专题07：圆锥 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学六年级下册

专题07：圆锥 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、圆锥的定义与形成 1.几何定义： 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度形成的曲面所围成的几何体 也可定义为：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形 2.形成过程： 将直角三角形绕直角边快速旋转，会形成圆锥 关键点：贴在旋转轴上的直角边成为圆锥的高，另一条直角边成为圆锥的底面半径 二、圆锥的基本特征 1.组成部分： 底面：1个圆形底面 侧面：1个曲面，展开后为扇形 顶点：1个顶点（圆锥的尖端） 母线：从顶点到底面圆周上任意一点的线段，有无数条母线 2.高度特征： 圆锥的高：从顶点到底面圆心的垂直距离，圆锥只有1条高 易错点：圆锥的母线（顶点到底面圆周的线段）不是高，母线长度大于高 3.测量方法： 遵循"两平一竖"原则： 将圆锥底面放平 用平板水平压在顶点上 用直尺竖直测量平板与底面距离 三、圆锥的计算公式 1.体积公式： 核心公式： 推原理：通过实验发现，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的 关键提醒：计算时必须乘以 ，这是最常见的易错点 2.表面积计算： 底面积： 侧面积： （其中 为母线长） 总表面积： 重要提示：侧面积展开图的半径是母线长，不是底面半径 3.母线长计算： 通过勾股定理： 其中 为底面半径， 为圆锥高 四、圆锥与圆柱的对比 1.相同点： 底面都是圆形 都属于旋转体 都有高的概念 体积计算都涉及底面积和高 2.关键区别： 3.体积关系： 等底等高时：圆柱体积 = 3 × 圆锥体积 等体积等高时：圆锥底面积 = 3 × 圆柱底面积 等体积等底时：圆锥高 = 3 × 圆柱高 五、常见易错点 1.体积计算： 忘记乘以 ：圆锥体积必须是等底等高圆柱体积的 混淆前提条件：只有等底等高时，体积才有3倍关系 2.几何概念： 误将母线当作高：高是顶点到圆心的距离，不是到圆周 认为圆锥有无数条高：实际上只有1条高 3.展开图理解： 误以为圆锥侧面展开图是半圆：实际是扇形，半圆只是特殊情况 混淆母线长与底面半径：展开图的半径是母线长 六、实际应用技巧 1.排水法求体积： 不规则物体体积 = 容器中水面上升/下降的体积 = 适用于圆锥形物体体积的间接测量 2.削切问题： 将圆柱削成最大圆锥：该圆锥与圆柱等底等高 削去部分体积 = 圆柱体积 - 圆锥体积 = 圆柱体积 3.生活实例： 圆锥形物体：圣诞帽、漏斗、铅锤、沙堆等 通过观察生活中的圆锥形物体，加深对几何特征的理解 第二部分 典型例题 【例题1】蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居（如图）。它是由一个圆柱和一个圆锥组成的，它的圆柱形部分的底面周长是25.12米。这个蒙古包占了多少立方米的空间？（结果保留整数） 【答案】 121立方米 【分析】蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱体积＝，圆锥体积＝，已知圆柱形底面周长，且圆柱、圆锥的底面相同，根据半径＝周长÷，据此可计算得出蒙古包体积，再运用“四舍五入”法则得到整数。 【详解】根据题意得：圆柱、圆锥半径为25.12÷3.14÷2＝4（米），则蒙古包体积为： （立方米） 答：这个蒙古包占了121立方米的空间。 【例题2】一个圆柱形玻璃缸的底面半径是10厘米，如图缸内盛有水，现将一个圆锥形铁块放入缸中。已知圆锥形铁块的底面半径是5厘米，高是12厘米，水会溢出吗？ 【答案】不会 【分析】需要分别算出圆锥的体积和圆柱玻璃缸剩余的容积（即还能容纳的体积），然后比较两者大小，若圆锥的体积小于等于剩余容积，水不会溢出；反之则会溢出。涉及的公式有圆锥体积公式，圆柱体积公式。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） 314立方厘米＜628立方厘米 答：水不会溢出。 【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积计算。解题关键是准确运用圆柱和圆锥的体积公式进行计算。 【例题3】为测得一个圆锥形零件的体积，元元将零件投入一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，水面上升（如图）。（数据由容器内部测得） （1）圆锥形零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果圆锥形零件的高为10厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）628立方厘米 （2）188.4平方厘米 【分析】（1）圆锥形零件投入圆柱容器中使水面上升，则上升水的体积等于圆锥形零件的体积。已知圆柱容器底面直径20厘米，用直径长度除以2计算出半径长度，水面上升高度为12－10＝2厘米；然后根据圆柱的体积（容积）公式计算出上升水的体积，即为圆锥形零件的体积。 （2）由（1）可知圆锥形零件的体积，又已知圆锥形零件的高为10厘米，根据“圆锥的体积＝×底面积×高”可得“圆锥的底面积＝体积×3÷高”，用该圆锥形零件的体积乘3除以高即为它的底面积。 【详解】（1）20÷2＝10（厘米） 3.14×102×（12－10） ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方厘米） 答：圆锥形零件的体积是628立方厘米。 （2）628×3÷10 ＝1884÷10 ＝188.4（平方厘米） 答：这个零件的底面积是188.4平方厘米。 【例题4】如图，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色的水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分。圆锥内的水漏完需要多长时间？此时圆柱里水的高度是多少？ 【答案】36分；2厘米 【分析】根据圆锥体积公式V＝πr2h，求出水的体积，水的体积÷水的流速＝水漏完需要的时间； 已知圆柱与圆锥等体积等底面积，那么圆锥的高是圆柱高的3倍，用圆锥的高除以3，即可求出圆柱里水的高度。 【详解】×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（立方厘米） 56.52÷1.57＝36（分） 6÷3＝2（厘米） 答：圆锥内的水漏完需要36分，此时圆柱里水的高度是2厘米。 【例题5】沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的体积来计算时间的。下图展示了一个沙漏记录时间的情况，此时沙漏下部沙子的体积是28.26cm3。 （1）现在沙漏上部沙子的体积是多少cm3？ （2）如果再过1分钟，沙漏上部的沙子可以全部漏到下部，那么现在下部的沙子已经计量了多少分钟？ 【答案】（1）3.14 cm3 （2）9分钟 【分析】（1）沙漏上部沙子的形状为圆锥，直接利用圆锥的体积公式计算圆锥的体积即可； （2）由第（1）问可知，1分钟沙漏下落的沙子体积，现在下部沙子的体积是28.26cm3，问已经计量了多少分钟，只需看28.26里面，有多少个1分钟下落的体积。 【详解】（1） （cm3） 答：现在沙漏上部沙子的体积是3.14 cm3。 （2）28.26÷3.14×1 ＝9×1 ＝9（分钟） 答：现在下部的沙子已经计量了9分钟。 【点睛】本题主要考查圆锥体积的计算，熟练掌握圆锥的体积公式是解决此题的关键。 第三部分 高频真题 1．一个高是18cm的圆锥形容器里盛满水，然后将水倒入和它等底的圆柱形量杯里，这时水的高度是（    ）cm。 A．6 B．18 C．36 D．54 【答案】A 【分析】根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的。把圆锥容器盛满水，倒入和它等底的圆柱形量杯里，也就是圆锥与圆柱等底等体积，所以圆柱的高是圆锥高的，由此解答。 【详解】 所以这时水的高度是。 2．一个圆柱的体积和底面积分别与一个圆锥的体积和底面积相等，圆锥的高是，圆柱的高是（    ）cm。 A．8 B．12 C．24 D．72 【答案】A 【分析】根据圆柱的体积：，圆锥的体积：，因为圆柱和圆锥的体积和底面积相等，，两边约掉底面积，，所以等体积等底面积圆锥的高是圆柱高的3倍。 【详解】（cm） 即圆柱的高是8cm。 3．把一支新的圆柱形铅笔削尖，笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的（    ）。 A． B． C．2倍 D．3倍 【答案】B 【分析】等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍。把圆锥体积看成1份，圆柱体积就是3份，削去部分体积是3－1＝2份。用笔尖（圆锥）份数除以削去部分的份数即可。 【详解】1÷（3－1） ＝1÷2 ＝ 笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的。 4．一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆柱的底面半径是圆锥底面半径的，则圆柱和圆锥的体积比是（    ）。 A．1∶1 B．1∶9 C．1∶3 D．3∶1 【答案】C 【分析】设圆柱和圆锥的高为h，圆锥的底面半径为r，则圆柱的底面半径为r。据此代入圆柱体积公式V＝πr2h，圆锥的体积V＝πr2h中，分别推导出它们体积关系式，再根据比的意义写出体积比，并利用比的基本性质化成最简整数比。 【详解】设圆柱和圆锥的高为h，圆锥的底面半径为r，则圆柱的底面半径为r。 圆柱的体积为：π×（r）2×h＝π×r2×h＝πr2h。 圆锥的体积为：×π×r2×h＝πr2h。 圆柱的体积∶圆锥的体积 ＝πr2h∶πr2h ＝（πr2h÷πr2h）∶（πr2h÷πr2h） ＝∶ ＝（×9）∶（×9） ＝1∶3 5．把一个圆柱形木块削成最大的圆锥后，体积减少了4.8立方分米，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．2.4 B．1.6 C．7.2 D．9.6 【答案】A 【分析】当把圆柱削成最大的圆锥时，这个圆锥与原来圆柱是等底等高的。等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积就是这样的3份，3－1＝2，则削去部分的体积是2份，2÷1＝2，即削去部分的体积是圆锥体积的2倍。已知削去部分体积是4.8立方分米，而削去部分体积是圆锥体积的2倍，所以圆锥体积为4.8÷2＝2.4（立方分米）。 【详解】3－1＝2 2÷1＝2 4.8÷2＝2.4（立方分米） 即圆锥的体积是2.4立方分米。 故答案为：A 6．花匠赵伯伯订购了一些沙子建造花园围墙。从卡车上倒出的沙子形成了一个圆锥形沙堆，其底面积是28.26m2，高是2m。用一辆小推车将这堆沙子运到花园，已知这辆小推车每次最多可运2m3沙子，这辆小推车至少要运（    ）次才能把这堆沙子全部运完。 A．29 B．28 C．10 D．9 【答案】C 【分析】圆锥的体积公式为V＝Sh（S是底面积，h是高）。圆锥形沙堆的底面积是28.26m2，高是2m，将其代入公式可得：×28.26×2＝9.42×2＝18.84m3。小推车每次最多可运2m3沙子，用18.84除以2即可得出运输次数。 【详解】×28.26×2 ＝9.42×2 ＝18.84（m3） 18.84÷2＝9.42（次） 由于次数必须为整数，且要全部运完，所以需要向上取整，即至少要运10次。 故答案为：C 7．两个大小相同的量杯中都盛有水。现将两个等底等高的圆柱和圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度是，则乙量杯中水面刻度是（    ）mL。（零件均完全淹没水中） A．40 B．120 C．240 D．280 【答案】C 【分析】量杯中原有200mL水，放入圆柱零件后，水面刻度变为320mL。因为零件完全淹没水中，所以水面上升的体积就是圆柱零件的体积。根据体积差可得圆柱放入量杯后的容积为320－200＝120mL。根据圆柱和圆锥的体积关系：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，已知圆柱放入量杯后的容积为120mL，所以圆锥放入量杯后的容积为×120＝40mL。乙量杯原有200mL水，放入圆锥零件后，再加上40mL就是乙量杯此时的刻度。 【详解】320－200＝120（mL） ×120＝40（mL） 200＋40＝240（mL） 圆锥零件放入量杯后，乙量杯中水面刻度是240mL。 故答案为：C 8．如图，圆锥形容器内装满了水，把这些水倒入（    ）圆柱形玻璃容器中正好装满。（容器厚度忽略不计，单位：厘米） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥体积和圆柱体积公式来计算。圆锥体积公式为V＝，r＝（其中r为底面半径，d是底面直径，h为高），圆柱体积公式为V＝，所以要判断圆锥形容器里的水倒入哪个圆柱形容器正好装满，需要比较它们的体积大小。 【详解】已知圆锥底面直径是16cm，则半径为16÷2＝8cm，高为30cm，由V＝可得题中圆锥的体积为V＝。 A．根据圆柱体的体积公式V＝，可得圆柱体的体积为V＝。与题中圆锥体积相等。 B．根据圆柱体的体积公式V＝，可得圆柱体的体积为V＝。 C．根据圆柱体的体积公式V＝，可得圆柱体的体积为V＝。 D．根据圆柱体的体积公式V＝，可得圆柱体的体积为V＝。 故答案为：A 9．小天拿了等底等高的圆锥和圆柱形容器各一个，他将圆柱形容器装满水后倒入圆锥形容器。倒满圆锥形容器后发现，圆柱形容器内还剩48.6毫升水。这时，圆锥形容器内有水（    ）毫升。 A．16.2 B．24.3 C．48.6 D．145.8 【答案】B 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍。把圆锥的体积看作1倍数，则圆柱的体积是3倍数，圆柱装满水后倒入圆锥，剩余水量为圆锥体积的3－1＝2倍，用圆柱形容器内还剩的水的体积除以2即可解答。 【详解】48.6÷2＝24.3（毫升） 所以这时，圆锥形容器内有水24.3毫升。 故答案为：B 10．如图是一面带有圆形和三角形窟窿的艺术墙，下面的立体图形中，（    ）既能塞住圆形窟窿，又能塞住三角形窟窿。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题是从四个立体图形选项（长方体、正方体、圆柱、圆锥 ）中，找出既能塞住圆形窟窿，又能塞住三角形窟窿的立体图形，需要我们熟悉每个立体图形不同视角下的形状特征，通过对比其形状与窟窿形状，来做出正确选择。 【详解】A．长方体无论从哪个面看，都不会是圆形或三角形，所以不能同时塞住圆形和三角形窟窿； B．正方体无论从哪个面看，都是正方形，不是圆形或三角形，无法同时塞住两种形状的窟窿； C．圆柱的底面是圆，能塞住圆形窟窿，从底面直径垂直向下看，其截面是长方形，没有三角形的面，不能塞住三角形窟窿； D．圆锥的底面是圆，可以塞住圆形窟窿；把圆锥从顶点垂直向下看，其截面是三角形，能塞住三角形窟窿 ，所以圆锥既能塞住圆形窟窿，又能塞住三角形窟窿。 故答案为：D 11．一个圆锥的体积是12.56立方分米，底面直径是4分米，它的高是( )分米，和它等底等高的圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】 3 37.68 【分析】根据圆锥底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆锥的高＝体积×3÷底面积，求出它的高；等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，直接用圆锥体积×3，即可求出等底等高的圆柱的体积。 【详解】12.56×3÷[3.14×（4÷2）2] ＝37.68÷[3.14×22] ＝37.68÷[3.14×4] ＝37.68÷12.56 ＝3（分米） 12.56×3＝37.68（立方分米） 它的高是3分米，和它等底等高的圆柱的体积是37.68立方分米。 12．一个圆锥的底面积是18平方米，高6米，它的体积是( )立方米。 【答案】36 【分析】圆锥的体积＝底面积×高×，据此代入数据列式计算即可。 【详解】18×6× ＝108× ＝36（立方米） 一个圆锥的底面积是18平方米，高6米，它的体积是36立方米。 13．在一个底面半径是10厘米的圆柱形水桶中装水，水中放一个底面半径5厘米的圆锥形铅锤，铅锤全部淹没，取出铅锤后桶面水面下降2厘米，铅锤的高是________。 【答案】24厘米/24cm 【分析】根据题意知道圆柱形水桶的水面下降的2厘米的水的体积就是圆锥形铅块的体积，由此再根据圆锥的体积公式的变形，h＝3V÷S，即可求出铅锥的高． 【详解】3.14××2×3÷（3.14×） ＝3.14×100×6÷（3.14×25） ＝314×6÷78.5 ＝1884÷78.5 ＝24（厘米） 所以铅锤的高是24厘米。 14．一个圆锥形沙堆的底面积是10m2，高是1.2m。把这堆沙均匀铺在一个底面积为20m2的长方体沙坑里，沙坑里的沙厚( )cm。 【答案】20 【分析】已知圆锥形沙堆的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，求出这堆沙的体积； 把这堆沙均匀铺在一个底面积为20m2的长方体沙坑里，根据长方体的高h＝V÷S，求出沙坑里沙的厚度。注意单位的换算：1m＝100cm。 【详解】×10×1.2＝4（m3） 4÷20＝0.2（m） 0.2m＝20cm 沙坑里的沙厚20cm。 15．如图，在容器中放入1个圆柱形铁块和3个与圆柱等底等高的圆锥形铁块，溢出了900mL水，则每个圆锥形铁块的体积是_______cm3。 【答案】150 【分析】先清楚等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。再结合本题中的溢水情况解题。在容器中放入1个圆柱形铁块和3个与圆柱等底等高的圆锥形铁块，那么溢出水的体积等于这4个铁块体积的和，就等于（3＋3）个圆锥形铁块的体积。用溢出水的重量除以（3＋3），求出每个圆锥形铁块的体积。 【详解】900÷（3＋3） ＝900÷6 ＝150（cm3） 所以每个圆锥形铁块的体积是150cm3。 16．一个圆柱的底面直径是8厘米，高是6厘米。它的体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】 301.44 100.48 【分析】已知圆柱的底面直径和高，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出它的体积； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，用圆柱的体积乘，即可求出圆锥的体积。 【详解】3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方厘米） 301.44×＝100.48（立方厘米） 它的体积是301.44立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是100.48立方厘米。 17．把一个边长分别是13厘米、12厘米、5厘米的直角三角形以12厘米的边为轴旋转一周，得到的立体图形是( )，它的体积是( )立方厘米。 【答案】 圆锥 314 【分析】根据题意可知，以直角三角形的一条直角边（12厘米）为轴旋转一周得到一个底面半径是5厘米，高是12厘米的圆锥，根据圆的面积公式：S＝πr2，圆锥的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【详解】把一个边长分别是13厘米、12厘米、5厘米的直角三角形以12厘米的边长为轴旋转一周，得到一个底面半径是5厘米，高是12厘米的圆锥。 圆锥的体积： 3.14×52×12× ＝3.14×25×12× ＝78.5×12× ＝942× ＝314（立方厘米） 所以得到的立体图形是圆锥，它的体积是314立方厘米。 18．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱和圆锥高的比是，圆柱的底面积是18平方厘米，圆锥的底面积是( )平方厘米。 【答案】36 【分析】圆柱的体积公式；圆锥的体积公式，根据题中圆柱和圆锥的体积相等即；圆柱和圆锥的高的比是2：3，设圆柱的高为2X，圆锥的高为3X即＝，求出即圆锥的底面积。 【详解】圆柱体积为： 圆锥体积为： 由题意可知：圆柱和圆锥的高的比是2：3，圆柱和圆锥的体积相等。 解：设圆柱的高为2X厘米；圆锥的高为3X厘米。 ＝ 则圆锥的底面积是36平方厘米。 一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱和圆锥高的比是，圆柱的底面积是18平方厘米，圆锥的底面积是（36 ）平方厘米。 19．李明拿了等底、等高的圆锥形和圆柱形容器各一个，他将圆柱形容器装满水后倒入空的圆锥形容器。当水全部倒完，发现从圆锥形容器内溢出36mL水，这时圆锥形容器内还有( )mL水。 【答案】18 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。假设圆锥形容器的容积为V，则圆柱形容器的容积为3V。将圆柱形容器装满水倒入圆锥形容器，倒满圆锥形容器后，圆柱形容器中倒出的水的体积为V，还剩下的水的体积为3V－V＝2V。已知从圆锥形容器内溢出36mL水，这溢出的水的体积就是2V，即2V＝36mL，那么V为36÷2＝18mL。 【详解】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，假设圆锥形容器的容积为V。 3V－V＝2V 2V＝36 36÷2＝18（mL） 所以，这时圆锥形容器内还有18mL水。 20．如图：，，把左边长方体瓶子中的椰汁倒入右边的圆锥形杯子里，最多可以倒满( )杯。 【答案】12 【分析】长方体体积＝长×宽×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此分别用字母表示出长方体瓶子和圆锥形杯子的容积，长方体瓶子的容积÷圆锥形杯子的容积＝可以倒满的杯数，计算时将，代入计算长方体瓶子容积的算式，抵消掉字母即可。 【详解】 （杯） 最多可以倒满12杯。 21．圆锥是圆柱体积的。( ) 【答案】 × 【分析】圆锥的体积公式为 ，圆柱的体积公式为 。只有当圆锥和圆柱的底面半径 相等且高 相等时，圆锥的体积才是圆柱体积的 。题干中未说明它们等底等高，因此该说法不一定成立。 【详解】圆锥的体积等于跟它等底等高的圆柱体积的。题中没有等底等高这个限定条件，说法错误。 故答案为：× 22．如果一个圆锥形冰淇淋的体积是一个圆柱形冰淇淋体积的，那么这两个冰淇淋一定等底等高。( ) 【答案】× 【分析】圆锥的体积是与其等底等高的圆柱的体积的，但底面积和高可以有不同的组合，两者体积满足的关系，底面积和高不一定相等。 【详解】假设有一个底面积是2，高是3的圆柱体，圆柱的体积＝底面积×高，则该圆柱体的体积＝3×2＝6，那么体积是其的圆锥的体积＝6×＝2。满足该条件的圆锥有： ①底面积＝2，高＝3； ②底面积＝3，高＝2； ③底面积＝6，高＝1； ④底面积＝1，高＝6。 在第二、三、四种情况中，圆锥与圆柱的底面积与高均不相等，但体积关系仍然成立。因此，原命题不成立。 故答案为：× 23．一个圆柱和圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高为4厘米，则圆锥的高为12厘米。( ) 【答案】√ 【分析】圆柱的体积计算公式为：；圆锥的体积计算公式为： 。本题中圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等，需要利用这两个公式，通过假设底面积为具体数值，计算圆锥的高，判断题干是否正确。 【详解】假设它们的底面积都是1平方厘米。 圆柱体积： ＝1×4＝4（立方厘米） 圆锥体积： ，即4＝ （厘米） 因此，题干说法正确。 故答案为：√ 24．、、、中，有3个圆柱和1个圆锥。( ) 【答案】× 【分析】圆锥的特征，圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，圆锥的侧面展开图是扇形； 圆柱的特征：圆柱的上、下底面是相等的圆，侧面是一个曲面。圆柱侧面沿高展开是长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。据此判断即可；结合题意分析解答即可。 【详解】 是圆柱； 不是圆柱也不是圆锥； 是圆锥； 是圆柱； 四个图形中有2个圆柱，一个圆锥；原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的特征，结合题意分析解答即可。 25．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm，4cm，分别以两条直角边为轴将这个三角形旋转一周，得到的两个圆锥的体积相等。( ) 【答案】× 【分析】若以3cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥；若以4cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为3cm，高为4cm的圆锥，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算求出两个圆锥的体积，再进行对比即可。 【详解】若以3cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥。 ×3.14×42×3 ＝×3.14×16×3 ＝×3×3.14×16 ＝1×3.14×16 ＝3.14×16 ＝50.24（cm3） 若以4cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为3cm，高为4cm的圆锥。 ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝×9×3.14×4 ＝3×3.14×4 ＝9.42×4 ＝37.68（cm3） 则分别以两条直角边为轴将这个三角形旋转一周，得到的两个圆锥的体积不相等。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。 26．求下面图形的体积。 【答案】15.7m3 【分析】观察图形可知，组合体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】2÷2＝1（m） 3.14×12×4＋×3.14×12×3 ＝3.14×1×4＋×3.14×1×3 ＝12.56＋3.14 ＝15.7（m3） 27．求出下面图形的体积。 【答案】226.08 【分析】由图形可知，圆锥的底面圆直径是12cm，那么半径是12除以2，也就是6cm，高是6cm，圆锥的体积＝，把数据代入公式计算即可。 【详解】 ＝12×6×3.14 ＝72×3.14 ＝226.08（cm3） 圆锥的体积是226.08cm3。 28．求下面立体图形的体积。 【答案】100.48cm3；2857.4cm3 【分析】①首先根据直径求出半径，再根据圆锥的体积＝π代入数据即可求出立体图形体积。 ②先求出立体图形底面大圆和小圆的半径，再根据圆柱的体积＝π分别求出外面大圆柱和里面小圆柱的体积，最后用外面大圆柱的体积减去里面小圆柱的体积即可求出立体图形的体积。 【详解】①半径：8÷2＝4（cm） ＝ ＝3.14×16×2 ＝100.48（cm3） ②大圆半径：20÷2＝10（cm） 小圆半径：6÷2＝3（cm） 3.14××10－3.14××10 ＝3.14×100×10－3.14×9×10 ＝3140－282.6 ＝2857.4（cm3） 29．如图，将一个底面直径都为8厘米的圆柱和一个圆锥粘合成陀螺，表面积减少了多少平方厘米？这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【答案】100.48平方厘米；401.92立方厘米 【分析】圆柱和圆锥粘合在一起，重合的两个底面会被遮住，所以表面积减少的部分就是2个圆的面积。陀螺的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，先分别算出圆柱和圆锥的高，再用体积公式计算。 【详解】8÷2＝4（厘米） 一个底面的面积：3.14×4×4＝50.24（平方厘米） 减少的表面积：50.24×2＝100.48（平方厘米） 陀螺的体积：50.24×6＋50.24×（12－6）÷3 ＝50.24×6＋50.24×2 ＝50.24×（6＋2） ＝50.24×8 ＝401.92（立方厘米） 答：表面积减少了100.48平方厘米，这个陀螺的体积是401.92立方厘米。 30．沙堆体积：有一个圆锥形沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.5米。这个沙堆的体积是多少立方米？如果每立方米沙子重1.5吨，这堆沙子重多少吨？ 【答案】6.28立方米；9.42吨 【分析】圆锥的体积，求出圆锥的体积后，用每立方米沙子的重量乘圆锥的体积求沙子的重量。 【详解】 （立方米） 答：这个沙堆的体积是6.28立方米。 （吨） 答：这堆沙子重9.42吨。 31．李师傅要把一个棱长是9厘米的正方体木块加工成一个最大的圆锥。要削去多少木材？ 【答案】538.245立方厘米 【分析】将正方体木块加工成一个最大的圆锥，那么正方体的棱长＝圆锥的高＝圆锥的底面直径，圆锥的体积＝，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别把数据代入计算，求出圆锥和正方体的体积，削去木材的体积＝正方体体积－圆锥的体积，据此解答。 【详解】正方体的体积： 9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方厘米） 圆锥的体积： ＝3×20.25×3.14 ＝60.75×3.14 ＝190.755（立方厘米） 729－190.755＝538.245（立方厘米） 答：要削去538.245立方厘米的木材。 32．王师傅把一个高为18厘米的圆锥体沿高竖直切开成两个同样大小的半圆锥（如图），表面积之和比原来增加了360平方厘米。 (1)这个圆锥的底面直径是多少厘米？ (2)原来这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)20厘米 (2)1884立方厘米 【分析】（1）切开后表面积增加了2个等腰三角形，三角形的底＝圆锥底面直径，三角形的高＝圆锥的高，增加的表面积÷2＝一个三角形面积，三角形面积×2÷高＝底，即底面直径。 （2）圆锥体积＝底面积×高÷3。 【详解】（1）360÷2×2÷18＝20（厘米） 答：这个圆锥的底面直径是20厘米。 （2）3.14×（20÷2）2×18÷3 ＝3.14×102×18÷3 ＝3.14×100×18÷3 ＝1884（立方厘米） 答：原来这个圆锥的体积是1884立方厘米。 33．工地里有一个圆锥形的沙堆，量得它的底面直径是6米，高1.2米，用车厢（从里面量）长6米、宽2.4米，高1.2米的自卸泥头车来装，能不能一次运完？为什么？ 【答案】能；见详解 【分析】分析题目，先根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h列式求出沙子的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高列式求出车一次可以运多少沙子，最后和沙子的体积进行比较，若大于或等于沙子的体积，则可以一次运完，反之则不能。 【详解】3.14×（6÷2）2×1.2× ＝3.14×32×1.2× ＝3.14×9×1.2× ＝28.26×1.2× ＝33.912× ＝11.304（立方米） 6×2.4×1.2 ＝14.4×1.2 ＝17.28（立方米） 11.304＜17.28 答：能一次运完。因为一次可以运送17.28立方米的沙子，而需要运送的沙子只有11.304立方米，所以能一次运完。 34．某工地有一堆圆锥形细沙，其底面半径1米，高0.6米，若每立方米细沙重1.5吨，这堆细沙重多少吨？ 【答案】0.942吨 【分析】圆锥的体积＝πr2h，据此代入数据列式求出细沙的体积，再用细沙的体积乘每立方米细沙的质量即可解答。 【详解】3.14×12×0.6××1.5 ＝3.14×1×0.6××1.5 ＝3.14×0.6××1.5 ＝1.884××1.5 ＝0.628×1.5 ＝0.942（吨） 答：这堆细沙重0.942吨。 35．一个圆锥形麦堆，底面直径是2米，高是0.6米，每立方米小麦重500千克。如果把这些小麦加工成面粉，小麦的出粉率是80%，可以加工出面粉多少千克？ 【答案】251.2千克 【分析】圆锥形麦堆，底面直径是2米，那么底面半径为2÷2＝1米，高是0.6米，根据圆锥体积公式为：V＝πr2h（r是底面半径，h是高，π取3.14）。把数据代入公式得：×3.14×12×0.6＝0.628（立方米）。 已知每立方米小麦重500千克，用麦堆体积乘单位体积小麦质量，得总质量为：500×0.628＝314（千克）。出粉率是面粉质量占小麦总质量的百分比，公式为：面粉质量＝小麦总质量×出粉率。已知出粉率是80%，把数据代入公式计算即可。 【详解】2÷2＝1（米） ×3.14×12×0.6 ＝×3.14×1×0.6 ＝0.2×3.14×1 ＝0.628×1 ＝0.628（立方米） 500×0.628＝314（千克） 314×80% ＝314×0.8 ＝251.2（千克） 答：可以加工出面粉251.2千克。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07：圆锥 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、圆锥的定义与形成 1.几何定义： 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度形成的曲面所围成的几何体 也可定义为：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形 2.形成过程： 将直角三角形绕直角边快速旋转，会形成圆锥 关键点：贴在旋转轴上的直角边成为圆锥的高，另一条直角边成为圆锥的底面半径 二、圆锥的基本特征 1.组成部分： 底面：1个圆形底面 侧面：1个曲面，展开后为扇形 顶点：1个顶点（圆锥的尖端） 母线：从顶点到底面圆周上任意一点的线段，有无数条母线 2.高度特征： 圆锥的高：从顶点到底面圆心的垂直距离，圆锥只有1条高 易错点：圆锥的母线（顶点到底面圆周的线段）不是高，母线长度大于高 3.测量方法： 遵循"两平一竖"原则： 将圆锥底面放平 用平板水平压在顶点上 用直尺竖直测量平板与底面距离 三、圆锥的计算公式 1.体积公式： 核心公式： 推原理：通过实验发现，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的 关键提醒：计算时必须乘以 ，这是最常见的易错点 2.表面积计算： 底面积： 侧面积： （其中 为母线长） 总表面积： 重要提示：侧面积展开图的半径是母线长，不是底面半径 3.母线长计算： 通过勾股定理： 其中 为底面半径， 为圆锥高 四、圆锥与圆柱的对比 1.相同点： 底面都是圆形 都属于旋转体 都有高的概念 体积计算都涉及底面积和高 2.关键区别： 3.体积关系： 等底等高时：圆柱体积 = 3 × 圆锥体积 等体积等高时：圆锥底面积 = 3 × 圆柱底面积 等体积等底时：圆锥高 = 3 × 圆柱高 五、常见易错点 1.体积计算： 忘记乘以 ：圆锥体积必须是等底等高圆柱体积的 混淆前提条件：只有等底等高时，体积才有3倍关系 2.几何概念： 误将母线当作高：高是顶点到圆心的距离，不是到圆周 认为圆锥有无数条高：实际上只有1条高 3.展开图理解： 误以为圆锥侧面展开图是半圆：实际是扇形，半圆只是特殊情况 混淆母线长与底面半径：展开图的半径是母线长 六、实际应用技巧 1.排水法求体积： 不规则物体体积 = 容器中水面上升/下降的体积 = 适用于圆锥形物体体积的间接测量 2.削切问题： 将圆柱削成最大圆锥：该圆锥与圆柱等底等高 削去部分体积 = 圆柱体积 - 圆锥体积 = 圆柱体积 3.生活实例： 圆锥形物体：圣诞帽、漏斗、铅锤、沙堆等 通过观察生活中的圆锥形物体，加深对几何特征的理解 第二部分 典型例题 【例题1】蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居（如图）。它是由一个圆柱和一个圆锥组成的，它的圆柱形部分的底面周长是25.12米。这个蒙古包占了多少立方米的空间？（结果保留整数） 【例题2】一个圆柱形玻璃缸的底面半径是10厘米，如图缸内盛有水，现将一个圆锥形铁块放入缸中。已知圆锥形铁块的底面半径是5厘米，高是12厘米，水会溢出吗？ 【例题3】为测得一个圆锥形零件的体积，元元将零件投入一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，水面上升（如图）。（数据由容器内部测得） （1）圆锥形零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果圆锥形零件的高为10厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？ 【例题4】如图，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色的水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分。圆锥内的水漏完需要多长时间？此时圆柱里水的高度是多少？ 【例题5】沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的体积来计算时间的。下图展示了一个沙漏记录时间的情况，此时沙漏下部沙子的体积是28.26cm3。 （1）现在沙漏上部沙子的体积是多少cm3？ （2）如果再过1分钟，沙漏上部的沙子可以全部漏到下部，那么现在下部的沙子已经计量了多少分钟？ 第三部分 高频真题 1．一个高是18cm的圆锥形容器里盛满水，然后将水倒入和它等底的圆柱形量杯里，这时水的高度是（    ）cm。 A．6 B．18 C．36 D．54 2．一个圆柱的体积和底面积分别与一个圆锥的体积和底面积相等，圆锥的高是，圆柱的高是（    ）cm。 A．8 B．12 C．24 D．72 3．把一支新的圆柱形铅笔削尖，笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的（    ）。 A． B． C．2倍 D．3倍 4．一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆柱的底面半径是圆锥底面半径的，则圆柱和圆锥的体积比是（    ）。 A．1∶1 B．1∶9 C．1∶3 D．3∶1 5．把一个圆柱形木块削成最大的圆锥后，体积减少了4.8立方分米，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．2.4 B．1.6 C．7.2 D．9.6 6．花匠赵伯伯订购了一些沙子建造花园围墙。从卡车上倒出的沙子形成了一个圆锥形沙堆，其底面积是28.26m2，高是2m。用一辆小推车将这堆沙子运到花园，已知这辆小推车每次最多可运2m3沙子，这辆小推车至少要运（    ）次才能把这堆沙子全部运完。 A．29 B．28 C．10 D．9 7．两个大小相同的量杯中都盛有水。现将两个等底等高的圆柱和圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度是，则乙量杯中水面刻度是（    ）mL。（零件均完全淹没水中） A．40 B．120 C．240 D．280 8．如图，圆锥形容器内装满了水，把这些水倒入（    ）圆柱形玻璃容器中正好装满。（容器厚度忽略不计，单位：厘米） A． B． C． D． 9．小天拿了等底等高的圆锥和圆柱形容器各一个，他将圆柱形容器装满水后倒入圆锥形容器。倒满圆锥形容器后发现，圆柱形容器内还剩48.6毫升水。这时，圆锥形容器内有水（    ）毫升。 A．16.2 B．24.3 C．48.6 D．145.8 10．如图是一面带有圆形和三角形窟窿的艺术墙，下面的立体图形中，（    ）既能塞住圆形窟窿，又能塞住三角形窟窿。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 11．一个圆锥的体积是12.56立方分米，底面直径是4分米，它的高是( )分米，和它等底等高的圆柱的体积是( )立方分米。 12．一个圆锥的底面积是18平方米，高6米，它的体积是( )立方米。 13．在一个底面半径是10厘米的圆柱形水桶中装水，水中放一个底面半径5厘米的圆锥形铅锤，铅锤全部淹没，取出铅锤后桶面水面下降2厘米，铅锤的高是________。 14．一个圆锥形沙堆的底面积是10m2，高是1.2m。把这堆沙均匀铺在一个底面积为20m2的长方体沙坑里，沙坑里的沙厚( )cm。 15．如图，在容器中放入1个圆柱形铁块和3个与圆柱等底等高的圆锥形铁块，溢出了900mL水，则每个圆锥形铁块的体积是_______cm3。 16．一个圆柱的底面直径是8厘米，高是6厘米。它的体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。 17．把一个边长分别是13厘米、12厘米、5厘米的直角三角形以12厘米的边为轴旋转一周，得到的立体图形是( )，它的体积是( )立方厘米。 18．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱和圆锥高的比是，圆柱的底面积是18平方厘米，圆锥的底面积是( )平方厘米。 19．李明拿了等底、等高的圆锥形和圆柱形容器各一个，他将圆柱形容器装满水后倒入空的圆锥形容器。当水全部倒完，发现从圆锥形容器内溢出36mL水，这时圆锥形容器内还有( )mL水。 20．如图：，，把左边长方体瓶子中的椰汁倒入右边的圆锥形杯子里，最多可以倒满( )杯。 21．圆锥是圆柱体积的。( ) 22．如果一个圆锥形冰淇淋的体积是一个圆柱形冰淇淋体积的，那么这两个冰淇淋一定等底等高。( ) 23．一个圆柱和圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高为4厘米，则圆锥的高为12厘米。( ) 24．、、、中，有3个圆柱和1个圆锥。( ) 25．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm，4cm，分别以两条直角边为轴将这个三角形旋转一周，得到的两个圆锥的体积相等。( ) 26．求下面图形的体积。 27．求出下面图形的体积。 28．求下面立体图形的体积。 29．如图，将一个底面直径都为8厘米的圆柱和一个圆锥粘合成陀螺，表面积减少了多少平方厘米？这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 30．沙堆体积：有一个圆锥形沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.5米。这个沙堆的体积是多少立方米？如果每立方米沙子重1.5吨，这堆沙子重多少吨？ 31．李师傅要把一个棱长是9厘米的正方体木块加工成一个最大的圆锥。要削去多少木材？ 32．王师傅把一个高为18厘米的圆锥体沿高竖直切开成两个同样大小的半圆锥（如图），表面积之和比原来增加了360平方厘米。 (1)这个圆锥的底面直径是多少厘米？ (2)原来这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 33．工地里有一个圆锥形的沙堆，量得它的底面直径是6米，高1.2米，用车厢（从里面量）长6米、宽2.4米，高1.2米的自卸泥头车来装，能不能一次运完？为什么？ 34．某工地有一堆圆锥形细沙，其底面半径1米，高0.6米，若每立方米细沙重1.5吨，这堆细沙重多少吨？ 35．一个圆锥形麦堆，底面直径是2米，高是0.6米，每立方米小麦重500千克。如果把这些小麦加工成面粉，小麦的出粉率是80%，可以加工出面粉多少千克？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $