米需要 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（ 取3.14） 解：一个浮标的表面积为 ， 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料 . 则由题意可得解得 ∴它们的体积和为πR3＋πr3＝. 解：设球的半径为 ，则圆柱的底面半径为 ，高为 . ， ， . ∴CD＝＝2a， AB＝CDsin 60°＝a. ∴DO＝DD′＝a. ∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2， ∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2. 由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a. V锥＝S4h＝·πa2·a＝πa3. ∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3. V柱＝S3h＝4πa2·a＝4πa3. 则R＝2，r＝1，l＝4，h＝. 圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2π×1×＝2π. 所以所求几何体的表面积S＝S1＋S2＝12π＋2π＝(12＋2)π. (2)若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋)π，求这个旋转体的体积. 则AB＝x，则AD＝CE＝BE＝AB－CD＝，BC＝x. ＝π·＋2π··x＋π··x＝πx2. 所以旋转体的体积V＝π·AD2·CD＋·CE2·BE ＝π×12×2＋×12×1＝. 根据题设得πx2＝(5＋)π，则x＝2. 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝(a为正方体棱长)，过在一个平面上的四个切点作截面如图1. 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r2＝a，过球心作正方体的对角面，如图2. 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r3＝，如图3.当a＝b＝c即几何体为正方体时，可得正方体外接球半径为a. 若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R＝a，内切球半径为r＝R＝a.即正四面体外接球与内切球半径之比为3∶1. ∴圆锥的侧面积S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2， 又∠PCB＝90°，∴CB＝PC＝r，PB＝2r， A.3πa3 B.πa3 C.2πa3 D.2πa3 线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝a， 则球的半径R＝＝a， 所以球的体积V＝πR3＝πa3. 长度为＝a， ∵正四面体的棱长为a，∴BE＝a×＝a. ∴在Rt△ABE中，AE＝＝a. ∴R＝a，∴V球＝πR3＝πa3. ∴正方体的棱长为a，体对角线长为a， ∴球的直径2R＝a，∴R＝a. ∴V球＝πR3＝πa3. 设正四面体的外接球、内切球的半径分别为R，r，则＝3. 由题意，知πr3＝1，则外接球的体积是πR3＝27×πr3＝27. A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2， 故S球＝4πR2＝πa2. 易知AP＝×a＝a，OP＝a， 则OO′＝，O′M＝1， ∴OM＝＝，即球的半径为， ∴V＝π×()3＝4π. 例2　一平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 A.π B.4π C.4π D.6π A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 ∴V球＝π×53＝(cm3). 则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm). $