第六章平面向量及其应用单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2. 是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 3. 已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 4. （3．若平面向量与的夹角为60°， ,，则等于（    ）. A． B． C．4 D．12 5. 平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 6. 已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7. 由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 8. 已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9．设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若则 10. 2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 11. 已知向量，的夹角为，，，，则（    ） A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为 C．的最小值为 D．取得最小值时， 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．与平面向量同向共线的单位向量的坐标为 . 13. 设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为 14．在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 4、 解答题（5小题，共77分） 15. （13分） 设。 (1) 若，求点坐标； (2) 设向量，若与平行，求实数。 16.（15分） 在中，角的对边分别为，且满足。 (1) 求角的大小； (2) 若，且的面积为，求的值； (3) 若，求角的取值范围。 17. （15分）如图，边长为2的等边所在平面内一点满足（），点在边上，.的面积为，记，. (1)用，及表示； (2)求的最小值. 18. （15分）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 19. （17分）．如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足a，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量； 速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个. 故选：A 2. 是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 【答案】D 【分析】先由向量的加法求出，再利用向量共线的充要条件列方程组求解即可. 【详解】由已知， 由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使， 即，即解得. 故选：D 3. 已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设单位向量与的夹角为，由，根据向量数量积的定义与计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】设单位向量与的夹角为，可得 因为，可得， 解得，又因为，所以. 故选：B. 4. （3．若平面向量与的夹角为60°， ,，则等于（    ）. A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】先根据数量积的定义求出 ，再根据模的计算法则求 . 【详解】由题意 ， ， ； 故选：B. 5. 平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，得出，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，即， 可得，所以，即， 又因为为平行四边形，所以四边形为矩形. 故选：C. 6. 已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 7. 由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 【答案】A 【分析】根据三角形的几何性质，及正弦定理、余弦定理，逐项判断即可. 【详解】对于A，由于，即，所以三角形有两解，故A正确； 对于B，因为，可得，，， 则，故只能有一个值，所以三角形有一解，故B错误； 对于C，由于，故三角形为直角三角形，有一解，故C错误； 对于D，因为，，，有余弦定理，可求得唯一，所以三角形有一解，故D错误. 故选：A. 8. 已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【分析】根据与的意义，得到的方向与的角平分线一致，从而判断出点P的轨迹一定经过的内心. 【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量， 则的方向与的角平分线一致， 由，可得， 即， 所以点P的轨迹为的角平分线所在直线， 故点P的轨迹一定经过的内心. 故选：C. 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9．设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若则 【答案】BC 【分析】根据数量积的坐标运算，结合共线即可求解A，根据模长公式即可求解BD，根据单位向量的定义即可求解C. 【详解】对于A，若与的夹角为钝角，则需满足，解得，故A正确， 对于B，，当且仅当取到等号，故B错误， 对于C, 与共线的单位向量有两个，为，故C错误， 对于D,由得，解得，D正确， 故选：BC 10. 2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算法则，逐项计算判断即可得解. 【详解】对于A，因为四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定成立，故A错误； 对于B，，，所以，故B正确； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，连接BD，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以， 又，，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知向量，的夹角为，，，，则（    ） A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为 C．的最小值为 D．取得最小值时， 【答案】AD 【分析】AB选项，利用投影的定义求解判断；CD选项，利用数量积的运算律求解判断. 【详解】因为在方向上的投影向量的模为，故A正确； 因为在方向上的投影向量的模为，故B错误； ，当时，取得最小值，此时，所以，故C错误，D正确． 故选：AD 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．与平面向量同向共线的单位向量的坐标为 . 【答案】 【分析】求出向量模长，再结合题设条件即可求解. 【详解】因为向量的模长为， 所以与平面向量同向共线的单位向量的坐标为. 故答案为：. 13. 设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标公式求得，然后由向量夹角坐标计算公式可得答案. 【详解】因，则，则， 从而，则. 故答案为：. 14．在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 【答案】 【分析】先求得关于的线性表示，然后根据求解出的值，结合关于的线性表示以及数量积公式可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：. 4、 解答题（5小题，共77分） 15. （13分） 设。 (1) 若，求点坐标； (2) 设向量，若与平行，求实数。 【解析】(1) ，设，。 (2) ， 由平行得。 16.（15分） 在中，角的对边分别为，且满足。 (1) 求角的大小； (2) 若，且的面积为，求的值； (3) 若，求角的取值范围。 【解析】 (1) 方法一（正弦定理，边化角）：由正弦定理边化角可得： 由两角和的正弦公式，且在中，，故。 因此等式化为： 因为，，两边同除以，得，即。 又，所以。 方法二（余弦定理，角化边）：将，代入已知等式： 化简左边：；化简右边：。 因此，整理得，由余弦定理得，故。 (2) 已知，，的面积。 由三角形面积公式，代入得：。 因为，所以，解得。 由余弦定理，代入，，，得： ，即，故。 由完全平方公式，代入，，得： ，因为为三角形边长，故，所以。 (3)已知，故，即。 已知，代入，得： 由两角差的正弦公式展开： 代入上式得：，整理得。 提取公因式，化为辅助角公式形式：， 即。 所以，解得。 因此，角的取值范围为（即唯一值）。 17. （15分）如图，边长为2的等边所在平面内一点满足（），点在边上，.的面积为，记，. (1)用，及表示； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的运算求解即可； （2）由题知，，进而得，设三角形在边上的高为，根据几何关系得，再结合基本不等式求解即可. 【解析】（1）解：因为是边长为2的等边三角形，， 所以，， 所以 （2） 解：因为， ， ，， 所以，， 设三角形在边上的高为，则，所以， 因为（），所以， 所以，即， 所以，，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 18. （15分）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解； （2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解. 【解析】（1）因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； （2）由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 19. （17分）．如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足a，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算； （2）由（1）得，，列出方程组求解即可； （3）由题意可得，，列出方程组，从而可得，利用基本不等式求解即可； 【解析】（1）因为，则，由，得 ， 故. （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $