6.1.1向量的实际背景与概念同步练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.1.1 《向量的实际背景与概念》 核心素养同步练（含答案解析） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________   1.下列各量中是向量的是（     ） A.时间 B.路程 C.加速度 D.温度   2.下列量中是向量的为（       ） A.频率 B.拉力 C.体积 D.距离   3.下列关于向量的说法正确的是（       ） A.物理学中的摩擦力、重力都是向量 B.平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C.温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D.身高是一个向量   4.下列命题中，正确的是（       ） A.与共线，与共线，则与也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点 C.向量与不共线，则与都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行   5.当两个手提重为的书包时，夹角为，用力为，则三者的关系式为（） A. B. C. D.   6.下列命题正确的是（       ） A.零向量没有方向 B.若，则 C.若，，则 D.若，，则   7.定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（       ） A.若，则 B.若，，则 C. D.若，则   8.（多选）下列物理量中，不是向量的是（       ） A.质量 B.速度 C.力 D.路程   9.已知向量，且与共线，则的值为________．   10.平面向量，，，若，，则与的夹角为________．   11.如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从点沿西偏南        方向行走了           12.已知点固定，且，则点构成的图形是        ．   13.某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜后，又以的速度，沿北偏东前行，又以的速度，沿北偏东前行，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．   14.对于平面向量，定义“变换”：，其中表示中较大的一个数，表示中较小的一个数.若，则，记 （1）若，求及； （2）已知，将经过次变换后，最小，求的最小值； （3）证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得   15.某人从点出发向西走个单位长度到达点，然后改变方向朝西北方向走个单位长度到达点，最后又向东走个单位长度到达点试分别作出向量，和   16.定义两个维向量，的数量积，，记为的第个分量且如三维向量，其中的第分量若由维向量组成的集合满足以下三个条件：①集合中含有个维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取或；③集合中任意两个元素，，满足（为常数）且则称为的完美维向量集. （1）求的完美维向量集； （2）判断是否存在完美维向量集，并说明理由； （3）若存在为的完美维向量集，求证：的所有元素的第分量和 参考答案与试题解析 一、 单选题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 1. 【答案】 C 【考点】 平面向量的概念与表示 【解析】 由向量的定义判断即可. 【解答】 因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量故选：C. 2. 【答案】 B 【考点】 平面向量的概念与表示 【解析】 根据向量与数量的意义直接判断即可. 【解答】 显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量. 故选： 3. 【答案】 A 【考点】 平面向量的概念与表示 【解析】 根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【解答】 对于，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，正确； 对于，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，错误； 对于，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，错误； 对于，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，错误； 故选:． 4. 【答案】 C 【考点】 向量的物理背景与概念 【解析】 由平面向量的定义及零向量的应用可依次对选项判断． 【解答】 解：错，当时，由与共线，与共线推不出与也共线， 错，任意两个相等的非零向量的始点与终点也可以在一条直线上， 对， 错，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线． 故选． 5. 【答案】 D 【考点】 向量的物理背景与概念 【解析】 」由于，则，故 【解答】 此题暂无解答 6. 【答案】 C 【考点】 向量的物理背景与概念 【解析】 此题暂无解析 【解答】 对于项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故项错误；对于项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故项错误； 对于项：因为，，所以可得：，故项正确； 对于项：若，则不共线的，也有，，故项错误. 故选： 二、 多选题（本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ） 7. 【答案】 B,C,D 【考点】 平面向量的概念与表示 【解析】 利用的定义证明选项正确，然后由可否定和选项，最后给出选项的反例即可. 【解答】 对于，若，由的定义有或 由于是非零向量，故前者不可能成立，从而，这得到，即 所以，故，正确； 对于，设有非零向量，则，，故，错误； 对于，由于，故，错误； 对于，若，，，则，错误. 故选： 8. 【答案】 A,D 【考点】 平面向量的概念与表示 【解析】 根据向量的定义，结合选项，即可求解. 【解答】 因为向量是既有大小又有方向的量，而质量和路程只有大小， 故选： 三、 填空题（本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ） 9. 【答案】 【考点】 向量的物理背景与概念 【解析】 根据平面向量的坐标运算以及两向量共线的坐标表示，列出方程求出的值． 【解答】 解：∵ 向量， ∴ ， 又与共线， ∴ ， 解得． 故答案为：． 10. 【答案】 【考点】 向量的物理背景与概念 【解析】 由题意求出向量，再求与的夹角的余弦值． 【解答】 解：∵ ， ∴ ， 即，① 又∵ ， ∴ ，② 由①②解得，； ∴ ， ∴ 向量与的夹角的余弦， ∴ 夹角为． 故答案为：． 11. 【答案】 , 【考点】 向量的物理背景与概念 【解析】 此题暂无解析 【解答】 由已知图形可知，的几何意义是从点沿西偏南方向行走了 12. 【答案】 圆 【考点】 向量的物理背景与概念 【解析】 ，即点到定点的距离为定值，符合圆的定义. 【解答】 因为，所以点到点的距离为，故点构成的图形是以点为圆心、为半径的圆． 四、 解答题（本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ） 13. 【答案】 解：由题意作示意图如下， 【考点】 向量的物理背景与概念 【解析】 由题意作示意图． 【解答】 解：由题意作示意图如下， 14. 【答案】 ； ； 证明见解答. 【考点】 平面向量的新定义问题 【解析】 （1）先根据已知的新定义求出，从而可求出及； （2）根据求出，从而可求出，进而可得且，则可求出的最小值； （3）分，，和四种情况讨论即可. 【解答】 （1）因为，所以，所以，所以 （2）因为，所以或， 所以， 即，由题意可得， ，， 根据规律可得且， 由且可得的最大值为，所以， 所以，此后进入循环， 所以当时，； 当时，； 当时，， 所以最小时，的最小值为 （3）证明：当时，显然存在，使得，当时，，即，存在，使得， 同理，当时，存在，使得， 当时，若，则，存在，使得，若，设， 假设对任意，则均不为， 因为，所以， 若，则， 若，则，所以， 所以，即， 因为，所以， 所以，与矛盾，故假设不正确，即存在，使得， 综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使得 15. 【答案】 见详解 【考点】 向量的物理背景与概念 【解析】 此题暂无解析 【解答】 根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，，，则向量，和如图所示． 16. 【答案】 不存在完美维向量集，理由见解答 证明见解答 【考点】 平面向量的新定义问题 【解析】 （1）利用的完美维向量集定义求解即可. （2）分别研究，，，，时，结合新定义及集合中元素的互异性即可判断. （3）依题意可得，运用反证法，假设存在，使得，不妨设，分别从及两方面证得矛盾即可得，进而可证得结果. 【解答】 （1）由题意知，集合中含有个元素，且每个元素中含有三个分量，因为，所以每个元素中的三个分量中有两个取，一个取 所以，，， 又， 所以的完美维向量集为 依题意，完美维向量集含有个元素，且每个元素中含有四个分量，， 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； （2）当时，，不满足条件③，舍去； （3）当时，，因为，故与至多有一个在中， 同理：与至多有一个在中，与至多有一个在中， 故集合中的元素个数小于，不满足条件①，舍去； 当时，，不满足条件③，舍去； 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；综上所述，不存在完美维向量集. 依题意，的完美维向量集含有个元素，且每个元素中含有个分量， 因为，所以每个元素中有个分量为，其余分量为， 所以， 由知，，故， 假设存在，使得，不妨设 当时，如下图， 由条件③知，或， 此时，与矛盾，不合题意. 当时，如下图， 记， 不妨设，，， 下面研究，，，，的前个分量中所有含的个数. 一方面，考虑，，，，中任意两个向量的数量积为， 故，，，中至多有个， 故，，，，的前个分量中， 所有含的个数至多有个 另一方面，考虑， 故，，，，的前个分量中，含有个，与矛盾，不合题意. 故对任意且，，由可得 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $