精品解析：河南光山县第二高级中学2025-2026学年高二下学期第一次月考（内部练）数学试卷

高二内部练 数学（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数，有，，即， 所以函数在区间上的平均变化率为. 2. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】向量，，有，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 4. 已知圆：与轴相切，则圆被轴截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心到x轴的距离等于半径即可求出的值，再由直线与圆的相交弦长公式解出答案. 【详解】圆：的标准方程为： 所以圆心，半径， 因为圆与轴相切， 所以圆心到轴的距离等于半径，即，解得, 所以圆的半径， 所以圆被轴截得的弦长为：. 5. 在数列中，，，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将递推公式裂项，再利用累加法求出通项，即可求出答案. 【详解】因为， 所以 , 所以， 所以. 6. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将给定的极限形式转化为导数的定义形式，然后通过求导得到结果. 【详解】，. 7. 如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过条件证明平面 ，建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】 设 ， 由知： ，， 又，平面 ， 所以平面 ， 以  为原点，为轴，过在平面 内作为轴，为  轴建立空间直角坐标系， 又， 可得 ，，，，， 则 ， ， 设直线与直线所成角为， 则. 即与 所成角的余弦值为 . 8. 定义两点，的倒影距离．若，，则的最小值为（附：）（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据倒影距离的定义求出表达式，然后分段求导，根据导数判断单调性，求出最值. 【详解】根据已知条件， 令，， ，， ，，，， 在上单调递减，上单调递增， 所以在处取得最小值， 因为，，所以， 则， 当，， 令， 在上单调递减，， 当，， 令，， ，，，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在处取得最小值， 因为，， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】借助等差数列及其求和公式的基本量计算可得、，可得A、B；利用等差数列求和公式可得C；借助作差法可得D. 【详解】对A、B：设等差数列的公差为，则有， 解得，则，故A错误、B正确； 对C：，故C正确； 对D：， 当且仅当时，，故D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当时， C. 有三个零点 D. 不等式的解集为且 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用导数确定极值点即可；对于B，根据单调性比较大小即可；对于C，利用因式分解可求的零点；对于D，根据因式分解法解不等式即可． 【详解】解：，则，解得或， 时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减， 为函数的极小值点，为函数的极大值点，故A正确； 时，，且在时单调递增， ，故B正确； ， 有2个零点和，故C错误； ，即，则， 解得且，故D正确． 11. 已知点在双曲线的渐近线上，，分别是的左、右焦点，是的左支上的一动点，则（ ） A. 的离心率为 B. 存在点，使得为等腰直角三角形 C. 点到的两条渐近线的距离之积为定值 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A，由题可知点在渐近线上，则. 所以，则离心率为，故A正确. B，若为等腰直角三角形，由双曲线对称性可知不可能是直角. 而在的左支上，则只可能是为直角，且此时. 当为直角时，，则，而，即与双曲线定义矛盾，故B错误. C，设双曲线上的点，则有. 则点到两条渐近线和的距离分别为， ， 所以距离之积，故C正确. D，因为，所以，而， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，点P在C的准线上且位于第二象限内，线段PF与C交于点Q，且，，则______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】设准线与轴交于点，过点作，于点，利用抛物线定义和即可求解. 【详解】如图，设准线与轴交于点，过点作于点 所以由抛物线定义得到, 因为, 所以，即， 得到，即. 14. 在直四棱柱中，，，，，，若线段，，上分别存在点，使得四边形为菱形，则直四棱柱的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件建立如图所示的空间直角坐标系，再设，根据四边形为菱形可求棱柱的高，从而可求体积. 【详解】 在平面内，过作的垂线， 由直四棱柱可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则， 故， 设， 则，故， ，故， ，故， 故， 因为四边形为菱形，故且， 故，解得， 如图，在四边形中，过作的垂线，垂足为，过作的垂线， 垂足为，则为等腰直角三角形，且四边形为正方形， 故，且，故， 故四边形的面积为， 故直四棱柱的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且． （1）求a的值； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）借助导数运算即可求解； （2）求导，令和，可求得的单调区间． 【小问1详解】 由，可得， 因为，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）得，函数的定义域为. ， 令，得，所以， 又，解得，所以函数在上单调递增. 令，得，所以， 又，解得，所以函数在上单调递减. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 16. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面ABCD，，，． （1）证明：； （2）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用题目条件建立空间坐标系，利用异面直线的夹角公式求证； （2）计算平面与平面的法向量，再利用夹角的余弦公式即可求出余弦值. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 以为原点，以，所在直线分别为，轴，以在平面内垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，所以， 作于点，又，故，， 则，，，，所以，， 因为， 所以，故． 【小问2详解】 由（1）可知，， 设平面的一个法向量为，由得 取，则． 由（1）知，平面，则是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， ， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知椭圆C：经过，两点． （1）求C的标准方程． （2）设直线l：（m为实数）与C相交于不同于A，B的两点P，Q． （ⅰ）若，求的面积； （ⅱ）若直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入椭圆方程即可求得椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）设，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式可求得，进而利用点到直线的距离公式可求得边上的高，可求的面积；（ⅱ）求得直线的直线方程，进而可求得的坐标，计算可得，可证结论\. 【小问1详解】 因为椭圆C经过，两点，所以， 解得，所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设， 由，得， 由韦达定理得， 所以， 解得， 当时，直线l：，直线不过点，符合题意， 当时，直线l：，直线过点，不符合题意， 所以到直线l：的距离为， 所以的面积为； （ⅱ）设， 直线的方程为， 令，得. 直线的方程为， 令，得. 由， 代入得，， 所以 ， 所以可得两点关于直线对称，又点在直线上， 所以. 18. 设是数列的前n项和，已知，． （1）证明：是等比数列； （2）若，求数列的前n项和； （3）记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过作差法得到，再通过配凑即可求证； （2）由（1）确定通项公式，再结合错位相减法和等差数列求和公式即可求解； （3）通过分参得到，构造，通过作差法判断单调性，确定最大值，即可求解. 【小问1详解】 已知， 当时，， 两式相减得： ， 整理得： ，， 当时，， ，满足， 又， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证； 【小问2详解】 由(1)得， 因此： ， 设前项和为， 则， ， 两式相减得：， 即， 又数列前项和为， 因此； 【小问3详解】 由得：，因此， 化简不等式左边： ，， 因此， 不等式恒成立， 等价于对任意恒成立， 设 则 ， 当，， 即时，； 当时，， 因此的最大值为​，故， 即的取值范围为. 19. 已知函数． （1）求的最小值． （2）设曲线在点处的切线为． （ⅰ）证明：曲线不在直线的下方； （ⅱ）若，且，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后通过判断单调性即可分析出最小值. （2）（i）利用导数的几何意义求出切线方程后，构造曲线和切线的纵坐标差函数，证明它恒大于等于零即可； （ii）将不等式分为两部分，先利用（i）中结论构造的部分，然后利用消去构造单变量函数判断的部分. 【小问1详解】 ，， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 故的极小值即最小值为. 【小问2详解】 （i），， 则曲线在点处的切线为即， 设， 注意到当时，当时， 所以恒成立，即恒成立， 故曲线不在直线的下方. （ii）不妨设， 由（1）得在上单调递减，在上单调递增， ，， 由（i）有，即， 故要证，只需证， 设，则， 设，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 的最小值为， 则恒成立，所以在上单调递增， 故，所以，则原不等式得证. 【点睛】对于复杂的导数证明不等式，可以利用不等式性质分成多个不等式考虑，从而减少变量方便构造函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二内部练 数学（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 2. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：与轴相切，则圆被轴截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 在数列中，，，则（） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 7. 如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义两点，的倒影距离．若，，则的最小值为（附：）（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当时， C. 有三个零点 D. 不等式的解集为且 11. 已知点在双曲线的渐近线上，，分别是的左、右焦点，是的左支上的一动点，则（ ） A. 的离心率为 B. 存在点，使得为等腰直角三角形 C. 点到的两条渐近线的距离之积为定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，，则______． 13. 已知抛物线C：的焦点为F，点P在C的准线上且位于第二象限内，线段PF与C交于点Q，且，，则______． 14. 在直四棱柱中，，，，，，若线段，，上分别存在点，使得四边形为菱形，则直四棱柱的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且． （1）求a的值； （2）求的单调区间． 16. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面ABCD，，，． （1）证明：； （2）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值． 17. 已知椭圆C：经过，两点． （1）求C的标准方程． （2）设直线l：（m为实数）与C相交于不同于A，B的两点P，Q． （ⅰ）若，求的面积； （ⅱ）若直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，证明：． 18. 设是数列的前n项和，已知，． （1）证明：是等比数列； （2）若，求数列的前n项和； （3）记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数． （1）求的最小值． （2）设曲线在点处的切线为． （ⅰ）证明：曲线不在直线的下方； （ⅱ）若，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $