期中真题必刷常考88题（14大考点专练）2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

期中真题必刷常考88题（14大考点专练） 【考点一】普查与抽样调查 【考点八】平行四边形 【考点二】统计图 【考点九】矩形 【考点三】频数与频率 【考点十】菱形 【考点四】频数分布表和频数分布直方图 【考点十一】正方形 【考点五】随机事件 【考点十二】三角形的中位线与中点四边形 【考点六】概率 【考点十三】梯形 【考点七】频率与概率 【考点十四】四边形综合问题 【考点一】普查与抽样调查 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）以下调查中，最适宜采用普查方式的是（   ） A．调查无锡市的空气情况 B．了解清明节无锡市民扫墓方式 C．了解我校学生课外阅读的情况 D．调查神舟二十号飞船各零件是否合格 2．（23-24八年级下·江苏盐城·月考）为了了解某校2021年中考体育学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考体育成绩进行统计分析．在这个问题中，样本是指（    ） A．150 B．被抽取的150名考生 C．被抽取的150名考生的中考体育成绩 D．该校2021年中考体育成绩 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）4月23日为世界读书日，为了解八年级1000学生的阅读时间，从中抽取200名学生进行调查，则该调查中的样本容量是________． 4．（22-23八年级下·江苏常州·期中）“2001年4月1日，王伟驾驶编号81192战机，面对美国侦察机的侵犯，用生命勇敢捍卫祖国南海领空，22年过去了，我们不会忘记，81192，收到请返航！”为了了解荣成市中学生对该历史事件的知晓情况，分别做了下列三种不同的抽样调查：①随机调查了荣成市1000名初三学生对该历史事件的知晓情况；②调查了荣成市实验中学全体学生对该历史事件的知晓情况；③利用荣成市学籍库随机调查了10%的中学生对该历史事件的知晓情况，你认为抽样最合理的是_______（填序号）． 5．（22-23八年级下·江苏南京·期中）下列调查是普查还是抽样调查？如果是抽样调查，请指出总体、个体、样本和样本容量． (1)为了解你所在年级同学穿鞋的尺码，向所在年级的全体同学做调查； (2)为了解一批电视机的使用寿命，从中抽取台做调查． 【考点二】统计图 6．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）吾悦广场开了一家特色美食店，开业一周后老板计划用统计图直观反映这周各天收入的起伏情况，下列各统计图中你认为最优的选择是（  ） A．折线统计图 B．条形统计图 C．扇形统计图 D．频数分布直方图 7．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）空气由多种气体混合而成，为了表示空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图（    ） A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．三种统计图都可以 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）为了直观反映某班学生参加各个社团小组的人数占全班人数的百分比，应选用_______统计图．（填“条形”、“扇形”或“折线”） 9．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某中学统计了阅读社团在三个年级的分布情况，绘制成扇形统计图．其中七年级参加阅读社团的人数为50人，则全校参加阅读社团的人数为______人． 10．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）两种品牌方便面销售增长率折线统计图如下：    (1)小明看完图说：牌方便面的销售量比牌多．你是否赞同小明的判断，请说明理由． (2)从折线统计图中你能获得哪些信息？（写出一条即可） 11．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）某市2010年有劳动力约3100000人，2020年有劳动力约3400000人，该市2010年和2020年劳动力人口分布情况如图： (1)该市2010年男性劳动力人口占__________，2020年女性劳动力人口占__________； (2)该市2020年劳动力人口比2010年增加的百分率__________（精确到）； (3)小明说：“该市2020年男性劳动力人口的百分数比2010年减少了，所以该市2020年男性劳动力人口数比2010年的也减少了”．判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【考点三】频数与频率 12．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 13．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）某校八年级班名学生的健康状况被分成组，第组的频数是，第，组的频率之和为，第组的频率是，则第组的频数是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）调查名学生的身高，列频数分布表时，学生的身高分布在个小组中，第一，二，三，五组的数据个数分别是，，，，则第四组的频率是__________． 15．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）我市数学学科期中考试开考时间是4月22日上午9时00分，数串“”中“”出现的频数是____________． 16．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 48 95 188 471 b 1426 1898 优等品的频率 a 0.950 0.940 0.942 0.948 0.951 0.949 (1)根据表中的信息可得：______，______； (2)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是多少？（精确到0.01） 17．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 【考点四】频数分布表和频数分布直方图 18．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知一组数据的最大值为50，最小值为11，若选取组距为6，则这组数据可分成（    ） A．5组 B．6组 C．7组 D．8组 19．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）一组数据的最大值是100，最小值是45，若选取组距为10，则这组数据可分成________组． 20．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比．如图是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频数分布直方图．已知从左到右5个小长方形的高的比为，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分别大于或等于80分为优秀，且分数为整数）________篇． 21．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八年级学生中随机抽取部分学生参加了数学文化知识竞赛，得到数据如下（说明：竞赛成绩均取整数，用表示）． 【收集数据】72，82，73，88，89，70，70，80，80，88，95，76，82，85，86，88，89，92，92，98． 【整理数据】 分数 频数 11 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________； (2)此调查的样本容量为_________； (3)若该校八年级学生共有1000人，请估计该校数学文化知识为“优秀”的学生有多少人？ 22．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长t（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)这次抽样调查的样本容量是 ，E组所在扇形的圆心角的大小是 ； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若该市共有5万名初中生，请你估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生人数． 【考点五】随机事件 23．（23-24八年级下·江苏南京·期中）下列事件中属于必然事件的个数是（   ） ①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则；④367个人中至少有2个人生日相同． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 24．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）“明天连云港会下雨”，这一事件是________事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”） 25．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）测得某天的最高气温为； （2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品； （3）如果m、n是实数，那么； （4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯． 【考点六】概率 26．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如果事件A发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是（    ） A．做200次这种试验，事件A必发生1次 B．做200次这种试验，事件A发生的频率是 C．做200次这种试验，事件A可能发生1次 D．做200次这种试验，前199次事件A没发生，最后1次事件A才发生 27．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．“清明时节雨纷纷”是随机事件 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．不可能事件发生的概率为0 D．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取抽样调查 28．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是_____________． 29．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张；设事件为“取到的倍数”，事件为“取到的倍数”，事件为“取到比大的数”事件为“取到整数”． (1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______； (2)把事件、、、按照发生可能性的大小在数轴上用字母、、、标注出来． 30．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【考点七】频率与概率 31．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）下表是某商场举行活动转动转盘的统计数据，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率为（精确到）（    ） 转动转盘的次数 100 300 500 800 1000 落在“谢谢参与”区域的次数 33 93 153 236 301 落在“谢谢参与”区域的频率 A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ）    A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃 C．一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球 D．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5 33．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在整数20250416中，数字“0”出现的频率是______． 34．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有10个白球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，那么可以推算出的值大约为____________． 35．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 36．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 (1)求出表中a=_______，b=_______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【考点八】平行四边形 37．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，下列添加的条件不一定能使其为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，已知，增加下列条件可使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 40．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边上的一点，且，以为边作等边，过点E作交于点F，连接，则下列结论中：①； ②四边形是平行四边形；③； ④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知B，C是平面直角坐标系中与x轴平行且距离x轴1个单位长度的直线上的两个动点（点B在点C左侧），且，若有点和点，则当的值最小时，点C的坐标为_____． 42．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平行四边形中，，于点E，M是的中点，，则____________． 43．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知，按要求完成下列尺规作图（写出简要的作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，，分别在射线、上，求作； (2)如图②，点是内一点，求作线段，使、分别在射线、上，且点是的中点． 44．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，点、分别在边和上，且． (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 45．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于原点对称的； (2)画出以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的； (3)在格点上，以，，，为顶点作平行四边形，则点的坐标是______． 【考点九】矩形 46．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）下列关于矩形的说法中正确的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．矩形的对角线平分一组对角 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是矩形 47．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 48．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，以点为旋转中心，将矩形按顺时针方向旋转，得到矩形，点的对应点分别是点．当点落在矩形对角线的延长线上时，的面积为（    ） A． B． C． D．8 49．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，点E是边的中点，将沿折叠得到，且点F在矩形内，将延长交边于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是________形． 51．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为______． 52．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，矩形中，，，E是边上一点，且，将沿直线对折，得到．连接，则的面积为______． 53．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过___________秒时，四边形是矩形． 54．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在矩形纸片中，，，F为的中点，沿过点F的直线翻折，使点B的对应点落在边上，折痕交矩形的一边于G，利用尺规作图作出折痕（不要写作法，但要保留作图痕迹），并求出的长度． 55．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，为上的一个定点，连接，将沿翻折，得到，连接，恰好满足． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点的位置，保留作图痕迹； (2)求的长度． 【考点十】菱形 56．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）若一个菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的高为（   ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．10 57．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．有一个角是直角 58．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 59．（22-23八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为______．    60．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，则点A到的距离为________． 61．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在上，是等边三角形，求证：． 62．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积为　　 ． 63．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 64．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【考点十一】正方形 65．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（    ） A．9 B．13 C．5 D．4 66．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 67．（24-25八年级下·江苏常州·期中）正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为． (1)在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ． (2)在这段时间内，求与的函数关系式． (3)当，求的值． 68．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）在正方形中： (1)如图1，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么______（填“＝”、“＞”、“＜”）； (2)如图2，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么_____（填“＝”、“＞”、“＜”）； (3)如图3，在（2）的条件下，当点在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．那么四边形是正方形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【考点十二】三角形的中位线与中点四边形 69．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．4 70．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的，两处之间的距离，先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（　　） A． B． C． D． 71．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）四边形的对角线与相等且互相垂直，则顺次连接这个四边形四边的中点得到四边形是______． 72．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在中，，，，点、、分别是边、、的中点，连接，则的周长是________． 73．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 74．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【知识回顾】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 如图① ，在中，点，分别是边，的中点．则，． 【问题解决】(1)如图② ，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形为平行四边形． (2)连接，，加上条件 后能使得四边形为矩形．请从① ；② ；③ 这三个条件中选择一个进行填空(写序号)． 【考点十三】梯形 75．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，满足，则_______． 76．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 77．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，点E在边的延长线上，连接，．求证：四边形是等腰梯形． 78．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 79．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 80．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 81．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 82．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，于点，于点，，，．点分别在线段上，顺次连接，线段、、、所围成的封闭图形记为，若点在线段上运动时，点也随之在线段上运动，使图形的形状发生改变，但面积始终为，设． (1)求与之间函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当取何值时，为三角形？ (3)求出线段在运动过程中所扫过的区域的面积． 【考点十四】四边形综合问题 83．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形、四边形分别是菱形与正方形．若，则（    ） A． B． C． D． 84．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在正方形的外部有两个点、均在直线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且的面积为12，求正方形的周长． 85．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： (1)如图1，求证：四边形是正方形． (2)如图2，若，求的面积． 86．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】 （1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则_________； 【解决问题】 （2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点，则_________； 【迁移应用】 （3）如图4，正方形的边长为5，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，则_________； （4）如图5，在菱形中，，是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．若，则_________． 87．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，有直线，与之间的距离为3，交于点，交于点．矩形，点在上且在点的上方，点在上且在点的左侧，，以点为旋转中心，顺时针旋转矩形，点旋转后的对应点分别为，旋转角为．直线、直线分别与直线相交于点． (1)若时， ①当点落在上时，求到的距离； ②当点落在上时，求到的距离； (2)在矩形旋转过程中，若时，请直接写出满足题意的的方程为___________． 88．（24-25八年级下·江苏南京·期中）我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． (1)如图①，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G， ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请画出四边形，并证明四边形是矩形． (2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）． ①在图3中用直尺和圆规作面积最小的正方形（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，则正方形面积的最大值为______； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题必刷常考88题（14大考点专练） 【考点一】普查与抽样调查 【考点八】平行四边形 【考点二】统计图 【考点九】矩形 【考点三】频数与频率 【考点十】菱形 【考点四】频数分布表和频数分布直方图 【考点十一】正方形 【考点五】随机事件 【考点十二】三角形的中位线与中点四边形 【考点六】概率 【考点十三】梯形 【考点七】频率与概率 【考点十四】四边形综合问题 【考点一】普查与抽样调查 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）以下调查中，最适宜采用普查方式的是（   ） A．调查无锡市的空气情况 B．了解清明节无锡市民扫墓方式 C．了解我校学生课外阅读的情况 D．调查神舟二十号飞船各零件是否合格 【答案】D 【知识点】判断全面调查与抽样调查 【分析】本题考查了普查和抽样调查． 根据普查和抽样调查的区别判断即可． 【详解】解：A．空气情况涉及范围广，需长期监测，适合抽样调查； B．市民扫墓方式总体庞大，适合抽样调查； C．学校学生数量有限，但课外阅读情况可通过抽样高效完成，非必须普查； D．飞船零件必须全部合格，任一瑕疵均可能引发重大事故，故需逐一检查，必须普查； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·月考）为了了解某校2021年中考体育学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考体育成绩进行统计分析．在这个问题中，样本是指（    ） A．150 B．被抽取的150名考生 C．被抽取的150名考生的中考体育成绩 D．该校2021年中考体育成绩 【答案】C 【知识点】总体、个体、样本、样本容量 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，解题的关键是明确考查的对象． 【详解】解：根据定义，样本是被抽取的150名考生的中考体育成绩， 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）4月23日为世界读书日，为了解八年级1000学生的阅读时间，从中抽取200名学生进行调查，则该调查中的样本容量是________． 【答案】200 【知识点】总体、个体、样本、样本容量 【分析】此题主要考查了样本容量，关键是掌握样本容量只是个数字，没有单位． 根据样本容量的定义解答即可． 【详解】解：4月23日为世界读书日，为了解八年级1000学生的阅读时间，从中抽取200名学生进行调查，则该调查中的样本容量是200． 故答案为：200． 4．（22-23八年级下·江苏常州·期中）“2001年4月1日，王伟驾驶编号81192战机，面对美国侦察机的侵犯，用生命勇敢捍卫祖国南海领空，22年过去了，我们不会忘记，81192，收到请返航！”为了了解荣成市中学生对该历史事件的知晓情况，分别做了下列三种不同的抽样调查：①随机调查了荣成市1000名初三学生对该历史事件的知晓情况；②调查了荣成市实验中学全体学生对该历史事件的知晓情况；③利用荣成市学籍库随机调查了10%的中学生对该历史事件的知晓情况，你认为抽样最合理的是_______（填序号）． 【答案】③ 【知识点】抽样调查的可靠性 【分析】如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况． 【详解】解：随机调查了荣成市1000名初三学生对该历史事件的知晓情况；调查不具代表性，故①不合题意； 调查了荣成市实验中学全体学生对该历史事件的知晓情况；调查不具广泛性，故②不合题意； 利用荣成市学籍库随机调查了10%的中学生对该历史事件的知晓情况．调查具有广泛性、代表性，故③符合题意； 故答案为：③ 【点睛】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 5．（22-23八年级下·江苏南京·期中）下列调查是普查还是抽样调查？如果是抽样调查，请指出总体、个体、样本和样本容量． (1)为了解你所在年级同学穿鞋的尺码，向所在年级的全体同学做调查； (2)为了解一批电视机的使用寿命，从中抽取台做调查． 【答案】(1)普查； (2)抽样调查，该批电视机的使用寿命是总体，每一台电视机的使用寿命是个体，从中抽取的5台电视机的使用寿命是总体中的一个样本，样本容量为5． 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、判断全面调查与抽样调查 【分析】（1）根据要求数据精确时，需要采用普查，即可解答； （2）若调查的事项具有破坏性时，可以采用抽样调查．再根据总体、个体、样本、样本容量的定义解决此题即可． 【详解】（1）解：因为要求调查数据精确，故采用普查； （2）解：在调查电视机的使用寿命时，具有破坏性，故采用抽样调查． 其中该批电视机的使用寿命是总体，每一台电视机的使用寿命是个体，从中抽取的5台电视机的使用寿命是总体中的一个样本，样本容量为5． 【点睛】本题主要考查全面调查和抽样调查及总体、个体、样本、样本容量，能明确全面调查和抽样调查的区别是解决此类问题的关键． 【考点二】统计图 6．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）吾悦广场开了一家特色美食店，开业一周后老板计划用统计图直观反映这周各天收入的起伏情况，下列各统计图中你认为最优的选择是（  ） A．折线统计图 B．条形统计图 C．扇形统计图 D．频数分布直方图 【答案】A 【知识点】折线统计图、选择合适的统计图 【分析】根据各种统计图的特点去选取即可． 【详解】解：统计数据表、条形统计图、扇形统计图可以表达开业一周各天收入情况，但不能直观的表达收入的变化；折线统计图既能准确表达一周各天的收入情况还能直观的反应各天收入的起伏情况． 故选：A． 【点睛】本题考查各种统计图的特点．关键是理解和掌握各个统计图的优缺点及最能表达的特点． 7．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）空气由多种气体混合而成，为了表示空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图（    ） A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．三种统计图都可以 【答案】A 【知识点】选择合适的统计图 【分析】本题主要考查了统计图的选择的问题．条形图能够让人们看见更加直观的数据，以及这些数据的差别大小和相差的数量；扇形图能够显示数据的百分比，以及这个图表能够显示这些数据与所有数的总和相差多少；折线图能让人们清楚的看到这些图中数据的落差，以及折线图能够反映一些事物的变化；解决本题的关键是熟悉掌握各种统计图的作用与表现形式．根据扇形统计图的特征，即可求解． 【详解】解：为了表示空气中各成分的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图． 故选：A． 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）为了直观反映某班学生参加各个社团小组的人数占全班人数的百分比，应选用_______统计图．（填“条形”、“扇形”或“折线”） 【答案】扇形 【知识点】选择合适的统计图 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图、折线统计图的选择，熟练掌握它们各自特点是解决问题的关键． 条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据具体情况选择即可． 【详解】解：为了直观反映某班学生参加各个社团小组的人数占全班人数的百分比，应选用扇形统计图 故答案为：扇形． 9．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某中学统计了阅读社团在三个年级的分布情况，绘制成扇形统计图．其中七年级参加阅读社团的人数为50人，则全校参加阅读社团的人数为______人． 【答案】100 【知识点】由扇形统计图求总量 【分析】本题主要考查了扇形统计图的应用，熟练掌握“部分量÷对应百分比 = 总量”是解题的关键．已知七年级参加人数以及其在扇形统计图中所占百分比，用七年级人数除以对应百分比，即可求出全校参加人数． 【详解】解：∵七年级参加阅读社团的人数为人，且七年级人数占全校参加阅读社团人数的， ∴全校参加阅读社团的人数为（人）． 故答案为： ． 10．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）两种品牌方便面销售增长率折线统计图如下：    (1)小明看完图说：牌方便面的销售量比牌多．你是否赞同小明的判断，请说明理由． (2)从折线统计图中你能获得哪些信息？（写出一条即可） 【答案】(1)不赞同小明的判断；理由见解析 (2)从折线统计图中可以看出每年牌方便面的销售增长率比牌多；牌方便面的每年销售量都在增加（答案不唯一，合理即可） 【知识点】折线统计图 【分析】（1）根据折线统计图的特点进行解答即可； （2）根据统计图写出从统计图中获得的信息即可． 【详解】（1）解：不赞同小明的判断；理由如下： 因为这个折线统计图只能反应销售增长的比率，而不是销售总量，所以这个统计图不能看出牌方便面的销售量比牌多； （2）解：从折线统计图中可以看出每年牌方便面的销售增长率比牌多；牌方便面的每年销售量都在增加． 【点睛】本题主要考查了折线统计图的特点，根据统计图获得信息，解题的关键是熟练掌握折线统计图的特点． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）某市2010年有劳动力约3100000人，2020年有劳动力约3400000人，该市2010年和2020年劳动力人口分布情况如图： (1)该市2010年男性劳动力人口占__________，2020年女性劳动力人口占__________； (2)该市2020年劳动力人口比2010年增加的百分率__________（精确到）； (3)小明说：“该市2020年男性劳动力人口的百分数比2010年减少了，所以该市2020年男性劳动力人口数比2010年的也减少了”．判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)65.7，36 (2) (3)不正确，理由见解析 【知识点】求扇形统计图的某项数目、由扇形统计图求某项的百分比、由扇形统计图推断结论 【分析】本题考查扇形统计图，从扇形统计图有效的获取信息是解题的关键： （1）根据扇形统计图，列出算式进行计算即可； （2）用2020年劳动力人口减去2010年的劳动力人口再除以2010年的劳动力人口进行计算即可； （3）分别求出2020年和2010年的男性劳动力人口数，进行比较判断即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：65.7，36； （2）； 故答案为：； （3）不正确，理由如下： （人）； （人）； ∵， ∴该市2020年男性劳动力人口数比2010年的增加了，故小明的说法不正确． 【考点三】频数与频率 12．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【知识点】根据数据描述求频率 【分析】此题考查了频数与频率，根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率． 【详解】解：根据题意得第5组的频数为：， 则第5组的频率为， 故选：B． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）某校八年级班名学生的健康状况被分成组，第组的频数是，第，组的频率之和为，第组的频率是，则第组的频数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据数据描述求频数、根据数据描述求频率 【分析】本题考查了频率和频数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由第组的频数除以总人数即得出第组的频率，再用减去其它组的频率，即可求出第组的频率，最后用总人数乘第组的频率即可求出第组的频数． 【详解】解：根据题意可知第组的频率为， 第组的频率， 第组的频数是， 故选：B． 14．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）调查名学生的身高，列频数分布表时，学生的身高分布在个小组中，第一，二，三，五组的数据个数分别是，，，，则第四组的频率是__________． 【答案】0.4 【知识点】根据数据描述求频率 【分析】本题考查了频数和频率，根据共有名学生，第一，二，三，五组的人数分别是，，，，求出第四组的频数为，这名学生占总人数的百分比即为第四组的频率． 【详解】解：共有名学生，第一，二，三，五组的人数分别是，，，， 第四组的人数是， 第四组的频率是． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）我市数学学科期中考试开考时间是4月22日上午9时00分，数串“”中“”出现的频数是____________． 【答案】 【知识点】根据数据描述求频数 【分析】本题考查了频数，解答本题的关键是掌握频数的概念：频数是指每个对象出现的次数． 【详解】解：数串“”中“”出现的频数是4． 故答案为： 16．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 48 95 188 471 b 1426 1898 优等品的频率 a 0.950 0.940 0.942 0.948 0.951 0.949 (1)根据表中的信息可得：______，______； (2)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是多少？（精确到0.01） 【答案】(1)， (2)0.95 【知识点】根据数据描述求频数、根据数据描述求频率、由频率估计概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率等知识点， （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在0.95左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只乒乓球是优等品的概率为0.95． 熟练掌握利用频率估计概率的知识是解题的关键． 【详解】（1），， 故答案为：0.960，948； （2）由表中数据知，从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95． 17．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 【答案】(1)0.39、390 (2)0.4 (3)4 【知识点】根据数据填写频数、频率统计表、由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）总个数乘以黑球的概率估计值即可． 【详解】（1）解：， 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 390 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 0.39 0.39 故答案为：0.39、390； （2）解：估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （3）解：（个， 答：袋中有4个黑球． 【考点四】频数分布表和频数分布直方图 18．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知一组数据的最大值为50，最小值为11，若选取组距为6，则这组数据可分成（    ） A．5组 B．6组 C．7组 D．8组 【答案】C 【知识点】频数分布表 【分析】本题考查频率分布表中组数的确定，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距即可得到本题答案．先求出最大值和最小值的差，后除以组距即可． 【详解】解：由题意得：， 组数：， ∴这组数据可分成7组， 故选：C． 19．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）一组数据的最大值是100，最小值是45，若选取组距为10，则这组数据可分成________组． 【答案】6 【知识点】频数分布表 【分析】本题主要考查了频数分布表，用最大值减去最小值然后除以组距，若结果为整数，则结果即为可分成的组数，若结果不为整数，则取比结果大的最小整数为组数，据此求解即可得到答案． 【详解】解：， ∴这组数据可分成6组， 故答案为：6． 20．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比．如图是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频数分布直方图．已知从左到右5个小长方形的高的比为，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分别大于或等于80分为优秀，且分数为整数）________篇． 【答案】27 【知识点】根据数据描述求频数、频数分布直方图 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，正确读懂统计图是解题的关键．直接用调查报告总数乘以被评为优秀的论文的数量占比即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：（篇）， 故答案为：27． 21．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八年级学生中随机抽取部分学生参加了数学文化知识竞赛，得到数据如下（说明：竞赛成绩均取整数，用表示）． 【收集数据】72，82，73，88，89，70，70，80，80，88，95，76，82，85，86，88，89，92，92，98． 【整理数据】 分数 频数 11 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________； (2)此调查的样本容量为_________； (3)若该校八年级学生共有1000人，请估计该校数学文化知识为“优秀”的学生有多少人？ 【答案】(1)5 (2)20 (3)200人 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表 【分析】本题考查了频数分布表以及用样本估计总体，理解题意是解答本题的关键． （1）根据收集的数据求解即可求出的值； （2）根据收集的数据求解即可求解； （3）用总人数乘数学文化知识为“优秀” 的学生所占百分比即可． 【详解】（1）解：由收集数据可知，； 故答案为：5； （2）解：由收集数据可知，此调查的样本容量为20， 故答案为：20； （3）解：（人， 答：估计该校数学文化知识为“优秀” 的学生有200人． 22．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长t（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)这次抽样调查的样本容量是 ，E组所在扇形的圆心角的大小是 ； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若该市共有5万名初中生，请你估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生人数． 【答案】(1)500； (2)见解析 (3)19000人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、由扇形统计图求总量、频数分布直方图 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提． （1）由B组人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以E组人数所占比例即可； （2）根据各组人数之和等于样本容量求出D组人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可． 【详解】（1）解：这次抽样调查的样本容量是， 所以A组所在扇形的圆心角的大小是； （2）解：D组人数为（人）， 补全图形如下： （3）解：（名）. 答：估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生有19000名． 【考点五】随机事件 23．（23-24八年级下·江苏南京·期中）下列事件中属于必然事件的个数是（   ） ①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则；④367个人中至少有2个人生日相同． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】事件的分类、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了必然事件．必然事件是指一定发生的事件，①产品可能不合格；②三条线段不一定满足三角形条件；③当时，则；④人超过一年天数，至少两人生日相同，据此进行逐一分析各事件，即可作答． 【详解】解：事件①：生产流水线上的产品可能不合格，不是必然事件； 事件②：三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不是必然事件； 事件③：a为实数，当时，则；故a是实数，则不是必然事件； 事件④：一年最多366天，367人至少有两人生日相同，是必然事件， ∴ 只有事件④是必然事件，共1个， 故选：B 24．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）“明天连云港会下雨”，这一事件是________事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”） 【答案】随机 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：“明天连云港会下雨”，这一事件是随机事件． 故答案为：随机． 25．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）测得某天的最高气温为； （2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品； （3）如果m、n是实数，那么； （4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯． 【答案】（3）是必然事件，（1）是不可能事件；（2）（4）是随机事件． 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】解：（1）测得某天的最高气温为100℃，是不可能事件； （2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品，是随机事件； （3）如果m、n是实数，那么，是必然事件； （4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件． 所以（3）是必然事件，（1）是不可能事件；（2）（4）是随机事件． 【考点六】概率 26．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如果事件A发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是（    ） A．做200次这种试验，事件A必发生1次 B．做200次这种试验，事件A发生的频率是 C．做200次这种试验，事件A可能发生1次 D．做200次这种试验，前199次事件A没发生，最后1次事件A才发生 【答案】C 【知识点】概率的意义理解 【分析】本题考查了概率的意义.直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A.做次这种试验，事件必发生次，事件A不一定发生，故错误； B. 做200次这种试验，事件发生的频率是，频率不等于概率，故此选项错误； C. 做次这种试验，事件可能发生次，正确； D. 做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件发生，事件A不一定发生，故错误． 故选：C． 27．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．“清明时节雨纷纷”是随机事件 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．不可能事件发生的概率为0 D．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取抽样调查 【答案】B 【知识点】判断全面调查与抽样调查、事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了事件的分类，概率的意义，普查与抽样调查，根据事件的分类，概率的意义，普查与抽样调查逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．“清明时节雨纷纷”是随机事件，说法正确，不符合题意； B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，可能有一次正面朝上，原说法错误，符合题意； C．不可能事件发生的概率为0，说法正确，不符合题意； D．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取抽样调查，说法正确，不符合题意， 故选：B． 28．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是_____________． 【答案】②③① 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题主要考查可能性大小的比较，解题关键是理解：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意得，①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数不大于4包括4种情况；③掷得的点数是奇数包括3种情况，分别比较情况数的大小即可获得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共6种情况； 而①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数不大于4包括4种情况；③掷得的点数是奇数包括3种情况，故发生的可能性由大到小的顺序排为②③①． 故答案为：②③①． 29．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张；设事件为“取到的倍数”，事件为“取到的倍数”，事件为“取到比大的数”事件为“取到整数”． (1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______； (2)把事件、、、按照发生可能性的大小在数轴上用字母、、、标注出来． 【答案】(1)D， (2)见解析 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查可能性大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性概率的计算方法． （1）根据可能性大小的概念得出四个事件的可能性大小，从而得出答案； （2）根据所求数据表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：事件“取到的倍数”的可能性大小为， 事件“取到的倍数”的可能性大小为， 事件“取到比大的数”的可能性大小为， 事件“取到整数”的可能性大小为， 所以发生可能性最大的事件是，发生可能性最小的事件是， 故答案为：、； （2）如图： 30．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【知识点】判断几个事件概率的大小关系 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 【考点七】频率与概率 31．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）下表是某商场举行活动转动转盘的统计数据，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率为（精确到）（    ） 转动转盘的次数 100 300 500 800 1000 落在“谢谢参与”区域的次数 33 93 153 236 301 落在“谢谢参与”区域的频率 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由频率估计概率 【分析】利用频率估计概率求解． 【详解】解：观察表中数据可知，转到“谢谢参与”的频率逐渐稳定在左右， 所以转到“谢谢参与”的概率约是． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 32．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ）    A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃 C．一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球 D．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5 【答案】D 【知识点】由频率估计概率 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，错误，不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃的概率是：，错误，不符合题意； C、一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球的概率为，错误，不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，正确，符合题意． 故选：D． 33．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在整数20250416中，数字“0”出现的频率是______． 【答案】 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题考查频率，用0的个数除以所有数字的个数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，数字“0”出现的频率是； 故答案为：． 34．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有10个白球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，那么可以推算出的值大约为____________． 【答案】200 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， 故估计n大约是 200 ， 故答案为：200 ． 35．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【答案】(1)183，； (2) (3)10000颗 【知识点】求某事件的频率、由频率估计概率 【分析】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题． （1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出（利用3000批次的频率算坏果数）和（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）． （3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率 ． （3）先确定完好水蜜桃的概率（坏果概率），设准备水蜜桃总数为，依据“完好水蜜桃数总数完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解的最小值 ． 【详解】（1）解：根据题意得； 解得： ． 故答案为：183，； （2）观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ． 故答案为：； （3）解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃， ， 解得， ∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 36．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 (1)求出表中a=_______，b=_______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【答案】(1)，； (2)； (3)该厂估计要生产50000顶头盔 【知识点】求某事件的频率、由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：该厂估计要生产顶头盔． 【考点八】平行四边形 37．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在平行四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 38．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，下列添加的条件不一定能使其为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的判定定理、平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 结合平行四边形的判定定理、平行线的判定与性质对选项逐一分析即可得解． 【详解】解：选项，，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； 选项，，，，，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； 选项，，一组对边平行，另一组对边相等，该四边形不一定是平行四边形，符合题意，选项正确； 选项，，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误． 故选：． 39．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，已知，增加下列条件可使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】此题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形；   故选项正确，符合题意；   B．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意； C．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意；    D．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意；； 故选：A． 40．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边上的一点，且，以为边作等边，过点E作交于点F，连接，则下列结论中：①； ②四边形是平行四边形；③； ④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 连接，作于．首先证明，根据可证明，再证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：连接，作于． ，都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形是平行四边形，故②正确， ，，， ，故①正确， ，故③正确， ，， ，， ， ， 故④正确， ①②③④都正确， 故选：D． 41．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知B，C是平面直角坐标系中与x轴平行且距离x轴1个单位长度的直线上的两个动点（点B在点C左侧），且，若有点和点，则当的值最小时，点C的坐标为_____． 【答案】或 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】分当是直线上的两个点时，当是直线上的两个点时，这两种情况讨论，利用轴对称的性质，利用待定系数法求出函数解析式，进而求出的坐标． 【详解】解：分两种情况： 当是直线上的两个点时， 取点关于直线的对称点，将点向右平移2个单位得点，连接交直线交于一点，如图，此时，的值最小， ∵， ∴四边形为平行四边形，则， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， 设直线的解析式为，图象过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为； ②当是直线上的两个点时， 取点关于直线的对称点，将点向右平移2个单位得点，连接交直线交于一点，如图，此时，的值最小， ∵， ∴四边形为平行四边形，则， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， 设直线的解析式为，图象过点， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，涉及轴对称的性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，分情况讨论是解题的关键． 42．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平行四边形中，，于点E，M是的中点，，则____________． 【答案】/30度 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】先延长与的延长线交于点F，连接，然后根据题目中的条件，可以求得，再根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质可以求得的度数． 【详解】解：延长与的延长线交于点F，连接，如图所示， ， ， 是的中点， ， ∵四边形是平行四边形，， ， ， 在和中 ， ， ， ∴点M为的中点， ， ∴， ， ， 又∵M为中点，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 43．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知，按要求完成下列尺规作图（写出简要的作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，，分别在射线、上，求作； (2)如图②，点是内一点，求作线段，使、分别在射线、上，且点是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）分别以、点为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点，则四边形满足条件； （2）连接，以点O为圆心，为半径画弧，交延长线于点G，再作，交于，连接并延长交于，则满足条件． 【详解】（1）解：如图①，平行四边形为所作； ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）图②，为所作． ∵，，， ∴， ∴，即点是的中点． 44．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，点、分别在边和上，且． (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、用SAS证明三角形全等（SAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识点，能根据性质证出是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据证出； （2）首先根据平行四边形的性质得出，，然后结合得到，即可证明出四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ∴. （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， 又∵， 四边形是平行四边形． 45．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于原点对称的； (2)画出以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的； (3)在格点上，以，，，为顶点作平行四边形，则点的坐标是______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)，， 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数、画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查了轴对称作图，旋转作图，平行四边形的判定等知识点，熟悉掌握作图方法是解题的关键． （1）根据中心对称的特点作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用平行四边形的判定思想找出点的位置解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）（3）解：由题意可得，点的位置如下图： ∴点的坐标为：，，． 【考点九】矩形 46．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）下列关于矩形的说法中正确的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．矩形的对角线平分一组对角 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是矩形 【答案】A 【知识点】矩形性质理解、矩形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定与性质．根据矩形的性质得到：矩形的对角线相等且互相平分，根据矩形的判定：对角线相等且互相平分且相等的四边形是矩形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，说法正确，本选项符合题意； B、矩形的对角线不一定平分一组对角，原说法错误，本选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，本选项不符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：A． 47．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查矩形性质．连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，且， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：C． 48．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，以点为旋转中心，将矩形按顺时针方向旋转，得到矩形，点的对应点分别是点．当点落在矩形对角线的延长线上时，的面积为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，由矩形的性质得，则，由，求得，则，由旋转得，则，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， 将矩形旋转得到矩形，点在的延长线上， ， ， ， ， 故选：C． 49．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，点E是边的中点，将沿折叠得到，且点F在矩形内，将延长交边于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】连接，根据中点和折叠的性质可证，然后可得，设，从而可得，从而可得，再根据矩形的性质结合勾股定理即可求出，从而可得答案． 【详解】解：连接． ∵点E是边的中点， ∴． ∴将沿折叠后得到， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 设，则 ∵， ∴， ∴． 在矩形中，， ∴． 在中，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题是一道综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，折叠的性质，矩形的性质和勾股定理，能够充分调动所学知识是解答本题的关键． 50．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是________形． 【答案】矩 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】本题考查了菱形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形进行解答即可． 【详解】解：四边形为平行四边形，， 这个平行四边形是矩形， 故答案为：矩． 51．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为______． 【答案】6 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】此题考查了矩形的判定和性质．先证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线相等，且相互平分， ∴四边形为矩形， ∵相邻两边的边长分别为，即矩形的长、宽分别为， ∴四边形的面积为 故答案为：6 52．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，矩形中，，，E是边上一点，且，将沿直线对折，得到．连接，则的面积为______． 【答案】19.2 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，过点F作交于点M，交于点N，则，，四边形为矩形，得出，再由折叠的性质得，，，设，，则，，然后由勾股定理联立成方程组，求出，最后由三角形面积公式即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 如图，过点F作交于点M，交于点N， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，， 设，，则，， 在中，由勾股定理得：， 即①， 在中，由勾股定理得：， 即②， 联立①②解得：（非正数值已舍去）， ∴， ∴， 故答案为：19.2． 53．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过___________秒时，四边形是矩形． 【答案】或 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．设经过秒时，四边形是矩形，先根据平行四边形的性质可得，，再分两种情况：①和②，证出四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得要使平行四边形是矩形，则需，即，由此即可得． 【详解】解：设经过秒时，四边形是矩形， 由题意得：， ∵， ∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，， 解得，此时，点在点相遇， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ①如图1，在点相遇前，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； ②如图2，在点相遇后，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； 综上，经过或秒时，四边形是矩形， 故答案为：或． 54．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在矩形纸片中，，，F为的中点，沿过点F的直线翻折，使点B的对应点落在边上，折痕交矩形的一边于G，利用尺规作图作出折痕（不要写作法，但要保留作图痕迹），并求出的长度． 【答案】作出折痕见解析，折痕或 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】首先以点F为圆心，为半径画弧交于点G，然后作出的垂直平分线交或于点G；根据矩形的性质得出，，，根据中点定义得出；分两种情况分别画出图形，作出辅助线，利用勾股定理求出折痕的长即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点F为的中点， ∴； ①过点F作于点E，G在上，点落在上，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可知，，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 在中根据勾股定理得：； ②过点F作于点E，G在上，点落在上，点A的对应点为，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知，，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：； 综上分析可知，折痕或． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，解题的关键是作出图形，并注意分类讨论． 55．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，为上的一个定点，连接，将沿翻折，得到，连接，恰好满足． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点的位置，保留作图痕迹； (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、根据矩形的性质与判定求线段长、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】考查作图-复杂作图，翻折变换，矩形的判定和性质. （1）作垂直平分线段，垂足为，交于点，以为圆心，为半径作弧交于点（在矩形内部），作平分交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求出，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设，则有， ， ． 【考点十】菱形 56．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）若一个菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的高为（   ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．10 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据对角线长求出菱形的面积和边长，再结合 等面积法进行列式计算，得出这个菱形的高，即可作答． 【详解】解：如图所示，菱形，对角线交于点O， ∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴设， 则，， ∴， 菱形的面积为， ∴菱形的高为， 故选：B． 57．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．有一个角是直角 【答案】A 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，符合题意； 、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，不符合题意； 、菱形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分，不符合题意； 、矩形有一个角是直角，不符合题意； 故选：． 58．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】根据菱形的对角线互相垂直的性质，直角三角形的性质计算求解即可． 本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的对角线，交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 59．（22-23八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为______．    【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查旋转及菱形的性质．推出是解题的关键． 60．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，则点A到的距离为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查菱形的判定和性质，作，设交于点，证明四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，等积法求出的长即可，解题的关键是证明四边形为菱形． 【详解】解：作，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：点A到的距离为； 故答案为：． 61．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在上，是等边三角形，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．先证明是等边三角形，利用证明即可得到． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，平分，． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 62．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积为　　 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理． （1）根据，，可得四边形是平行四边形，根据矩形的性质可推出，即可得证； （2）连接，交于点，根据四边形是菱形，可得，，，再根据勾股定理求出的值，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， 在矩形中，，相交于点， ，，， ， 平行四边形是菱形； （2）如图，连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 菱形的面积为：， 故答案为：． 63．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】角平分线的判定定理、含30度角的直角三角形、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，结合等边对等角可得，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据，即邻边相等的平行四边形是菱形，由此即可求解； （2）根据菱形的性质可得，，，根据角平分线的判定定理求出，根据平角定义求出，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ，且， 四边形是平行四边形，且， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， ， ． 64．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形BCFE的面积为24 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理； （1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）根据菱形的性质可得，， ，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点， ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，交于O， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积为． 【考点十一】正方形 65．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（    ） A．9 B．13 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．作轴于点E，证明，推出，再利用勾股定求出即为正方形的面积． 【详解】解：如图，作轴于点E， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ， ， 即正方形的面积是， 故选：B． 66．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质． 连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 67．（24-25八年级下·江苏常州·期中）正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为． (1)在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ． (2)在这段时间内，求与的函数关系式． (3)当，求的值． 【答案】(1)4，0 (2) (3)或 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、根据矩形的性质求面积、求正方形重叠部分面积 【分析】本题考查平移性质、分段函数，正方形的性质，分类讨论及数形结合是解答的关键． （1）利用平移性质，结合分别求解即可； （2）先求得临界点，再分三情况讨论，利用正方形或矩形面积公式即可求解； （3）由（2）中关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 当秒时，，此时点D与点E重合，则； 当秒时，，此时点E与点A重合，则， 故答案为：4，0； （2）解：当时，，此时点F与点A重合； 分三种情况讨论： 在这段时间内，如图，， ∴； 当时，小正方形在大正方形内部， ； 在这段时间内，如图： 则，则， ∴； 综上，； （3）当时，由或解得：或， 故t的值为或． 68．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）在正方形中： (1)如图1，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么______（填“＝”、“＞”、“＜”）； (2)如图2，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么_____（填“＝”、“＞”、“＜”）； (3)如图3，在（2）的条件下，当点在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．那么四边形是正方形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形是正方形，证明过程见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，翻折，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）作辅助线，证明三角形全等，可得对应边相等，即可得出结论； （2）作辅助线，证明三角形全等，可得对应边相等，即可得出结论； （3）作辅助线，证明三角形全等，可得对应边相等，根据翻折的性质可知四边形的边长相等，结合内角是直角，即可证得四边形是正方形． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， 作于点，则，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，，， 作于点，交于点，作于点，则 ，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：四边形是正方形． 证明：∵四边形是正方形， ∴，平分， 作于点，作于点，则 ，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴ 将沿着翻折，点落在点处， ∴，， ， 四边形是菱形， ∵， 四边形是正方形． 【考点十二】三角形的中位线与中点四边形 69．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形中位线性质定理，熟练掌握以上知识点是关键． 连接，由矩形的性质得，利用中位线性质可得，根据勾股定理计算出，可得，利用线段和差求出长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∵F是的中点， ∴OF是的中位线， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 70．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的，两处之间的距离，先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点，，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 71．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）四边形的对角线与相等且互相垂直，则顺次连接这个四边形四边的中点得到四边形是______． 【答案】正方形 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是正方形、中点四边形 【分析】本题考查的是中点四边形，正方形的判定.根据四边形对角线互相垂直，运用三角形中位线平行于第三边证明四个角都是直角，判断是矩形． 【详解】解：如图：∵E、F、G、H分别为各边中点， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形． 72．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在中，，，，点、、分别是边、、的中点，连接，则的周长是________． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理分别求出、、，然后计算即可．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点、、分别是边、、的中点，，，， ∴，，， ∴， ∴的周长是． 故答案为：． 73．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)9 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线，与三角形的中位线有关的计算： （1）延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，从而可得结论； （2）根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 74．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【知识回顾】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 如图① ，在中，点，分别是边，的中点．则，． 【问题解决】(1)如图② ，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形为平行四边形． (2)连接，，加上条件 后能使得四边形为矩形．请从① ；② ；③ 这三个条件中选择一个进行填空(写序号)． 【答案】（1）见解析；②见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定是解题的关键． （1）连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定证明； （2）根据三角形中位线定理得到，得到，根据矩形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：如图②，连接、， ，，，分别是，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：时，四边形为矩形， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ，，， ， 平行四边形为矩形， 故答案为：②. 【考点十三】梯形 75．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，满足，则_______． 【答案】 【知识点】求二次根式中的参数、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 76．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【知识点】根据等角对等边证明边相等、等腰梯形的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，结合等角对等边，进而求解即可． 【详解】解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，，，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确； 则正确的是①②④． 77．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，点E在边的延长线上，连接，．求证：四边形是等腰梯形． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、等腰梯形的判定定理 【分析】根据平行四边形的性质求得，，，推出，即可证明四边形是等腰梯形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 78．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)． 【知识点】等腰梯形的性质定理、证明四边形是菱形、利用平行四边形的判定与性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】（）首先过点作交于，得四边形是平行四边形，即可求得的长，继而可得是等边三角形，则可求得的长； （）若存在满足条件的点，则必须等于，即可求得恰为等边三角形，过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分，继而可得，则可求得的长； （）分析可得的中点运动的轨迹分为两部分；当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点；当在上时，的中点始终不动，则可求得线段的中点运动的路程． 【详解】（1）解：过点作交于， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：存在满足条件的点，则必须等于， 设动点与的运动时间为， 于是， ∴， 此时，点的位置如图所示，恰为等边三角形， 则， 过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴存在满足条件的点，且； （3）解：的中点运动的轨迹分为两部分； 当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点； 当在上时，的中点始终不动，此段中点运动的距离为， ∴线段的中点运动的路程为． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 79．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、证明四边形是平行四边形、等腰梯形的性质定理、直角梯形的定义 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 80．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】等腰梯形的判定定理、等腰梯形的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 81．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】直角梯形的定义、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了梯形．熟练掌握 梯形性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形面积公式，是解题的关键． （1）作于点E，可得四边形是平行四边形，得，，勾股定理求得； （2）根据梯形面积公式可求． 【详解】（1）解：作于点E， ∴， 又， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（m）； （2）解：（）． 82．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，于点，于点，，，．点分别在线段上，顺次连接，线段、、、所围成的封闭图形记为，若点在线段上运动时，点也随之在线段上运动，使图形的形状发生改变，但面积始终为，设． (1)求与之间函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当取何值时，为三角形？ (3)求出线段在运动过程中所扫过的区域的面积． 【答案】(1) (2)当或时，图形为三角形 (3)线段在运动过程中所扫过的区域的面积是 【知识点】等腰梯形的性质定理、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据，，由此即可求解； （2）为三角形，分类讨论，当在一条直线上，为高；当在一条直线上，为高；底为，由此即可求解； （3）线段在运动过程中所扫过的区域是两个全等的三角形，结合（2）的取值范围，由此即可求解． 【详解】（1）解：等腰梯形中，于点，于点，，，，，，图形的面积始终为， ∴矩形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，整理得，， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴． （2）解：如图所示， ①当在一条直线上，为高时，为底，且， ∴，即， ∴； ②当在一条直线上，为高时，为底，且， ∴，且， ∴，解得，； 综上所述，当或时，图形为三角形． （3）解：由可知，当增大时减小，即增大时随之减小， ∴如图所示，当从运动到时，当从运动到， ∴线段在运动过程中所扫过的区域的面积是两个全等三角形，即，，且，过点作于，且， ∴， ∴，， ∴ ∴线段在运动过程中所扫过的区域的面积是． 【点睛】本题主要考查等腰梯形，三角形，动点的综合，掌握梯形的性质，面积公式，三角形的性质，面积公式，动点的分类讨论是解题的关键． 【考点十四】四边形综合问题 83．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形、四边形分别是菱形与正方形．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求角度、根据正方形的性质求角度 【分析】本题主要考查了正方形及菱形的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．连接，则为正方形与菱形的对角线，根据正方形及菱形的性质求解即可． 【详解】解：连接，则为正方形与菱形的对角线， ，， ， ， ， ， 故答案为：A 84．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在正方形的外部有两个点、均在直线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且的面积为12，求正方形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)48 【知识点】证明四边形是菱形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，三角形的面积和正方形的周长． （1）连接，根据正方形的性质得，，再由推出，再根据在四边形中，对角线互相垂直平分，判定四边形是菱形； （2）先由已知得，进而得，即可求出正方形的边长，进而可求正方形的周长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在四边形中，，，， 即在四边形中，对角线互相垂直平分， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，且的面积为12， ∴， ∴， ∵， ∴正方形的边长为12， ∴正方形的周长为． 85．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： (1)如图1，求证：四边形是正方形． (2)如图2，若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)6． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、证明四边形是正方形 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据，即可得出结论； （2）连接，，由矩形的性质得到，由折叠的性质，证明，得到，设，由勾股定理得，解得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （2）解：如图，连接，， 由（1）知，， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得：， 即， ∴的面积 =． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 86．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】 （1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则_________； 【解决问题】 （2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点，则_________； 【迁移应用】 （3）如图4，正方形的边长为5，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，则_________； （4）如图5，在菱形中，，是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．若，则_________． 【答案】（1）45；（2）①详见解析；②4；（3）5；（4）2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、矩形与折叠问题、利用菱形的性质求角度、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由题意得，，继而得到是等腰直角三角形，即可得到本题答案； （2）①根据矩形性质可得，继而得到，再利用等腰三角形性质即可得到本题答案；②过点作交于点，利用角平分线判定即可得到，再证明，即可得到本题答案； （3）在上截取一点，使得，利用旋转性质证明，继而得到，即可得到本题答案； （4）过点作，与延长线交于点，利用菱形性质得，，证明，再得到是直角三角形，继而利用边关系即可得到本题答案． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）①∵矩形绕点顺时针转动， ∴为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②过点作交于点， ， ∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴设， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， 故答案为：； （3）在上截取一点，使得， ， ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为5， ∴， 故答案为：； （4）过点作，与延长线交于点， ， ∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴ ∵， ∴，即， 故答案为：2． 【点睛】本题考查矩形性质，等腰直角三角形判定及性质，旋转性质，全等三角形判定及性质，菱形性质，三角形内角和定理等．正确作出辅助线是解决本题的关键． 87．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，有直线，与之间的距离为3，交于点，交于点．矩形，点在上且在点的上方，点在上且在点的左侧，，以点为旋转中心，顺时针旋转矩形，点旋转后的对应点分别为，旋转角为．直线、直线分别与直线相交于点． (1)若时， ①当点落在上时，求到的距离； ②当点落在上时，求到的距离； (2)在矩形旋转过程中，若时，请直接写出满足题意的的方程为___________． 【答案】(1)①；②或 (2) 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）①连接，过点作于点E，证明矩形为正方形，得出，证明为等腰直角三角形，求出即可； ②当点在点D左侧时，过点作于点F，交于点E，证明，得出，根据勾股定理求出，得出，求出即可得出答案，当点在点D右侧时，同理可以求出结果； （2）当时，，，此时点B在上，点A与点D重合；分两种情况：当点在上，且在点D左侧时，点P与点重合，当点在上，且在点D右侧时，点P与点重合，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：①连接，过点作于点E，如图所示： 则， 当时，， ∴矩形为正方形， ∴， ∴当点落在上时，旋转角，， ∴此时点在上， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即点到直线距离为； ②当点在点D左侧时，过点作于点F，交于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴根据旋转可知：四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与之间的距离为3， ∴， ∴， ∴， ∴， 即此时到的距离为； 当点在点D右侧时，过点作于点F，延长交于点E，如图所示： 同理可得：，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， 即点到的距离为； 综上分析可知：点到的距离为：或； （2）解：当时，，， ∴此时点B在上，点A与点D重合； 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点P在直线上， ∴点与点P重合； 当点在上，且在点D左侧时，点P与点重合，如图所示： 根据矩形的性质可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，符合题意， 根据勾股定理得：， 即， ∴， 当点在上，且在点D右侧时，点P与点重合，如图所示： 根据矩形的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，符合题意， 根据勾股定理得：， 即， ∴； 综上分析可知：满足题意的的方程为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论． 88．（24-25八年级下·江苏南京·期中）我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． (1)如图①，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G， ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请画出四边形，并证明四边形是矩形． (2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）． ①在图3中用直尺和圆规作面积最小的正方形（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，则正方形面积的最大值为______； 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、四边形其他综合问题 【分析】（1）①利用平行四边形的性质得到，结合对顶角，证明，即可得出结论；②根据题意即可作出图形，同理①得：，得到，由①知，由旋转的性质得，得到，求出，即，即可证明； （2）①在图2中，连接，证明，推出，进而得到三点共线，正方形对角线过点O，根据题意：当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小，即当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以为圆心，的长为半径画圆，交垂线于两点，连接即可；②由①知正方形的面积随的增大而增大，当点分别落在上，正方形的面积最大，设交于点Q，交于点P，设正方形边长为，则，，根据，列出方程求出x的值即可解答． 【详解】（1）①证明：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：如图， 同理①得：， ∴， 由①知， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形（对角线相等且平分）； （2）①解：在图2中，连接， 在菱形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴正方形对角线过点O， 根据题意：当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小， 即当时，正方形的面积最小， 如图所示为所求： ②由①知正方形的面积随的增大而增大，如图，当点分别落在上时，正方形的面积最大，设交于点Q，交于点P， ∵在菱形中，，， ∴，， 设正方形边长为，则，， ∴， 则， 整理得：， 解得：， ∴正方形的面积最大为， 故答案为：9． 【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $