7．2 复数的四则运算（思维导图+3大知识点+6大题型）（讲义）-2025-2026学年高一下学期数学新教材同步配套（人教A版必修第二册）

7．2 复数的四则运算 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一、复数的加减运算 5 知识点二、复数的加减运算的几何意义 5 知识点三、复数的乘除运算 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：复数代数形式的加减运算 7 题型二：复数加减法的几何意义应用 8 题型三：与复数模相关的综合问题 11 题型四：复数代数形式的乘法运算 13 题型五：复数代数形式的除法运算 15 题型六：复数范围内方程求解问题 17 知识点一、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 知识点二、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 知识点三、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 题型一：复数代数形式的加减运算 【例题1】（2026·高一·福建厦门·月考）已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为复数，，则. 【例题2】（2026·高一·福建厦门·期末）已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 故选：B 【方法技巧与总结】 解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【变式1】（2026·高三·四川自贡·期末）若复数，，，则的（   ） A．实部为 B．虚部为 C．实部为6 D．虚部为 【答案】D 【解析】因为，所以的实部为，虚部为. 故选： 【变式2】（2026·高二·贵州·学业考试）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， . 故选：C. 【变式3】（2026·高三·河北保定·开学考试）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 故选：A. 题型二：复数加减法的几何意义应用 【例题3】（2026·高一·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【解析】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 【例题4】在复平面内，已知复数满足，且，求. 【解析】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且， 所以为等腰直角三角形，且. 作正方形AOBC，如图所示， 则对应的复数为，故. 【方法技巧与总结】 复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【变式4】（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. （2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离： ①； ②. 【解析】（1）因为复平面内的点， 对应的复数分别为，， 所以点，之间的距离为 . （2）①易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为， 由两点间距离公式得； ②易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为， 由两点间距离公式得. 【变式5】下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值. 解法一：∵， 又∵是纯虚数，令（且）， ∴. 故当时，即当时，所求式有最大值为. 解法二：∵，∴. 故所求式有最大值为. 解法三：∵， 又∵为纯虚数，∴， ∴. 故所求式有最大值为. 【解析】上述解法中仅解法三正确，本题的几何意义在于“在虚轴上找一点， 使其到定点距离之和为最小”. ∵在虚轴同侧， 对于解法一：当时，， ，则， 即不能使得不等式中的等号成立， 故解法一错误； 对于解法二：不等式中， 等号成立的条件是复数在复平面内对应的点在线段上， 而线段与虚轴没有公共点，故这个等号不成立，解法二错误； 解法三由于找到点关于虚轴的对称点， 显然连线与虚轴交点即是所找的一点，. ∵， 故所求式最大值为. 【变式6】（1）已知，，求证：； （2）求函数的最小值． 【解析】（1）设复平面上的点，是复数，所对应的点， ∴向量，是复数，所对应的向量，∴，， 当，不共线时，平行四边行对角线所成向量（如下图所示）， ∴向量，是复数所对应的向量，∴， ∴在中由“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”的性质可得， ， ， ∴； 当且仅当，共线且方向相同，即且时，， 当且仅当，共线且方向相反，即且时，， 综上所述，. （2）∵ ∴令，，， ∴由第（1）问证明的不等式，有 则， 当且仅当且，即时，等号成立. ∴时，函数的最小值为. 题型三：与复数模相关的综合问题 【例题5】（2026·高一·辽宁沈阳·月考）已知三个复数，并且，所对应的向量，满足，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】由，得， 以向量，的方向分别为复平面内轴的正方向建立直角坐标系，如图， 由，得，则，令复数对应的点为，有， 由，得复数对应的点的轨迹是以原点圆心，1为半径的圆， 因此，当且仅当反向共线时取等号， ，当且仅当同向共线时取等号， 所以的取值范围是. 故答案为： 【例题6】复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数______. 【答案】或 【解析】依题意，，设， 由得：，由得：， 联立解得或，即或， 所以或. 故答案为：或 【方法技巧与总结】 表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【变式7】已知，，，则______． 【答案】 【解析】设，， ，，，， ， 解得：， ， . 故答案为：. 【变式8】（2026·高一·上海宝山·月考）设，已知，，，则________． 【答案】 【解析】设，， 由题设知，，. 又由， 可得. 所以. 所以. 故答案为：. 【变式9】（2026·高一·吉林·期中）在复平面内，若复数z满足，则z在复平面内对应点满足的方程为______． 【答案】 【解析】由题意，， ，， 则，化简得， 所以z在复平面内对应点满足的方程为. 故答案为： 题型四：复数代数形式的乘法运算 【例题7】___________． 【答案】2 【解析】． 故答案为：2 【例题8】（2026·高一·全国·单元测试）已知复数z满足，则_____________． 【答案】2 【解析】由，得，所以，因为与为共轭复数，所以，因此． 故答案为：2 【方法技巧与总结】 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①． ②． ③． 【变式10】________． 【答案】 【解析】; 故答案为： 【变式11】若为虚数单位，复数在复平面中对应的点为，则的值是______. 【答案】 【解析】由题可知， 则， ， 因此， 故答案为：. 【变式12】（2026·高一·上海松江·期末）复数满足（为虚数单位），则_______. 【答案】 【解析】因为复数满足，所以，所以， 故答案为： 题型五：复数代数形式的除法运算 【例题9】设i是虚数单位，___________． 【答案】 【解析】原式. 故答案为： 【例题10】（2026·高一·全国·单元测试）已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________． 【答案】 【解析】法一，所以的共轭复数为． 法二，所以的共轭复数为． 故答案为：. 【方法技巧与总结】 （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【变式13】（2026·高一·全国·期中）如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则____________． 【答案】 【解析】由题意得，复数，， 则． 故答案为： 【变式14】若复数满足：为负实数（为虚数单位），为纯虚数，则的值为_____． 【答案】 【解析】设， 由于为负实数， 则有，解得，进而， 因为为纯虚数，则有，且，解得， 因为，所以，故 故答案为： 【变式15】已知，则______. 【答案】 【解析】， ， . 故答案为： 题型六：复数范围内方程求解问题 【例题11】（2026·高一·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【解析】（1），方程为， 所以. （2），、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 【例题12】（2026·高一·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【解析】（1）由题可得，，且， 由得或，由，得， 故． （2）当时，， 代入关于的方程，得， 整理得，， 因为为实数，所以， 解得，故实数的值分别为4，13. 【方法技巧与总结】 当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【变式16】（2026·高一·河南平顶山·期末）已知复数z的共轭复数为，在复平面内对应的点为，为虚数单位. (1)求复数z； (2)若是方程（a，）的根，求a，b的值. 【解析】（1）由题可得，所以； （2）由（1）可得是方程（a，）的根， 则是方程的另一复数根， 所以，即. 【变式17】（2026·高一·河北·期末）设复数（其中）. (1)若，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【解析】（1），因为，所以， 故，所以. （2）是关于的方程的一个根， ，即. 所以，解得或，故或. 【变式18】（2026·高一·江西·期末）已知复数z，w是一元二次方程的两个根，且在复平面内，z对应的点在w对应的点的上方. (1)求w和z； (2)求的值； (3)求在复平面内对应的点的坐标. 【解析】（1）因为复数是方程的两个根，所以由求根公式可得，， 因为在复平面内对应的点在对应的点的上方，所以的虚部更大， 故． （2）由（1）可得，故． （3）设， 所以， 所以在复平面内对应的点的坐标为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7．2 复数的四则运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、复数的加减运算 4 知识点二、复数的加减运算的几何意义 4 知识点三、复数的乘除运算 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：复数代数形式的加减运算 6 题型二：复数加减法的几何意义应用 6 题型三：与复数模相关的综合问题 8 题型四：复数代数形式的乘法运算 8 题型五：复数代数形式的除法运算 9 题型六：复数范围内方程求解问题 10 知识点一、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 知识点二、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 知识点三、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 题型一：复数代数形式的加减运算 【例题1】（2026·高一·福建厦门·月考）已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2026·高一·福建厦门·期末）已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【变式1】（2026·高三·四川自贡·期末）若复数，，，则的（   ） A．实部为 B．虚部为 C．实部为6 D．虚部为 【变式2】（2026·高二·贵州·学业考试）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·高三·河北保定·开学考试）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 题型二：复数加减法的几何意义应用 【例题3】（2026·高一·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【例题4】在复平面内，已知复数满足，且，求. 【方法技巧与总结】 复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【变式4】（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. （2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离： ①； ②. 【变式5】下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值. 解法一：∵， 又∵是纯虚数，令（且）， ∴. 故当时，即当时，所求式有最大值为. 解法二：∵，∴. 故所求式有最大值为. 解法三：∵， 又∵为纯虚数，∴， ∴. 故所求式有最大值为. 【变式6】（1）已知，，求证：； （2）求函数的最小值． 题型三：与复数模相关的综合问题 【例题5】（2026·高一·辽宁沈阳·月考）已知三个复数，并且，所对应的向量，满足，则的取值范围是___________. 【例题6】复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数______. 【方法技巧与总结】 表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【变式7】已知，，，则______． 【变式8】（2026·高一·上海宝山·月考）设，已知，，，则________． 【变式9】（2026·高一·吉林·期中）在复平面内，若复数z满足，则z在复平面内对应点满足的方程为______． 题型四：复数代数形式的乘法运算 【例题7】___________． 【例题8】（2026·高一·全国·单元测试）已知复数z满足，则_____________． 【方法技巧与总结】 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①． ②． ③． 【变式10】________． 【变式11】若为虚数单位，复数在复平面中对应的点为，则的值是______. 【变式12】（2026·高一·上海松江·期末）复数满足（为虚数单位），则_______. 题型五：复数代数形式的除法运算 【例题9】设i是虚数单位，___________． 【例题10】（2026·高一·全国·单元测试）已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________． 【方法技巧与总结】 （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【变式13】（2026·高一·全国·期中）如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则____________． 【变式14】若复数满足：为负实数（为虚数单位），为纯虚数，则的值为_____． 【变式15】已知，则______. 题型六：复数范围内方程求解问题 【例题11】（2026·高一·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【例题12】（2026·高一·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【方法技巧与总结】 当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【变式16】（2026·高一·河南平顶山·期末）已知复数z的共轭复数为，在复平面内对应的点为，为虚数单位. (1)求复数z； (2)若是方程（a，）的根，求a，b的值. 【变式17】（2026·高一·河北·期末）设复数（其中）. (1)若，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【变式18】（2026·高一·江西·期末）已知复数z，w是一元二次方程的两个根，且在复平面内，z对应的点在w对应的点的上方. (1)求w和z； (2)求的值； (3)求在复平面内对应的点的坐标. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $