重难拓展专题05 解三角形中线、角平分线、普通分线模型问题讲义（知识梳理+3题型突破）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

重难拓展专题：解三角形中线、角平分线、普通分线模型 知识梳理 一、普通分线模型 D 在 BC 上，满足，无角平分、无中点，是最通用的“任意线段”模型。 1.万能思路 对△ABD、△ADC 分别列余弦定理，利用 联立消去余弦，解出未知边/角。 该思路的根本逻辑：两个三角形共用边 AD，且两个角互补，余弦互为相反数，因此两式可以联立消角，只剩下边的方程。这就是这类题“百做百对”的根本。 2.本题型常用方法 （1）设参法 设 BD=λk，DC=k，统一用 k 表示。 （2）双余弦联立（核心） 两式可直接消去 。 （3）面积比例法 高相同，面积比 = 底边长之比： （4）正弦定理联用 适合给角度比例的题。 二、中线模型 在△ABC 中，D 为 BC 中点，则,连接 AD，AD 即为中线。 1．核心结论：中线公式 写成边的标准形式： 证明：对△ABD 和△ADC 分别用余弦定理： 在△ABD 中： 在△ADC 中： 因为 D 是中点：； 又因为 ，所以 将两式相加，含余弦的项刚好抵消： 这就是中线公式的本质来源——不是死记，是“两个余弦定理相加消角”。 2.本题型常用方法 （1）直接用中线公式 已知：两边长 + 中线长 ➔ 直接求第三边。 适合：选择填空快速题。 （2）双三角形余弦定理联立 适合：解答题、需要写过程、题目同时给角度/面积。 思路： ① 对△ABD、△ADC 各列一个余弦定理； ② 利用 联立； ③ 消角求边，或求角再求面积。 （3）面积平分法 中线把三角形分成面积相等的两部分： 适合：题目给面积、求高、求角度。 （4）倍长中线法 延长中线AD至点E，使DE=AD（倍长中线），构建得△ABE，在该三角形内使用余弦定理求解. （5）向量法（拔高理解） ，等式两边平方后再化简。 三、角平分线模型 AD 平分∠BAC，则 2、 核心结论 1. 角平分线定理 2. 角平分线长度公式 形式1： 形式2：） 形式3： 证明：（1）角平分线定理推导（正弦定理） 在△ABD 中： 在△ADC 中： 因为，两式相除即得： （2）角平分线长度推导 形式1、2：对△ABD和△ADC分别用余弦定理，利用∠ADB + ∠ADC = 180°，得，联立消角推导。 对△ABD列余弦定理： ①； 对△ADC列余弦定理： ②； 由角平分线定理，BD/DC = c/b，设BD = kc，DC = kb，代入①②，消去k和，化简后可得： （核心公式）； 再将BD=，DC = 代入上式，得： 。 形式（3）： 约去公共项，化简即可得到。 3.本题型常用方法 （1） 角平分线定理 + 设比例 设 ，，直接表示边长。 （2）面积拆分法（最稳、最好懂） 凡是角平分线，优先写：几乎所有角平分线题都能解。 （3） 对两个小三角形分别用正弦定理 共用角 ，共用补角正弦，联立极方便。 （4）余弦定理联立 同样利用 ，适合求长度。 典例精讲 题型二：中线模型（D 为 BC 中点） 典例1 在△ABC 中，D 为 BC 中点，AD=3，AB=4，AC=2，求 BC 的长。 变式1在中，角的对边分别为， (1)求； (2)设边的中线，且，求的面积． 变式2 已知的内角的对边分别为，且满足，． (1)求的大小； (2)已知是的中线，求的最大值． 题型二：角平分线模型 典例2 在△ABC 中，AB=6，AC=3，∠BAC=120°，AD 为角平分线，求 AD 的长。 变式1 如图所示中，平分．      (1)求； (2)若，求的长． 变式2 的内角的对边分别为平分且交于点．已知的面积为1，若，求． 题型三：普通分线模型 典例3 在△ABC 中，点D在线段BC上，且满足CD=2BD，AD=2，∠BAD=60°，AB=2，求 AC。 变式1 在中，，，D是BC边上一点，，. (1)求的大小；(2)求的面积. 变式2 a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，. (1)求A的值； (2)若，，求c的值. 专题总结 1. 中线：两余弦相加消角 ➔ 中线公式直接用 2. 角平分线：面积拆分最稳 ➔ 角平分线定理定比例 3. 普通分边线：两余弦相联立 ➔ 利用补角余弦相反 1.（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，的角平分线交边于点．若，，，则（    ） A．1 B． C． D． 2.（24-25高一下·江苏连云港·月考）在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·山东·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4. 在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5.（2025高三·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高一下·昆明·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 8. 在中，角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，且满足，，，则______. 9.（24-25高一下·陕西·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且.则 ；若，是边上的高，且，则 . 10.（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，在中，，，取边中点，连接，设为中点，连接并延长与交于点，则的长为__________. 11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是________. 12.（2025甘肃模拟）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，求边上的中线的最大值． 13.（2025·黑龙江·实验中学期中模拟）已知中，，， (1)求； (2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值． 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足 （1） 求角的大小； （2） 若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长. 15. （2025·广西桂林·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 16.（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)求； (3)若，边上的中线，求边的长. 17.（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为是的角平分线，若，则的最小值为 18．（2025·浙江宁波·第二高级中学期中模拟）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求角的大小； (2)若，点满足，点满足，求. 19.（24-25高一下·山西·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 20. 记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，点是边上一点，且，求的长． 21.（2026·全国·高三专题练习）在 中，已知. (1)求的值； (2)若是的角平分线，求的长． 22.（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 23.（24-25高一下·福建厦门·期末）已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， (1)求； (2)若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难拓展专题：解三角形中线、角平分线、普通分线模型 知识梳理 一、普通分线模型 D 在 BC 上，满足，无角平分、无中点，是最通用的“任意线段”模型。 1.万能思路 对△ABD、△ADC 分别列余弦定理，利用 联立消去余弦，解出未知边/角。 该思路的根本逻辑：两个三角形共用边 AD，且两个角互补，余弦互为相反数，因此两式可以联立消角，只剩下边的方程。这就是这类题“百做百对”的根本。 2.本题型常用方法 （1）设参法 设 BD=λk，DC=k，统一用 k 表示。 （2）双余弦联立（核心） 两式可直接消去 。 （3）面积比例法 高相同，面积比 = 底边长之比： （4）正弦定理联用 适合给角度比例的题。 二、中线模型 在△ABC 中，D 为 BC 中点，则,连接 AD，AD 即为中线。 1．核心结论：中线公式 写成边的标准形式： 证明：对△ABD 和△ADC 分别用余弦定理： 在△ABD 中： 在△ADC 中： 因为 D 是中点：； 又因为 ，所以 将两式相加，含余弦的项刚好抵消： 这就是中线公式的本质来源——不是死记，是“两个余弦定理相加消角”。 2.本题型常用方法 （1）直接用中线公式 已知：两边长 + 中线长 ➔ 直接求第三边。 适合：选择填空快速题。 （2）双三角形余弦定理联立 适合：解答题、需要写过程、题目同时给角度/面积。 思路： ① 对△ABD、△ADC 各列一个余弦定理； ② 利用 联立； ③ 消角求边，或求角再求面积。 （3）面积平分法 中线把三角形分成面积相等的两部分： 适合：题目给面积、求高、求角度。 （4）倍长中线法 延长中线AD至点E，使DE=AD（倍长中线），构建得△ABE，在该三角形内使用余弦定理求解. （5）向量法（拔高理解） ，等式两边平方后再化简。 三、角平分线模型 AD 平分∠BAC，则 2、 核心结论 1. 角平分线定理 2. 角平分线长度公式 形式1： 形式2：） 形式3： 证明：（1）角平分线定理推导（正弦定理） 在△ABD 中： 在△ADC 中： 因为，两式相除即得： （2）角平分线长度推导 形式1、2：对△ABD和△ADC分别用余弦定理，利用∠ADB + ∠ADC = 180°，得，联立消角推导。 对△ABD列余弦定理： ①； 对△ADC列余弦定理： ②； 由角平分线定理，BD/DC = c/b，设BD = kc，DC = kb，代入①②，消去k和，化简后可得： （核心公式）； 再将BD=，DC = 代入上式，得： 。 形式（3）： 约去公共项，化简即可得到。 3.本题型常用方法 （1） 角平分线定理 + 设比例 设 ，，直接表示边长。 （2）面积拆分法（最稳、最好懂） 凡是角平分线，优先写：几乎所有角平分线题都能解。 （3） 对两个小三角形分别用正弦定理 共用角 ，共用补角正弦，联立极方便。 （4）余弦定理联立 同样利用 ，适合求长度。 典例精讲 题型二：中线模型（D 为 BC 中点） 典例1 在△ABC 中，D 为 BC 中点，AD=3，AB=4，AC=2，求 BC 的长。 【解析】直接使用中线公式： 代入： 所以 答案：BC=2 变式1在中，角的对边分别为， (1)求； (2)设边的中线，且，求的面积． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 又因， 所以， 所以， 又，所以， 所以，即，所以， 因为，所以， 所以，所以； （2）在中，由余弦定理得， ，即， 在中，由余弦定理得， ， 因为，所以， 则，所以， 则， 所以， 故，解得或（舍去）， 所以的面积． 变式2 已知的内角的对边分别为，且满足，． (1)求的大小； (2)已知是的中线，求的最大值． 【分析】（1）利用正弦定理角化边，化简，可得，结合余弦定理即可求得答案； （2）由，，利用基本不等式可得，再根据是的中线，可得，平方后结合数量积的运算可得，即可求得答案. 【解析】（1）由于在中，，， 则，则， 由于； （2）因为，，所以， 故，当且仅当，即时等号成立， 故； 由是的中线，得， 即得 ， 即得，故的最大值为. 题型二：角平分线模型 典例2 在△ABC 中，AB=6，AC=3，∠BAC=120°，AD 为角平分线，求 AD 的长。 【解析】用面积拆分： 约去 ： 变式1 如图所示中，平分．      (1)求； (2)若，求的长． 【解析】（1），∵AD平分，∴， 在中，，∴， 在中，，∴； ∴． （2），，， ∵AD平分，∴，∴， 令，则， ∵，∴， ∴由余弦定理可得：，∴，∴， ∴的长为． 变式2 的内角的对边分别为平分且交于点．已知的面积为1，若，求． 【解析】法一：面积+余弦（向量） 易知b=2c，延长AD至点E，使2AD=DE,易得CE=2AB=2c， 记∠BAC=α，∠ACE=π－α，则有，化简得 同除得，记，代入化简计算即可 补充：也可以不做延长线直接用面积和向量得出等量关系 法二：设，根据三角形面积公式结合条件可得，然后利用二倍角公式即得. 因为，所以， 设，则 ，得， 所以，所以 题型三：普通分线模型 典例3 在△ABC 中，点D在线段BC上，且满足CD=2BD，AD=2，∠BAD=60°，AB=2，求 AC。 【解析】设 BD=x，则 CD=2x。 在△ABD 中： 所以 BD=2，CD=4。 中由余弦求得： 故 。 在△ADC 中： 变式1 在中，，，D是BC边上一点，，. (1)求的大小；(2)求的面积. 【解析】（1）在中，由余弦定理可得， 因为，，， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又， 所以； （2）在中，由正弦定理可得， 由，，可得， 又，， 所以，故， 因为， 所以， 所以的面积. 变式2 a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，. (1)求A的值； (2)若，，求c的值. 【解析】（1）因为，，所以， 由正弦定理得. 又， 所以. 因为，所以. 又，所以. （2）由，得，所以， 所以点D在边上，且，因为，所以，. 在中，由余弦定理得，即， 解得（负根已舍去）. 专题总结 1. 中线：两余弦相加消角 ➔ 中线公式直接用 2. 角平分线：面积拆分最稳 ➔ 角平分线定理定比例 3. 普通分边线：两余弦相联立 ➔ 利用补角余弦相反 1.（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，的角平分线交边于点．若，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用正弦定理边化角求得，再利用，可得到，利用余弦定理求得答案. 【解析】因为， 由正弦定理得，则， 所以， 因为，所以 且，所以． 由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． 在中，. 故选：C. 2.（24-25高一下·江苏连云港·月考）在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量可建立起的关系式，再结合面积即可求得，再利用面积相等即可求角平分线的长. 【解析】为边上的中线，， 即，即， 即，. 因为，， ， ， 为平分线，，故， 又，所以， 即，解得， 故选：D 3.（25-26高一下·山东·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出角，再利用角平分线性质和三角形面积公式得到bc的值，最后结合余弦定理求出的值，进而求出的周长. 【解析】已知，移项可得. 因为（若，则，不满足），所以，即. 又因为，所以. 因为AD是角的平分线，所以. 根据三角形面积公式，可得. 可得：，即 两边同时约去可得. 由余弦定理，将，代入可得： ，即，即. 根据完全平方公式，可得，将其代入上式可得： ， 将代入上式可得：，解得（负值舍去）. 的周长为. 故选：A. 4. 在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，可得，进而可求的最大值. 【解析】为中线，则，两边平方得， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 则. 故选：B. 5.（2025高三·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【解析】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 6.（24-25高一下·昆明·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A中，由正弦定理可得中线的表达式，判断出A的真假；B中，由三角形等面积法求出角平分线的表达式，判断出B的真假；C中，由三角形等面积法求出高的表达式，判断出C的真假；D中，由选项的分析，可得三角形的面积的表达式，判断出D的真假． 【解析】A：设为的中线，由可得,可得， 即，所以A正确； B中，设，设为的角平分线，所以， 由三角形等面积法可得， 可得， 所以，即，所以B正确； 设为边上的高，由等面积法可得， 所以，因为，由余弦定理可得， 所以， 所以， 即，所以C正确； D中，由C可得，所以D不正确． 故选：D． 7. 在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先在中由余弦定理可得，再由角平分线定理可得，即可得到的函数关系式，然后求导，即可得到其极小值，从而得到结果. 【解析】设，，则， 则在中由余弦定理可得， 即，所以， 由角平分线定理可得，所以. 又， 故， 化简得①， 而在△中由余弦定理， 代入①得.又因为，所以，所以， 故. 所以， 所以， 令或（舍去）， 所以当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以时，取得最小值，即取得最小值. 所以取得最小值时，. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键点1是先设，，则，依据已知条件由余弦定理结合三角形角平分线性质求得得和，关键点2是构建函数，利用导数工具研究其最值，从而得解. 8. 在中，角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，且满足，，，则______. 【答案】 【解析】根据角平分线定理有，于是， 又，，于是再对使用余弦定理有，进而得到，因此. 9.（24-25高一下·陕西·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且.则 ；若，是边上的高，且，则 . 【答案】 【分析】由，利用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得，可求的值；以为基底，由，代入数据运算得的关系. 【解析】中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又为的内角，即，，则， 于是，解得，因此，得； 由，，得， 显然， 由，得， 即． 即，所以． 故答案为：； 10.（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，在中，，，取边中点，连接，设为中点，连接并延长与交于点，则的长为__________. 【答案】 【分析】作交于点，通过几何关系证明，求得，利用求出，即可得到答案. 【解析】如图： 作交于点， 因为点为中点，所以点为中点，即， 因为为中点，所以，因此， 在中，因为，，， 所以由余弦定理可得， 因为为中点，所以， 因此， 又因为， 所以， 所以，因此 故答案为： 11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合角的取值范围分析求解. 【解析】在中，由得， 由余弦定理得， 且，所以. 又因为AD是的平分线，则， 在中，由正弦定理得， 可得， 且是锐角三角形，所以，解得， 则，可得，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 12.（2025甘肃模拟）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，求边上的中线的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）切化弦后，结合两角和差公式和诱导公式可求得，进而得到； （2）利用余弦定理和基本不等式可求得范围，根据，平方后，结合向量数量积定义和运算律可求得结果. 【解析】（1），， ，又，. （2）由余弦定理得：（当其仅当时取等号）， ，， ， ， ，即的最大值为. 13.（2025·黑龙江·实验中学期中模拟）已知中，，， (1)求； (2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由商数关系、和角正弦公式及三角形内角和性质可得，进而有，由和差角余弦公式得，同角平方关系及三角形内角性质求各角大小，即可得结果； （2）取，应用余弦定理求，进而求的余弦值. 【解析】（1）由题意， 又，故，而， 且，所以， ，所以或（舍）， 故，且，则，，故. （2）不妨取，则，，    . 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足 （1） 求角的大小； （2） 若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长. 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）由余弦定理得：，所以， 由正弦定理得：，因为，所以， 所以，，即或 （1） 设等腰三角形腰长为， 即，，且由于，， 在中，，解得， 设BC的中点为D，如图所示: 根据平行四边形定理可得， 则，解得：， 所以， 则的周长为． 15. （2025·广西桂林·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出； （2）利用余弦定理得到，由三角形面积公式和求出，表达出，利用两次基本不等式求出最值. 【解析】（1）由题意知中，， 故 即， 即， 所以， 而，故， 故，即， 又，故； （2）由余弦定理：， 又， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，则的最小值为. 16.（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)求； (3)若，边上的中线，求边的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用正弦定理将角转化为边即可得证； （2）利用余弦定理即可求解； （3）在和中有，利用余弦定理即可求解. 【解析】（1）证明：由正弦定理得：， 即. （2）因为， 即. 则， 因为， 所以. （3）因为，由余弦定理知：， ， 即， ， 故， 解得：或. 17.（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为是的角平分线，若，则的最小值为 【答案】 【分析】利用张角定理得到，再利用不等式中的妙用来求解最值. 【解析】是的角平分线， ， 由张角定理得:， 即， ， ， （当且仅当，即时取“=”）. 故答案为：. 18．（2025·浙江宁波·第二高级中学期中模拟）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求角的大小； (2)若，点满足，点满足，求. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到，因为，求得，进而求得，即可求得的大小； （2）在中，由余弦定理求得，再由，根据向量的数量积的运算公式，求得，再在中，求得，得到，进而得到，分别在和中，求得，，利用余弦定理求得，进而求得的值. 【解析】（1）解：因为，可得， 由正弦定理得，可得， 又因为，可得，则， 因为，所以，可得，所以， 又因为，可得，所以. （2）解：在中，因为且， 由余弦定理得，即， 即，解得或（舍去）， 设，因为，可得， 所以， 所以，即， 又因为，所以，所以， 在中，可得，可得， 因为，所以， 在中，可得， 所以， 在中，可得， 所以， 在中，可得， 所以 19.（24-25高一下·山西·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角； （2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积． 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为角的角平分线交于点， 所以， 因为，所以由，得 ， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. 20. 记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，点是边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，对已知条件进行三角恒等变换即可求出A； （2）用表示，利用向量数量积的运算律即可求解． 【解析】（1）已知，由正弦定理得， 即， 则， ，即． ∵，∴，那么，解得． 又∵，∴． （2）∵，∴， 即， 两边同时平方： ， ， ∴， ∴， 即． 21.（2026·全国·高三专题练习）在 中，已知. (1)求的值； (2)若是的角平分线，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用余弦定理求出边的长，再利用正弦定理求出 （2）利用三角形的面积公式及面积关系，建立关于边的关系式求解即可得到答案 【解析】（1）在中，由余弦定理 整理得 解得或 由于，所以 因为，所以，所以 由正弦定理得：，故 （2）设， 由及三角形的面积公式可得： 整理得 在中，由余弦定理 由得 则 22.（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【解析】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 23.（24-25高一下·福建厦门·期末）已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， (1)求； (2)若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）依题意可得，利用诱导公式及和差角公式得到，即可得解； （2）（ⅰ）由余弦定理得到，再由已知条件得到，由等面积法得到，从而得证；（ⅱ）设，，在中由余弦定理，由三角形相似得到，，从而得到，，则，再利用换元法及函数的性质求出的最大值，即可求出的最大值. 【解析】（1）因为， 所以， 即， 即， 又， 所以， 所以， 又，所以，所以，即， 因为，所以. （2）（ⅰ）因为，即， 由余弦定理，即， 所以，则， 所以， 又，所以， 所以； （ⅱ）设，， 在中由余弦定理， 由（ⅰ）可得，， 因为，即，即， 且，即，即， 则，所以，， 所以， 且，， 令，则原式， 且，当且仅当时取等号， 所以，又越大则的值越小， 所以， 所以当时，取得最大值， 即，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $