专题06：圆柱 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学六年级下册

专题06：圆柱 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、圆柱的定义与基本特征 1.定义 圆柱是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 由两个底面和一个侧面围成的立体图形，属于曲面立体图形。 2.基本特征 底面：上下两个面是大小完全相同的圆形，圆心连线垂直于底面。 侧面：围成圆柱的曲面，光滑无棱。 高：两底面之间的垂直距离，圆柱有无数条高，所有高的长度都相等。 轴：连接两底面圆心的直线，称为圆柱的轴。 3.分类 直圆柱：轴与底面垂直，侧面展开图为矩形。 斜圆柱：轴与底面不垂直，侧面展开图为平行四边形。 二、圆柱的表面积计算 1.基本公式 底面积： （ 为底面半径）。 侧面积： （ 为底面周长， 为底面直径）。 表面积： 。 2.特殊情况 无盖圆柱（如水桶）： 。 圆柱通风管（无底面）： （如烟囱、压路机）。 3.易错点 计算表面积时漏算底面或多算底面，未结合生活实际判断。 混淆"底面周长 "和" 底面积"，侧面积误算为"底面积×高"。 未注意单位统一，如厘米、分米、米不可混合使用。 三、圆柱的体积计算 1.基本公式 体积： 。 推导方法：将圆柱切拼为近似长方体，长方体的底面积=圆柱底面积，长方体的高=圆柱的高。 2.容积计算 容积计算方法与体积相同，区别在于： 体积从外部测量底面半径、高； 容积从内部测量底面半径、高。 单位：体积单位（cm³、dm³、m³）或容积单位（mL、L），且1cm³=1mL，1dm³=1L。 3.易错点 计算体积时误将"底面周长"代入公式，需先由周长求半径，再算底面积。 体积与容积混淆，未区分"内部测量"和"外部测量"。 未注意单位进率，如1m³=1000dm³=1000000cm³。 四、圆柱的展开图 1.展开特征 侧面沿高剪开后展开图为长方形（或正方形）。 长方形的长=圆柱的底面周长（ 或 ）。 长方形的宽=圆柱的高（ ）。 若圆柱的底面周长=高，侧面沿高剪开的展开图为正方形。 2.易错点 不沿高剪，侧面展开图为平行四边形，仍可通过转化求侧面积。 误认为圆柱侧面展开图只能是长方形，实际上可能是平行四边形。 五、圆柱与圆锥的比较（简要） 1.相同点 底面都是圆形。 都属于旋转体。 都有高的概念。 体积计算公式中都涉及底面积和高。 2.不同点 底面数量：圆柱有两个底面，圆锥有一个底面。 顶点数量：圆柱没有顶点，圆锥有一个顶点。 侧面形状：圆柱侧面展开为矩形，圆锥侧面展开为扇形。 体积关系：等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍。 六、实际应用与解题技巧 1.实际应用 容器装液体：计算圆柱形容器的容积。 建筑工程：计算圆柱形柱子的混凝土用量。 制造业：计算圆柱形零件的材料用量。 2.解题技巧 排水法：不规则物体的体积=容器中水面上升/下降的体积。 比例关系：圆柱的高不变，若底面半径扩大到原来的 倍，则体积扩大到原来的 倍。 切接变化：把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。 3.常见题型 求圆柱的侧面积、表面积、体积。 无盖圆柱、通风管的表面积计算。 圆柱切接后的表面积变化问题。 排水法求不规则物体体积。 第二部分 典型例题 【例题1】汕头小公园的花灯展也让小欣大开眼界。她把一款圆柱形花灯拍照保存，回家自己做了一盏（如图），上下底面的中间分别留出了的圆孔，小欣用了多少彩纸？ 【例题2】如图，一个箱子上半部分的形状是圆柱的一半，下半部分是一个长方体。算出它的表面积和体积。 【例题3】父亲节这天，乐乐为爸爸做了一个双层蛋糕，如图：上层6寸：底面直径约为15厘米，高6厘米；下层8寸：底面直径约为20厘米，高6厘米。现在乐乐要给蛋糕表面（不包括底面）抹奶油，需要抹奶油的面积约多少平方厘米？（抹奶油的厚度忽略不计） 【例题4】一块长方体钢坯的长是12.56分米，宽是5分米，高是4分米，把它熔铸成一个底面半径为4分米的圆柱形钢材，这个圆柱形钢材的高是多少？ 【例题5】如图，一个内直径为6厘米的瓶子里，水的高度是9厘米，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高11厘米，这个瓶子的容积是多少？ 第三部分 高频真题 1．下图中能作为圆柱侧面展开图的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱的底面半径是1厘米，圆柱的高是（    ）厘米。（π取3.14） A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56 3．圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，这个圆柱的体积（    ）。 A．扩大到原来的2倍。 B．扩大到原来的4倍。 C．扩大到原来的8倍。 D．不变。 4．将长方形纸的长AB作为底面周长，宽AD作为高，分别围成长方体、正方体和圆柱纸筒（如图），比较这三个形状的纸筒，它们的（    ）不相等。 A．高 B．体积 C．侧面积 D．底面周长 5．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是18cm3，原来圆柱的体积是（    ）。 A．9cm3 B．18cm3 C．27cm3 D．36cm3 6．（如图）药瓶的容积是，瓶内装有一些药水。瓶子正放时，瓶内药水液面高是，瓶子倒放时，空余部分高是，则瓶内药水的体积是（    ）。 A． B． C． D． 7．丫丫将一张长方形纸片（如图）沿两边卷成不同的圆柱形纸筒（接口处不重叠，无缝隙），并给两个纸筒都配上对应的底面，下面说法正确的是（    ）。 A．甲圆柱的表面积比乙大 B．乙圆柱的表面积比甲大 C．甲、乙两个圆柱的表面积相等 D．无法确定两个圆柱表面积的大小关系 8．把一块石头浸没在一个高是12厘米，底面积是50.24平方厘米的装有水的圆柱体容器里，这时，容器的水面上升了2厘米（水没有溢出）。这块石头的体积是（    ）立方厘米。 A．703.36 B．602.88 C．502.4 D．100.48 9．二十四节令鼓是中华民族传统瑰宝之一，某品牌的节令鼓是圆柱体，高度2.54dm，直径7.62dm，重10.56kg—10.79kg，如果将3个节令鼓叠在一起，表面积比原来减少（    ）dm2。 A．3.14×（7.62÷2）2×2.54 B．3.14×7.622×4 C．3.14×（7.62÷2）2×4 D．3.14×（7.62÷2）2×2.54×4 10．笑笑的保温杯是一个圆柱体，装满水后，拧紧杯盖，然后从外面测量出杯子的底面半径3cm，高18cm。用笑笑测量的数据不能得到的是（    ）。 A．杯子的容积 B．杯子的体积 C．杯子的底面周长 D．杯子的表面积 11．圆柱变化：把一个圆柱的侧面展开后得到一个正方形，这个圆柱的底面半径是1分米，它的高是( )分米（π取3.14）。 12．一个圆柱的侧面展开图是边长为25.12厘米的正方形，则这个圆柱的底面半径是( )厘米，表面积是( )平方厘米。 13． （如图）做一个底面周长是25.12厘米，高10厘米的笔筒，至少需要( )平方厘米的材料，它的容积是( )立方厘米。 14．如下图，把一个底面直径为4cm、高为6cm的圆柱平行于底面截成两段小圆柱，表面积增加了__________cm2。 15．用一张长6分米，宽3分米的长方形纸（厚度不计）围成一个容积最大的圆柱体，这个圆柱体的容积约为______升。（取3） 16．一个半径为5厘米，高为2厘米的圆柱，体积是( )立方厘米；将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 17．一个长方形ABCD，AB的长度为6厘米，BC的长度为4厘米。以一边为轴旋转一周得到一个圆柱，则圆柱的表面积是______平方厘米（结果保留）。 18．把一个长方形的铁皮做成圆柱形（接缝不计），按下图剪裁，这个圆柱的底面半径是( )dm，圆柱表面积是( )dm2。 19．一种圆柱形纸筒高是12厘米，底面直径是5厘米。如图，6个打包装入纸箱，这个纸箱容积是( )立方厘米，合( )立方分米。 20．如图所示，把一个圆片看作一个圆，若干个相同圆片摞起来可以形成一个圆柱，用底面积乘高就得到圆柱的体积。如果把若干个相同的直角梯形纸片摞起来形成的物体叫作梯形柱。请你推测梯形柱的体积是________立方厘米。 21．风力发电的塔筒是圆柱形，它的侧面积只与底面周长有关。( ) 22．如果两个圆柱体的底面直径和高分别相等，它们的侧面积一定相等。( ) 23．一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，那么它的表面积和体积都扩大到原来的4倍。( ) 24．圆柱的底面周长和高相等，沿高剪开的侧面一定是正方形。( ) 25．圆柱体、长方体、正方体的体积都可以用“底面积×高”来计算。( ) 26．求下面图形的表面积。 27．计算圆柱的表面积和体积。 28．将一个底面周长为25.12厘米，高为30厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 29．一根圆柱形钢管的长是1.5米，外直径是8分米，内直径是4分米。这根钢管的体积是多少立方分米？ 30．山上有一个圆柱形水池，底面周长是25.12米，深3米，要在侧面和底面抹上水泥，每平方米需要付工钱8元，抹完水泥需要付多少元工钱？ 31．灯笼厂接到一批订单，需要制作如图这种圆柱形灯笼，上、下底面均留出了一个面积为78.5平方厘米的圆孔。不计接头与损耗，做一个灯笼至少需要准备多少彩纸？ 32．上饶某宾馆大堂有6根高10m、底面周长为25.12dm的圆柱形柱子。要给每根柱子的侧面刷上油漆，如果每平方米的油漆费用为80元，那么一共需要多少钱？ 33．在湖南举办的民俗文化节上，少先队队鼓表演是重要环节。苗鼓作为湖南苗族特色文化代表，其韵律独特。现要制作一个如下图所示的圆柱形的队鼓，鼓的侧面由铝皮围成，上、下底面蒙的是羊皮。做这样一个队鼓，至少需要铝皮和羊皮各多少平方分米？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06：圆柱 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、圆柱的定义与基本特征 1.定义 圆柱是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 由两个底面和一个侧面围成的立体图形，属于曲面立体图形。 2.基本特征 底面：上下两个面是大小完全相同的圆形，圆心连线垂直于底面。 侧面：围成圆柱的曲面，光滑无棱。 高：两底面之间的垂直距离，圆柱有无数条高，所有高的长度都相等。 轴：连接两底面圆心的直线，称为圆柱的轴。 3.分类 直圆柱：轴与底面垂直，侧面展开图为矩形。 斜圆柱：轴与底面不垂直，侧面展开图为平行四边形。 二、圆柱的表面积计算 1.基本公式 底面积： （ 为底面半径）。 侧面积： （ 为底面周长， 为底面直径）。 表面积： 。 2.特殊情况 无盖圆柱（如水桶）： 。 圆柱通风管（无底面）： （如烟囱、压路机）。 3.易错点 计算表面积时漏算底面或多算底面，未结合生活实际判断。 混淆"底面周长 "和" 底面积"，侧面积误算为"底面积×高"。 未注意单位统一，如厘米、分米、米不可混合使用。 三、圆柱的体积计算 1.基本公式 体积： 。 推导方法：将圆柱切拼为近似长方体，长方体的底面积=圆柱底面积，长方体的高=圆柱的高。 2.容积计算 容积计算方法与体积相同，区别在于： 体积从外部测量底面半径、高； 容积从内部测量底面半径、高。 单位：体积单位（cm³、dm³、m³）或容积单位（mL、L），且1cm³=1mL，1dm³=1L。 3.易错点 计算体积时误将"底面周长"代入公式，需先由周长求半径，再算底面积。 体积与容积混淆，未区分"内部测量"和"外部测量"。 未注意单位进率，如1m³=1000dm³=1000000cm³。 四、圆柱的展开图 1.展开特征 侧面沿高剪开后展开图为长方形（或正方形）。 长方形的长=圆柱的底面周长（ 或 ）。 长方形的宽=圆柱的高（ ）。 若圆柱的底面周长=高，侧面沿高剪开的展开图为正方形。 2.易错点 不沿高剪，侧面展开图为平行四边形，仍可通过转化求侧面积。 误认为圆柱侧面展开图只能是长方形，实际上可能是平行四边形。 五、圆柱与圆锥的比较（简要） 1.相同点 底面都是圆形。 都属于旋转体。 都有高的概念。 体积计算公式中都涉及底面积和高。 2.不同点 底面数量：圆柱有两个底面，圆锥有一个底面。 顶点数量：圆柱没有顶点，圆锥有一个顶点。 侧面形状：圆柱侧面展开为矩形，圆锥侧面展开为扇形。 体积关系：等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍。 六、实际应用与解题技巧 1.实际应用 容器装液体：计算圆柱形容器的容积。 建筑工程：计算圆柱形柱子的混凝土用量。 制造业：计算圆柱形零件的材料用量。 2.解题技巧 排水法：不规则物体的体积=容器中水面上升/下降的体积。 比例关系：圆柱的高不变，若底面半径扩大到原来的 倍，则体积扩大到原来的 倍。 切接变化：把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。 3.常见题型 求圆柱的侧面积、表面积、体积。 无盖圆柱、通风管的表面积计算。 圆柱切接后的表面积变化问题。 排水法求不规则物体体积。 第二部分 典型例题 【例题1】汕头小公园的花灯展也让小欣大开眼界。她把一款圆柱形花灯拍照保存，回家自己做了一盏（如图），上下底面的中间分别留出了的圆孔，小欣用了多少彩纸？ 【答案】2355cm2 【分析】圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加上两个底面积，所以圆柱形花灯的表面积等于花灯的侧面积加上下两个底面面积，因为花灯上下底面的中间分别留出了78.5cm2，即圆柱花灯的表面积＝花灯的侧面积＋花灯的上下底面积－2×78.5，据此解答即可。 【详解】圆柱侧面积为： 3.14×20×30 ＝62.8×30 ＝1884（cm2） 上下底面积为： 3.14×（20－10）2×2 ＝314×2 ＝628（cm2） 圆柱花灯的表面积： 1884＋628－2×78.5 ＝1884＋628－157 ＝2512－157 ＝2355（cm2） 答：小欣用了2355cm2彩纸。 【点睛】本题考查圆柱的表面积计算。需注意上下底面积留的孔要减去。 【例题2】如图，一个箱子上半部分的形状是圆柱的一半，下半部分是一个长方体。算出它的表面积和体积。 【答案】1192.5平方厘米；2785立方厘米 【分析】箱子上半部分的形状是圆柱的一半，两个底面可以拼成一个完整的圆，下半部分是没有上面的长方体，它的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2＋圆柱底面积＋圆柱侧面积÷2，圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆柱侧面积＝底面周长×高； 它的体积＝长方体体积＋圆柱体积÷2，长方体体积＝长×宽×高，圆柱体积＝底面积×高。据此计算。 【详解】10×20＋10×10×2＋20×10×2＋3.14×（10÷2）2＋3.14×10×20÷2 ＝200＋200＋400＋3.14×52＋314 ＝800＋3.14×25＋314 ＝800＋78.5＋314 ＝1192.5（平方厘米） 10×20×10＋3.14×（10÷2）2×20÷2 ＝2000＋3.14×52×20÷2 ＝2000＋3.14×25×20÷2 ＝2000＋1570÷2 ＝2000＋785 ＝2785（立方厘米） 答：它的表面积和体积分别是1192.5平方厘米、2785立方厘米。 【例题3】父亲节这天，乐乐为爸爸做了一个双层蛋糕，如图：上层6寸：底面直径约为15厘米，高6厘米；下层8寸：底面直径约为20厘米，高6厘米。现在乐乐要给蛋糕表面（不包括底面）抹奶油，需要抹奶油的面积约多少平方厘米？（抹奶油的厚度忽略不计） 【答案】973.4平方厘米 【分析】需要抹奶油的面积即图形的表面积（底面除外），图形的表面积（底面除外）等于双层蛋糕的侧面积的和加上底面直径是20厘米的圆的面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆的面积＝×半径的平方，代入数据解答即可。 【详解】3.14×15×6＋3.14×20×6＋3.14× ＝47.1×6＋62.8×6＋3.14× ＝282.6＋376.8＋3.14×100 ＝659.4＋314 ＝973.4（平方厘米） 答：需要抹奶油的面积约973.4平方厘米。 【例题4】一块长方体钢坯的长是12.56分米，宽是5分米，高是4分米，把它熔铸成一个底面半径为4分米的圆柱形钢材，这个圆柱形钢材的高是多少？ 【答案】5分米 【分析】把一块长方体钢坯熔铸成一根圆柱形钢材，形状发生变化，但体积不变。 根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，先求出长方体钢坯的体积，也是圆柱形钢材的体积；再根据公式：圆柱的底面积＝圆周率×半径×半径，求出圆柱的底面积；最后根据公式：高＝圆柱的体积÷底面积，即可求出圆柱的长度。 【详解】12.56×5×4 ＝62.8×4 ＝251.2（立方分米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 251.2÷50.24＝5（分米） 答： 这个圆柱形钢材的高是5分米。 【例题5】如图，一个内直径为6厘米的瓶子里，水的高度是9厘米，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高11厘米，这个瓶子的容积是多少？ 【答案】565.2立方厘米 【分析】根据图可知，这个瓶子的容积等于底面直径是6厘米，高是9厘米的圆柱的容积，再加上底面直径是6厘米，高是11厘米的圆柱的容积；根据圆柱的容积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×9＋3.14×（6÷2）2×11 ＝3.14×32×9＋3.14×32×11 ＝3.14×9×9＋3.14×9×11 ＝28.26×9＋28.26×11 ＝254.34＋310.86 ＝565.2（立方厘米） 答：这个瓶子的容积是565.2立方厘米。 第三部分 高频真题 1．下图中能作为圆柱侧面展开图的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】圆柱侧面沿高展开是长方形或正方形；圆柱侧面斜着展开是平行四边形；随便剪开是不规则图形，但是这个不规则图形剪开、平移可以拼成长方形或正方形。 【详解】 能作为圆柱侧面展开图的是、、，有3个。 2．把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱的底面半径是1厘米，圆柱的高是（    ）厘米。（π取3.14） A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56 【答案】B 【分析】因为圆柱侧面展开是正方形，所以圆柱的高等于底面圆的周长，已知底面半径，根据圆的周长公式，C=2πr，可计算出底面圆的周长，该数值就是圆柱的高。 【详解】 （厘米） 【点睛】 3．圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，这个圆柱的体积（    ）。 A．扩大到原来的2倍。 B．扩大到原来的4倍。 C．扩大到原来的8倍。 D．不变。 【答案】B 【分析】设原来圆柱的底面半径是r，圆柱的高是h，则底面半径扩大到原来的2倍后是2r。根据圆柱的体积计算公式分别计算出原来和扩大后圆柱的体积，再作比较。 【详解】原来圆柱的体积： 扩大后圆柱的体积： 所以这个圆柱的体积扩大到原来的4倍。 4．将长方形纸的长AB作为底面周长，宽AD作为高，分别围成长方体、正方体和圆柱纸筒（如图），比较这三个形状的纸筒，它们的（    ）不相等。 A．高 B．体积 C．侧面积 D．底面周长 【答案】B 【分析】由题意知：将长方形纸的长AB作为底面周长，宽AD作为高，分别围成长方体、正方体和圆柱纸筒，那么围成长方体、正方体和圆柱纸筒的底面周长都是AB的长，高都是AD的长，侧面积都是长方形的面积； 根据长方体、正方体、圆柱体的特征，以及长方形、正方形、圆的特征可知，当长方形、正方形、圆的周长相等时，它们的底面积是不相等的，因为长方体、正方体和圆柱的体积公式，底面积不同，体积不同；据此解答。 【详解】A．长方形纸的长AB作为底面周长，宽AD作为高，分别围成长方体、正方体和圆柱纸筒，则这些纸筒的高都是AD的长，所以它们的高都相等。不符合题意； B．长方形纸的长AB作为底面周长，宽AD作为高，分别围成长方体、正方体和圆柱纸筒，则这些纸筒的底面周长都是AB的长，当长方形、正方形、圆的周长相等时，它们的底面积是不相等的，因为长方体、正方体和圆柱的体积公式，底面积不同，体积不相等。符合题意； C．长方形纸的长AB作为底面周长，宽AD作为高，分别围成长方体、正方体和圆柱纸筒，则这些纸筒的侧面积都是这个长方形纸的面积，所以它们侧面积都相等。不符合题意； D．长方形纸的长AB作为底面周长，宽AD作为高，分别围成长方体、正方体和圆柱纸筒，则这些纸筒的底面周长都是AB的长，所以它们底面周长都相等。不符合题意。 故答案为：B 5．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是18cm3，原来圆柱的体积是（    ）。 A．9cm3 B．18cm3 C．27cm3 D．36cm3 【答案】C 【分析】圆柱内的最大圆锥与原来的圆柱是等底同高的，根据圆柱的体积及圆锥的体积公式：，，可以构建二者体积的关系，利用消去的部分的体积即可求出圆柱的体积。 【详解】由于圆柱与圆锥等底同高，则 即：削去的体积＝（cm3） 圆柱的体积＝（cm3） 故答案为：C 6．（如图）药瓶的容积是，瓶内装有一些药水。瓶子正放时，瓶内药水液面高是，瓶子倒放时，空余部分高是，则瓶内药水的体积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将药瓶的容积看作单位“1”，看图可知，瓶子的容积＝药水的体积＋空余部分的容积＝高（6＋2）cm的圆柱容积，圆柱体积＝底面积×高，底面积相等，圆柱高之间的关系就是体积之间的关系，将药瓶的容积看作单位“1”，药水的体积占药瓶容积的，药瓶的容积×药水的对应分率＝药水的体积，据此列式计算。 【详解】26.4× ＝26.4× ＝19.8（） 瓶内药水的体积是。 故答案为：A 7．丫丫将一张长方形纸片（如图）沿两边卷成不同的圆柱形纸筒（接口处不重叠，无缝隙），并给两个纸筒都配上对应的底面，下面说法正确的是（    ）。 A．甲圆柱的表面积比乙大 B．乙圆柱的表面积比甲大 C．甲、乙两个圆柱的表面积相等 D．无法确定两个圆柱表面积的大小关系 【答案】A 【分析】圆柱的表面积由侧面积和两个底面积组成，公式为S表＝S侧＋2S底。 因为是用同一张长方形纸片卷成的两个圆柱形纸筒，所以长方形纸片的面积就是圆柱的侧面积，因此甲、乙两个圆柱的侧面积相等； 甲圆柱的底面周长相当于长方形的长，乙圆柱的底面周长相当于长方形的宽，因为长大于宽，所以甲圆柱的底面周长大于乙圆柱的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr可知甲的底面半径大于乙的底面半径，再根据圆的面积公式可知甲圆柱的底面积大于乙圆柱的底面积，所以甲圆柱的表面积比乙大。据此解答。 【详解】用同一张长方形纸片卷成的两个圆柱形纸筒，所以长方形纸片的面积就是圆柱的侧面积，因此甲、乙两个圆柱的侧面积相等； 因为甲圆柱的底面周长大，底面半径大，底面积大；乙圆柱的底面周长小，底面半径小，底面积小，而侧面积相同，S表＝S侧＋2S底，所以甲圆柱的表面积比乙大。 故答案为：A 8．把一块石头浸没在一个高是12厘米，底面积是50.24平方厘米的装有水的圆柱体容器里，这时，容器的水面上升了2厘米（水没有溢出）。这块石头的体积是（    ）立方厘米。 A．703.36 B．602.88 C．502.4 D．100.48 【答案】D 【分析】根据排水法求不规则物体的体积，当把石头浸没在水中时，水面上升部分的水的体积就等于石头的体积。已知圆柱形容器的底面积50.24平方厘米，水面上升的高度为2厘米。根据圆柱体积公式V＝Sh（S为底面积，h为水面上升的高度），把数据代入公式计算即可得出上升的水的体积（即石头的体积）。 【详解】50.24×2＝100.48（立方厘米） 这块石头的体积是100.48立方厘米。 故答案为：D 9．二十四节令鼓是中华民族传统瑰宝之一，某品牌的节令鼓是圆柱体，高度2.54dm，直径7.62dm，重10.56kg—10.79kg，如果将3个节令鼓叠在一起，表面积比原来减少（    ）dm2。 A．3.14×（7.62÷2）2×2.54 B．3.14×7.622×4 C．3.14×（7.62÷2）2×4 D．3.14×（7.62÷2）2×2.54×4 【答案】C 【分析】将三个圆柱体叠放时，每叠放一次会减少两个底面面积（上下各一个）。三个叠放共减少4个底面面积。根据半径＝直径÷2，圆的面积公式，计算减少的表面积即4个底面积之和。 【详解】 （dm2） 如果将3个节令鼓叠在一起，表面积比原来减少182.322216dm2。 故答案为：C 10．笑笑的保温杯是一个圆柱体，装满水后，拧紧杯盖，然后从外面测量出杯子的底面半径3cm，高18cm。用笑笑测量的数据不能得到的是（    ）。 A．杯子的容积 B．杯子的体积 C．杯子的底面周长 D．杯子的表面积 【答案】A 【分析】笑笑从外面测量出杯子的底面半径3cm，高18cm。根据圆柱的底面周长公式C＝2πr，体积公式V＝πr2h，表面积公式S＝2πr2＋2πrh，容积是指内部容纳液体的体积，依赖内部的底面半径和高。具体分析进而得出答案。 【详解】A．杯子的容积：容积指内部容纳液体的体积，依赖内部的底面半径和高，而题目是从“外面”测量，杯子有壁厚，内部尺寸无法确定，故无法得到准确容积。 B．体积公式为V＝πr2h（π一般取3.14，r为半径，h为高），代入r＝3cm、h＝18cm，计算可以得到。 C．底面周长：底面周长公式为C＝2πr（π一般取3.14，r为半径），已知外部底面半径r＝3cm，代入计算可以得到。 D．表面积：表面积公式为S＝2πr2＋2πrh（π一般取3.14，r为半径，h为高），代入r＝3cm、h＝18cm，可以直接计算。 综上，用笑笑测量的数据不能得到的是杯子的容积。 故答案为：A 11．圆柱变化：把一个圆柱的侧面展开后得到一个正方形，这个圆柱的底面半径是1分米，它的高是( )分米（π取3.14）。 【答案】6.28 【分析】圆柱侧面展开为正方形时，高与底面圆的周长相等。根据圆的周长公式可求出底面周长，即圆柱的高。 【详解】2×3.14×1＝6.28（分米） 12．一个圆柱的侧面展开图是边长为25.12厘米的正方形，则这个圆柱的底面半径是( )厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 4 731.4944 【分析】圆柱的侧面展开图是边长为25.12厘米的正方形，所以这个圆柱的底面周长是25.12厘米。根据圆的周长：，则，先计算出圆的底面半径，再结合圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的底面积×2，其中圆柱的底面积＝，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算。 【详解】25.12÷（3.14×2） ＝25.12÷6.28 ＝4（厘米） ＝50.24×2＋631.0144 ＝100.48＋631.0144 ＝731.4944（平方厘米） 一个圆柱的侧面展开图是边长为25.12厘米的正方形，则这个圆柱的底面半径是4厘米，表面积是731.4944平方厘米。 13． （如图）做一个底面周长是25.12厘米，高10厘米的笔筒，至少需要( )平方厘米的材料，它的容积是( )立方厘米。 【答案】 301.44 502.4 【分析】根据题意，这个圆柱形笔筒是无盖的，求制作笔筒所需要的材料的面积为侧面积＋一个底面积，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，求出圆柱的底面半径，无盖圆柱的表面积公式S表＝ S侧＋S底＝Ch＋πr2；笔筒容积公式和圆柱体积公式相同V＝S底h＝πr2h，代入数据计算即可解答。 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） S表＝25.12×10＋3.14×42 ＝251.2＋3.14×16 ＝251.2＋50.24 ＝301.44（平方厘米） V＝3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方厘米） 14．如下图，把一个底面直径为4cm、高为6cm的圆柱平行于底面截成两段小圆柱，表面积增加了__________cm2。 【答案】25.12 【分析】把一个圆柱平行于底面截成两段小圆柱，这个圆柱的表面积增加两个截面的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】 表面积增加了。 15．用一张长6分米，宽3分米的长方形纸（厚度不计）围成一个容积最大的圆柱体，这个圆柱体的容积约为______升。（取3） 【答案】9 【分析】长方形纸围圆柱体可围成两种形状的圆柱体： 情况1：以长方形的长6分米为圆柱的底面周长，宽3分米为圆柱的高； 情况2：以长方形的宽3分米为圆柱的底面周长，长6分米为圆柱的高； 先根据底面周长公式求出底面半径；再根据圆柱的体积公式，代入对应的半径和高的值算出体积；最后比较两种情况下体积的大小，选出容积较大的圆柱体即可。 【详解】情况1：以长方形的长6分米为圆柱的底面周长，宽3分米为圆柱的高： 6（2） ＝6（23） ＝66 ＝1（分米） 33 ＝33 ＝9（立方分米） 情况2：以长方形的宽3分米为圆柱的底面周长，长6分米为圆柱的高： 3（2） ＝3（23） ＝36 ＝0.5（分米） 36 ＝30.256 ＝4.5（立方分米） 9＞4.5，所以容积最大的圆柱体体积是9立方分米，又因为1立方分米＝1升，所以容积约为9升。 【点睛】这道题的易错点在于容易把长方形围成圆柱的两种情况考虑不全，同时还要注意通过底面周长求半径的这个思想转换，以及求圆柱体积时要分清不同情况下的半径和高的值，避免代入出错导致体积计算出错。 16．一个半径为5厘米，高为2厘米的圆柱，体积是( )立方厘米；将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】 157 62.8 【分析】已知圆柱的底面半径和高，利用“”求出圆柱的体积；由图可知，平行四边形的底相当于圆柱的底面周长，平行四边形的高相当于圆柱的高，利用“”求出这个平行四边形的面积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝157（立方厘米） ＝ ＝ ＝62.8（平方厘米） 所以，这个圆柱的体积是157立方厘米，这个平行四边形的面积是62.8平方厘米。 17．一个长方形ABCD，AB的长度为6厘米，BC的长度为4厘米。以一边为轴旋转一周得到一个圆柱，则圆柱的表面积是______平方厘米（结果保留）。 【答案】或 【分析】以AB为旋转轴时，圆柱的底面半径是4厘米，高是6厘米，以BC为旋转轴时，圆柱的底面半径是6厘米，高是4厘米，利用“”求出圆柱的表面积，据此解答。 【详解】以AB为旋转轴时。 ＝ ＝ ＝（平方厘米） 以BC为旋转轴时。 ＝ ＝ ＝（平方厘米） 所以，圆柱的表面积是或平方厘米。 18．把一个长方形的铁皮做成圆柱形（接缝不计），按下图剪裁，这个圆柱的底面半径是( )dm，圆柱表面积是( )dm2。 【答案】 2 75.36 【分析】由图可知，长方形的长是20.56dm，由2个圆的直径和1个圆的周长组成，即2d＋πd＝20.56，变形得d（2＋π）＝20.56，用20.56除以（2＋π）计算出底面直径，再除以2即可计算出底面半径； 计算出圆柱的底面半径是2dm，圆柱的高等于底面直径4dm，然后根据圆柱的表面积公式S＝2πrh＋2πr2计算出该圆柱的表面积。据此解答。 【详解】20.56÷（2＋3.14） ＝20.56÷5.14 ＝4（dm） 4÷2＝2（dm） 2×3.14×2×4＋2×3.14×22 ＝2×3.14×2×4＋2×3.14×4 ＝6.28×2×4＋6.28×4 ＝12.56×4＋25.12 ＝50.24＋25.12 ＝75.36（dm2） 所以，这个圆柱的底面半径是2dm，圆柱表面积是75.36dm2。 19．一种圆柱形纸筒高是12厘米，底面直径是5厘米。如图，6个打包装入纸箱，这个纸箱容积是( )立方厘米，合( )立方分米。 【答案】 1800 1.8 【分析】观察图形可知，纸箱的长是3个圆柱底面直径的长度，即5×3＝15厘米；纸箱的宽是2个圆柱底面直径的长度，即5×2＝10厘米；纸箱的高与圆柱的高相等，即12厘米。根据“长方体的体积＝长×宽×高”计算出这个纸箱的容积，最后将立方厘米换算为立方分米（1立方分米＝1000立方厘米）。据此解答。 【详解】（5×3）×（5×2）×12 ＝15×10×12 ＝150×12 ＝1800（立方厘米） 1800立方厘米＝1.8立方分米 因此，这个纸箱容积是1800立方厘米，合1.8立方分米。 20．如图所示，把一个圆片看作一个圆，若干个相同圆片摞起来可以形成一个圆柱，用底面积乘高就得到圆柱的体积。如果把若干个相同的直角梯形纸片摞起来形成的物体叫作梯形柱。请你推测梯形柱的体积是________立方厘米。 【答案】225 【分析】长方体和圆柱的体积都可以用底面积乘高进行计算，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出梯形柱的底面积，梯形柱的体积＝底面积×高，据此列式计算。 【详解】（4＋6）×5÷2×9 ＝10×5÷2×9 ＝225（立方厘米） 梯形柱的体积是225立方厘米。 21．风力发电的塔筒是圆柱形，它的侧面积只与底面周长有关。( ) 【答案】 × 【分析】圆柱的侧面积等于底面周长乘高，因此侧面积的大小与底面周长和高两个条件都有关系。 【详解】圆柱的侧面积计算公式为：侧面积＝底面周长×高。由此可知，圆柱的侧面积是由底面周长和高共同决定的。当底面周长一定时，高不同，侧面积也不同。题干中说法“只与底面周长有关”，忽略了高对侧面积的影响。 故答案为：× 22．如果两个圆柱体的底面直径和高分别相等，它们的侧面积一定相等。( ) 【答案】√ 【分析】圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面周长＝π×直径，直径相等则底面周长相等。当两个圆柱的底面直径和高分别相等时，意味着它们的底面周长和高都对应相等，因此它们的侧面积一定相等。 【详解】两个圆柱体的底面直径相等，则它们的底面周长相等。这两个圆柱体的高相等，所以它们的底面周长与高的乘积相等，即侧面积相等。 故答案为：√ 23．一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，那么它的表面积和体积都扩大到原来的4倍。( ) 【答案】× 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的表面积公式：S表面积＝2πr2＋2πrh，圆柱的体积公式：V＝πr2h。设原来圆柱底面半径为r，扩大后的半径为2r，分别求出圆柱的表面积和体积，再和原来圆柱的表面积和体积比较，即可解答。 【详解】设原圆柱的底面半径为r，高为h。 原表面积：S＝2πr2＋2πrh 原体积：V＝πr2h 新圆柱的底面半径为2r，高为h。 新表面积：S新＝2π（2r）2＋2π×2r×h ＝2π×4r2＋4πrh ＝8πr2＋4πrh 原表面积：S＝2πr2＋2πrh 4S＝4×（2πr2＋2πrh）＝8πr2＋8πrh S新＝8πr2＋4πrh 因为4πrh＜8πrh，所以S新＜4S，表面积没有扩大到原来的4倍。 新体积V新＝π×（2r）2h＝π×4r2 h＝πr2h＝4V 所以体积扩大到原来的4倍。 因此，题干中的说法错误。 故答案为：× 24．圆柱的底面周长和高相等，沿高剪开的侧面一定是正方形。( ) 【答案】√ 【分析】圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。当底面周长和高相等时，长方形的长和宽相等，此时展开图是正方形。 【详解】根据分析，圆柱的底面周长和高相等，沿高剪开的侧面一定是正方形，说法正确。 故答案为：√ 25．圆柱体、长方体、正方体的体积都可以用“底面积×高”来计算。( ) 【答案】√ 【分析】圆柱体、长方体、正方体的体积公式都是，据此判断即可。 【详解】圆柱体体积＝底面积×高； 长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高； 正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 圆柱体、长方体、正方体的体积公式都是，都可以用底面积乘高来计算，所以原题说法正确； 故答案为：√ 26．求下面图形的表面积。 【答案】477.28平方米 【分析】已知圆柱体的底面直径和高，首先计算得出该圆柱体的底面半径，半径r＝直径÷2；然后根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，圆柱的侧面积＝2πrh，圆柱的底面积＝πr2，代入数据即可计算得出该图形的表面积。（π取3.14） 【详解】半径：8÷2＝4（米） 圆柱的表面积：2×3.14×4×15＋2×3.14×42 ＝3.14×4×30＋2×3.14×16 ＝3.14×120＋3.14×32 ＝376.8＋100.48 ＝477.28（平方米） 所以该图形的表面积是477.28平方米。 27．计算圆柱的表面积和体积。 【答案】533.8平方厘米；942立方厘米 【分析】根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2＝2πrh＋2，圆柱的体积＝，代入数据即可解答。 【详解】表面积是： 3.14×2×5×12＋3.14××2 ＝3.14×2×5×12＋3.14×25×2 ＝376.8＋157 ＝533.8（平方厘米） 体积是： 3.14××12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（立方厘米） 28．将一个底面周长为25.12厘米，高为30厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】 1507.2立方厘米 【分析】本题考查圆柱与圆锥的体积计算以及等积变形的知识。解题的关键在于理解“熔铸”的含义，即物体形状改变但体积不变，因此圆锥的体积等于原圆柱的体积。解题思路是先根据圆柱的底面周长求出底面半径，再利用圆柱的体积公式计算出体积，该体积即为圆锥的体积。 【详解】圆柱的底面半径：（厘米） 圆柱的体积： （立方厘米） 答：这个圆锥的体积是1507.2立方厘米。 29．一根圆柱形钢管的长是1.5米，外直径是8分米，内直径是4分米。这根钢管的体积是多少立方分米？ 【答案】565.2立方分米 【分析】根据圆柱的体积公式：计算出内外圆柱的体积，再用外圆柱的体积减去内部空心部分的圆柱体积求出钢管的体积。 【详解】1.5米＝15分米 8÷2＝4（分米）4÷2＝2（分米） ＝3.14××15 ＝3.14×16×15 ＝50.24×15 ＝753.6（立方分米） ＝3.14××15 ＝3.14×4×15 ＝12.56×15 ＝188.4（立方分米） 753.6188.4＝565.2（立方分米） 答：这根钢管的体积是565.2立方分米。 30．山上有一个圆柱形水池，底面周长是25.12米，深3米，要在侧面和底面抹上水泥，每平方米需要付工钱8元，抹完水泥需要付多少元工钱？ 【答案】 1004.8元 【分析】根据底面周长求出底面半径，再求出底面积和侧面积，用底面积和侧面积的总和乘每平方米需要付工钱8元，即可求出抹完水泥需要付多少元工钱。 【详解】半径：25.12÷3.14÷2＝4（米） 侧面积：25.12×3＝75.36（平方米） 底面积：3.14×4×4＝50.24（平方米） 工钱：（75.36＋50.24）×8 ＝125.6×8 ＝1004.8（元） 答：抹完水泥需要付1004.8元工钱。 31．灯笼厂接到一批订单，需要制作如图这种圆柱形灯笼，上、下底面均留出了一个面积为78.5平方厘米的圆孔。不计接头与损耗，做一个灯笼至少需要准备多少彩纸？ 【答案】2355平方厘米 【分析】求制作一个灯笼需要多少彩纸，就是求圆柱形灯笼的表面积，然后用圆柱形灯笼的表面积减去上、下底面留出的圆孔的面积。 根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算，得出的数值再减去2个78.5平方厘米即可。 【详解】202＝10（厘米） 3.14×20×30＋2×3.14×102－78.5×2 ＝3.14×20×30＋2×3.14×100－78.5×2 ＝1884＋628－157 ＝2355（平方厘米） 答：做一个灯笼至少需要准备2355平方厘米彩纸。 32．上饶某宾馆大堂有6根高10m、底面周长为25.12dm的圆柱形柱子。要给每根柱子的侧面刷上油漆，如果每平方米的油漆费用为80元，那么一共需要多少钱？ 【答案】 12057.6元 【分析】考查圆柱侧面积的计算及单位换算，同时涉及解决实际问题的能力。将底面周长从分米转换为米，确保计算时单位一致。 圆柱侧面积公式：侧面积＝底面周长×高。通过单根柱子的侧面积推导总侧面积，再结合单价计算总费用。 【详解】 （平方米） （元） 答：那么一共需要12057.6元。 33．在湖南举办的民俗文化节上，少先队队鼓表演是重要环节。苗鼓作为湖南苗族特色文化代表，其韵律独特。现要制作一个如下图所示的圆柱形的队鼓，鼓的侧面由铝皮围成，上、下底面蒙的是羊皮。做这样一个队鼓，至少需要铝皮和羊皮各多少平方分米？ 【答案】铝皮：48.984平方分米；羊皮：56.52平方分米 【分析】铝皮的面积即为圆柱的侧面积，根据圆柱侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，底面周长＝π×直径；羊皮的面积为圆柱上、下两个底面的面积之和，根据圆的面积公式：面积＝π×（半径）²，半径＝直径÷2，再乘2可得两个底面的面积。 【详解】铝皮面积： 底面周长：（dm） 侧面积：（平方分米） 羊皮面积： 半径：（dm） 一个底面面积： （平方分米） 两个底面面积：（平方分米） 答：至少需要铝皮48.984平方分米，羊皮56.52平方分米。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $