专题01：负数 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学六年级下册

专题01：负数 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、 负数的“前世今生”与核心定义 1. 为什么要学负数？（产生背景） 生活需求：在现实生活中，我们经常遇到具有相反意义的量（如：零上与零下、收入与支出、向东与向西）。仅用以前学过的自然数、分数和小数无法区分方向或性质，因此引入了负数。 历史小知识：中国是世界上最早认识和使用负数的国家。早在2000多年前的《九章算术》中就有记载，三国时期的刘徽提出了“正算赤，负算黑”（用红色算筹表示正数，黑色表示负数）。 2. 核心概念三要素 正数： 定义：大于0的数。 形式：像 、 、 、 这样的数。 注意：正数前面的“ ”号可以省略，也可以写上。写上读作“正”，省略不读。 负数： 定义：小于0的数。 形式：在正数前面加上“ ”号，如 、 、 、 。 注意：负数前面的“ ”号绝对不能省略，否则就变成了正数。读作“负”。 0的特殊地位（考点之王）： 0既不是正数，也不是负数。 0是正数和负数的分界点。 0不仅表示“没有”，还可以表示一个确定的量（例如：0℃表示淡水结冰的温度，海平面高度记为0米）。 二、 正负数的读写与规范 类别 书写规则 读法规则 示例 正数 “ ”可写可不写 有“ ”读“正”，无“ ”直接读数 读作：正五 读作：五 负数 “ ”必须写 必须读作“负” 读作：负八 零 写作 0 读作 零 0 读作：零 ⚠️ 避坑指南： 不要把 写成 。 不要说“0是正数”或“0是负数”。 三、 正负数的实际应用（解题模型） 1. 核心逻辑：相反意义的量 如果规定向东走为正，那么向西走就是负。 如果规定收入为正，那么支出就是负。 如果规定上升为正，那么下降就是负。 2. 常见场景速查表 温度：零上 记作 ；零下 记作 。 海拔：珠穆朗玛峰高于海平面 米，记作 米；吐鲁番盆地低于海平面 米，记作 米。 财务：存折上存入 元记作 ；支出 元记作 。 误差：饼干标准净重 克，记作 。实际重 克记作 克；实际重 克记作 克。 3. 解题三步法 找基准：先找到题目中的“0”在哪里（如：标准体重、警戒水位、平均分）。 定方向：题目规定了哪个方向是正（通常“多、高、上、进”为正）。 标符号：超过基准记为正，不足基准记为负。 四、 数轴（数形结合的工具） 1. 数轴的三要素（缺一不可） 原点：表示 的点。 正方向：通常规定向右为正方向（画箭头）。 单位长度：选取适当的长度作为单位，且刻度要均匀。 2. 数轴上的规律 位置分布：负数在 的左边，正数在 的右边。 大小比较：越往右越大，越往左越小。 正数 负数 两个负数比较：数字部分大的反而小（例如 ，因为 在更左边，离 更远）。 3. 动态移动问题（高频难点） 口诀： “右加左减” 。 模型：一个点从数轴上某点出发，向右移动 个单位，再向左移动 个单位。 公式：终点数 = 起点数 + 向右距离 - 向左距离。 例题：点 从 出发，向右移 格，再向左移 格。 计算： 。所以终点是 。 五、 易错题与陷阱大揭秘 1. 概念混淆 错：带“ ”号的是正数，带“ ”号的是负数。（注意： 这种初中才学，小学阶段暂不涉及，但要知道 不带符号却不是正负数）。 错： 表示没有温度。（正解： 是一个具体的温度值，是水结冰的温度）。 2. 比较大小 陷阱：比较 和 的大小。 错误思维： ，所以 。 正确思维：负数看绝对值（即数字本身），数字越大，数值越小（越冷、越深）。所以 。 3. 距离问题 问题： 和 之间相距多少个单位长度？ 方法：大数减小数，或者数格子。 计算： 个单位长度。 第二部分 典型例题 【例题1】在带箭头的直线上，，1，﹣0.25，﹣0.3，这些数中，离0最近的是（    ）。 A． B．1 C． －0.25 D． －0.3 【答案】C 【分析】在带箭头的直线上，一个数离0近不近，就看这个数到0之间的长度谁最短，直接比较它们到0的距离大小就行。 【详解】离0大约是0.33，1离0是1，－0.25离0是0.25，－0.3离0是0.3，0.25＜0.3＜0.33＜1，所以离0最近的是－0.25。 【例题2】已知甲地区冬天的最低气温是﹣17℃，乙地区的最低气温是6℃，那么甲、乙两地区冬天最低气温相差( )℃。 【答案】23 【分析】0℃是零上温度和零下温度的分界点，﹣17℃表示比0℃低17℃，6℃表示比0℃高6℃。求两地最低气温相差多少，即求这两个温度在数轴上的距离，可以将它们分别与0℃的差距相加。 【详解】17＋6＝23（℃） 【例题3】某车间计划本周一至周五每日生产100个零件，由于工人熟练程度不同，实际每天产量与计划对比如下表（超过100个记为正，不足100个记为负） 星期 一 二 三 四 五 与计划产量相比（个） ﹢10 ﹣8 ﹢5 ﹣2 ﹢9 （1）该车间在星期________生产的零件最多，生产了________个。 （2）这五天的实际产量比计划产量多还是少？相差多少？ 【答案】（1）一；110；（2）实际产量多，相差14个 【分析】（1）根据题意，计划每天生产100个，以100个为标准，多于计划每天生产量的部分记为正数，少于计划每天生产量的部分记为负数，分别求出每天生产的零件个数，再进行比较解答即可。 （2）先分别求出五天实际产量和计划产量，再比较，然后用减法求出它们的差即可。 【详解】（1）星期一：100＋10＝110（个） 星期二：100－8＝92（个） 星期三：100＋5＝105（个） 星期四：100－2＝98（个） 星期五：100＋9＝109（个） 110＞109＞105＞98＞92 该车间在星期一生产的零件最多，生产了110个。 （2）实际产量：110＋92＋105＋98＋109＝514（个） 计划产量：100×5＝500（个） 514＞500 514－500＝14（个） 答：这五天的实际产量多，相差14个。 【例题4】跳绳是我们学校的特色运动项目。体育课上，同学们进行了“1分钟跳绳比赛”测试，下表是第一组同学的成绩记录单。 姓名 成绩/下 记作/下 黎明 149 王军 158 刘芳 李良 （1）李良的成绩既不能记作正数，也不能记作负数。请你根据已有信息，把表格补充完整。 （2）把黎明、刘芳跳绳数量在数轴上表示出来。 黎明比刘芳少跳（    ）下。 你的思路是：____________________________________________________________。 【答案】（1）见详解 （2）作图见详解；16；思路见详解 【分析】（1）王军1分钟跳了158下，记作，表示王军跳的次数比标准下数少2下，158＋2＝160（下），说明标准下数是160下。黎明跳了149下，160－149＝11（下），比标准下数少11下，记作；刘芳跳的下数记作﹢5，表示比标准下数多5下，160＋5＝165（下），刘芳跳了165下；李良的成绩既不能记作正数，也不能记作负数，则李良跳了标准下数，是160下，记作0。据此填表。 （2）负数在0的左边，正数在0的右边。根据图中的单位长度，即可标出黎明、刘芳跳绳数量在数轴上的位置。 165－149＝16（下），黎明比刘芳少跳16下。 解题思路是：根据王军的成绩求出标准下数，负数表示比标准下数少的下数，正数表示比标准下数多的下数，据此求出其他人的成绩。 【详解】（1）158＋2＝160（下） 160－149＝11（下） 160＋5＝165（下） 填表如下： 姓名 成绩/下 记作/下 黎明 149 王军 158 刘芳 165 李良 160 0 （2）通过分析可得： 165－149＝16（下），黎明比刘芳少跳16下。 思路是：根据王军的成绩求出标准下数，负数表示比标准下数少的下数，正数表示比标准下数多的下数，据此求出其他人的成绩。 【例题5】下面是刘老师今年4月份的收入和支出的记录。 4月10日收到工资3790元，4月13日交电话费88元，4月15日交水电费122元，4月26日收到稿费450元，4月30日收到加班费200元，4月份伙食费合计900元。 （1）根据以上信息，填写下表。 项目 工资 电话费 水电费 稿费 加班费 伙食费 收支金额/元 ﹢3790 ﹣88 ﹣122 （    ） （    ） （    ） （2）刘老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 【答案】（1）﹢450；﹢200；﹣900 （2）25% 【分析】（1）在一对具有相反意义的量中，收入为正，则支出就用负表示；据此填表即可； （2）分别求出总支出和总收入，相除即可。 【详解】（1）填表如下： 项目 工资 电话费 水电费 稿费 加班费 伙食费 收支金额/元 ﹢3790 ﹣88 ﹣122 ﹢450 ﹢200 ﹣900 （2）（88＋122＋900）÷（3790＋450＋200）×100% ＝1110÷4440×100% ＝0.25×100% ＝25% 答：刘老师这个月的总支出占总收入的25%。 【点睛】本题的关键是掌握正、负数的意义。结合生活的开支与收入，解决实际问题。 【例题6】下面是小红妈妈2022年2月2日至2月7日的微信账单情况。 2月2日9：40 扫二维码付款﹣20.00元 2月3日10：28 转账﹢1200.00元 2月4日12：30 微信红包﹣0.90元 2月5日8：50 微信红包﹣0.88元 2月6日9：20 微信红包﹢88.80元 2月7日11：05 转账﹣1000.00元 如果正数表示收入，负数表示支出，那么小红妈妈2月份这6天总收入和总支出分别多少钱？收入多还是支出多？ 【答案】收入1288.80元；支出1021.78元；收入多 【分析】将所有的正数相加的和是总收入，所有负数不管负号相加的和是总支出，比较总收入和总支出，即可明确收入多还是支出多，据此列式解答。 【详解】1200＋88.8＝1288.8（元） 20＋0.9＋0.88＋1000＝1021.78（元） 1288.8＞1021.78 答：小红妈妈2月份这6天总收入1288.80元，总支出1021.78元，收入多。 【点睛】关键是理解正负数的意义，正负数可以表示意义相反的量。 第三部分 高频真题 1．大于﹣3且小于﹢2的整数有（    ）个。 A．4 B．5 C．6 D．无数 【答案】A 【分析】根据题意，大于﹣3且小于﹢2的整数有﹣2，﹣1，0，1； 【详解】根据分析，大于﹣3且小于﹢2的整数有4个，所以选A； 2．人体正常体温平均为36℃～37℃，如果我们把人体体温标准定在36.5℃，37℃可以记作﹢0.5℃，那么35.6℃可以记作（    ）。 A． ﹣0.9℃ B．﹢35.6℃ C． ﹣0.4℃ D．0.9℃ 【答案】A 【分析】以36.5℃为标准温度，高于36.5℃的部分记为正，低于36.5℃的部分记为负，用标准温度减去35.6℃，算出温差后确定记法。 【详解】36.5－35.6＝0.9℃，35.6℃低于标准温度0.9℃，因此记作﹣0.9℃。 3．某天上午10时的温度是4℃，到了晚上12时温度下降了10℃，这天晚上12时的温度是（    ）。 A．10℃ B．14℃ C．﹣6℃ D．6℃ 【答案】C 【分析】此题考查的是用正负数表示具有相反意义的量。一般用正数表示零上摄氏度，用负数表示零下摄氏度。4℃下降4℃后是0℃，再下降6℃就是﹣6℃。 【详解】4℃下降了10℃是﹣6℃。 4．某办公室的桶装水标注“净含量18.9升±1%”，实际每桶水的最低容量是（    ）毫升。 A．18711 B．18720 C．18900 D．19000 【答案】A 【分析】“18.9升±1%”是指实际容量在18.9升的基础上浮动1%，最低容量就是18.9升的（1－1%），用18.9升乘（1－1%）得到以升为单位的最低容量，再乘1000把升换算成毫升即可。 【详解】18.9×（1－1%） ＝18.9×0.99 ＝18.711（升） 18.711×1000＝18711（毫升） 实际每桶水的最低容量是18711毫升。 5．下列两数比较大小，正确的是（    ）。 A．1＜﹣2 B． C． D． 【答案】D 【分析】正数大于负数，0大于负数，两个负数比较大小，数大的反而小，据此分析各选项，进而确定正确答案。 【详解】A．1是正数，﹣2是负数，所以1＞﹣2，选项A错误。 B．＝﹣0.2，≈﹣0.67，0.67＞0.2，所以﹣0.2＞﹣0.67，即＞，选项B错误。 C．＝1，所以0＜，选项C错误。 D．＝﹣0.5，≈﹣0.33，0.33＜0.5，所以﹣0.33＞﹣0.5，即＜，选项D正确。 只有选项D中的“”是正确的。 故答案为：D 6．如图所示，在数轴上点P的位置被一滴墨水遮挡了，那么请估计数轴上点P表示的数是（    ）。 A．﹣2.6 B．2.6 C．﹣1.4 D．1.4 【答案】C 【分析】0既不是正数也不是负数。比0大的是正数，正数的数字越大，数值就越大；比0小的是负数，负数的数字越大，数值反而就越小；也就是负数都比0小，正数都比0大，正数都比负数大。正数的数字前面的“﹢”可以省略不写，负数的数字前面的“﹣”不能省略。 【详解】﹣2＜点P＜﹣1 A．﹣2.6＜﹣2，不符合题意； B．2.6＞﹣1，不符合题意； C．﹣2＜﹣1.4＜﹣1，符合题意； D．1.4＞﹣1，不符合题意。 故答案为：C 7．手机移动支付给生活带来了便捷，如图是黄老师2024年10月25日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），黄老师当天微信收支的最终结果是（    ）。 A．收入21元 B．收入4元 C．支出5元 D．支出12元 【答案】B 【分析】根据正负数的意义：正负数表示两种相反意义的量。如果正数表示收入，负数表示支出，用黄老师当微信收到红包的钱数减去支出的钱数，即可解答。 【详解】21－5－12 ＝16－12 ＝4（元） 黄老师当天微信收支的最终结果是收入4元。 故答案为：B 8．生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正数、负数表示两种相反意义的量。已知篮球的质量超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，那么篮球的标准质量记为0。 求最接近标准质量的篮球，就是求各选项中的数与0最接近的数，先求出各数与0相差几，再比较大小，差值最小的，最接近0。 【详解】A．﹢1.4与0相差：1.4－0＝1.4 B．﹣2.4与0相差：2.4－0＝2.4 C．﹢0.6与0相差：0.6－0＝0.6 D．﹣0.5与0相差：0.5－0＝0.5 0.5＜0.6＜1.4＜2.4 其中最接近标准质量的篮球是记为“﹣0.5”的篮球。 故答案为：D 9．六（1）班本学期平均每人读课外书8本，文锋读了13本，记作﹢5本。那么肖弘读的本数记作﹢9本，则表示肖弘读了（    ）本。 A．1 B．9 C．14 D．17 【答案】D 【分析】正负数可以表示具有相反意义的量。以平均每人读的本数为标准，高于平均数记为正，低于平均数记为负，据此分析。 【详解】8＋9＝17（本） 肖弘读的本数记作﹢9本，则表示肖弘读了17本。 故答案为：D 10．如图所示，对于点A所表示的温度，下列说法中，不正确的一项是（    ）。 A．低于0℃ B．高于﹣1℃ C．高于﹣3℃ D．可能是﹣2℃ 【答案】B 【分析】0既不是正数也不是负数。比0大的是正数，正数的数字越大，数值就越大；比0小的是负数，负数的数字越大，数值反而就越小。 比0℃低的温度叫零下温度，通常在数字前面加“﹣”（负号）。 比0℃高的温度叫零上温度，通常在数字前面加“﹢”（正号），也可以省略不写。 【详解】﹣3℃＜点A所表示的温度＜0℃，且靠近﹣3℃。 A．点A所表示的温度是零下温度，故低于0℃，原说法正确； B．点A在0℃～﹣3℃之间，且更靠近﹣3℃，所以低于﹣1℃，原说法错误； C．点A在﹣3℃的上方，所以高于﹣3℃，原说法正确； D．观察点A的位置，在0℃下方第2格处，所以可能是﹣2℃，原说法正确； 故答案为：B 11．某班学生在一次“一分钟跳绳”练习中，平均成绩158下，如果把它记作0下，超过的记作正数，低于的记作负数。周涛跳了173个记作( )下，赵明跳的记作﹣9下，赵明跳了( )下。 【答案】 ﹢15/15 149 【分析】正数和负数表示具有相反意义的量，高于158下的记作正数，低于158下的记作负数；赵明跳的次数＝平均成绩－9下。 【详解】173－158＝15（下） 周涛跳了173下记作﹢15下； 赵明：158－9＝149（下） 12．北京时间是14时，此时巴黎时间为21时，东京时间为13时。若比北京时间早记为“﹢”，比北京时间晚则记为“﹣”，则巴黎时间记为( )时，东京时间记为( )时。 【答案】 ﹣7 ﹢1 【分析】北京时间是14时，此时巴黎时间为21时，东京时间为13时。21时比14时晚，21时－14时＝7时，所以巴黎时间比北京时间晚7时； 13时比14时早，14时－13时＝1时，所以东京时间比北京时间早1时。 【详解】21时－14时＝7时 14时－13时＝1时 巴黎时间记为﹣7时，东京时间记为﹢1时。 13．在0，11，﹣17，4.3，﹣10，0.38中，( )是质数；( )是小数；( )是整数；( )是正数；( )是负数。( )既不是正数也不是负数。 【答案】 11 4.3，0.38 0，11，﹣17，﹣10 11，4.3，0.38 ﹣17，﹣10 0 【分析】质数：一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（素数）。 小数：把整数1平均分成10份、100份、1000份…这样的一份或几份，用分母是10、100、1000…的分数表示，也可以用小数表示；小数由整数部分、小数点、小数部分三部分组成。 整数：像…﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3…这样的数统称为整数；整数包括正整数、0、负整数。 正数：大于0的数叫作正数，正数前的“﹢”可省略。 负数：小于0的数叫作负数，负数前必须加 “﹣”。 0既不是正数也不是负数，是正负数的分界点。 【详解】在0，11，﹣17，4.3，﹣10，0.38中，11是质数；4.3，0.38是小数；0，11，﹣17，﹣10是整数；11，4.3，0.38是正数；﹣17，﹣10是负数。0既不是正数也不是负数。 14．如图，从A点出发，先向右移动7个单位长度，再向左移动3个单位长度到达B点，B点对应的数为( )，它与A点对应的数相差( )。 【答案】 1 4 【分析】首先分两步移动相应的单位长度，先向右再向左，找到B点的位置；然后在图中数出A点与B点之间有几个单位长度即可。 【详解】第一步，已知A点在﹣3的位置上，先向右移动7个单位长度，到4处，标记为A’点。如图所示： 第二步，A’点在4的位置上，再向左移动3个单位长度，到1处。如图所示： 此时，B点对应的数为1，它与A点对应的数﹣3相差4个单位长度。 15．科学课上，同学们做养蚕实验时，发现蚕卵孵化出的蚕宝宝以桑叶为食。如图，一只蚕宝宝吃完O点处的桑叶，向东爬行1cm，记作﹢1cm，若从O点出发，记作﹣0.5cm，表示这只蚕宝宝( )。 【答案】向西爬行0.5cm 【分析】正负数可以表示具有相反意义的量，如果向东爬行的距离记为正，那么向西爬行的距离记为负。 【详解】一只蚕宝宝吃完O点处的桑叶，向东爬行1cm，记作﹢1cm，东与西相反，若从O点出发，记作﹣0.5cm，表示这只蚕宝宝向西爬行0.5cm。 16．嫦娥六号在北京时间2024年6月2日成功着陆月球背面，设定着陆点的海拔高度为0米。如果探测器在着陆点上方5.06米处进行某项操作，记作﹢5.06米，那么着陆点下方米处进行另一项操作，应记作( )米，读作( )米。 【答案】 负三分之十 【分析】此题考查的是用正负数表示具有相反意义的量。着陆点上方的高度记为正数，着陆点下方的高度与“上方”的意义相反，应记为负数。读负数时，先读负，再读后面的数。 【详解】着陆点下方米处记为－米，读作负三分之十米。 17．5、﹣6.5、、0、中，负数有( )，正数有( )。 【答案】 、 5、 【分析】正数是大于0的数，正数前面的“﹢”号可以省略不写；负数是小于0的数，通常在数的前面带有“﹣”号；0既不是正数也不是负数。据此对题目中给出的数进行分类即可。 【详解】在5、﹣6.5、、0、中，﹣6.5和都带有“﹣”号，且都小于0，因此负数有﹣6.5、。 在5、﹣6.5、、0、﹣中，5和都大于0，因此正数有5、。 18．在一次数学测试中，六（1）班的平均分是82分，如果把高于平均分的分数记为正数，低于平均分的分数记为负数，小明得了99分，应记为( )分；小红的成绩记为﹣2分，她实际得了( )分。 【答案】 ﹢17/17 80 【分析】以平均分82分为基准，高于平均分的分数记为正数，低于平均分的分数记为负数。小明的分数99分高于平均分，差值为正，应记为正数；小红的成绩记为﹣2分，表示低于平均分2分，实际得分需从平均分减去2分。 【详解】99－82＝17（分） 所以小明得了99分，应记为﹢17分。 82－2＝80（分） 所以小红的成绩记为﹣2分，她实际得了80分。 19．一种瓶装矿泉水标注的容量是550mL，在抽查中测得实际容量超出了3mL，记作﹢3mL，那么﹣2mL表示( )。如果一种矿泉水瓶上标有“”字样的说明，表示( )。 【答案】 实际容量比标注容量少2mL 实际容量在545mL至555mL之间都是合格的 【分析】这道题需明确标注容量550mL是基准量，在抽查中测得实际容量超出了3mL，记作﹢3mL，说明超出基准量用正数表示，那么负数就对应表示低于基准量。对于“”字样，需要理解“”的含义：“”表示比基准量多5mL，“”表示比基准量少5mL，由此可以确定实际容量的合格范围，即最高不超过，最低不少于，据此解答。 【详解】的含义： 表示实际容量比标注容量少2mL “”的含义： “” 表示实际容量在545mL至555mL之间都是合格的。 20．在一次体检中，全班同学的平均体重是32kg，如果把平均体重记作0kg，超过平均体重的记作正数，低于的记作负数。辰辰体重37kg应记作( )kg；娅娅体重记作﹣3kg，她的实际体重是( )kg。 【答案】 ﹢5 29 【分析】用正负数来表示具有相反意义的两种量：以平均体重为标准记为0kg，超过部分为正，不足的部分为负，由此进行解答即可。 【详解】37－32＝5（kg） 32－3＝29（kg） 所以，辰辰体重37kg应记作﹢5kg；娅娅体重记作﹣3kg，她的实际体重是29kg。 21．温度计上显示的表示没有温度。( ) 【答案】× 【分析】温度计上显示的0℃不是表示没有温度，它是一个具体的温度值，同时也表示以0℃为分界点，零上温度都用正数来表示，零下温度都用负数来表示，据此进行判断。 【详解】0℃是水开始结冰的温度，表示以0℃为分界点零上温度都用正数来表示，零下温度都用负数来表示。并不是表示没有温度，原题说法错误。 故答案为：× 22．在带箭头的直线上，﹣1在﹣6的右边。( ) 【答案】 √ 【分析】根据数轴的定义，箭头指示的方向为正方向，数轴上的数从左到右依次增大。通过比较﹣1和﹣6的大小，即可确定它们在直线上的相对位置。 【详解】在数轴上，数的大小从左到右依次增大，即右边的数大于左边的数。因为﹣1大于﹣6，所以﹣1在﹣6的右边。 故答案为：√ 23．正数和0都大于负数。( ) 【答案】√ 【分析】根据正数、负数和0的定义：正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是正数也不是负数。 【详解】正数大于0，负数小于0，故正数大于负数，0大于所有负数，因此，“正数和0都大于负数”正确。 故答案为：√ 24．某日，甲地最低气温﹣26℃，乙地最低气温﹣22℃，甲地比乙地冷。( ) 【答案】√ 【分析】负数的大小比较中，负号后面的数字越大，表示的温度越低。 【详解】因为26＞22，所以﹣26℃＜﹣22℃，因此甲地比乙地冷。原题说法正确。 故答案为：√ 25．六年级3班女生的立定跳远的平均成绩为1.62米，超过平均成绩记为正数，低于平均成绩记为负数，欢欢的跳远成绩记作﹣0.04米，则欢欢的跳远成绩是1.58米。( ) 【答案】√ 【分析】正负数表示意义相反的两种量，高于平均成绩记作正数，低于平均成绩记为负；用平均成绩－0.04米，求出欢欢的跳远成绩，再进行比较，即可解答。 【详解】1.62－0.04＝1.58（米） 六年级3班女生的立定跳远的平均成绩为1.62米，超过平均成绩记为正数，低于平均成绩记为负数，欢欢的跳远成绩记作﹣0.04米，则欢欢的跳远成绩是1.58米。 原题干说法正确。 故答案为：√ 26．得益于南水北调，引黄入冀等工程，现在白洋淀的水位已经保持稳定。某水文站工作人员持续5天对白洋淀水位进行了5次检测，记录数据为7.05米、6.95米、7.1米、7.0米、6.9米。 (1)计算这5天白洋淀的水位的平均高度。 (2)用正数、负数和0表示出5天白洋淀水位的高度和平均高度相比的结果。 水位高度（米） 7.05 6.95 7.1 7.0 6.9 与平均水位高度相比（米） ﹢0.05 【答案】(1)米 (2)﹣0.05；﹢0.1；0；﹣0.1 【分析】根据平均数的意义，将次检测的水位高度数据相加求出总和，再除以检测次数，即可得到平均水位高度。 以平均水位高度为标准，高于平均水位的记为正数，低于平均水位的记为负数，等于平均水位的记为。所以用每次检测的水位高度和平均水位高度做差，根据计算结果填写表格。注意正数前要加“﹢”号，与题干示例保持一致。 【详解】（1）（1）计算5天白洋淀水位的平均高度： （米） 答：这5天白洋淀的水位的平均高度为米。 （2）（2）计算各天水位高度与平均高度的差值： （米） （米） （米） （米） 填表如下： 水位高度（米） 7.05 6.95 7.1 7.0 6.9 与平均水位高度相比（米） ﹢0.05 ﹣0.05 ﹢0.1 0 ﹣0.1 27．直播当天还推出了三种辰溪的特色美食酸萝卜、粉糍粑、腊肉。原计划每种食品售出50份，实际售出情况如下表。（超出的份数记作正，不足的份数记作负） 食品 酸萝卜 粉糍粑 腊肉 份数/份 ﹢24 ﹣12 ﹢9 单价/元 18 28 50 直播当天这3种特色美食的实际收入比原计划多多少元？ 【答案】546元 【分析】根据题意，酸萝卜售出50＋24＝74份，粉糍粑售出50－12＝38份，腊肉售出50＋9＝59份。利用“单价×数量＝总价”先分别求出三种美食各自的实际收入和原计划收入，再相加就是当天的实际总收入和原计划的总收入，最后用实际总收入减去原计划总收入。 【详解】（50＋24）×18＋（50－12）×28＋（50＋9）×50 ＝74×18＋38×28＋59×50 ＝1332＋1064＋2950 ＝5346（元） 18×50＋28×50＋50×50 ＝900＋1400＋2500 ＝4800（元） 5346－4800＝546（元） 答：直播当天这3种特色美食的实际收入比原计划多546元. 28．文旦为柚类的一种，某网店销售文旦，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文旦的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文旦销售量超过或不足计划量（千克） ﹢3 ﹣5 ﹣2 ﹢11 ﹣7 ﹢13 ﹢5 实际销售量 103 (1)将表格补充完整。 (2)第一周实际销售文旦的总质量是( )千克。 (3)若文旦售价为8元/千克，则这一周销售文旦共收入多少元？ 【答案】(1)95；98；111；93；113；105 (2)718 (3)5744元 【分析】（1）实际销售量＝计划每天销售量＋超过或不足的量。 （2）将一周的实际销售量相加；或先算总增减量，再加计划销售的总量。 （3）文旦售价×销售数量＝销售收入。 【详解】（1）100－5＝95（千克） 100－2＝98（千克） 100＋11＝111（千克） 100－7＝93（千克） 100＋13＝113（千克） 100＋5＝105（千克） 星期 一 二 三 四 五 六 日 文旦销售量超过或不足计划量（千克） ﹢3 ﹣5 ﹣2 ﹢11 ﹣7 ﹢13 ﹢5 实际销售量 103 95 98 111 93 113 105 （2）103＋95＋98＋111＋93＋113＋105＝718（千克） 或3＋11＋13＋5－5－2－7＝18（千克） 100×7＋18 ＝700＋18 ＝718（千克） （3）718×8＝5744（元） 答：这一周销售文旦共收入5744元。 29．如下图，数轴上A和B。 （1）点A表示 ，点B表示 。 （2）点C表示最小的正整数，点D表示，点E表示3，在数轴上描出点C、D、E。 （3）将该数轴上点A、B、C、D、E表示的数用“＜”连起来：（    ）＜（    ）＜（    ）＜（    ）＜（    ）。 【答案】（1）； （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）根据图可知，点A和点B在1和2之间，1和2之间平均分成了4份，其中的1份表示，点A位于第1个格，表示；点B位于第2格，表示； （2）点C是最小的正整数，0既不是正数，也不是负数，所以最小的正整数是1，点C表示1；点D表示，＝，即点D在2和3之间，2和3之间平均分成3份，点D位位于第2格，据此标出点D；点E表示，即点E在3和4之间；3和4之间平均分成5份，点E位于第2格，据此标出点E。 （3）根据数轴上右边的数总是大于左边的数，据此解答。 【详解】（1）点A表示，点B表示。 （2）如图： （3）1＜＜＜＜ 数轴上点A、B、C、D、E表示的数用“＜”连起来：1＜＜＜＜。 30．下面是李老师今年8月份收入和支出情况记录表。 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 ﹢2400 ﹣88 ﹣120 ﹣320 ﹢450 ﹢100 ﹣800 （1）李老师8月份一共收入多少钱？ （2）李老师这个月一共支出多少钱？ （3）李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？（得数保留一位小数） 【答案】（1）2950元；（2）1328元；（3）45.0% 【分析】依据正负数的实际含义，表格中所有的正数表示收入多少元，负数表示支出多少元，也就是正号表示收入，负号表示支出。 （1）将所有的正数相加即可求出李老师收入多少钱； （2）将所有的负数去掉符号相加，即可求出李老师支出多少钱； （3）用总支出除以总收入即可求出李老师这个月的总支出占总收入的百分之几。 【详解】（1）2400＋450＋100 ＝2850＋100 ＝2950（元） 答：李老师8月份一共收入2950元。 （2）88＋120＋320＋800 ＝208＋320＋800 ＝528＋800 ＝1328（元） 答：李老师这个月一共支出1328元。 （3）1328÷2950×100% ≈0.450×100% ＝45.0% 答：李老师这个月的总支出占总收入的45.0%。 31．下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早，如同一时刻，北京为7时，则东京为8时） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 ﹣13 ﹣7 ﹢1 ﹣14 （1）北京时间2017年5月1日7：00，此时纽约时间是多少？ （2）小明在北京时间9：00想给远在巴黎的叔叔打电话，你认为合适吗？为什么？ 【答案】（1）2017年4月30日18：00 （2）不合适；见详解 【分析】根据正负数的意义可知，如果带正号的数表示同一时刻比北京时间早，那么带负号的数表示同一时刻比北京时间晚。 （1）已知纽约与北京的时差是“﹣13”，那么用北京时间2017年5月1日7：00减去13小时，即是此时纽约时间。 （2）已知巴黎与北京的时差是“﹣7”，那么用北京时间9：00减去7小时，即是此时巴黎的时间，再确定这个时间打电话是否适合。 【详解】（1）0时至7时，经过7小时； 13－7＝6（小时） 24时－6小时＝18时 即2017年4月30日18：00。 答：此时纽约时间是2017年4月30日18：00。 （2）9时－7时＝2时 答：不合适。因为此时正是巴黎深夜2：00。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01：负数 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、 负数的“前世今生”与核心定义 1. 为什么要学负数？（产生背景） 生活需求：在现实生活中，我们经常遇到具有相反意义的量（如：零上与零下、收入与支出、向东与向西）。仅用以前学过的自然数、分数和小数无法区分方向或性质，因此引入了负数。 历史小知识：中国是世界上最早认识和使用负数的国家。早在2000多年前的《九章算术》中就有记载，三国时期的刘徽提出了“正算赤，负算黑”（用红色算筹表示正数，黑色表示负数）。 2. 核心概念三要素 正数： 定义：大于0的数。 形式：像 、 、 、 这样的数。 注意：正数前面的“ ”号可以省略，也可以写上。写上读作“正”，省略不读。 负数： 定义：小于0的数。 形式：在正数前面加上“ ”号，如 、 、 、 。 注意：负数前面的“ ”号绝对不能省略，否则就变成了正数。读作“负”。 0的特殊地位（考点之王）： 0既不是正数，也不是负数。 0是正数和负数的分界点。 0不仅表示“没有”，还可以表示一个确定的量（例如：0℃表示淡水结冰的温度，海平面高度记为0米）。 二、 正负数的读写与规范 类别 书写规则 读法规则 示例 正数 “ ”可写可不写 有“ ”读“正”，无“ ”直接读数 读作：正五 读作：五 负数 “ ”必须写 必须读作“负” 读作：负八 零 写作 0 读作 零 0 读作：零 ⚠️ 避坑指南： 不要把 写成 。 不要说“0是正数”或“0是负数”。 三、 正负数的实际应用（解题模型） 1. 核心逻辑：相反意义的量 如果规定向东走为正，那么向西走就是负。 如果规定收入为正，那么支出就是负。 如果规定上升为正，那么下降就是负。 2. 常见场景速查表 温度：零上 记作 ；零下 记作 。 海拔：珠穆朗玛峰高于海平面 米，记作 米；吐鲁番盆地低于海平面 米，记作 米。 财务：存折上存入 元记作 ；支出 元记作 。 误差：饼干标准净重 克，记作 。实际重 克记作 克；实际重 克记作 克。 3. 解题三步法 找基准：先找到题目中的“0”在哪里（如：标准体重、警戒水位、平均分）。 定方向：题目规定了哪个方向是正（通常“多、高、上、进”为正）。 标符号：超过基准记为正，不足基准记为负。 四、 数轴（数形结合的工具） 1. 数轴的三要素（缺一不可） 原点：表示 的点。 正方向：通常规定向右为正方向（画箭头）。 单位长度：选取适当的长度作为单位，且刻度要均匀。 2. 数轴上的规律 位置分布：负数在 的左边，正数在 的右边。 大小比较：越往右越大，越往左越小。 正数 负数 两个负数比较：数字部分大的反而小（例如 ，因为 在更左边，离 更远）。 3. 动态移动问题（高频难点） 口诀： “右加左减” 。 模型：一个点从数轴上某点出发，向右移动 个单位，再向左移动 个单位。 公式：终点数 = 起点数 + 向右距离 - 向左距离。 例题：点 从 出发，向右移 格，再向左移 格。 计算： 。所以终点是 。 五、 易错题与陷阱大揭秘 1. 概念混淆 错：带“ ”号的是正数，带“ ”号的是负数。（注意： 这种初中才学，小学阶段暂不涉及，但要知道 不带符号却不是正负数）。 错： 表示没有温度。（正解： 是一个具体的温度值，是水结冰的温度）。 2. 比较大小 陷阱：比较 和 的大小。 错误思维： ，所以 。 正确思维：负数看绝对值（即数字本身），数字越大，数值越小（越冷、越深）。所以 。 3. 距离问题 问题： 和 之间相距多少个单位长度？ 方法：大数减小数，或者数格子。 计算： 个单位长度。 第二部分 典型例题 【例题1】在带箭头的直线上，，1，﹣0.25，﹣0.3，这些数中，离0最近的是（    ）。 A． B．1 C． －0.25 D． －0.3 【例题2】已知甲地区冬天的最低气温是﹣17℃，乙地区的最低气温是6℃，那么甲、乙两地区冬天最低气温相差( )℃。 【例题3】某车间计划本周一至周五每日生产100个零件，由于工人熟练程度不同，实际每天产量与计划对比如下表（超过100个记为正，不足100个记为负） 星期 一 二 三 四 五 与计划产量相比（个） ﹢10 ﹣8 ﹢5 ﹣2 ﹢9 （1）该车间在星期________生产的零件最多，生产了________个。 （2）这五天的实际产量比计划产量多还是少？相差多少？ 【例题4】跳绳是我们学校的特色运动项目。体育课上，同学们进行了“1分钟跳绳比赛”测试，下表是第一组同学的成绩记录单。 姓名 成绩/下 记作/下 黎明 149 王军 158 刘芳 李良 （1）李良的成绩既不能记作正数，也不能记作负数。请你根据已有信息，把表格补充完整。 （2）把黎明、刘芳跳绳数量在数轴上表示出来。 黎明比刘芳少跳（    ）下。 你的思路是：____________________________________________________________。 【例题5】下面是刘老师今年4月份的收入和支出的记录。 4月10日收到工资3790元，4月13日交电话费88元，4月15日交水电费122元，4月26日收到稿费450元，4月30日收到加班费200元，4月份伙食费合计900元。 （1）根据以上信息，填写下表。 项目 工资 电话费 水电费 稿费 加班费 伙食费 收支金额/元 ﹢3790 ﹣88 ﹣122 （    ） （    ） （    ） （2）刘老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 【例题6】下面是小红妈妈2022年2月2日至2月7日的微信账单情况。 2月2日9：40 扫二维码付款﹣20.00元 2月3日10：28 转账﹢1200.00元 2月4日12：30 微信红包﹣0.90元 2月5日8：50 微信红包﹣0.88元 2月6日9：20 微信红包﹢88.80元 2月7日11：05 转账﹣1000.00元 如果正数表示收入，负数表示支出，那么小红妈妈2月份这6天总收入和总支出分别多少钱？收入多还是支出多？ 第三部分 高频真题 1．大于﹣3且小于﹢2的整数有（    ）个。 A．4 B．5 C．6 D．无数 2．人体正常体温平均为36℃～37℃，如果我们把人体体温标准定在36.5℃，37℃可以记作﹢0.5℃，那么35.6℃可以记作（    ）。 A． ﹣0.9℃ B．﹢35.6℃ C． ﹣0.4℃ D．0.9℃ 3．某天上午10时的温度是4℃，到了晚上12时温度下降了10℃，这天晚上12时的温度是（    ）。 A．10℃ B．14℃ C．﹣6℃ D．6℃ 4．某办公室的桶装水标注“净含量18.9升±1%”，实际每桶水的最低容量是（    ）毫升。 A．18711 B．18720 C．18900 D．19000 5．下列两数比较大小，正确的是（    ）。 A．1＜﹣2 B． C． D． 6．如图所示，在数轴上点P的位置被一滴墨水遮挡了，那么请估计数轴上点P表示的数是（    ）。 A．﹣2.6 B．2.6 C．﹣1.4 D．1.4 7．手机移动支付给生活带来了便捷，如图是黄老师2024年10月25日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），黄老师当天微信收支的最终结果是（    ）。 A．收入21元 B．收入4元 C．支出5元 D．支出12元 8．生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是（    ）。 A． B． C． D． 9．六（1）班本学期平均每人读课外书8本，文锋读了13本，记作﹢5本。那么肖弘读的本数记作﹢9本，则表示肖弘读了（    ）本。 A．1 B．9 C．14 D．17 10．如图所示，对于点A所表示的温度，下列说法中，不正确的一项是（    ）。 A．低于0℃ B．高于﹣1℃ C．高于﹣3℃ D．可能是﹣2℃ 11．某班学生在一次“一分钟跳绳”练习中，平均成绩158下，如果把它记作0下，超过的记作正数，低于的记作负数。周涛跳了173个记作( )下，赵明跳的记作﹣9下，赵明跳了( )下。 12．北京时间是14时，此时巴黎时间为21时，东京时间为13时。若比北京时间早记为“﹢”，比北京时间晚则记为“﹣”，则巴黎时间记为( )时，东京时间记为( )时。 13．在0，11，﹣17，4.3，﹣10，0.38中，( )是质数；( )是小数；( )是整数；( )是正数；( )是负数。( )既不是正数也不是负数。 14．如图，从A点出发，先向右移动7个单位长度，再向左移动3个单位长度到达B点，B点对应的数为( )，它与A点对应的数相差( )。 15．科学课上，同学们做养蚕实验时，发现蚕卵孵化出的蚕宝宝以桑叶为食。如图，一只蚕宝宝吃完O点处的桑叶，向东爬行1cm，记作﹢1cm，若从O点出发，记作﹣0.5cm，表示这只蚕宝宝( )。 16．嫦娥六号在北京时间2024年6月2日成功着陆月球背面，设定着陆点的海拔高度为0米。如果探测器在着陆点上方5.06米处进行某项操作，记作﹢5.06米，那么着陆点下方米处进行另一项操作，应记作( )米，读作( )米。 17．5、﹣6.5、、0、中，负数有( )，正数有( )。 18．在一次数学测试中，六（1）班的平均分是82分，如果把高于平均分的分数记为正数，低于平均分的分数记为负数，小明得了99分，应记为( )分；小红的成绩记为﹣2分，她实际得了( )分。 19．一种瓶装矿泉水标注的容量是550mL，在抽查中测得实际容量超出了3mL，记作﹢3mL，那么﹣2mL表示( )。如果一种矿泉水瓶上标有“”字样的说明，表示( )。 20．在一次体检中，全班同学的平均体重是32kg，如果把平均体重记作0kg，超过平均体重的记作正数，低于的记作负数。辰辰体重37kg应记作( )kg；娅娅体重记作﹣3kg，她的实际体重是( )kg。 21．温度计上显示的表示没有温度。( ) 22．在带箭头的直线上，﹣1在﹣6的右边。( ) 23．正数和0都大于负数。( ) 24．某日，甲地最低气温﹣26℃，乙地最低气温﹣22℃，甲地比乙地冷。( ) 25．六年级3班女生的立定跳远的平均成绩为1.62米，超过平均成绩记为正数，低于平均成绩记为负数，欢欢的跳远成绩记作﹣0.04米，则欢欢的跳远成绩是1.58米。( ) 26．得益于南水北调，引黄入冀等工程，现在白洋淀的水位已经保持稳定。某水文站工作人员持续5天对白洋淀水位进行了5次检测，记录数据为7.05米、6.95米、7.1米、7.0米、6.9米。 (1)计算这5天白洋淀的水位的平均高度。 (2)用正数、负数和0表示出5天白洋淀水位的高度和平均高度相比的结果。 水位高度（米） 7.05 6.95 7.1 7.0 6.9 与平均水位高度相比（米） ﹢0.05 水位高度（米） 7.05 6.95 7.1 7.0 6.9 与平均水位高度相比（米） ﹢0.05 ﹣0.05 ﹢0.1 0 ﹣0.1 27．直播当天还推出了三种辰溪的特色美食酸萝卜、粉糍粑、腊肉。原计划每种食品售出50份，实际售出情况如下表。（超出的份数记作正，不足的份数记作负） 食品 酸萝卜 粉糍粑 腊肉 份数/份 ﹢24 ﹣12 ﹢9 单价/元 18 28 50 直播当天这3种特色美食的实际收入比原计划多多少元？ 28．文旦为柚类的一种，某网店销售文旦，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文旦的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文旦销售量超过或不足计划量（千克） ﹢3 ﹣5 ﹣2 ﹢11 ﹣7 ﹢13 ﹢5 实际销售量 103 (1)将表格补充完整。 (2)第一周实际销售文旦的总质量是( )千克。 (3)若文旦售价为8元/千克，则这一周销售文旦共收入多少元？ 29．如下图，数轴上A和B。 （1）点A表示 ，点B表示 。 （2）点C表示最小的正整数，点D表示，点E表示3，在数轴上描出点C、D、E。 （3）将该数轴上点A、B、C、D、E表示的数用“＜”连起来：（    ）＜（    ）＜（    ）＜（    ）＜（    ）。 30．下面是李老师今年8月份收入和支出情况记录表。 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 ﹢2400 ﹣88 ﹣120 ﹣320 ﹢450 ﹢100 ﹣800 （1）李老师8月份一共收入多少钱？ （2）李老师这个月一共支出多少钱？ （3）李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？（得数保留一位小数） 31．下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早，如同一时刻，北京为7时，则东京为8时） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 ﹣13 ﹣7 ﹢1 ﹣14 （1）北京时间2017年5月1日7：00，此时纽约时间是多少？ （2）小明在北京时间9：00想给远在巴黎的叔叔打电话，你认为合适吗？为什么？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $