精品解析：浙江省衢州市柯城区2026年初中毕业生学业水平调研测试数学试题卷

2026年初中毕业生学业水平调研测试数学试题卷 考生须知： 1．全卷有三大题，24小题，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、准考证号填写在“答题纸”相应位置上，不要漏写． 3．全卷全部在“答题纸”上作答，做在试题卷上无效．选择题的答案必须用2B铅笔按答题卡上正确的填涂标示规范填涂；填空题、解答题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上．本次考试不允许使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值的基本性质，利用负数的绝对值等于它的相反数即可求解． 【详解】解：． 2. 如图，是由五个相同的正方体搭成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：该几何体的主视图为： ． 3. 天文学家利用太空望远镜，在距离地球约129000000千米的小行星群中发现了一颗罕见的双小行星，其中数据129000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：数据129000000用科学记数法可表示为． 4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意． 5. 小温将含角的直角三角板与直尺按如图所示放置．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质以及三角形外角定理进行求解． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∴． 6. 使有意义的的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵有意义 ∴， ∴， ∴的取值范围在数轴上可表示为： ． 7. 解方程时，在方程的两边同乘以，得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 两边同乘以，得． 8. 已知是抛物线上的点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线的对称轴为直线然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．利用二次函数的增减性和对称性解题是关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：C． 9. 一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：．下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 在这组数据中添加一个数据3，方差不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，方差的定义求解即可． 【详解】解：一组数据1，2，3，4，5，则， ∴， ∴， ∴， 在这组数据中添加一个数据3，这组数据变成1，2，3，3，4，5，则， ∴， ∴． 方差改变． 10. 如图，在矩形中，四边形和四边形都是正方形，对角线交，于点，，连接交于点，连接交于点，连接，，可形成“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样．若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道（ ） A. 四边形的面积 B. 四边形的面积 C. 四边形的面积 D. 四边形的面积 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据正方形和矩形的性质可得，可证明，，则，再由可得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道四边形的面积． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，比数轴上点表示的数大5的数是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】先在数轴上读点A所表示的数，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：因为点A表示的数为， 所以，比点A表示的数大5的数是：． 12. 计算：__________． 【答案】1 【解析】 【详解】解∶ ． 13. 2026年春节档有2部热门电影《飞驰人生3》、《惊蛰无声》．小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用列表法或画树状图法求解即可． 【详解】解：把2部影片分别记为A、B， 列表如下： A B A B 共有4种等可能的结果，其中小明和小亮选择同一部电影的结果有2种， ∴小明和小亮选择同一部电影的概率为． 14. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则与的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出变量之间的关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先表示出碳水化合物的含量是，再根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，列关系式即可． 【详解】解：∵碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，设蛋白质为， ∴碳水化合物的含量是， ∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共，设脂肪的含量为， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知点，都在双曲线上，且，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质列出不等式组求解． 【详解】解：由得，，且， 根据反比例函数的性质得，双曲线在每个象限内，随的增大而增大， ∵，， ∴， 即， 解得． 16. 如图，边长为4的正方形中，为边的中点，点在边上，连接，若的外接圆恰好与相切于点，则的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于点，证明四边形是矩形，得，，求出，设，则，由勾股定理列方程可求出． 【详解】解：连接，延长交于点，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的切线，点F是切点， ∴，即, ∴四边形是矩形， ∴，，即, ∴, ∵点是的中点， ∴， ∴， 设，则， 在中，, ∴, 解得：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，22~23题每题10分，24题12分，共72分） 17. 化简、解方程 （1）． （2）． 【答案】（1）1 （2），． 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式去括号，再合并同类项即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 18. 小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………① …………② …………③ 当时，原式． （1）请指出首次出现错误的步骤序号：______． （2）写出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据分式的化简步骤回答即可． （2）先化简分式，再代入数值求解即可． 【小问1详解】 解：首次出现错误的步骤序号②，分母不应该舍去．分式通分后，应该保持分母不变，对分子进行计算. 【小问2详解】 解： ， ， 当时，原式． 19. 如图，在中，，，，点在边上，，求长．（参考数据：，，）． 【答案】． 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，求得，再在中，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 20. 如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知． （1）求的度数． （2）若，，求的长度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义，直角三角形的性质结合对顶角相等即可求解； （2）利用直角三角形的性质求得，再利用平行四边形的性质推出，求得，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21. 某校九年级（一）班、（二）班全体同学都参加了校园科技知识竞赛．现从九（一）班、九（二）班各随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，并把九（二）班的竞赛成绩分成A，B，C，D四组，每组范围如下（表示分值）：A．；B．；C．；D．，还制作了如图所示的九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩扇形统计图（不完整）． 【数据呈现】 九（一）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩（单位：分）： 65，70，73，75，81，85，85，85，90，91． 九（二）班随机抽取的10名学生中等级学生的竞赛成绩（单位：分）： 80，80，82，83． 【分析数据】 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 九（一）班 80 九（二）班 80 81 80 92 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）说明“九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数是81分”的理由． （3）已知九（一）班有45名学生，九（二）班有50名学生，若本次竞赛成绩在90分及90分以上的学生都获奖，请估计这两个班级本次竞赛获奖学生的总人数． 【答案】（1）83；85；30 （2）见解析 （3）24人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数定义进行求解即可； （2）先求出九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩在C、D两组的人数之和，然后根据中位数定义，进行求解即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：九（一）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩从小到大进行排序： 65，70，73，75，81，85，85，85，90，91． 排在第5、第6的分别为81，85，因此中位数； 85出现次数最多，因此众数； ， 则； 【小问2详解】 解：九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩在C、D两组的人数之和为： ， ∵九（二）班随机抽取的10名学生中等级学生的竞赛成绩为：80，80，82，83． ∴将九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩从小到大进行排序，排在第5、第6的分别为80，82， ∴九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数是：（分）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：这两个班级本次竞赛获奖学生的总人数为24人． 22. 如图，的周长为4厘米，为的直径．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点出发1秒后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动秒时，点，与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，，则，关于的函数图象如图2所示． （1）试确定动点的速度． （2）当时，求关于的一次函数表达式，并求出当时，的值． （3）若图2中的点为两个函数图象的交点，求点的坐标，并求此时点，点间的劣弧长． 【答案】（1）厘米/秒 （2），当秒时， （3）点，点间的劣弧长为厘米 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用， （1）根据图2可知，当秒时，厘米，由此即可求解； （2）根据图2信息，运用待定系数法得到函数解析式，令代入函数解析式即可求解； （3）运用待定系数法得到的解析式，联立方程组求解得到点C的坐标，结合点C得到点，点间的劣弧长． 【小问1详解】 解：点与点间的劣弧（或半圆）长分别记为， 根据图2可知，当秒时，厘米， ∴厘米/秒； 【小问2详解】 解：当秒时，厘米，当秒时，厘米， ∴设， ∴， 解得，， ∴， 当秒时，； 【小问3详解】 解：设， 由图2可知，当秒时，厘米，当秒时，厘米， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，联立方程组得， 解得，， ∴， 当秒时，点从点A顺时针旋转到点B下方，路程为（厘米），此时点P距点A的距离为（厘米）， 点从点A顺时针旋转到直径上方，路程为厘米， ∴此时点，点间的劣弧长为（厘米）． 23. 已知二次函数（常数）． （1）当时，求该二次函数图像的顶点坐标． （2）是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当时，若始终成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）存在， （3），且 【解析】 【分析】（1）利用顶点解析式求顶点坐标即可； （2）利用二次函数的对称轴进行求解； （3）根据题意列出，得出，然后利用二次函数的性质以及不等式进行求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：存在，，理由如下： 二次函数的对称轴为直线， ∵对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等， ∴对称轴为直线， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：根据题意得，， ， 当时，恒成立， 故， 当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∵当时，若始终成立， ∴，且． 24. 已知：在中，点是弦上的动点（不与点，重合），过点作交于点，，连接，，，，过点作于点，交于点． （1）如图1，若经过点． ①求证：． ②若，，求的半径． （2）如图2，若，设，，求关于的函数表达式． 【答案】（1）①见解析；②的半径为2.5 （2）或 【解析】 【分析】（1）①证明，即可得到； ②连接，推出垂直平分，设，，利用勾股定理求得，在中，求得，在中，利用勾股定理求解即可； （2）分①当点E靠近点D时，当点E靠近点B时，两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 ①证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：连接， ∵，经过点O， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴，即， 解得， ∴，， ∵， 在中，， ∴， 令，则，， ∴在中，由勾股定理得， 解得； 【小问2详解】 解：①当点E靠近点D时， ∵， ∴．∴， ∴， ∵，∴， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点E靠近点B时， 同理可证和均为等腰直角三角形， 令， ∴，， ∴， ∴； ∴综合上得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业生学业水平调研测试数学试题卷 考生须知： 1．全卷有三大题，24小题，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、准考证号填写在“答题纸”相应位置上，不要漏写． 3．全卷全部在“答题纸”上作答，做在试题卷上无效．选择题的答案必须用2B铅笔按答题卡上正确的填涂标示规范填涂；填空题、解答题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上．本次考试不允许使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由五个相同的正方体搭成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 天文学家利用太空望远镜，在距离地球约129000000千米的小行星群中发现了一颗罕见的双小行星，其中数据129000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 5. 小温将含角的直角三角板与直尺按如图所示放置．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 使有意义的的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 解方程时，在方程的两边同乘以，得（ ） A. B. C. D. 8. 已知是抛物线上的点，则（　　） A. B. C. D. 9. 一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：．下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 在这组数据中添加一个数据3，方差不变 10. 如图，在矩形中，四边形和四边形都是正方形，对角线交，于点，，连接交于点，连接交于点，连接，，可形成“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样．若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道（ ） A. 四边形的面积 B. 四边形的面积 C. 四边形的面积 D. 四边形的面积 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，比数轴上点表示的数大5的数是__________． 12. 计算：__________． 13. 2026年春节档有2部热门电影《飞驰人生3》、《惊蛰无声》．小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是__________． 14. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则与的关系式为______． 15. 已知点，都在双曲线上，且，若，则的取值范围是__________． 16. 如图，边长为4的正方形中，为边的中点，点在边上，连接，若的外接圆恰好与相切于点，则的半径为__________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，22~23题每题10分，24题12分，共72分） 17. 化简、解方程 （1）． （2）． 18. 小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………① …………② …………③ 当时，原式． （1）请指出首次出现错误的步骤序号：______． （2）写出正确的解答过程． 19. 如图，在中，，，，点在边上，，求长．（参考数据：，，）． 20. 如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知． （1）求的度数． （2）若，，求的长度． 21. 某校九年级（一）班、（二）班全体同学都参加了校园科技知识竞赛．现从九（一）班、九（二）班各随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，并把九（二）班的竞赛成绩分成A，B，C，D四组，每组范围如下（表示分值）：A．；B．；C．；D．，还制作了如图所示的九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩扇形统计图（不完整）． 【数据呈现】 九（一）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩（单位：分）： 65，70，73，75，81，85，85，85，90，91． 九（二）班随机抽取的10名学生中等级学生的竞赛成绩（单位：分）： 80，80，82，83． 【分析数据】 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 九（一）班 80 九（二）班 80 81 80 92 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）说明“九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数是81分”的理由． （3）已知九（一）班有45名学生，九（二）班有50名学生，若本次竞赛成绩在90分及90分以上的学生都获奖，请估计这两个班级本次竞赛获奖学生的总人数． 22. 如图，的周长为4厘米，为的直径．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点出发1秒后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动秒时，点，与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，，则，关于的函数图象如图2所示． （1）试确定动点的速度． （2）当时，求关于的一次函数表达式，并求出当时，的值． （3）若图2中的点为两个函数图象的交点，求点的坐标，并求此时点，点间的劣弧长． 23. 已知二次函数（常数）． （1）当时，求该二次函数图像的顶点坐标． （2）是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当时，若始终成立，求的取值范围． 24. 已知：在中，点是弦上的动点（不与点，重合），过点作交于点，，连接，，，，过点作于点，交于点． （1）如图1，若经过点． ①求证：． ②若，，求的半径． （2）如图2，若，设，，求关于的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $